NEK-Majeure Math App. CHANGEMENT de PROBABILITE. et PROBABILITE RISQUE-NEUTRE

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Alexis Larivière
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1 NEK-Majeure Math App CHANGEMENT de PROBABILITE et PROBABILITE RISQUE-NEUTRE 1

2 NEK-Majeure Math App CHANGEMENT de PROBABILITE 2

3 NEK-Majeure Math App Définition d un Changement de Probabilité Définition d un Changement de Probabilité Définition : Une probabilité Q est un chgt de probabilité ( par rapport à P), s il existe une v.a. Y, positive, telle que E (Y) = 1 et Q(A) = E[Y 1 A ] si A F Y = d à P. d = la densité ou vraisemblance de Q par rapport Z = ln Y est la log-vraisemblance. Exemple : Q(A) = P(A B), avec Y B = P(B) 1 1 B, P(B) >. Absolue continuité La probabilité Q est absolument continue par rapport à P, au sens où P(A) = Q(A) = 3

4 NEK-Majeure Math App Définition d un Changement de Probabilité Réciproquement, si Q est absolument continue, Q est un chgt de probabilité. Lorsque la densité Y est strictement positive, les probabilités P et Q sont dites équivalentes et la log-vraisemblance est bien définie. 4

5 NEK-Majeure Math App Proba équivalentes dans les modèles gaussiens Proba équivalentes dans les modèles gaussiens Soit U une v.a. gaussienne de moyenne m P et de variance σp 2 >. Posons Y = exp(λ(u m P) λ2 2 σ2 P ). Y est une v.a. >, d espérance 1, qui définit une nouvelle probabilité Q, sous laquelle U est une v.a. gaussienne m = mp + λσ2p, σ2q = σ2p Chgt de proba et chgt de variable La v.a. U + λσp 2 sous P est gaussienne, de variance σ2 P moyenne m P + λσp 2 = m Q. et de Elle a même loi que U sous la probabilité Q. ( ) E P (f(u + λσp)) 2 = E Q (f(u)) = E P exp(λ(u m P ) λ2 2 σ2 P )f(u) 5

6 NEK-Majeure Math App Proba équivalentes dans les modèles gaussiens Preuve : Sous Q, la v.a. U a une densité par rapport à Lebesgue exp(λ(x m P ) 1 2 λ2 σp 2 1 ) exp ( 1 2πσ 2 P = (2πσ 2 P ) 1 2 exp ( 1 2σ 2 P (x m P λσ 2 P ) 2 ) 2σ 2 P (x m P ) 2 ) 6

7 NEK-Majeure Math App Exemple de la loi log-normale en finance Exemple de la loi log-normale en finance Soit S T = x exp((µ σ2 2 )T + σŵt ) une v.a.r. log-normale de moyenne µ et de volatilité σ 2. Soit dq dp = exp(µ r σ W T 1 2 (µ r σ )2 T ) Sous la probabilité Q, la v.a. S T a une loi log normale de moyenne r et de volatilité σ. 7

8 NEK-Majeure Math App Le cas gaussien vectoriel Le cas gaussien vectoriel Soit (X 1, X 2...X n, U) un vecteur gaussien sous P. Sous la probabilité Q, de densité Y par rapport à P, où Y(U) = exp(u E P (U) 1 2 var P(U)) Le vecteur (X 1, X 2...X n ) est gaussien, de même matrice de covariance sous P et sous Q, et de vecteur des espérances E Q [X i ] = cov P (X i, U) + E P (X i ) Chgt de variables E Q (f((x 1, X 2..., X n )) = E P (f(x 1 + cov P (X 1, U),..., X n + cov P (X n, U))) = E P (exp(u E P (U) 1 2 var P(U))f(X 1, X 2..., X n )) 8

9 NEK-Majeure Math App La formule de Cameron-Martin La formule de Cameron-Martin Soit {W t ; t [, T ]} un mvt brownien par rapport à P, et f(s) une fonction de L 2 ([, T ]). La v.a. L T = exp( T f(s)dw s 1 2 T est la densité de Q telle que, pour t [, T ], f(s) 2 ds) W Q t = W t t est un Q -mouvement brownien. Chgt de variables f(s)ds E P (F (W. +. T f(s)ds)) = E P (L T F (W. )) 9

10 NEK-Majeure Math App La formule de Cameron-Martin Preuve : cov(u, W t ) = E P ( T d après le calcul de Wiener-Itô. f(s)dw s W t ) = t T f(s)ds 1

11 NEK-Majeure Math App Loi du sup du mvt brownien avec drift Loi du sup du mvt brownien avec drift Loi du sup du brownien Soit W t un mouvement brownien standard. Par le principe de symétrie, pour y x P( sup W s y, W t x) = P(W t 2y x) = P(W t x 2y) s t En particulier P(sup s t W s x) = P( W t x). Loi du sup du brownien avec drift b X t = b t + W t. Soit Q la probabilité de densité L t = exp(bw t 1 2 b2 t), P( sup X s x) = E P (exp(bw t 1 s t 2 b2 t); sup W s x) s t = E(φ(M t, W t )) 11

12 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal Application statistique en Théorie du Signal Soit m(.) un signal temporel qui peut être présent ou absent tandis que W repésente un bruit additif. La probabilité P donne la loi du bruit. L observateur qui reçoit une observation doit détecter si un signal est présent ou non. Soit il considère les deux f.a. (W t ) et (X t = m(t) + W t ) sous P, Soit il observe une seule fonction aléatoire ω(t) sous deux probabilités différentes P(dω) ou Q(dω). Supposons que W est un processus de Wiener sous P, et m(t) = t µ(s)ds. 12

13 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal Posons U = T µ(s)dw s et cov P (U, W t ) = m(t) et L T = exp( T µ(s)dw s 1 2 T µ(s) 2 ds) Sous Q = L T.P, W est un mouvement brownien décentré, de moyenne m(.). 13

14 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal La vraisemblance associée à l observation de ω, L T (ω), qui vaut 1 s il n y a pas de signal, peut être très grande s il y a effectivement un signal. On en déduit une règle de décision, basée sur cette remarque : Au vu de l observation ω, on décide que le signal était présent si U(ω) = T µ(s)dw s > 1 2 var P (U) = T µ(s) 2 ds = σ 2 Cette règle n est pas infaillible! Si le signal m(.) est réellement absent, la probabilité de prendre une mauvaise décision vaut p := P[U > 1 2 var P(U)] 14

15 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal Si le signal m est réellement présent, la probabilité d erreur vaut q := Q[U 1 2 var P(U)] Ces deux probabilités se calculent facilement en fonction de la variance de U, σ 2 = T µ(s)2 ds. 15

16 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal Les probabilités p et q sont égales à N( σ ), où N est la 2 fonction de répartition de la loi normale N(x) = 1 2π x e y2 2 dy Preuve : La première probabilité mesure sous la proba P p := P[U > 1 2 var P (U)] = P[σξ > 1 2 σ2 ] = P[ξ > 1 2 σ] où ξ suit une loi N(, 1). Sous la probabilité Q, U suit une loi N(σ 2, σ 2 ) et donc q := Q[U 1 2 var P (U)] = P[σξ + σ σ2 ] = P[ξ 1 2 σ] = p par suite de la symétrie de la loi gaussienne. 16

17 NEK-Majeure Math App Application statistique en Théorie du Signal En particulier, pour que la règle de décision soit satisfaisante (p, q 5%) il suffit que σ 4 car 1 N(x) = 5% si x 2. Pour le test soit réellement efficace, il faut que T µ(s)2 ds suffisamment grande. La condition ne porte donc pas directement sur le signal m. 17

18 NEK-Majeure Math App Evaluation Risque-Neutre Evaluation Risque-Neutre Soit (S t ) le prix d un actif financier de dynamique ds t = S t (µ t dt + σ t dŵt) (µ t, σ t >, et λ t = (µ t r t )/σ t de carré intégrable.) Soit Q la probabilité de densité L T = exp( T λ sdŵs 1 2 Alors, T λ2 sds) dw t = dŵt + λ t dt est un Q-mouvement brownien. ds t = S t (r t dt + σ t dw t ) Le prix d un produit financier de pay-off Φ(S T ) est Π (Φ) = E Q [e T r s ds Φ T ] La couverture est plus dure à calculer sous cette forme. 18

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