Le problème inverse de conduction de la chaleur

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1 Dossie délivé pou Le poblème invese de conduction de la chaleu pa Matin RAYNAUD Docteu ès sciences physiques de l Univesité Piee-et-Maie-Cuie Pofesseu à l Institut National des Sciences Appliquées de Lyon Diecteu Dépatement de Génie énegétique de l INSA 1. Détemination des tempéatues et flux sufaciques... BE Objectifs et domaines d applications Difficultés spécifiques au PICC Conditions d application du PICC Positionnement des capteus Qualité des mesues Popiétés themophysiques Desciption des méthodes Classification Fomulation mathématique du poblème Méthodes de etou ves la suface Pincipe Desciption d une méthode Méthode de spécification de fonction Pincipe Algoithme Exemple d étude de faisabilité Calcul des coefficients de sensibilité pou un poblème linéaie Influence du buit de mesue et du pas de temps Commentaies Validation expéimentale Objectifs Desciption du montage Résultats expéimentaux Méthode de etou ves la suface : influence de la position des capteus Méthode de etou ves la suface : influence du maillage Méthode de spécification de fonction Conclusion Pou en savoi plus... Doc. BE 8 65 N ous nous focalisons dans cet aticle su le poblème invese de conduction de la chaleu (PICC). La métologie des tempéatues et flux sufaciques est tès délicate et la mise en œuve de méthodes inveses, qui ne sont ien d aute qu un moyen de mesue évolué, pemet de détemine cetaines gandeus sufaciques jusqu à pésent inaccessibles. De plus, le caactèe tès paticulie de ce poblème invese a donné naissance à des méthodes spécifiques uniquement décites dans Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE

2 LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Dossie délivé pou des evues spécialisées ; deux d ente elles seont détaillées. Nous nous effoceons, pa ailleus, de pécise les conditions d utilisation de ces méthodes ca, s agissant d un poblème mal posé, elles nécessitent cetaines pécautions d emploi. La pemièe patie de ce texte est consacée à la définition du poblème invese de conduction de la chaleu et à l intoduction des notions qui seont utilisées pa la suite. Le domaine de faisabilité ainsi que les containtes expéimentales induites pa la ésolution du PICC sont pécisés. Deux méthodes de conduction invese sont décites en détail dans la deuxième patie. Les outils mathématiques intoduits sont alos utilisés dans la toisième patie afin d illuste quantitativement, su un exemple simple, d une pat, les paticulaités du PICC et, d aute pat, ses pincipaux paamètes. La quatième patie est dédiée à l application, su des données éelles, des deux méthodes inveses. (Pou plus de enseignements, on poua se epote à la éféence [1]). 1. Détemination des tempéatues et flux sufaciques T ai h 1.1 Objectifs et domaines d applications T (x, y, z, t) j S (t )? Considéons le solide epésenté figue 1 soumis à des petubations extéieues j S () t. Dans le cas d un poblème diect, le champ de tempéatue initial T (x, y, z, ) est connu ainsi que les petubations et l on cheche à détemine l évolution de la tempéatue T (x, y, z, t) dans le solide. Les solutions, analytiques ou numéiques, sont aujoud hui bien maîtisées losque les conditions aux limites su l intégalité de la fontièe du domaine sont spécifiées. Cependant, il existe de nombeuses situations où les petubations sont mal connues voie inconnues et non mesuables diectement. Il est alos impossible de calcule les vaiations de tempéatue du milieu considéé et seule la ésolution d un poblème invese de conduction pemet d y accéde. Pami les difféentes situations encontées usuellement, citons : tous les cas où il est impossible de place un capteu su la paoi soit pace que la suface est inaccessible (cas de la suface intene d un tube où les aisons de sécuité intedisent de pece la paoi), soit pace que le milieu extéieu est top agessif [cas d une paoi soumise à un flux de haute densité (incendie, soudage lase, toche plasma, etc.) qui donne lieu à une tempéatue sufacique top élevée], soit pace que l on s intéesse à une inteface ente deux solides en fottement (cas des feins, palies, oulements, poblèmes de fogeage, etc.) su laquelle le capteu est immédiatement détuit ; toutes les situations où la pésence du capteu povoque une petubation soit sensible du phénomène que l on désie étudie (cas de l ébullition, de la condensation ou du contact statique ente solides), soit locale du champ de tempéatue sufacique (cas de themocouples placés pependiculaiement aux isothemes ou d émissivité difféente de celle de la paoi). Face à de telles situations, il faut mesue la tempéatue en un ou plusieus points judicieusement choisis à l intéieu du solide et détemine, à pati de ces mesues, la tempéatue et le flux sufacique inconnus ainsi que le champ de tempéatue intene. Avec cette appoche, l étude est limitée aux échanges de chaleu pa T éf Capteu de tempéatue Figue 1 Exemple de poblème invese de conduction de la chaleu conduction au sein du solide. Il n est pas nécessaie de modélise et de ésoude le phénomène, pafois extêmement complexe, qui engende les vaiations de flux et de tempéatues sufaciques echechées. C est la aison pou laquelle les applications industielles du poblème invese de conduction de la chaleu sont potentiellement tès nombeuses. 1. Difficultés spécifiques au PICC Nous intoduisons dans ce paagaphe les pincipales caactéistiques du PICC. La natue de la diffusion de la chaleu dans un solide est telle qu une petubation extene povoque une vaiation de tempéatue sufacique qui est à la fois amotie et déphasée à l intéieu du solide. Ainsi losque l on cheche à détemine la tempéatue de suface à pati d une vaiation de tempéatue mesuée au sein du solide, on constate tois phénomènes : il est impossible d estime coectement la tempéatue sufacique au temps t 1 sans utilise des tempéatues mesuées à des temps t, postéieus à t 1 ; d où la notion de tempéatues futues que nous utiliseons pa la suite ; BE Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique

3 Dossie délivé pou LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR la moinde eeu, inhéente à toute mesue, est amplifiée et peut povoque une oscillation dont l amplitude masque la vaiation éelle de la tempéatue de suface ; les vaiations de hautes féquences sont beaucoup plus difficiles à détemine que celles de basses féquences : le solide se compote comme un filte passe-bas. Ces tois points, qui seont illustés à l aide d un exemple dans le paagaphe 3., font que la ésolution du PICC epose su des pocédues paticulièes. 1.3 Conditions d application du PICC Positionnement des capteus Poblème monodimensionnel Soit une paoi d épaisseu L. Le poblème de conduction invese monodimensionnel est epésenté figue. Il s agit de détemine les petubations sufaciques en x = à pati des vaiations de tempéatues en x. Tois situations distinctes peuvent se pésente : la tempéatue est mesuée en deux points E 1 et E. Le deuxième capteu pouvant ête éventuellement placé su la face opposée : E = L ; la tempéatue est mesuée en un point E, avec < E < L, et la condition limite en x = L est bien connue (tempéatue ou densité de flux imposée ou échange de type convectif avec le milieu extéieu) ; dans la patique il est conseillé, si possible, d isole themiquement cette face : l invesion s en touve facilitée ca la vaiation de tempéatue au point de mesue n est due qu au flux sufacique echeché ; la tempéatue est mesuée uniquement su la face x = L et la condition limite est bien connue (densité de flux imposée ou échange de type convectif avec le milieu extéieu). Les tois cas pécédents coespondent aux infomations minimales nécessaies à la ésolution du PICC. Bien évidemment, il est possible de place tois, voie quate capteus, dans la paoi. Il faut alos faie attention de ne pas petube le champ de tempéatue intene. Nous veons quel peut ête le ôle de ces capteus supplémentaies. Le positionnement du pemie capteu est citique. Il conditionne en patie, conjointement au pas de temps, la faisabilité de l invesion. Pou les poblèmes monodimensionnels, le pas de temps caactéistique du PICC (nombe sans dimension) est : avec a (m /s) diffusivité themique du matéiau, Dt (s) E (m) adt Dt i = (1) pas de temps de discétisation tempoelle de la tempéatue (ou du flux) sufacique echeché, distance ente la suface et le capteu (le plus poche de la suface s il y a plusieus capteus). E Petubation inconnue ou mal connue? Figue Poblème de conduction invese unidimensionnel L étude des coefficients de sensibilité ( 3.), confotée pa une douzaine d années d expéiences et la bibliogaphie, monte que : si t i 1, il s agit pesque d un égime pemanent et l estimation de la tempéatue sufacique pa extapolation linéaie du gadient de tempéatue à pati du capteu est, en pemièe appoche, acceptable ; si 1 t i 1 -, la ésolution du PICC ne pose pas de poblème paticulie ca l amplification des eeus de mesues est faible ; le paamète qui conditionne la stabilité de la méthode doit ête ajusté en fonction du appot signal su buit ; si 1-3 t i 1 -, la ésolution du PICC est tès délicate et peut ête obtenue uniquement si la qualité des mesues est excellente (montage de laboatoie) ou si la vaiation de tempéatue au point de mesue ente deux pas de temps consécutifs est tès nettement supéieue au buit de mesue (il faut éventuellement filte les mesues péalablement à l invesion) ; le flux sufacique estimé sea poche mais difféent du flux éel ; si t i 1-3, la ésolution avec des données expéimentales non lissées est pesque impossible ; la stabilité ne peut ête assuée qu en diminuant la ésolution tempoelle est pa conséquent des ésultats équivalents sont obtenus avec un pas de temps plus gand. Ces citèes sont indicatifs, ils peuvent ête mis en défaut dans des situations paticulièes pou lesquelles le flux echeché n est pas totalement inconnu. Cependant, le pas de temps peut ête utilisé pou détemine la faisabilité de l estimation des gandeus sufaciques à l aide des méthodes de conduction invese et l on peut distingue deux situations : dans la pemièe, le phénomène que l on désie étudie est patiellement connu et l on peut fixe la limite supéieue du pas de temps qui pemetta de epésente le flux sufacique avec la ésolution tempoelle désiée ; le matéiau étant généalement imposé et donc la diffusivité, il ne este qu à détemine s il est possible ou non de place un capteu tel que t i. 1 - ; sinon, il faut soit change de matéiau soit accepte d augmente le pas de temps, c est-à-die de diminue la ésolution tempoelle avec laquelle le flux sea estimé ; dans la deuxième situation, la distance E est imposée pou des aisons technologiques, on utilise alos ce citèe pou calcule le pas de temps minimal avec lequel les gandeus sufaciques peuvent ête déteminées. Il faut cependant gade à l espit que ce citèe est qualitatif et non quantitatif ca la qualité des ésultats est aussi fonction du appot : avec T (x j, t) tempéatue mesuée, Y Flux de chaleu unidiectionnel E Mesue de tempéatue Matéiau dont les popiétés themophysiques sont connues T ( x R j, t + Dt) Ð T ( x j, t) = dy buit de mesue. En effet, losque R 1, la vaiation de tempéatue au point de mesue ente deux instants est noyée dans le buit et de ce fait l invesion sea de piète qualité. Pa conte, losque R >> 1, le buit aléatoie pésent dans les mesues aua peu d effet. Ainsi, il est théoiquement plus facile d estime une sollicitation sufacique de fote intensité que de faible intensité. Dans la patique, ce n est pas totalement vai, ca en égime tansitoie le pas de temps utilisé pou epésente le phénomène doit diminue avec l intensité de la petubation et de ce fait la valeu de R n est jamais tès gande. A contaio, si le flux sufacique est faible, il est possible d augmente le pas de temps. De ce fait, le citèe t i. 1 - pemet de détemine sans top de isque la faisabilité de l invesion. L x Condition limite connue ou deuxième mesue de tempéatue () Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE

4 LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Dossie délivé pou j 1 Dy j k jm l invesion, isque d ête top impotante et sutout difficilement quantifiable (égime tansitoie). Les ègles elatives aux mesues de tempéatues pa themocouples doivent donc ête espectées. Dans la patique, cela ne pose pas de poblème paticulie losque le champ de tempéatue est monodimensionnel. L instumentation doit donc ête soignée, sinon l exploitation des mesues et l intepétation des ésultats seont difficiles. capteu de tempéatue Figue 3 Exemple de poblème invese bidimensionnel : M inconnues à détemine à chaque pas de temps Poblème multidimensionnel Considéons le poblème invese bidimensionnel (figue 3). Il s agit d une plaque semi-infinie isolée su tois de ses faces et soumise à un flux, fonction de l espace et du temps, su la face x =. Ce poblème élémentaie illuste pafaitement les nouvelles difficultés liées à la vaiation du flux sufacique suivant y : La pemièe étape consiste à choisi le pas de discétisation spatiale y du flux. Le choix de ce pas fixe le nombe d inconnues, M ( 1 à M ), qui devont ête déteminées à chaque pas de temps. La deuxième étape consiste à choisi le nombe et les emplacements des capteus dans le solide. Faut-il au moins M capteus? À quelle pofondeu doivent-ils ête placés? Faut-il tous les place à la même pofondeu? Les éponses à ces questions ne sont pas immédiates bien que cuciales ca elle conditionnent la faisabilité de l invesion. Nous disposons aujoud hui d outils qui pemettent, pou un poblème donné, de détemine le nombe minimal de capteus ainsi que leus emplacements. La mise en œuve des méthodes de conduction invese bidimensionnelle [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] este encoe du domaine des spécialistes et ne peut ête décite dans ce texte. Retenons simplement que la faisabilité de l invesion multidimensionnelle dépend essentiellement de la finesse de la ésolution sufacique qui est désiée et du nombe de capteus qui peuvent ête implantés dans le solide [3]. Il s agit donc plus d un fein technologique que théoique ca les méthodes inveses sont maintenant bien maîtisées. En ce qui concene la ésolution tempoelle, le citèe développé pou les poblèmes monodimensionnels peut encoe ête utilisé Qualité des mesues Contact capteu/milieu L x j = j ( y, t) La détemination des conditions sufaciques étant éalisée à pati de l évolution de la tempéatue intene, il est impéatif, d une pat, que le temps de éponse du capteu placé dans le solide soit inféieu, d un ode de gandeu au moins, au pas de temps d acquisition et, d aute pat, que le contact ente l élément sensible du capteu et le milieu soit intime. Si la ésistance themique de contact est top gande, elle doit ête pise en compte dans le modèle. Su les éléments métalliques, il faut, si possible, soude les themocouples pa ultasons, pa déchage capacitive ou pa basage selon le diamète des themocouples. Il convient aussi de place les themocouples le long des isothemes sinon l eeu engendée, obligatoiement amplifiée los de y Filtage du signal Comme nous l avons déjà expliqué, c est l amplification du buit pésent dans les mesues qui pose poblème los de l invesion. Toutes les méthodes inveses sont conçues pou atténue patiellement l amplification des hautes féquences du signal mesué. Il est donc logique de éduie autant que possible le buit de mesue avant de éalise l invesion. Losque l on ne dispose pas d infomation spécifique su le buit, une méthode simple mais néanmoins tès efficace consiste à lisse les mesues à l aide d un filte glissant [1]. Le pincipe d un filte glissant est le suivant. Soit Y un jeu de N mesues et soit y n la n ième mesue. Un filte de demi-lageu K, caactéisé pa des coefficients a i, pemet d obteni un nouveau jeu de données Z calculé comme suit : les coefficients du filte sont calculés afin que : Ils pennent difféentes valeus en fonction du type de filte utilisé. La elation (3) peut ête appliquée pou les mesues K + 1, K +,..., N - K - 1, N - K. Pou les pemièes et denièes mesues (n vaiant de 1 à K et de N - K + 1 à N espectivement), les coefficients doivent ête modifiés mais en espectant l équation (4). On peut éventuellement ajoute K données fictives espectivement égales à y 1 et y N au début et à la fin du jeu de données pou évite de modifie ces coefficients. Dans le cas d un filte caé, ces coefficients sont tous identiques et égaux à 1/(K + 1). L application d un tel filte evient à emplace chaque mesue pa une moyenne aithmétique des K mesues qui l entouent. Ainsi si K = 5, à chaque mesue y n on substitue une valeu z n calculée à pati de 11 valeus de y. Dans le cas d un filte gaussien, les coefficients suivent une loi de Gauss centée su la mesue : avec K z n = a i y n + i i = Ð K K a i = 1 i = Ð K Ð p i a i = exp æ ö D è K ø D = K æð p i ö exp è K ø i = Ð K À lageu égale, le filte caé lisse plus les mesues que le filte gaussien. Le poblème consiste à choisi le type de filte ainsi que la lageu. Ce choix est difficile si l on ne dispose d aucune infomation su le buit de mesue. Heueusement cette situation est ae ca il suffit de faie quelques mesues en égime pemanent pou évalue l amplitude maximale du buit B m ou mieux encoe, l écat-type s du buit. Il convient alos de choisi la lageu du filte telle que : N ( y i Ð z i ) B m ou s à 3s N i = 1 (3) (4) (5) (6) (7) BE Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique

5 Dossie délivé pou LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Si le filte est top lage, alos le lissage dégade excessivement l infomation contenue dans le signal initial. Notons qu il est possible d applique successivement deux types de filtes Popiétés themophysiques c ( T ) T = æl ( T ) T ö t x è x ø x =, l ( T ) T = j () t inconnue x (9) (1) La pécision su la tempéatue et le flux sufacique estimés est, comme pou un poblème diect, lagement tibutaie de la bonne connaissance des popiétés themophysiques des matéiaux. Bien souvent, il sea nécessaie de caactéise ces matéiaux avant de éalise l expéimentation. Paeillement, les positions des capteus doivent ête mesuées avec une pécision dx telle que : dx E< 5 1 Ð avec E distance ente le capteu et la suface su laquelle la densité de flux est estimée. (8) x = E, T ( E, t) = Y () t connue x = L condition limite connue t = T ( x, ) = T initiale connue avec (kg/m 3 ) masse volumique, c (J.kg -1.K -1 ) capacité themique massique, l (W.m -1.K -1 ) conductivité themique. (11) (1) (13) L objectif est de détemine la densité de flux sufacique inconnue à la suface x = à pati de la mesue de tempéatue en x = E.. Desciption des méthodes.1 Classification Il est impossible de décie, ni même de cite, toutes les méthodes qui ont été poposées pou la solution du PICC duant les tois denièes décennies. Le lecteu peut se epote aux lives, publiés dans la denièe décennie [11] [1] [13] [14] [15], qui sont tous entièement consacés aux PICC, ou aux éféences suivantes qui egoupent les dives types de méthodes [16] [17] [18] [19] [] [1] [] [3]. Dans la patique, la méthode impote peu puisque, à l issue des nombeux cas taités et des tavaux publiés, on peut constate que, utilisées su des données expéimentales, toutes les méthodes inveses qui compotent un paamète de stabilisation ajustable donnent des ésultats similaies [17] [4] [5]. Bien sû, cetaines méthodes sont meilleues que d autes dans cetaines situations, donnent plus d infomations notamment su la pécision des gandeus estimées, sont plus apides, etc., mais ces citèes estent tès subjectifs [6]. Aussi nous nous gadeons bien de vouloi établi une quelconque hiéachie des méthodes de ésolution du PICC. Nous allons pa souci de concision pésente en détails deux méthodes seulement qui abodent le PICC de façon difféente. Elles seont ensuite utilisées pou illuste les notions intoduites dans le paagaphe 1.. Fomulation mathématique du poblème Soit la paoi d épaisseu L soumise à une petubation unifome mais inconnue su sa face x =. À l instant initial, la tempéatue est supposée unifome, le tansfet de chaleu est donc monodimensionnel et égi pa l équation de diffusion. Les popiétés themophysiques sont connues et éventuellement fonction de la tempéatue. Supposons en oute que la condition limite en x = L soit spécifiée et qu un capteu pemette de mesue la tempéatue en x = E. Le système d équations de ce poblème est donc :.3 Méthodes de etou ves la suface.3.1 Pincipe Ces méthodes ont une appoche de type difféences finies : la paoi doit ête découpée en N-1 tanches généalement d égale épaisseu,, ce qui coespond à N nœuds de discétisation si l on place un nœud su chaque suface, figue 4. Les nœuds sont aux centes des tanches sauf pou les tanches adjacentes aux sufaces. La mise en œuve de ces méthodes se décompose en tois étapes. La pemièe étape consiste à ésoude le poblème diect dans la égion compise ente le point de mesue et la condition limite connue (ou éventuellement ente deux points de mesue intenes) (figue 4). N impote quel schéma peut ête utilisé à condition de especte les éventuels citèes de stabilité. La figue 5 indique les molécules de calcul pou les schémas d intégation les plus classiques. À chaque pas de temps, les tempéatues sont calculées dans tout le domaine. Nous pouvons emaque que la solution du poblème diect pemet de calcule la densité du flux au point de mesue de la tempéatue (x = E). Nous connaissons donc à l une des limites de la égion invese, à la fois la tempéatue et le flux. C est pou cela qu il est possible de ésoude un PICC losque la mesue de la tempéatue est effectuée su la face x = L mais uniquement à condition de connaîte le flux su cette face (condition limite de e ou 3 e espèce). Région invese 1? i E nœuds de discétisation Région diecte Mesue de tempéatue Figue 4 Méthode de etou ves la suface : sépaation du domaine en deux égions N L x Condition limite connue Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE

6 LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Dossie délivé pou Sens du calcul est péféable de faie le bilan d énegie su la demi-maille de la suface x =..3. Desciption d une méthode Temps n + n + 1 n A B C Nous allons décie la méthode développée pa Raynaud et Bansie []. La elation algébique à utilise dans la égion invese peut ête obtenue de plusieus façons. La méthode des difféences finies consiste à appoxime chacun des temes de l équation de diffusion. Une elation identique peut ête obtenue en faisant un bilan d énegie su un volume de contôle. Cette seconde appoche a le méite d ête simple et ne equiet aucune connaissance péalable des méthodes numéiques. Nous exposeons ici ces deux appoches. x Espace i 1 i i + 1 tempéatue connue (condition limite) tempéatue connue (condition initiale) tempéatue connue tempéatue inconnue A explicite B implicite pu C Cank-Nicolson.3..1 Méthode des difféences finies L objectif est d obteni une appoximation au nœud i et à l instant n de l équation de diffusion (9) : c ( T ) T t x l ( T ) T n æ = æ öö è è x øøi (14) Figue 5 Calcul des tempéatues inconnues dans la égion diecte. Exemple de molécules de calcul Sens du calcul Région invese Région diecte i 1 i i + 1 Espace tempéatue connue (mesue ou condition limite) tempéatue connue (condition initiale) tempéatue connue (poblème diect) tempéatue inconnue Temps n + 1 Figue 6 Calcul des tempéatues dans la égion invese. Exemple de molécules de calcul La deuxième étape consiste à détemine les tempéatues dans la égion invese. Pou cela, l équation de diffusion de la chaleu est discétisée afin d obteni une elation explicite pemettant de calcule les tempéatues inconnues à pati des tempéatues connues. Tois exemples de molécules de calcul (A [7], B [], C []) sont donnés dans la figue 6. Contaiement au poblème diect où l on calcule à chaque pas de temps les tempéatues dans tout le domaine, on détemine ici à chaque pas d espace les tempéatues pou tous les pas de temps. La toisième étape consiste à calcule la densité de flux sufacique inconnue à pati du champ de tempéatue. Plutôt que d évalue le flux à pati du gadient de tempéatue, nous veons qu il n n 1 C B A Soit T n i = T ( x i, t n ) = T (( i Ð 1), ndt) la tempéatue au nœud de discétisation i et à l instant ndt. En utilisant des difféences centées pou chacun des temes on obtient : c n T i n + 1 Ð T n Ð 1 Ð jn i i i jn = i Ð 1 Dt T j = Ð l ( T ) x (15) (16) À ce stade afin d intoduie des tempéatues futues ainsi qu un biais (ce teme sea expliqué ultéieuement), on emplace la densité de flux j n i + 1 pa sa moyenne aithmétique aux instants n-1 et n+1 : c n i T i n + 1 Ð T n Ð i Dt j n + 1 j i n Ð 1 i + 1 = Ð jn i Ð 1 (17) Des difféences centées sont à nouveau utilisées pou appoxime les densités de flux : j i Ð 1 T i Ð T i Ð 1 = Ð l i Ð j i + 1 = Ð l i + 1 T i + 1 Ð T i (18) (19) expessions dans lesquelles l i Ð 1 et l i + 1 coespondent espectivement aux conductivités évaluées aux tempéatues ( T i Ð 1 + T i ) et ( T i T i ). On obtient alos une elation qui pemet de calcule les tempéatues dans la égion invese à pati des tempéatues de la égion diecte : T n 1 i Ð 1 = -- l n Ð 1 i + 1 c n i Ð T n Ð 1 l n i Ð 1 l n i Ð 1 Dt i Tn 1 l n i + -- i + 1 c n i T n + 1 l n i Ð 1 l n i Ð 1 Dt i () Cette elation coespond à la molécule de calcul C de la figue 6. Elle se simplifie losque la conductivité themique et la capacité 1 l n Ð 1 -- i + 1 Ð l n T n Ð 1 1 l n + 1 i i + 1 Ð T n + 1 i Ð 1 l n i + 1 i Ð 1 BE Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique

7 Dossie délivé pou LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Région invese Région diecte T éf h j i 1/ j i + 1/ n + 1 n Temps Section A i 1 i i + 1 x Péimète p Figue 7 Retou ves la suface à pati du nœud i + 1 : intoduction d une tempéatue futue à chaque pas ves la suface themique volumique du matéiau sont constantes dans la gamme de tempéatue considéée : avec Sens du calcul Espace T n 1 i Ð 1 = -- ( 1Ð P) T n 1 i i 1 i i + 1 tempéatue devant ête stockée tempéatue inconnue (1) () Cette elation pemet alos de calcule explicitement les tempéatues dans la égion invese. La stabilité de la méthode est fonction du nombe de pas effectués dans la égion invese [1] [] [4] [8] ca chaque pas intoduit un nouveau biais. La figue 7 monte que la tempéatue sufacique à l instant n - 1 est déteminée en utilisant les tempéatues mesuées jusqu à l instant n + 4. Ainsi les molécules de calcul de type B et C (figue 6) pemettent d utilise des tempéatues futues, ce qui est, comme nous l avons dit, une condition nécessaie de succès pou la ésolution du PICC. Le nombe de tempéatues futues est égal au nombe de pas choisis ente le capteu et la suface. En patique, il faut que le module de Fouie M soit supéieu à 1 voie à si le signal est tès buité. Plus ce module de Fouie est gand, plus l algoithme est stable. Ce citèe pemet de détemine l ode de gandeu du pas d espace qui doit ête utilisé dans la égion invese. Pou les poblèmes non linéaies, la conductivité ln i Ð 1 ne peut ête évaluée puisque Tn i Ð 1 est inconnue. À chaque pas ves la suface, le pocessus itéatif suivant doit ête adopté : 1 e étape : l n i Ð 1 est emplacée pa ln i pou applique la elation () ; e étape : la valeu obtenue pou Tn i Ð 1 pemet alos de calcule ln i Ð 1 et d applique à nouveau l équation (), ce qui donne une nouvelle valeu de T n i Ð 1 ; 3 e étape : si l écat ente les deux valeus de Tn est top impotant, il faut ecommence le calcul à la e i Ð 1 étape. Dans la majoité des cas, une seule itéation est suffisante ce qui evient à multiplie pa deux le temps calcul..3.. Méthode du bilan d énegie n 1 Ð T n 1 + i + -- ( 1+ P) T n i Ð -- ( T n Ð 1 i T n + 1 i + ) 1 c P = = = ---- l Dt a Dt M Figue 8 Bilan d énegie su le volume de contôle centé autou du nœud i Pou illuste cette méthode, nous allons considée le cas d un modèle de bae avec échange latéal. En effet, les situations industielles sont aement puement unidiectionnelles et ce modèle pemet de teni compte des échanges de chaleu multidiectionnels. Le coefficient d échange ente le solide et le milieu envionnant à T éf est noté h et peut ête une fonction de la tempéatue. Si l on suppose que le flux de chaleu est pincipalement dans la diection x et que la tempéatue est unifome dans une section S du volume : alos, comme pou la paoi pécédente, la bae doit ête découpée en N-1 tanches d égales épaisseus. Le bilan d énegie su un élément de volume V i, centé autou du nœud i, de section de passage S i et de suface latéale d échange A i (figue 8) s écit : avec T = T ( x) Tn + 1 c n i Ð Tn Ð 1 i i V i = S i Ð 1 jn i Ð 1 Ð S i + 1 jn i + 1 Dt Tn + 1 c n i Ð i V Tn Ð 1 i i Dt S i Ð 1 jn i Ð 1 S i + 1 jn i + 1 A i h n i [ Tn i Ð Tn éf ] Ð A i h n i [ Tn i Ð Tn éf ] (3) vaiation d énegie intene du volume V i pa unité de temps, flux de chaleu entant pa conduction pa la suface S i Ð 1, flux de chaleu sotant pa conduction pa la suface S i + 1, flux de chaleu pedu ves l extéieu pa la suface A i. Le modèle de la bae avec échange latéal peut ête utilisé si : h V Bi i S = i,1 " i l expession dans laquelle Bi epésente le nombe de Biot. Plus ce nombe est petit, plus l hypothèse d une tempéatue unifome dans une section S i est justifiée. Si les hypothèses pécédentes sont véifiées, ce bilan d énegie est aussi pécis que possible. Cependant, afin d intoduie des tempéatues futues et de diminue la sensibilité aux buits de mesues tout en ayant une solution poche de la éalité, on appoxime le flux sotant de l élément de volume à l instant n pa la moyenne aithmétique des flux sotant aux instants n-1 et n+1. Soit en emplaçant V i pa S i. c n i S i T i n + 1 Ð Tn Ð 1 jn Ð i S i Ð 1 jn i jn + 1 i + 1 = i Ð 1 Ð S i Dt Ð A i h n i [ Tn i Ð Tn éf ] (4) et en emplaçant les densités de flux pa les expessions (18) et (19), on obtient encoe une fois une elation qui ne compend qu une seule tempéatue inconnue : T n i Ð 1. Si la conductivité vaie avec la tempéatue, il faut cependant faie des itéations. En posant S i Ð 1 = S i + 1 = 1 (bae de section unitaie) et hn i = (pas Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE

8 LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Dossie délivé pou / j j 1 + 1/ Figue 9 Bilan d énegie su le 1 e volume de contôle adjacent à la suface d échange latéal), on etouve l équation obtenue pa la méthode des difféences finies. Notons que la stabilité de la méthode n est pas altéée pa la pise en compte des échanges latéaux. Il faut cependant que la valeu du coefficient d échange soit suffisamment bien connue afin que l eeu su le flux estimé ne soit pas top gande. En effet, l équation (4), qui eflète simplement la consevation de l énegie, monte qu une eeu su l échange de chaleu ente le solide et l envionnement se épecutea su le flux entant pa conduction dans l élément de volume donc su la tempéatue echechée T n i Ð Calcul de la densité de flux sufacique La densité de flux sufacique est obtenue soit pa la méthode des difféences finies appliquée au nœud sufacique, soit à pati du bilan d énegie su la demi-maille adjacente à la suface comme illusté ci-apès. En effet, le pas d espace étant constant ente chaque nœud de discétisation, la lageu de cette maille est égale à /, figue 9. Ce bilan s écit donc : c n 1 S T éf h 1 i + 1 Tn + 1 T 1 Ð n Ð = S 1 jn Ð S jn Dt (5) qui pemet, apès l appoximation usuelle de jn (19) de calcule la densité de flux sufacique inconnue : jn = cn Tn + 1 T 1 Ð n Ð Dt (6) Dans le cas d une paoi plane ou d une bae adiabatique, cette elation se simplifie ( S 1 = S et h 1 = ) : jn = cn (7) Tès souvent, la densité de flux sufacique est calculée pa une appoximation de la loi de Fouie, j = Ð l æ dt ö, c est-à-die uniquement avec le second teme du deuxième membe de l équation èdxø (7). Cette appoximation est acceptable si est tès petit ca dans ce cas le pemie teme est négligeable devant le second. On peut aussi utilise, sans altée la pécision, l expession suivante : jn = cn (8) qui pemet de calcule la densité de flux jn dès que la tempéatue sufacique est connue à l instant n. x ÐA 1 hn 1 [ Tn 1 Ð Tn éf ] S S l Tn n 1 Ð Tn A h n 1 [ Tn 1 Ð Tn éf ] S 1 Tn + 1 Tn Ð Ð 1 + Dt ln Tn 1 Tn Ð Ð 1 + Dt ln Tn 1 Ð Tn Tn 1 Ð Tn Algoithme Il existe deux façons pou calcule l ensemble des tempéatues et flux sufaciques. La méthode la plus simple est décite ci-apès. Notons I1 le numéo du nœud de discétisation coespondant au point de mesue (x = E). 1 e étape : calcul du champ de tempéatue dans la égion diecte pou n = 1,,..., n max. L indice n = coespond à l instant initial pou lequel la distibution de tempéatue est connue. À chaque pas de calcul, il faut stocke les valeus de la tempéatue au nœud I e étape : etou ves la suface avec la elation explicite (1) pou i = I1, I1-1,... avec n vaiant de 1 à n max + i - I1-1. Pou le pemie pas ves la suface, on calcule les tempéatues au nœud I1-1 en utilisant les tempéatues connues aux nœuds I1 et I Apès ce calcul, les tempéatues au nœud I1 + 1 ne sont plus utilisées. On effectue le second pas ves la suface pou calcule les tempéatues au nœud I1 - en fonction des tempéatues aux nœuds I1-1 (calculées pécédemment) et I1. Ces mêmes opéations sont épétées jusqu au nœud sufacique. 3 e étape : calcul de la densité de flux sufacique pa la elation (6) ou (7) pou n = 1 à n max - I1. C est la méthode de pogammation la plus simple mais qui peut pose des poblèmes de taille mémoie si l on doit taite un poblème dans lequel le nombe de pas de temps, n max, est tès gand, ca il faut au minimum stocke une matice compotant 3 colonnes de tailles égales à n max (I1-1, I1 et I1 + 1 pou le pemie pas, I1 -, I1-1 et I1 pou le second pas, etc.). Il est ainsi péféable d utilise un aute algoithme de calcul qui est illusté pa la figue 7. Les calculs sont initialisés en déteminant, dans la égion diecte et dans la égion invese, uniquement les tempéatues nécessaies au calcul de la tempéatue de suface au pemie pas de temps. Pa la suite, le poblème diect est ésolu pou uniquement un pas de temps (il suffit donc de stocke deux niveaux de temps), ce qui pemet de calcule les tempéatues dans la égion invese le long de la diagonale, c est-à-die en allant ves la suface extéieue mais en emontant dans le temps (il suffit pou cela de stocke les tempéatues calculées su tois diagonales de la égion invese). Cet algoithme, légèement plus compliqué à pogamme, pemet de ésoude le poblème invese los de l acquisition des données. En effet le décalage tempoel ente la mesue de la tempéatue et le calcul de la tempéatue et du flux sufaciques est égal au poduit du pas de temps, Dt, pa le nombe de pas d espace effectués ente le capteu et la suface (figue 7). Sauf pou des féquences d acquisition extêmement apides, le calcul du champ de tempéatue pou un pas du poblème diect et le etou le long de la diagonale peuvent ête effectués ente deux instants d acquisition. Dans la patique, losque la paoi est découpée en N-1 tanches d égale épaisseu, il est ae que le themocouple qui délimite les égions invese et diecte coïncide exactement avec un nœud du maillage. Afin de emédie à ce poblème, il est ecommandé d utilise deux maillages difféents, chacun ayant un pas d espace constant i et d, pou les égions invese et diecte. De ce fait une elation penant en compte deux pas d espace difféents doit ête utilisée pou le pemie pas ves la suface. L équation (17) devient alos : cn æ i + d i ö T i n + 1 Ð Tn Ð 1 i jn i j n Ð 1 i + 1 è ø Dt = Ð jn i Ð 1 Les densités de flux étant appoximées pa : j i + 1 = l j n Ð Tn i Ð 1 l n i Ð T n i Ð 1 = i Ð Ð i + 1 i (9) (3) T i + 1 Ð T i aux instants n + 1 et n - 1 (31) d BE Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique

9 Dossie délivé pou LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR d où la elation qui doit ête utilisée uniquement pou le pemie pas ves la suface : Tn i Ð 1 = Tn i i cn æ i l n i d ö T i n + 1 Ð Tn Ð i è i Ð 1 ø Dt 1 -- l i n i Ð Tn + 1 (3) n i + 1 Tn ( Ð i ) -- l i n Ð i Ð ( Tn Ð 1 n i + 1 Ð Tn Ð 1 i ) l i Ð 1 d l i Ð 1 d Losque le pas de temps de l invesion est tès petit ou losque les données sont tès buitées, il est péféable de lisse les données avant de pocéde à l invesion en gadant un nombe de nœuds aisonnable dans la égion invese, afin d avoi un module de Fouie compis ente et 1. En effet, les ésultats de l invesion s amélioent. Cette emaque est d ailleus valable pou les autes types de méthodes inveses [1]. Un aute statagème peut aussi ête utilisé pou augmente la stabilité de l invesion sans top augmente le nombe de pas dans la égion invese. Cela consiste simplement à emplace la densité de flux j n i + 1 pa sa moyenne aithmétique aux instants n-, n-1, n+1 et n+ (au lieu de n-1 et n+1 seulement), ce qui conduit à l expession suivante du bilan : c n i T i n + 1 Ð Tn Ð j n + i i jn + 1 i jn Ð 1 i jn Ð = Ð i jn i Ð 1 Dt 4 (33) pemettant d obteni une elation qui, à nombe de pas égal, est plus stable que celle calculée à pati de la elation (17) [1]..4 Méthode de spécification de fonction.4.1 Pincipe Cette méthode [] a été l une des pemièes poposées pou la solution du PICC qui este stable pou de petits pas de temps. Elle a été amélioée à plusieus epises [11] [9] et son pincipe utilisé pa d autes auteus [5] [7] [3] [31]. La méthode de spécification de fonction est, pou le PICC, la méthode de éféence. C est une méthode séquentielle dans laquelle la densité de flux est estimée pas de temps pa pas de temps. Ce type de méthode utilise un module de calcul qui pemet de ésoude le poblème diect classique défini pa les équations (9) (1) (1) (13). La méthode employée (solution analytique, semi-analytique, difféences finies, éléments finis, etc.) n a quasiment aucune influence su la pécision des ésultats de l invesion [5] [11], seuls le temps calcul et la commodité de mise en œuve vaient d une méthode à une aute. Dans le poblème invese, la densité de flux de l équation (1) est inconnue et une pocédue spécifique doit donc ête utilisée. Nous veons que la technique de calcul est légèement plus complexe dans le cas des poblèmes non linéaies. Un poblème de conduction invese sea non linéaie si l une des gandeus suivantes : conductivité, masse volumique, capacité themique massique, coefficient d échange, souce ou puits de chaleu, est soit fonction de la tempéatue, soit fonction du temps. La méthodologie employée pou détemine le flux à un instant donné losque la tempéatue est mesuée en un seul point du solide est décite ci-apès. On suppose connues la distibution de tempéatue T n et la densité de flux sufacique q n au temps t n = n*dt et l on étudie, au pas de temps t n+1, la fonctionnelle suivante : F ( q n + 1 ) = ( Y n + j Ð T n + j ( q n + 1, q n +,..., q n + )) avec nombe de tempéatues futues, Y T (34) tempéatue mesuée en un point intéieu du solide, tempéatue calculée en ce point pa le modèle diect. La notation T n + j ( q n + 1, q n +,..., q n + ) indique que la tempéatue calculée pa le modèle diect est fonction de q n + 1, q n +,..., q n +. Les densités de flux sufaciques, aux instants t n + 1,..., t n + j doivent donc ête connues pou calcule cette tempéatue. La méthode de spécification de fonction consiste à se donne une loi tempoaie de vaiation de ce flux. On suppose généalement que le flux est constant duant les pas de temps suivants. Il faut note que cette hypothèse n est utilisée que pou calcule q n + 1, les densités de flux q n +, qn + 3, etc., déteminées ultéieuement seont difféentes de q n + 1. De ce fait, la fonctionnelle (34) devient : F ( q n + 1 ) = ( Y n + j Ð T n + j ( q n + 1 )) (35) Nous avons donc une équation et une seule inconnue q n + 1 mais nous disposons de mesues. Le but est de touve la densité de flux q n + 1 qui minimise l écat ente les tempéatues calculées et les tempéatues mesuées. La fonctionnelle F est minimale losque : (36) Q n + j est le coefficient de sensibilité à l instant t n+j au point de mesue de la tempéatue. Il epésente la vaiation de tempéatue engendée pa une vaiation du flux sufacique : Q n + j T n + j ( q n + 1 ) = q n + 1 et est généalement appoximé pa : (37) Q n + j T n + j ( q n + 1 ( 1 + e )) Ð T n + j ( q n + 1 ) = (38) e q n + 1 où e est un petit nombe (typiquement,1). Nous eviendons dans le paagaphe 3.1 su le calcul des coefficients de sensibilité. Le flux q n à l instant n étant connu, au lieu de cheche à détemine q n + 1, on cheche Dq qui epésente la vaiation de la densité de flux ente les instants n et n+1 : (39) Comme l on suppose que la densité de flux est constante duant les pas de temps suivants, le développement en séie de Taylo, limité au pemie teme, autou de q n pemet d écie : expession dans laquelle : F = Ð ( Y n + j Ð T n + j ( q n + 1 )) Q n j = q n + 1 q n 1 = (4) Q *n + j T n + j ( q n ) = (41) q n est le coefficient de sensibilité pa appot à q n. En supposant que les deux coefficients de sensibilité sont identiques ( Q *n + j = Q n + j ) et en substituant (4) dans (36), il vient : dont la seule inconnue est Dq : + qn + Dq T n + j ( q n + 1 ) = T n + j ( q n ) + Dq Q *n + j + ( Y n + j Ð T n + j ( q n ) + Dq Q n + j) Q n + j = ( Y n + j Ð T n + j ( q n )) Q n + j Dq = ( Q n + j ) (4) (43) Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE

10 LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR Dossie délivé pou Cette équation pemet donc de calcule la vaiation du flux ente les instants n et n+1, donc q n + 1 gâce à l équation (39). Cette valeu est ensuite utilisée comme entée dans le poblème diect pou calcule le champ de tempéatue dans tout le solide à l instant n+1. On ecommence alos les mêmes calculs pou détemine le flux au pas de temps suivant, ca l hypothèse de flux constant utilisée pou les pas de temps futus n était que tempoaie. Si le poblème est linéaie, les coefficients de sensibilité Q n + j sont indépendants du flux echeché, ils peuvent donc ête calculés pa l expession (38) en utilisant q n au lieu de q n + 1 et, pa conséquent, la valeu de Dq donnée pa (43) est définitive. Pa conte, pou un poblème non linéaie, les coefficients de sensibilité étant calculés au dépat avec q n et non q n + 1 (puisque qn + 1 est inconnu!), il faut faie des itéations ce qui augmente le temps de calculs. Ainsi l équation (39) devient itéative : (44) À l itéation (k), on calcule non plus l écat ente le flux aux instants n et n + 1, mais la coection Dq ( k) à appote au flux echeché. Étant donné que Dq ( k) tend ves zéo au fu et à mesue des itéations, on especte à nouveau l égalité ente les deux coefficients de sensibilité : Q n + j = Q *n + j. On peut constate que la densité de flux à l instant n+1 est estimée en utilisant des tempéatues mesuées aux instants n+1, n+,..., n+. On utilise donc comme dans la méthode pécédente des tempéatues futues. Dans la patique, suivant la valeu du pas de temps adimensionné Dt i et du appot signal/buit, vaie ente 5 et 15. Le paamète qui epésente le nombe de tempéatues futues est celui qui conditionne la stabilité de la méthode. Si = 1, alos aucun biais n est intoduit, c est-à-die que l on cheche à détemine exactement le flux de suface : il y a égalité ente la tempéatue mesuée et la tempéatue calculée (1 équation, 1 inconnue et 1 mesue). Pou 1, on fait pou chaque étape l hypothèse que le flux este constant, ce qui n est généalement pas vai, ainsi on touve non pas le flux exact mais une valeu appochée. Plus est gand, plus l on s éloigne de la solution exacte mais en evanche on diminue la sensibilité aux buits de mesues : on utilise mesues pou estime une seule inconnue. Une méthode biaisée est donc une méthode qui ne pemet pas de etouve la solution exacte du poblème invese même en utilisant des données exactes (aucun buit de mesue). La solution touvée este cependant poche de la solution éelle et sutout est stable, ce qui ne seait pas le cas si aucun biais n était intoduit dans la méthode. Dans la méthode de etou ves la suface c est l appoximation faite ente les équations (15) et (17) ou (3) et (4) qui intoduit le biais..4. Algoithme qn + 1 ( k) = q n + 1 ( k Ð 1) + Dq ( k) Le champ de tempéatue et le flux sufacique à l instant n étant connus, l algoithme de calcul pou détemine q n+1 est le suivant : a) calcul des coefficients de sensibilité au point de mesue aux instants n+1 à n+ : si le poblème est linéaie, les coefficients sont constants ( 3.1) et donc déjà connus ; pou un poblème non linéaie, il faut utilise l équation (38) (en emplaçant q n+1 pa q n pou la pemièe itéation), c est-à-die qu il faut ésoude indépendamment fois le poblème diect pou les instants n+1 à n+ ; b) calcul de la coection Dq avec l équation (43) ; c) calcul de q n+1 : pa l équation (39) si le poblème est linéaie ; pa l équation (44) si le poblème est non linéaie ; si la coection Dq n est pas petite elativement à q n+1, il faut etoune à l étape a ; d) utilisation de la valeu de q n+1 pou ésoude le poblème diect su un pas de temps afin de calcule le champ de tempéatue à l instant n+1. Les étapes a à d sont épétées pou les autes instants. Pou les poblèmes linéaies, le calcul des coefficients de sensibilité est éalisé en début de pogamme et les valeus sont stockées afin d ête utilisées à chaque pas de temps. Ils peuvent ête déteminés soit pa la ésolution du système de sensibilité comme indiqué dans le paagaphe 3.1, soit avec l équation (38). Il suffit de pende une valeu quelconque du flux puisque les coefficients de sensibilité ne dépendent pas de la valeu de ce flux. Il faut simplement faie attention au choix de e qui ne doit ête ni top gand (mauvaise appoximation), ni top petit (eeu d aondi). Il est conseillé d effectue ou 3 calculs avec difféentes valeus de e et de véifie que les valeus des coefficients de sensibilité ne vaient pas losque e vaie. Si l on dispose de c mesues de tempéatues, la fonctionnelle (34) devient : c F ( q n + 1 ) = ( Yn + j i Ð Tn + j i ( q n + 1, q n +,..., q n + )) i = 1 (45) c est-à-die que l on cheche la densité de flux q n+1 telle que la somme des écats ente les tempéatues mesuées et calculées pou tous les capteus soit la plus faible possible. En utilisant la même démache que pou un capteu, le teme coectif Dq est calculé pa : c ( Yn + j i Ð Tn + j i ( q n )) Qn + j i i = 1 Dq = c ( Qn + j i ) i = 1 (46) Cette elation monte que l écat en un point paticulie ente les tempéatues mesuée et calculée est pondéé pa le coefficient de sensibilité en ce point. Étant donné que les coefficients de sensibilité d un capteu poche de la suface sont toujous plus gands que ceux des autes capteus, seules les mesues du capteu le moins éloigné sont éellement utiles pou l invesion. Cependant les autes ne sont pas totalement inutiles notamment pa l étude des ésidus qui peuvent founi des indications su la validité du modèle ou su la pécision des mesues. Le ésidu au i ième point de mesue et à l instant n est : Rn i = Yn i Ð Tn i (47) c est-à-die l écat ente la valeu mesuée et la valeu calculée pa le modèle (apès convegence). Nomalement ces ésidus oscillent autou de zéo avec une amplitude qui est caactéistique du buit de mesue. Si les ésidus pou tous les capteus ne sont pas centés autou de zéo, cela veut die que le modèle ne coespond pas pafaitement à la éalité, pobablement à cause d effets bidimensionnels négligés ou d impécision su les popiétés themophysiques. La méthode de spécification de fonction est la méthode de éféence, elle est nettement plus longue en temps calcul que la méthode de etou ves la suface, mais elle peut facilement ête étendue à des poblèmes multidimensionnels linéaies ou non linéaies. C est ce qui en fait son avantage [3] [5] [7] [11]. BE Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique

11 Dossie délivé pou LE PROBLÈME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR 3. Exemple d étude de faisabilité L étude des coefficients de sensibilité qui ont été intoduits dans la méthode de spécification de fonction pemet de bien compende : le ôle du paamète de cette méthode ; l impotance du pas de temps adimensionnel Dt i (1) su l invesion ; le pocessus d amplification des eeus inhéent à l invesion. Les coefficients de sensibilité indiquent la vaiation de tempéatue à l emplacement du capteu engendée pa une vaiation du flux sufacique. Ils sont donc caactéistiques du système étudié et non d une méthode paticulièe. Ainsi, bien qu ils n inteviennent pas explicitement dans toutes les méthodes de conduction invese, les indications qu ils founissent sont toujous valables. Un gand coefficient de sensibilité monte que la tempéatue vaie beaucoup au point de mesue losque le flux vaie. Une telle situation indique, indépendamment de la méthode, qu il sea facile de emonte de l effet (la vaiation de tempéatue) à la cause (la vaiation du flux sufacique). Dans la situation extême et opposée où le coefficient de sensibilité est nul, l invesion ne machea pas ca la vaiation du flux (la cause) ne povoque aucune vaiation de tempéatue (l effet). Avant de les utilise pou confote les notions intoduites dans le pemie paagaphe, nous allons monte comment ils peuvent ête calculés plus pécisément que pa la elation (38). Cela nous pemetta également de mieux pécise leu signification physique. 3.1 Calcul des coefficients de sensibilité pou un poblème linéaie Soit le poblème de conduction invese monodimensionnel linéaie suivant : T a T = t x x = l T = q () t inconnue x x = E T ( E, t) = Y () t connue x = L Ð l T = h ( TÐ T éf ) x t = T ( x, ) = T ini ( x) connue (48) (49) (5) (51) (5) dans lequel, a, la diffusivité themique du matéiau, est supposée constante. Il s agit d une paoi ayant une tempéatue initiale quelconque soumise à une densité de flux vaiable su la face x = et échangeant de la chaleu pa convection su l aute face. Le coefficient d échange convectif est supposé constant. Les coefficients de sensibilité sont les déivées de la tempéatue pa appot au flux q () t. Plaçons-nous à l instant n+1 et chechons les coefficients de sensibilité au i ième point de mesue définis pa : Tn + j Qn + j i ( qn + 1 ) i = qn + 1 (53) Au lieu d utilise l équation (38) pou appoxime les coefficients de sensibilité, nous pouvons difféentie teme à teme les équations (48), (49), (51) et (5) pa appot à veau système : Q a Q = t x x = l Q = 1 x qn + 1 x = L Ð l Q = h Q x t = Q ( x, ) = pou obteni le nou- (54) (55) (56) (57) Ce système d équations epésente une paoi dont la tempéatue initiale est nulle, soumise à un céneau de flux unitaie su la face x = et échangeant de la chaleu pa convection avec un milieu dont la tempéatue est nulle. La ésolution (analytique ou numéique) de ce système pemet donc de calcule Q (x, t), c est-à-die les coefficients de sensibilité en n impote quel point et à n impote quel instant, l instant initial t = coespondant à l instant n : Qn + j Q x i = (, jdt ) i (58) Donc Qn + j epésente la vaiation de tempéatue de la paoi, au i ième i point de mesue, engendée pa un céneau de flux unitaie, toutes les autes souces de petubations (tempéatue initiale, e condition limite) étant nulles. Qn + j i [ K ( W.m Ð )] est une fonction coissante du temps et décoissante avec l espace. L obtention des coefficients de sensibilité pa la difféentiation du système d équations qui égit le phénomène monte bien que les coefficients de sensibilité sont indépendants de l instant n. En effet si l on difféentie le système d oigine pa appot à qn pou calcule Qn + j i = Tn + j i ( qn ) qn, on obtient à nouveau les équations (54) et (55). Cela est vai ca le poblème est linéaie (tous les coefficients intevenant dans les équations (48) à (5) sont constants). Le tableau 1 donne les valeus des coefficients de sensibilité sans dimension Q + losque h = (cas d une paoi isolée) [11]. Les vaiables sans dimension sont définies pa : x + x = -- ; t + at = et Q + lq = L L L Tableau 1 Coefficients de sensibilité sans dimension d une plaque isolée su la face x + = 1 t + x + =, x + =,5 x + =,5 x + =,75 x + = 1,,1,11838,4377,14,,,,159577,35,8,8,,3,195441,3938,37,15,5,4,5676,5851,8754,7,57,5,5313,7797,15366,1879,69,6,76395,9545,374,3764,786,7,98541,1187,3158,636,1735,8,319154,19537,4486,963,37,9,338514,145644,49784,1353,551,1,35686,16118,59311,17986,7885,,55165,94679,15835,84488,61464 (59) Techniques de l Ingénieu, taité Génie énegétique BE