Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

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1 Uiversité de Cergy-Potoise Départemet de Mathématiques L MIPI - S2 205/206 Cours de Mathématiques : Polyômes et Suites - Polycopié d Exercices

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3 Chapitre : Nombres complexes Exercice a) Détermier la partie réelle et la partie imagiaire de ( + 3i)(2 5i) b) Motrer que A = ( + 2i)(2 3i)(2 + i)(3 2i) est réel c) O doe z = 3 2i Détermier les parties réelle et imagiaire de l iverse de z d) Résoudre das C les équatios ( + 2i)z 3 + 5i = 0, 2z + 3z = 5, z z 2 3 = 0 Exercice 2 a) Calculer le module et u argumet de + i 3, 2i( + i)( + i 3), 3 3 3i + i b) Motrer que ( + i) 0 = 32i c) Calculer le module et u argumet de z = + i 3 E déduire z i d) Motrer que z = si et seulemet si z = /z Exercice 3 Soit z = + i et z 2 = 3 i a) Calculer les modules et argumets de z et z 2 b) Doer la forme algébrique et trigoométrique de z z 2 c) E déduire les valeurs exactes de cos ( π 2) et si ( π 2) Exercice 4 a) Exprimer cos(2θ), si(2θ), cos(3θ) et si(6θ) e foctio de cos θ et si θ b) Liéariser cos 2 θ, si 3 θ, si 4 θ et (si 2 θ)(cos 3 θ) Exercice 5 a) Calculer les racies carrées de 7 et 8i b) Résoudre das C les équatios suivates i) z 2 2z + 5 = 0 ii) z 2 + (4 6i)z 5 4i = 0 Exercice 6 (Aales 205) O cosidère les ombres z = 2 + i2 3 et z 2 = 2 i2 3 a) Détermier les racies carrées complexes de z et de z 2 O les cherchera d abord sous forme expoetielle puis o les doera sous forme algébrique b) Résoudre das C l équatio z 2 4z + 6 = 0 Exercice 7 Calculer les racies sixièmes de l uité Exercice 8 Calculer les racies 4-ièmes de et les racies 5-ièmes de + i 3 i Exercice 9 Soiet φ R et N 3

4 a) Résoudre das C l équatio z 2 2 cos(φ)z + = 0 b) E déduire les solutios de l équatio z 2 2 cos(φ)z + = 0 Exercice 0 a) Motrer que l équatio z 3 + 9iz 2 + 2(6i )z 3(4i + 2) = 0, (E) admet ue solutio réelle et ue solutio imagiaire pur, puis résoudre (E) b) Motrer que les poits dot les affixes sot les solutios de (E) sot aligés Exercice O ote j = e i 2π 3 a) Motrer que les racies troisième de l uité sot, j et j 2 b) Motrer que + j + j 2 = 0 Soiet A, B et C trois poits disticts du pla d affixe respective a, b et c c) Motrer que le triagle ABC est équilatéral si et seulemet si c a b a { e i π } 3, e i π 3 d) E déduire que ABC est équilatéral si et seulemet si a, b et c vérifiet a + bj + cj 2 = 0 ou a + bj 2 + cj = 0 Exercice 2 Calculer le module et u argumet des ombres complexes suivats : ie iθ, + e iθ, e iθ + e iα, (θ, α [0, 2π]) Exercice 3 Vérifier que pour tous complexes z, z o a a) zz + zz = 2Re(zz ) b) z Re(z) Re(z) et z Im(z) Im(z) Exercice 4 Soit ω ue racie -ième de l uité différete de et S = (k + )ω k a) Calculer ω k k=0 b) E déduire que S = kω k k=0 c) Calculer ωs et e déduire la valeur de S Exercice 5 a) Résoudre das C, z 5 = 0 et représeter les solutios das le pla complexe O pose u = e 2iπ 5 4 k=0

5 b) Motrer que + u + u 2 + u 3 + u 4 = 0 ( ) ( ) 2π 4π c) Vérifier que u + u 4 = 2 cos et u 2 + u 3 = 2 cos 5 5 ( ) 2π d) E déduire que cos est solutio de l équatio 4x 2 + 2x = 0, puis calculer les ( 5) ( ) 2π 4π valeurs exactes de cos et cos 5 5 Exercice 6 Représeter das le pla complexe les esembles suivats : a) A = {z C z = 3} b) A 2 = {z C arg(z) = π/4 + 2kπ, k Z} c) A 3 = {z C z z = 2} d) A 4 = {z C z = z i } e) A 5 = {z C z + 2i = 3} Exercice 7 a) Calculer les racies carrées de 2i, 5 2i et 3 + 4i b) Résoudre das C l équatio z 4 (5 4i)z 2 2(5i + 2) = 0 Exercice 8 a) Quels sot les ombres complexes dot le carré est égal au cojugué b) Détermier les ombres complexes o uls z tel que z, /z et z aiet le même module Chapitre 2 : Polyômes à coefficiets réels ou complexes Exercice Soiet A, B K[X], K = R ou C Motrer que si A divise B et B divise A alors il existe k K tel que A = kb De tels polyômes sot dits associés Idicatio : utiliser le degré Exercice 2 Effectuer les divisios euclidiees de P par Q suivates a) P = X 3 + 3X 2 + 2X et Q = X 2 X b) P = 3X 5 + 4X 2 + et Q = X 2 + 2X + 3 c) P = 3X 5 + 2X 4 X 2 + et Q = X 3 + X + 2 d) P = X 4 X 3 + X 2 et Q = X 2 2X + 4 Exercice 3 Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m R le reste de la divisio euclidiee de P = X 6 mx 4 + (m 2 + 4)X 2 2 par Q = X est-il R = 5? 5

6 Exercice 4 Exprimer le reste de la divisio euclidiee d u polyôme P par X a, puis par (X a) 2 Exercice 5 Soiet a b deux réels Motrer que le reste de la divisio d u polyôme P (b)(x a) + P (a)(x b) P R[X] par (X a)(x b) est R = Idicatio : quel peutêtre le degré de ce reste b a? Exercice 6 a) Motrer que si Q divise P et si a est racie de Q alors a est racie de P b) Motrer que si a,, a k sot des racies distictes de P alors (X a ) (X a k ) P Exercice 7 Soit Motrer que Q = (X ) 2 divise P = X + ( + )X + et détermier le quotiet de P par Q Exercice 8 Motrer que est racie simple de P = (X ) 4 (X + 3) 4 Même questio pour Q = (X ) 2 (X + 3) 2 où N Exercice 9 a) À quelle coditio sur les paramètres a, b, c C le polyôme P = ax2 + bx + c a-t-il ue racie multiple das C? b) Même questio pour Q = X 3 + px + q avec p, q C Exercice 0 a) Soiet A, B K[X] et A = BQ + R la divisio euclidiee de A par B Motrer que P est u diviseur commu de A et B si et seulemet si c est u diviseur commu de B et R Applicatio : o veut motrer que P = 36X 4 + 2X 3 X 2 2X + R[X] possède deux racies doubles et les détermier b) Motrer que si a et b sot racies doubles de P alors (X a)(x b) divise P et P c) Effectuer la divisio euclidiee de P par P E déduire que les seules valeurs possibles de a et b sot 3 et 2 d) Coclure Exercice Motrer que, quelque soit N, le polyôme P = + X! + X2 2! possède racies distictes das C Exercice 2 Factoriser das R et das C les polyômes X 3 +, X 4 +, X 6 +, X 8 + X X! Exercice 3 (Aales 205) Pour (a, b) R 2, o cosidère le polyôme P (X) = X 4 + 3X 3 + ax 2 + 3X + b a) A quelle coditio sur (a, b) le ombre est-il racie du polyôme P? 6

7 b) Calculer P Motrer que est racie double de P si et seulemet si a = 4 et b = c) E déduire la factorisatio e produits de facteurs irréductibles de X 4 +3X 3 +4X 2 +3X+ das C et das R Idicatio : o pourra effectuer la divisio euclidiee de X 4 + 3X 3 + 4X 2 + 3X + par (X + ) 2 = X 2 + 2X + Exercice 4 Effectuer la divisio euclidiee de X + X + par X 2 + X + a) Pour = 2, 3, 4, 5, 6 b) Pour N quelcoque Exercice 5 O souhaite détermier les polyômes P tels que (X +3)P (X) = XP (X +) a) Motrer que si a 0 est racie de P alors a + aussi, et que si a 2 alors a aussi b) E déduire les racies de P, puis P Idicatio : que peut-o dire a priori sur le ombre de racies d u polyôme? Exercice 6 Soit N et α R Décomposer le polyôme X 2 2 cos(α)x + e produit de polyômes irréductibles das C[X] puis das R[X] Chapitre 3 : Suites de ombres réels Exercice Écrire à l aide de quatificateurs les propriétés suivates : a) La suite u est positive à partir d u certai rag b) La suite u est costate à partir d u certai rag Commet s appelle ue telle suite? c) La suite u est croissate à partir d u certai rag Exercice 2 Ue suite arithmétique de raiso r est-elle croissate? décroissate? costate? Mêmes questios pour ue suite géométrique de raiso r Exercice 3 Soiet u et v deux suites borées et λ R Motrer que u + v et λu sot borées Exercice 4 Motrer qu ue suite u est majorée, respectivemet miorée, si et seulemet si elle est majorée, respectivemet miorée, à partir d u certai rag Exercice 5 Ue suite arithmétique de raiso r est-elle majorée? miorée? borée? Mêmes questios pour ue suite géométrique de raiso r Exercice 6 Soiet a, b R, a, et (u ) la suite défiie par récurrece par la relatio u + = au + b, ie ue suite arithmético-géométrique O va motrer que, pour tout N, u = a u 0 + b a a () 7

8 Méthode a) Démotrer () e utilisat u raisoemet par récurrece Méthode 2 b) Détermier deux ombres l et q (que l o exprimera à l aide de a et b) tels que pour tout o ait u + l = q(u l) c) Que peut-o dire de la suite v = u l? d) Exprimer v e foctio de et retrouver () Exercice 7 Doer u exemple de suite : a) Croissate et majorée b) Ni croissate, i décroissate c) Ni majorée, i miorée d) Croissate, i strictemet croissate à partir d u certai rag i statioaire Exercice 8 Écrire la défiitio de la suite u est divergete Exercice 9 Motrer, e utilisat la défiitio, que lim = 3 2 Exercice 0 Motrer e utilisat la défiitio que si, N, u 0 et u a, alors a 0 et u a Exercice Motrer e utilisat la défiitio que ( ) ted vers + Exercice 2 Motrer que si pour tout N u > 0 et si u 0 alors u + Exercice 3 Étudier la covergece des suites de termes gééraux ( suivates ) a) g) si2 cos 3 + l) l, + b) h) E(x) 2 2 +, x R, m) 2 + ( ) c) 2 + i) cos(θ) 2 +, ) ( ) + d), j) e, ( ) 2π + e) k) o) si, 3 2 f) 5 2 p) ( π ) ( + ), 2 si 2 Exercice 4 Pour tout N, o pose u = Motrer que la suite u est covergete et calculer sa limite (Idicatio : trouver u ecadremet et utiliser le théorème des gedarmes) 8

9 Exercice 5 Soiet u 0 et v 0 deux réels tels que u 0 < v 0 O défiit les suites u et v par u + = u + v et v + = u + 2v Motrer que, pour tout N, u < u + < v + < v 2 3 E déduire que ces deux suites coverget et ot la même limite Exercice 6 Soiet a et b les suites défiies par 0 < a 0 < b 0, et pour tout N par a + = a b et b + = a+b 2 a) Motrer que pour tout N o a 0 < a < b b) Motrer que a est croissate et b est décroissate c) E déduire que les suites a et b coverget d) Motrer que les suites a et b ot même limite Exercice 7 Soiet u 0 et v 0 deux ombres tels que 0 < u 0 < v 0 O défiit les suites u et v par u + = 2u v et v + = u + v pour tout N u + v 2 a) Motrer que pour tout N o a 0 < u < v O pourra raisoer par récurrece b) Motrer que la suite u est croissate et que la suite v est décroissate c) E déduire que les suites u et v coverget O ote l la limite de u et l celle de v d) Motrer que l = l e) Motrer que la suite (u v ) est costate E déduire la valeur de l e foctio de u 0 et v 0 f) O pred u 0 = et v 0 = 2 i) Calculer v, u, v 2 puis u 2 sous forme de fractios irréductibles Que vaut v 2 u 2? ii) E déduire ue valeur approchée de 2 à 0 2 près Justifier votre répose Exercice 8 Pour chacu des esembles suivats : dire s il admet ue bore supérieure, ue bore iférieure, u plus grad élémet, u plus petit élémet, et si oui les doer a) A = ], ] c) C = ]6, 22[ {2} [00, + [ e) E = { si ( } x), x ]0, π[ b) B = [, 0] ], 2] d) D = {si(x), x ]0, π[} f) F = {( ) +, N } Exercice 9 Si A et B sot deux parties de R, o défiit A + B = {a + b a A, b B} a) Soiet A = [0, [ et B = {} Détermier A B et A + B b) O suppose que A et B admettet chacu u plus grad élémet Motrer que A + B admet u plus grad élémet et que max(a + B) = max A + max B O suppose que A et B sot majorées c) Motrer que A B et A + B sot majorées d) Motrer que sup(a + B) sup A + sup B puis que sup(a + B) = sup A + sup B e) Détermier sup(a B) f) Motrer que sup{si(x) + cos(x) x R} sup{si(x) x R} + sup{cos(x) x R} { + cos Exercice 20 Soit A = N } 9

10 a) Motrer que la suite de terme gééral + cos coverge et doer sa limite? b) Motrer que A admet u maximum c) Calculer if A A admet-il u miimum? Exercice 2 Pour chacue des affirmatios suivates dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la répose) a) Si pour tout p N, u 2p est positif et u 2p+ est égatif, alors la suite u diverge b) Si lim u = alors la suite u coverge + c) Si la suite (u ) est borée alors la suite u coverge d) Si u est croissate, alors u ted vers + e) Ue suite o majorée ted vers + f) Si u alors la suite u est positive partir d u certai rag 2 g) Toute suite mootoe est covergete h) Toute suite croissate et majorée est borée i) Si la suite u est décroissate et N u 0, alors u 0 j) Ue suite à termes positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag k) Si N, u < v et v 0 alors u 0 l) Si la suite u l alors u + u 0 m) Si la suite ( u ) coverge alors la suite (u ) coverge ) Si les suites u et v diverget alors la suite u + v diverge o) Si les suites u et v diverget alors la suite uv diverge p) Si la suite u coverge et la suite v diverge alors la suite u + v diverge q) Si la suite u coverge et la suite v diverge alors la suite uv diverge r) Pour toute suite v, si u 0 alors u v 0 s) Si u v 0 alors soit u 0 soit v 0 (Idicatio : cosidérer l exemple u = + ( ), v = ( ) ) t) Si u l et N, u > 0 alors l > 0 u) O e modifie pas le fait qu ue suite coverge (ou o) e modifiat u ombre fii de ses termes v) Ue suite covergete dot tous les termes sot des etiers est costate à partir d u certai rag Exercice 22 Représeter graphiquemet chacue des suites défiies par récurrece cidessous à l aide de la toile d araigée a) u 0 = 0 et u + = + u 2 c) u 0 = et u + = u + b) u 0 = 0 et u + = 2u + 3 d) u 0 =,, 4 et u + = u u2 4 0

11 Exercice 23 O cosidère la foctio f défiie sur [0, + [ par f(x) = 2 2 x+ L objectif est d étudier le comportemet de la suite (u ) N défiie par u + = f(u ), N, et où u 0 [0, + [ est doé a) Etudier rapidemet la foctio f et tracer so graphe b) Détermier les poits fixes de f c) Représeter à l aide d ue toile d araigée les 4 premiers termes de la suite pour les valeurs de u 0 suivates : /4, /2, 2 et 5 Cojecturer le comportemet de la suite (u ) d) Etudier précisémet la suite (u ) das les cas u 0 = 0 et u 0 = e) O suppose ici que u 0 ]0, [ i) Motrer par récurrece que, pour tout N, u ]0, [ ii) Motrer par récurrece que la suite (u ) est croissate iii) E déduire que la suite coverge et détermier sa limite f) O suppose fialemet que u 0 > i) Motrer par récurrece que, pour tout N, u > ii) Motrer par récurrece que la suite (u ) est décroissate iii) E déduire que la suite coverge et détermier sa limite Exercice 24 O s itéresse à l évolutio d ue populatio soumise à u certai mode de prédatio Celle-ci est doée par la suite (u ) N défiie par u 0 > 0 et u + = 500u u 2 O otera f la foctio f(x) = 500x x 2 a) Vérifier que, pour tout N, u > 0 Commet peut-o iterpréter ce résultat? b) Détermier les poits fixes de f c) Motrer que f(x) > x si et seulemet si x ]00, 400[ d) Etudier rapidemet la foctio f et tracer so graphe e) À l aide d ue toile d araigée cojecturer le comportemet limite de la suite (u ) selo les valeurs de u 0 (O distiguera selo la valeur de u 0 par rapport à 00 et 400) O souhaite maiteat démotrer le résultat cojecturé à la questio précédete f) Etudier les cas u 0 = 00 et u 0 = 400 g) O suppose que u 0 < 00 Motrer que la suite (u ) est décroissate (o pourra utiliser la questio c)), puis qu elle coverge Quelle est sa limite? h) O suppose que u 0 ]00, 400[ i) Motrer par récurrece que, pour tout N, u ]00, 400[ ii) E déduire que la suite (u ) est croissate, puis qu elle coverge Quelle est sa limite? i) O suppose efi que u 0 > 400 i) Motrer par récurrece que, pour tout N, u > 400 ii) E déduire que la suite (u ) est décroissate, puis qu elle coverge Quelle est sa limite?

12 Exercice 25 Soit (u ) N la suite défiie par récurrece par u 0 =, u + = + u a) Motrer par récurrece que pour tout N o a u 2 b) Détermier f : R + R telle que u + = f(u ) Étudier f et tracer so graphe c) Motrer que f e possède qu u seul poit fixe l que l o détermiera d) Représeter graphiquemet la suite u à l aide de la toile d araigée e) Motrer que pour tous x, y > 0 o a f(y) f(x) = y x, et e déduire que pour tout xy 2 N o a u + l + 5 u l f) E déduire que u l Exercice 26 (Aales 205) O souhaite étudier, e foctio des valeurs de u 0, la suite défiie par récurrece ( ) 2 u u + = u exp, u 0 0, 4 où exp désige la foctio expoetielle Etude d ue foctio a) Doer la foctio f défiie sur [0, + [ telle que u + = f(u ), et vérifier que pour tout N o a u 0 b) Motrer que la foctio f possède exactemet deux poits fixes que l o détermiera c) Etudier rapidemet la foctio f (dérivée, ses de variatio, limite e + ) et tracer so graphe d) Représeter à l aide d ue toile d araigée les termes u 0, u, u 2 et u 3 pour chacue des valeurs de u 0 suivates :, 2, 4, 5 et 8 2 Etude de la suite (u ) lorsque 0 u 0 4 a) Etudier la suite (u ) lorsque u 0 = 0 et lorsque u 0 = 2 b) O suppose das ce qui suit que u 0 0 et u 0 2 i) Justifier que pour tout N o a 0 u 4 ii) Motrer que si 0 < u 0 < 2 la suite est strictemet croissate, et que si 2 < u 0 < 4 la suite est strictemet décroissate Idicatio : quel est le ses de variatio de la foctio f sur [0, 4] iii) E déduire que pour tout u 0 la suite coverge et détermier sa limite 3 Etude de la suite (u ) lorsque u 0 > 4 a) Motrer que 0 < u < 4 b) E utilisat les résultats de la questio 2 détermier le comportemet de la suite (u ) lorsque ted vers l ifii Exercice 27 Étudier les suites défiies par récurrece suivates 2

13 a) u + = u 2 + 2, u 0 R b) u + = + u, u 0 = 0 c) u + = si u, u 0 R O rappelle que pour tout x R o a si(x) x ( d) u + = u 2 + u ), u 0 > 0 Exercice 28 Pour chacue des suites défiies par récurrece suivates, exprimer u e foctio de a) u 0 =, u = 5, u +2 = 3u + + 4u b) u 0 =, u = 3, u +2 = 4u + 4u c) u 0 =, u =, u +2 = u + u Exercice{ 29 O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par récurrece par u 0 = u+ = 3u v 0 = et + 2v, v + = u + 2v Méthode a) Détermier deux réels a et b tels que v +2 = av + + bv pour tout N b) E déduire l expressio de v e foctio( de ), puis celle de u u Méthode 2 Pour tout N o pose X = c) Motrer qu il existe ue matrice A M 2 (R) telle que pour tout o ait X + = AX d) Motrer par récurrece que pour tout o a X = A X 0 ( ) 2 e) Soit P = Justifier que P est iversible puis calculer P et P AP f) Calculer (P AP ) de deux faços différetes Détermier A g) Exprimer u et v o foctio de Exercice 30 Motrer que si ue suite u a ses deux suites extraites (u 2 ) et (u 2+ ) qui coverget et ot la même limite l alors la suite u coverge vers l v Exercice 3 Soit (u ) ue suite telle que les suites extraites (u 2 ), (u 2+ ) et (u 3 ) coverget Motrer que (u ) coverge (Idicatio : faire iterveir les suites extraites (u 6 ) et (u 6+3 ) ) x Exercice 32 Soit x R fixé, l objectif de cet exercice est de motrer que lim = 0 O! ote u = x! u + a) Motrer que, si x 0, lim = 0 Pourquoi a-t-o supposé x 0? u b) E déduire que, quelque soit x R, il existe 0 N tel que pour tout 0 o a u + 2 u 3

14 c) Motrer que pour tout 0 o a u 2 0 d) Coclure 2 u 0 x k Exercice 33 Soit x R fixé O cosidère la suite u de terme gééral u = O va k! k=0 motrer que u coverge a) O suppose das cette questio que x 0 i) Motrer que la suite u est croissate 0 x k ii) E écrivat u comme u = k! + xk k! (pour 0) et e utilisat le c) de k=0 k= 0 ( ) l Exercice 32, motrer que pour tout 0 o a u u 0 + 2u 0 ( ) E déduire que la suite u est majorée iii) Coclure b) O suppose cette fois que x < 0 O ote v = u 2 et w = u 2+ i) Motrer que la suite v est décroissate à partir d u certai rag ii) Motrer que la suite w est croissate à partir d u certai rag iii) Motrer que les suites v et w coverget vers ue même limite iv) Coclure (o pourra utiliser l Exercice 30) NB o a lim u = e x Exercice 34 Soit a ue suite de réels positifs telle que : m N, N, a m+ a m + a a) Soit p N, motrer par récurrece que pour tout N, a p a p O rappelle que pour deux etiers aturels o uls et p quelcoques, il existe deux etiers aturels q et r tels que = pq + r et 0 r p b) Motrer que c) E déduire que et doc que N, p N, q N, r {0,, p }, a qa p + a r N, p N, r {0,, p }, N, p N, a a p p + a r, a a p p + max{a 0,, a p } d) Justifier que l esemble { a k k k N } admet ue bore iférieure qu o otera λ Das les deux questios qui suivet, ε désige u réel strictemet positif fixé 4

15 e) Motrer qu il existe p N tel que a p p < λ + ε 2 f) E déduire que, pour ce p, o a N, λ a < λ + ε 2 + max{a 0,, a p } a g) Motrer que lim + = λ Exercice 35 Soit (u ) ue suite covergete vers l Pour tout N, o pose v = + 0 u p (v est la moyee de Césaro de u) Motrer que la suite v coverge vers l Idicatios : traduire la covergece de la suite u vers l : ε > 0, 0 N, puis découper la somme qui défiit v avec l etier 0 itroduit das la défiitio e deux sommes et efi étudier la limite de chacue des 2 sommes Exercice 36 Soit A R O rappelle que A est dese das R si pour tous x, y das R avec x < y il existe a A tel que x < a < y Motrer qu u esemble A est dese si et seulemet si tout élémet de R est la limite d ue suite d élémets de A, c est-à-dire pour tout x R il existe ue suite (a ) A N telle que a x Chapitre 4 : Séries umériques Exercice Pour chacue des séries umériques suivates, calculer les sommes partielles, e déduire la covergece des séries et calculer leur somme a) 2 5 b) 2 ( + ) c) ( ) + 3 l Exercice 2 Soit q R Calculer la somme partielle d idice de la série de terme gééral q, 0 E déduire que cette série coverge si et seulemet si q < Das ce cas calculer sa somme aisi que le reste d idice Exercice 3 O pose S = a) Motrer que 3 S = + j= k=0 k 3 k j 3 j b) E déduire la valeur de S 3 S c) E déduire que la série k coverge et calculer sa somme 3k Exercice 4 Doer l exemple d ue suite (u ) qui ted vers 0 et telle que la série u diverge 5

16 Exercice 5 O cosidère les suites de terme gééral u =, v = + 3, w = + 2 et x = a) Motrer que u w et que v x b) Motrer que les suites de terme gééral u + v et w + x e sot pas équivaletes Exercice 6 Détermier la ature des séries de terme gééral suivat e comparat celui-ci à où α R est à préciser α a) a = (2 + 3)( + 7) d) d = g) g + 2 = b) b = 3 + ( ) + c) c = 2 ( + l ) e) e = + f) f = 2 ( l ) h) h = 2 + cos + 92 i) i = + 2( 2 + ) Exercice 7 Détermier les valeurs des paramètres réels α et β pour lesquels la série α + β coverge Exercice 8 (Séries de Bertrad) Soiet α et β deux réels O cherche à étudier la ature de la série u où u = α l β a) Si α >, e posat γ = + α, et e comparat u et v =, motrer que la série 2 γ u coverge b) Si α <, e posat γ = + α 2 u diverge c) Si α = et β = motrer que pour tout 2 o a que la série u diverge d) Si α = et β <, motrer que la série u diverge e) Si α = et β >, motrer que pour tout 3 o a, et e comparat u et v =, motrer que la série γ + l l β x l x que la série u coverge NB : Pourquoi a-t-o supposé 2 et 3 das les questios c) et e)? Exercice 9 Détermier la ature des séries de terme gééral suivat ( a) a = e ) 2 ( ) ( ) c) c = si e) e = cos ( ) 2 ( ) + + l b) b = l 2 d) d + = f) f = cos 2 6 dx E déduire dx E déduire x l β x ( )

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