TD 16 Loi de la quantité de mouvement

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1 Mécanique I TPC TD 6 Loi de la quantité de mouvement Eercice Mouvement sur un plan incliné Un solide de masse m=5kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle α =5 par rapport à l'horiontale. Il est entraîné à vitesse constante par un câble faisant un angle β =0 avec la ligne de plus grande pente du plan incliné (g = 9,8 m.s - ).. Quelle relation vectorielle eiste-t-il entre les forces appliquées?. Déterminer par projection de la relation du. sur des aes bien choisis a. la tension du fil de traction. Application numérique. b. la réaction du plan incliné. Application numérique. Eercice la poussée d Archimède Un objet ancien en étain de volume V = L repose au fond d une épave. La poussée d Archimède est une force verticale ascendante dont la valeur est égale au poids du fluide déplacé. Données : Masse volumique de l eau : ρ0 =,0.0 3 kg. m -3 ; Masse volumique de l étain : ρ = 5, kg. m -3 ;. Faire l inventaire des forces qui s appliquent sur l objet.. Calculer le poids de l objet et la poussée d Archimède qui s appliquent sur l objet. 3. En déduire la réaction que l épave eerce sur l objet. 4. Pour faire remonter l objet, on accroche à l objet un ballon gonflé d air. A la profondeur où se situe l épave, on peut considérer que la masse volumique de l air emprisonné vaut kg. m -3. Quel doit être le volume du ballon pour que la remontée de l objet soit possible? Eercice 3 Feu d artifice On étudie le lancement de deu fusées d'un feu d'artifice. I. Un feu d'artifice non perturbé Deu fusées sont tirées simultanément du sol. La fusée A part du point O, origine du repère cartésien à l'instant t = 0, avec la vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l'horiontale. La fusée B est lancée du point P (abscisse P) avec une vitesse verticale v. Les deu fusées ont la même masse m.

2 On néglige les frottements de l'air. Données : v0 = 45 m.s -, v = 50 m.s - ; g = 9,8 m.s - ; P = 5 m ; m = 300 g y 5 m 40m α v O P barrière de sécurité. Établir les équations horaires B(t), yb(t) et A(t), ya(t) du mouvement de chacune des fusées.. En déduire l'équation ya = f(a) de la trajectoire de la fusée A. Quelle est la nature de sa trajectoire? 3. Les deu fusées eplosent au bout de te = 4 secondes. Déterminer l'angle α 0 pour que l'eplosion de la fusée ait lieu à la verticale du point P. 4. La fusée A est lancée avec cet angle α 0, quelle distance d sépare les deu fusées au moment de l'eplosion? 5. Si la fusée A n'eplose pas, les spectateurs se trouvant juste derrière la barrière de sécurité sont-ils en sécurité? II. Un feu d'artifice perturbé par le vent Le soir du feu d'artifice, un vent perturbe le lancer des fusées. 5. On modélise la force du vent par un vecteur force horiontal, dirigé de la gauche vers la droite et de norme constante Fv = N.. La fusée A est lancée avec l'angle α 0 déterminé au I.3. et eplose toujours au bout de te = 4 secondes. Déterminer numériquement ses coordonnées lors de l'eplosion.. Les spectateurs sont-ils en danger? 6. III. En tenant compte des frottements de l air Aucun vent ne perturbe le lancement des fusées. Par contre, on tient compte de la force de frottement fluide, que l on modélise par une force de la forme f = -k v avec v la vitesse de la fusée. On prendra k = 0, S.I.. Faire une analyse dimensionnelle de k et donner ses unités S.I. (unités de base du système international). 7.. Etablir les équations horaires du mouvement de la fusée A. 3. Quelles sont ses coordonnées au moment te où elle eplose (elle est lancée avec l angle α déterminé au I.3.)? Application numérique. 0 Eercice 4 Chute d'un alpiniste urbain (Les Eperts, Manhattan) Au début d'un épisode des Eperts, Manhattan, on voit un alpiniste (désigné par la suite par système A, considéré comme un point matériel) escalader un gratte-ciel de plus de 00 étages. Malheureusement pour lui, arrivé au 34 ème étage, il tombe et atterrit lourdement sur la terrasse du 6 ème étage, où il meurt sur le coup. Les Eperts arrivent sur les lieu et leur chef, Mac Taylor dit : "il a pu tomber d'asse haut pour atteindre la vitesse maimale". A. Chute verticale sans frottements

3 On commence par étudier la chute verticale du système A, de masse m, sous la seule action de son poids. On négligera donc dans cette partie les frottements de l'air. On considère qu'à t = 0, le système A a une vitesse initiale v0 nulle et qu'il est au point O à une hauteur H au-dessus de la terrasse du 6 ème étage. On donne g = 9,8 m.s -. Un étage fait h = 3 m de haut. étage 34 O système A à t = 0 étage 6 O H terrasse Le schéma n est pas à l échelle. Déterminer numériquement la hauteur H.. Déterminer la vitesse v de A au point O en fonction de g et H. Application numérique. sol B. Chute verticale avec frottements L'étude précédente montrerait que plus le système A tombe de haut, plus sa vitesse d'impact est grande, sans tendre vers une limite, ce qui contredit l'affirmation de Mac Taylor de "vitesse maimale". Mais Mac Taylor sait (car c'est un Epert) qu'en fait le système A, en plus de son poids, va être soumis à des frottements de l'air, que l'on peut modéliser par une force =- (proportionnelle au carré de la vitesse). étage 34 O système A à t = 0 étage 6 O H terrasse sol Mac Taylor sait de plus que la vitesse maimale de chute d'un homme dans l'air (aussi appelée vitesse limite) est vlim = 50 m.s -. Les conditions initiales sont bien entendu les mêmes que dans la partie II-A. 3. Que vaut l'accélération de A quand A a atteint sa vitesse limite? En déduire, en écrivant le Principe Fondamental de la Dynamique, mais sans essayer de résoudre d'équation différentielle, l'epression de vlim en fonction de m, g et λ. 4. En déduire la valeur de λ (on donnera son unité en fonction des unités de base du Système International) pour le système A (dont la masse est m = 70 kg). 5. Pour résoudre l'équation différentielle donnée par le PFD, il faut faire quelques manipulations mathématiques. du λ On admettra qu'en posant u = v, u est solution de l'équation différentielle + u = g. d m H0 En déduire que u( ) = vlim e où on aura posé une hauteur caractéristique H0 en fonction de m et λ. 6. En déduire la valeur de la vitesse v de A au point O avec ce modèle. 7. Le sommet du bâtiment étant à 366 m au-dessus de la terrasse, quelle aurait été la valeur de la vitesse atteinte par A au point O si A était tombé du sommet du bâtiment sans vitesse initiale? On peut ainsi considérer (à moins de 3% près) que la vitesse limite a bien été atteinte et que Mac Taylor avait raison : si A était tombé de tout en haut, il aurait pu atteindre (enfin presque) la vitesse maimale. C. Mouvement parabolique (sans frottements) 3

4 Une fois arrivé en O, l'impact est tellement violent qu'une partie B de A (on considérera B comme un point matériel de masse mb) est epulsée et va suivre un mouvement parabolique (cf. ci-contre). On considérera que B part du point O avec une vitesse v = 0 m.s - et avec un angle α avec l'horiontale. B atterrira à D = 30 m plus loin et à H = 5m plus bas (le re-de-chaussée est l'étage ), où B sera trouvé par les Eperts. étage 6 v O terrasse α On négligera à nouveau dans cette partie les frottements de l'air. 8. Ecrire les équations différentielles en et en du mouvement de B (attention, l'ae des est à présent vers le haut). ur ur O, e, e. 9. En déduire l'équation de la trajectoire = f() dans le repère ( ) 0. Donner l'équation littérale dont α est solution, faisant intervenir H, D, g, v et bien sur α.. En se rappelant que tan α cos α = +, montrer que tanα est solution d'une équation du second degré de la forme a tan α + b tanα + c = 0. On donnera les valeurs numériques de a, b et c.. Résoudre l'équation précédente et donner la valeur de l'angle α. H D B sol Eercice 5 Un pendule simple non amorti (eercice clé : pendule simple) On considère un point matériel M de masse m accroché à un point fie O par l'intermédiaire d'un fil inetensible de O longueur l et de masse nulle. L'ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre g = g. u (avec g = 9,8 m.s - ), u étant un vecteur unitaire de l'ae O. On note l'angle : θ = (O,OM ) = ( u,u) où u est un vecteur unitaire colinéaire à OM. On néglige les frottements. On lâche la masse d un angle θo sans vitesse initiale. θ(t) l M y. Quelle base de projection sera-t-il judicieu d utiliser? Justifier votre réponse et représenter les vecteurs unitaires sur le schéma.. Déterminer l équation du mouvement par projection du PFD dans la base choisie. 3. Ces oscillations sont-elles ce qu on appelle des oscillations harmoniques? Justifier. 4. Le pendule s arrête-t-il? Justifier. Eercice 6 Masse au bout d'un ressort vertical (eercice clé : système masse-ressort) Soit un solide matériel M (de masse m) qui se déplace verticalement. M est relié à un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos l0. On notera la position de M sur cet ae. On considérera le référentiel lié au sol comme galiléen et on considérera qu'il n'y a aucun amortissement. Données: accélération de la pesanteur: g = 9,8m.s - ; k = 0N.m - ; l0 = 0cm; m = 00g. 4

5 O M. Déterminer la longueur du ressort à l'équilibre. Application numérique. A t = 0, le ressort a une longueur l0 et on lâche M sans vitesse initiale.. Déterminer l'équation différentielle qui régit les mouvements de M. 3. Déterminer alors (t) en prenant comme origine de l'ae des celle indiquée sur le schéma. 4. Avec ces conditions initiales, M peut-il remonter jusqu'en O? Justifier qualitativement votre réponse (on ne demande aucun calcul). Eercice 7 Glissement sans frottements sur une demi-jante circulaire (mouvement circulaire, utilisation des coordonnées polaires) Un point matériel de masse m, placé initialement en M0 et lâché sans vitesse (v0=0), glisse sans frottements sur un rail circulaire de rayon r. La position de M est repérée par l angle polaire ( u, ur ) y M0 =θ. M u θ u r θ O r On note R= Ru r la réaction eercée par le support sur le point matériel.. Eprimer R en fonction de m,g, θ et de la vitesse angulaire & θ. Etablir l équation θ & & = C cosθ, C étant une constante à préciser.. Résoudre cette équation en multipliant les deu membres par dθ=θ & dt. En déduire & θ en fonction de θ puis R en fonction de θ. 3. Le point M quitte le rail pour un angle limite l θ que l on calculera. Eercice 9 Lois de Kepler. Représenter sur un schéma la force eercée par la Terre sur la Lune 5 F T L, puis la force eercée par la Lune sur la terre F L. T mm. L epression de la force d attraction gravitationnelle est F = G u avec G = 6, S.I., m et d M masse des deu corps en interactions, d distance entre les centre de masse des deu corps. a. Donner l unité de G. b. Calculer la norme de la force d intéraction dans le cas considéré. Données : masse de la Lune : m = 7,35.0 kg ; masse de la terre : M = 5, kg ; distance Terre Lune d = kms 3. En utilisant les lois de Newton, et en supposant que la Lune a un mouvement de rotation circulaire et uniforme autour de la Terre

6 a. Donner l epression de la vitesse v de la Lune en fonction de G, M et d. T T b. Retrouver la troisième loi de Képler : = cte (le rapport 3 3 ne dépend que de l astre attracteur). d d Eercice 0 Portait de phase On étudie le mouvement d une balle, assimilable à un point matériel libre, dans le référentiel terrestre galiléen. Sa trajectoire est rectiligne, suivant la verticale du lieu O orientée vers le haut. On donne la trajectoire de phase ci-dessous : en fonction de. les graduations sont en mètre pour et en mètre par seconde pour. Décrire le plus précisément possible le mouvement de la balle et ce que l on peut en déduire sur les forces qu elle subit. 6

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