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1 Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice ***I Détermier u équivalet le plus simple possible de chacue des suites suivates quad ted vers +. ) arccos ) arccos 3) ch( ) 4) ( + ) 5) ) ( + ) 7) l(cos )(lsi ) 8) ( π )3/5 (arcta) 3/5 9) + ( ) argch 4 + Correctio [0055] Exercice ***I Motrer que!!. Correctio [00553] Exercice 3 ***I. Soiet u et v deux suites réelles strictemet positives. Pour N, o pose U = u et V = v. Motrer que si u v et si lim + V = +, alors U V.. Applicatio. Trouver u équivalet de = et = l(). Correctio [00554] Exercice 4 **** Soit (u ) ue suite réelle de limite ulle. Motrer que si u + u 3, alors u. A-t-o : si u + u +, alors u? Correctio [00555] Exercice 5 ***I Soit u la suite défiie par u 0 = π et, N, u + = si(u ).. Motrer que la suite u est strictemet positive, décroissate de limite ulle.. O admet que si u est ue suite de limite ulle, alors, quad ted vers +, si(u ) = u u3 + o(u 3 ). Détermier u réel α tel que la suite v = u α + uα ait ue limite réelle o ulle. E appliquat le lemme de CÉSARO à la suite (v ), e déduire u équivalet simple de u quad ted vers +. Correctio [0055] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

2 Correctio de l exercice. Tout d abord, pour, existe et est élémet de [,]. Doc, arccos existe pour tout etier aturel o ul. Quad ted vers +, ted vers et doc arccos ted vers 0. Mais alors, arccos. arccos ted vers et doc arccos. 3. ch( ) = (e + e ) e. si(arccos ) = ( ) =. 4. l( + ). = et doc, ( + ) = e l(+/) ted vers e. Par suite, ( + ) e. 5. argch existe pour et comme, pour, argch > 0, existe pour. 4 + argch = l( + ) l( + ) = l() = l + l l. Doc, argch 4 + l 4 = l.. l( + ) = l( ) l( + ) = l( ) ( + o( )) = l( ) + o(), et doc 7. ( + ) = e l( ) +o() e l( ) = e. l(cos )(lsi ) (cos )l( ) ( l )( l) =. 8. (arcta) 3/5 = ( π arcta )3/5 = ( π )3/5 ( π ( + o( )))3/5 = ( π )3/5 ( 5π + o( )), et doc 9. Tout d abord, pour, quad ted vers +, ( π )3/5 (arcta) 3/5 = ( π )3/5 ( + 5π + o( )) (π )3/5 5π ( ) =, et doc + ( ) 0, puis + ( ) ( ). + ( ) existe. Esuite, Correctio de l exercice Pour, o a Mais, pour 0,! Par suite,!! = ( )...(+) ( ) 0! = + +!!. (le produit coteat au mois les deux premiers facteurs.!! ( ). O e déduit que!! ted vers 0 quad ted vers +. Comme ted aussi vers 0 quad ted vers +, o e déduit que!! ted vers et doc que

3 !!. Correctio de l exercice 3. Soit ε > 0. Les suites u et v sot équivaletes et la suite v est strictemet positive. Doc, il existe u rag 0 tel que, pour 0, u v < ε v. Soit > 0. U V = U V V V u v 0 ( V v + u ε v ) = 0 + V ( 0 u v + ε V ) = V 0 u v + ε Maiteat, l expressio 0 u v est costate quad varie, et d autre part, V ted vers + quad ted vers +. O e déduit que V 0 u v ted vers 0 quad ted vers +. Par suite, il existe u rag > 0 tel que, pour, V 0 u v < ε. Pour, o a alors U V < ε + ε = ε. O a motré que ε > 0, N/ N, ( U V < ε.. Aisi, la suite U V ted vers quad ted vers + et doc U V. De plus, ( + ) = + + =. ( + ) = +. = Cette derière expressio ted vers + quad ted vers +. E résumé, pour, > 0, ( + ) > 0, de plus quad ted vers +, ( + ) et efi, = ( + ) ted vers + quad ted vers +. D après ), = = ( + ) = +. ( + )l( + ) l = ( + )l + ( + )l( + ) = l + + o() l. Comme = (( + )l( + ) l) = ( + )l( + ) ted vers + et que les suites cosidéres sot positives, o e déduit que l(!) = = l = (( + )l( + ) l) = ( + )l( + ) l. 3

4 Correctio de l exercice 4 Pour, posos u = ( ) l (u + u + ) = + +. O a alors + + ( ) ( l l( + ) ) = ( ) (l( + ) l) + o() ll( + ) = ( ) l( + /) ll( + ) + o() = ( ) ( + o()) ll( + ) + o() = o(). Doc, (u + u + ) = o(), ou ecore u + u + = + o( ), ou efi, u + u +. Pourtat, u est équivalet à ( ) l et pas du tout à ( u = l + ). Supposos maiteat que u + u 3 et motros que u. O pose v = u. Il s agit maiteat de motrer que v = o( ) sous l hypothèse v + v = o( ). Soit ε > 0. Il existe 0 N tel que, pour 0, v + v < ε 4. Soiet 0 et p N. v = v + v v v ( ) p (v p + v p+ ) + ( ) p+ v p+ ε 4 p + v p+ = ε 4 ε + v p+ p+ + v p+ p v + v + + v p+ Maiteat, la suite u ted vers 0, et il e est de même de la suite v. Par suite, pour chaque 0, il est possible de choisir p tel que v p+ < ε. E résumé, si est u etier doé supérieur ou égal à 0, v < ε + ε = ε. O a motré que ε > 0, 0 N/ N, ( 0 v < ε. Par suite, v = o( ) et doc u = + o( ), ou ecore u. Correctio de l exercice 5. Il est immédiat que la suite u est défiie et à valeurs das [, π ]. Plus précisémet, u 0 ]0, π ], et si pour 0, u ]0, π ], alors u + ]0,] ]0, π ]. O a motré par récurrece que, N, u ]0, π ]. Motros que pour tout réel x ]0, π ], o a six > x. Pour x [0, π ], posos f (x) = x six. f est dérivable sur [0, π ] et pour x [0, π ], f (x) = cosx. Par suite, f est strictemet positive sur ]0, π ] et doc strictemet croissate sur [0, π ]. Mais alors, pour x ]0, π ], o a f (x) > f (0) = 0. Soit N. Puisque u ]0, π ], o a u + = si(u ) < u. La suite u est doc strictemet décroissate. Puisque la suite u est d autre part miorée par 0, la suite u coverge vers u réel oté l. Puisque pour tout N, 0 < u π, o a 0 l π. Mais alors, par cotiuité de la foctio x six sur [0, π ] et doc e l, o a l = lim + u + = lim + si(u ) = si( lim + u ) = si(l). Or, si x ]0, π ], six < x et e particulier six x. Doc, l = 0. La suite u est strictemet positive, strictemet décroissate, de limite ulle. 4

5 . Soit α R. Puisque u ted vers 0 quad ted vers +, u α + = (si(u )) α = (u u3 +o(u3 )) α = u α ( u +o(u )) α = u α ( αu +o(u )) = u α αu+α et doc, u α + uα = αu+α + o(u +α ). E preat α =, o obtiet alors v = u + u = 3 + o(). D après le lemme de CÉSARO, v ted égalemet vers 3. Mais, v = ( u + u ) = ( u u ). 0 Aisi, ( ) = u u 3 + o() puis, = 0 u o() = u 3 + o(). Doc, 0 u 3, puis u 3 et efi, puisque la suite u est strictemet positive, u 3. +o(u +α ). 5

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