L interaction entre matière et rayonnement, des masers aux lasers

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1 L interaction entre matière et rayonnement, des masers aux lasers Chapitre 6 Albert Einstein, Charles Townes, né en 1915

2 Comment atomes et molécules interagissent avec le rayonnement Approche heuristique d Einstein en 1917 pour décrire l interaction entre atomes (ou molécules) et le rayonnement absorption, émission spontanée, émission stimulée Le principe des amplificateurs de rayonnement et des oscillateurs masers et lasers Le formalisme dont nous disposons va nous permettre de décrire complètement l interaction entre une molécule et un champ cohérent absorption & émission stimulée En revanche, nous ne pourrons pas décrire quantitativement l émission spontanée, qui nécessite de traiter quantiquement le champ électromagnétique.

3 1. Emission spontanée & absorption : le problème d Einstein

4 L émission spontanée Atome, molécule, électron dans un puits quantique,, dont les niveaux d énergie sont repérés par l indice n Energie E 3 E i 2 i Ĥ n i = E n n i E 1 : état fondamental Quand on prend en compte le couplage de ce système au champ électromagnétique, les états excités ne sont généralement pas stables. 2 i 2 i + photon d énergie E 2 -E 1

5 Evolution par émission spontanée La retombée sur l état fondamental est caractérisée par la durée de vie τ ou encore par le coefficient A = 1/τ 2 i 1 Occupation de 2 i 0 temps Processus aléatoire, décrit par la probabilité dp que le processus arrive entre t et t+dt, sachant qu il ne s est pas produit entre 0 et t : dp = A dt Pour un grand nombre d atomes, on trouve alors la loi exponentielle : A l instant initial, N atomes préparés dans l état 2 i dn 2 dt = AN N 2 /N e At temps

6 L absorption Un atome est initialement dans son état fondamental. On l éclaire par un rayonnement de densité d énergie I à la pulsation! 0 =(E 2 E 1 )/~! i ~! 0 2 i + Einstein propose de décrire l absorption également comme un processus stochastique (ou aléatoire) : Pour un atome dans l état un photon entre t et t + dt est à l instant t, la probabilité d absorber dp = B 12 I dt B 12 : coefficient constant, caractéristique de l atome considéré

7 La contrainte imposée par Einstein Ensemble d atomes en interaction avec le rayonnement d un corps noir à température T fixée. Pour que les principes fondamentaux de la thermodynamique soient respectés, il faut que la température résultante de l ensemble d atomes soit également T. Energie E 4 E i 3 i Loi d équilibre de Boltzmann : N j Ej E i =exp N i k B T E 2 2 i N i,n j : nombre d atomes d énergie E i,e j E 1 k B : constante de Boltzmann Les niveaux sont supposés ici non dégénérés

8 Le problème d Einstein Si les seuls processus d interaction entre atomes et rayonnement sont l émission spontanée et l absorption, on ne peut pas satisfaire la contrainte d équilibre de Boltzmann. 2 i On se limite pour simplifier à des atomes «à deux niveaux» : E 1 et E 2 (E 1 <E 2 ) Pour un atome donné : Occupation de 2 i 1 émission spontanée 0 absorption temps Pour un ensemble d atomes : dn 2 = AN 2 + B 12 IN 1 dt N 2 = B 12 I A l équilibre : > 1 si I est assez grande N 1 A (i.e. si T est assez élevée) =exp( (E 2 E 1 ) /k B T )???

9 2. L émission stimulée : la thermodynamique retrouvée et les amplificateurs de rayonnement

10 L émission stimulée Aux deux processus déjà mentionnés émission spontanée & absorption Einstein propose d en ajouter un troisième : 2 i 2 i + + Le photon émis est identique au photon incident (même fréquence, même direction, même polarisation) Pour un atome dans l état à l instant t, la probabilité de subir un processus d émission stimulée entre t et t + dt est B 21 2 i dp em.stim. = B 21 I dt : coefficient constant, caractéristique de l atome considéré

11 Bilan des trois processus proposés Pour un atome donné : Occupation de 2 i 1 émission spontanée ou stimulée 0 absorption temps Pour un ensemble d atomes : à l équilibre : N 2 N 1 = dn 2 dt B 12 I A + B 21 I = AN 2 B 21 IN 2 + B 12 IN 1? = exp( (E 2 E 1 ) /k B T ) L étude du rayonnement du corps noir fournit la relation entre la température T et la densité d énergie I à la pulsation! =(E 2 E 1 )/~ Y a-t-il une solution, c est-à-dire un triplet A, B 21,B 12 qui convient 8 T?

12 Les coefficients d Einstein Il existe effectivement des triplets N 2 N 1 = B 12 I A + B 21 I? est satisfaite à toute température. A, B 21,B 12 tels que la relation =e ~! 0 /k B T ~! 0 E 2 E 1 Etude de deux cas limites Limite de haute température k B T E 2 E 1 Dans cette limite, I / T et on attend N 2 N 1 ) B 12 = B 21 B Limite de basse température k B T E 2 E 1 Dans cette limite, I /! 0 3 e ~! 0 /k B T ) A/B /! 0 3 Loi de Wien La contribution de l émission spontanée est plus grande à haute fréquence

13 Vers un amplificateur de rayonnement? boîte noire I sortie >I entree L émission stimulée semble être la base idéale pour un tel amplificateur 2 i 2 i + + di dn 2 / ~! 0 dt em.stim dt em.stim = ~! 0 BIN 2 mais l absorption joue malheureusement le rôle inverse d atténuateur : di dn 1 / ~! 0 dt abs. dt abs. = ~! 0 BIN 1 A l équilibre thermodynamique : N 1 N 2 L atténuation l emporte sur l amplification!

14 L inversion de population 2 i Si on arrive à préparer un gaz d atomes ou de molécules dans une configuration telle que N 1 <N 2, alors on peut espérer fabriquer un amplificateur : Townes (USA), Prokhorov Basov (URSS) Les deux groupes travaillent dans le domaine des micro-ondes (GHz) et utilisent un faisceau de molécules d ammoniac judicieusement préparées : 2 i N 1,N 2 gradient de champ électrique 2 i amplificateur de rayonnement : état fondamental (symétrique) 2 i : premier état excité (antisymétrique)

15 3. La molécule d ammoniac dans un champ électrique 2 i N 1,N 2 gradient de champ électrique 2 i

16 Les niveaux d énergie les plus bas de NH 3 Ces niveaux correspondent au degré de liberté d inversion de la molécule : Δ configuration «gauche» configuration «droite» V 0 x antisymétrique E premier niveau excité du puits semi-infini symétrique D G G D antisymétrique symétrique niveau fondamental du puits semi-infini

17 Populations des niveaux d énergie à température ambiante 120 mev 0.10 mev 4 i 3 i 2 i A i S i E Equilibre thermique : N j Ej E i =exp N i k B T T = 300 K! k B T = 25 mev N 1 N 2 N 3,N 4,... Nous allons restreindre notre étude aux états combinaison linéaire de S i 2 i A i et nous poserons ~! 0 = E 2 E 1 approximation d un système à deux états Hamiltonien dans la base { S i, A i}, à une constante additive près : Ĥ 0 = ~! 0 1 0! 0 /(2 ) = 24 GHz 2 0 1

18 Comment agir de manière sélective sur S i et A i? On va utiliser l interaction de la molécule avec un champ électrique ~E = E~u x Classiquement, la molécule est un dipôle électrique qui peut avoir deux orientations le long de l axe x dans ce modèle 1D : ~D = d 0 ~u x ~D = d 0 ~u x L énergie électrostatique peut prendre deux valeurs E elec. = ~ D ~E = ±d 0 E Quantiquement, on va introduire l opérateur «dipôle le long de l axe x» et l opérateur «énergie électrostatique» Ŵ : ˆD Ŵ = E ˆD Dans l approximation d un «système à deux états», ˆD est une matrice 2 2 agissant sur les vecteurs S i + µ A i

19 L opérateur dipôle ˆD On veut construire un opérateur tel que ses états propres sont combinaisons linéaires de S i et A i S(x) A (x) x x ses états propres sont une bonne approximation des états classiques : plan H localisé à gauche : plan H localisé à droite ses valeurs propres sont d 0 (gauche) et +d 0 (droite). Le meilleur choix compte tenu de ces contraintes est : G(x) / S (x) A (x) D(x) / S (x)+ A (x) G i = p D i = p

20 L opérateur dipôle ˆD (suite) On pose par définition ˆD G i = d 0 G i ˆD D i = d 0 D i avec G i = 1 p 2 ( S i A i) D i = 1 p 2 ( S i + A i) Quelle est l action de ˆD sur les vecteurs de base S i, A i? On inverse la relation précédente : S i = 1 p 2 ( D i + G i) A i = 1 p 2 ( D i G i) ˆD S i = 1 p ˆD D i + ˆD G i = d 0 p ( D i d où: 2 2 ˆD A i =...= d 0 S i G i)=d 0 A i soit en notation matricielle dans la base S i, A i: 0 1 ˆD = d0 1 0

21 Les états propres de NH 3 dans un champ électrique L hamiltonien total dans la base S i, A i s écrit : Ĥ tot. = Ĥ0 + Ŵ = ~! d E 1 0 = ~ cos 2 sin 2 2 sin2 cos 2 avec 2 2 ~ ~!0 = +(d 0 E) tan 2 = 2d 0E ~! 0 > 0 /4 < < /4 Les valeurs propres sont ±~ /2 cos i = sin et les vecteurs propres associés s écrivent sin + i = cos

22 Le diagramme d énergie pour NH 3 dans un champ électrique 2 2 ~ ~!0 = +(d 0 E) E A i +~! 0 /2 ~! 0 /2 S i 1 2 E + = ~ /2 d 0 E / ~! 0 E = ~ /2 tan 2 = 2d 0E ~! 0 + i = i = sin cos cos sin Si le champ électrique E dépend de la position, alors l énergie ±~ /2 joue le rôle d énergie potentielle pour le mouvement du centre de masse de la molécule Une molécule dans l état Une molécule dans l état + i est attirée par les zones de faible champ i est attirée par les zones de fort champ E E

23 L inversion de population sur un jet de NH 3 x On veut garder les molécules dans l état A i, d énergie +~! 0 /2 et éliminer les molécules dans l état S i, d énergie ~! 0 /2 y z quadrupole électrique E 2 / x 2 + y 2 régime de champ faible : d 0 E ~! 0 Les molécules dans l état + i A i, chercheur de champ faible, restent au voisinage de l axe x = y =0 Les molécules dans l état i S i, chercheur de champ fort, sont expulsées transversalement S i A i N S >N A quadrupole électrique S i S i A i

24 4. Le maser de Townes (1954) Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation

25 Amplificateur à émission stimulée S i A i ~! 0 S i quadrupole électrique A i a S i + b A i S i E 0 cos!t Remarque préliminaire : durée de vie de A i due à l émission spontanée = 1/A = 1 mois L émission spontanée a un rôle négligeable dans le domaine des micro-ondes. Seuls les processus d absorption et d émission stimulée sont importants. Si la molécule sort dans l état S i, c est qu elle a déposé son énergie ~! 0 dans la cavité sous forme d énergie électromagnétique.

26 Comment décrire l émission stimulée et l absorption dans le formalisme quantique? Point de vue d Einstein : Occupation de A i 1 émission stimulée A i ~! 0 S i Bien adapté au cas d un champ aléatoire (corps noir) 0 absorption temps Cas d un champ micro-onde monochromatique : E(t) =E 0 cos(!t) L état de l atome s écrit à l instant t : avec la condition initiale : a(0) = 0 b(0) = 1 (t)i = a(t) S i + b(t) A (t)i L évolution de cet état est donnée par l équation de Schrödinger : i~ d i dt = Ĥtot(t) (t)i Ĥ tot (t) =Ĥ0 ˆDE(t)

27 Résolution de l équation de Schrödinger iȧ = E(t) =E 0 cos(!t) ~! 1 = d 0 E 0! 0 2 a! 1b cos!t iḃ =! 0 2 b! 1a cos!t A i ~! 0 S i Ordres de grandeur :! 0! s 1! s 1 pour E 0 = 1000 V/m Résolution numérique aisée ; pour obtenir une solution analytique, on a recours à une approximation supplémentaire («champ tournant») : Pour! 1 =0, on a : a(t) e i! 0t/2 b(t) e i! 0t/2 Pour! 1! 0 et!! 0, on peut en bonne approx. ne garder que : iȧ =! 0 2 a! 1 2 b ei!t +e i!t Solution pour! =! 0 : iḃ =! 0 2 b! 1 2 a ei!t +e i!t b(t) =e i! 0t/2 cos! 1t 2

28 De l amplificateur à l oscillateur A i a S i + b A i b(t) =e i! 0t/2 cos! 1t 2 Occupation de A i b(t f ) 2 = «oscillation de Rabi» cos 2! 1t f 2 t f Pour des temps de traversée t f = (2n + 1), on est certain que la! 1 molécule dépose son énergie ~! 0 dans la cavité : amplificateur optimisé! entrée Ampli sortie E 0 cos!t g(!) E 0 cos!t 1 Oscillation à la pulsation! m pour laquelle le gain g(!) est maximum

29 5. des Masers aux Lasers M = Microwave! 2 = Hz L = Light! 2 = Hz

30 Le problème de l émission spontanée 2 i Emission stimulée, contribue au gain Ṅ 2 = BIN 2 Emission spontanée dans une direction aléatoire, ne contribue pas au gain Ṅ 2 = AN 2 A/B /! 3 0 A 1 1 mois pour NH 3 à une fréquence microonde A seconde dans le domaine visible

31 Le schéma de base d un laser Dépôt de brevet : Schawlow-Townes, Gould 1958 Réalisation : Maiman 1960 Avec une source d'énergie extérieure (décharge dans un gaz, passage d'un courant dans une diode,...), on crée l inversion de population. miroir complètement réfléchissant énergie extérieure miroir partiellement réfléchissant Traitement quantitatif, prenant en compte quantitativement l émission spontanée, dans le cours de physique de 3 ème année

32 Les lasers sont partout...