HEURISTIQUES RAPIDES POUR LE PROBLÈME DE TOURNÉES DE VÉHICULES

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1 ASAC 00 Banff, Alberta Sylvain Girard (étudiant) Jacques Renaud Fayez F. Boctor Faculté des sciences de l'administration Université Laval Centre de recherche sur les technologies de l'organisation réseau HEURISTIQUES RAPIDES POUR LE PROBLÈME DE TOURNÉES DE VÉHICULES Nous proposons deux heuristiques basées sur la perturbation du calcul des économies de l'algorithme de Clarke et Wright. Ces heuristiques se basent seulement sur le calcul des économies et sur les algorithmes -opt et -opt. Les résultats numériques démontrent que les approches développées peuvent rivaliser avec plusieurs algorithmes tabous tout en étant plus simples et plus rapides. - Introduction Le problème de tournées de véhicules classique, PTV, consiste à déterminer un ensemble de routes de distance minimale permettant de visiter un ensemble de clients à partir d'un dépôt central (Laporte ). Dans la version standard du problème, la flotte de véhicules est considérée comme étant homogène et illimité et elle est localisée à un dépôt unique qui dispose de suffisamment de produits pour desservir tous les clients. Chaque véhicule a une capacité de chargement de C unités de produits et la durée d'une tournée est limitée à D unités de temps. Chaque client i doit être visité afin de lui livrer une commande de q i unités ce qui requiert un temps de service s i. La distance c ij entre chaque paire de localisations i et j est connue et symétrique et l'on suppose que la matrice des distances respecte l'inégalité du triangle. L'objectif du PTV est de minimiser la distance parcourue par les camions de façon à livrer les quantités demandées par les clients tout en respectant les contraintes de capacité et de durée sur les tournées. Le PTV est un problème extrêmement important puisqu'il permet, en lui ajoutant les contraintes appropriées, de modéliser plusieurs situations réelles. Golden, Assad et Wasil (00) présentent plusieurs applications tirées de la littérature. Ils étudient entre autres le ramassage des ordures ménagères ainsi que la distribution des journaux et de produits alimentaires (bière, boissons gazeuses). Sniezek et al. (00) étudient un problème de ramassage d'ordures avec accessibilité partielle, c'est-à-dire que certains véhicules ne peuvent être utilisés pour desservir certaines routes à cause de limitations particulières. Ils rapportent une implantation pour le Philadelphia Sanitation Department. Gaur et Fisher (00) étudient un problème complexe d'approvisionnement d'une chaîne de supermarchés. Privé et al. (00) traitent d un problème similaire qui consiste à approvisionner les supermarchés en boissons douces et à récupérer

2 les canettes vides. Campbell et al. (00) considèrent un problème de tournées et de gestion d'inventaires pour une entreprise de distribution de gaz desservant plus de clients en Amérique du Nord. Cornillier et al. (00) proposent une méthode optimale pour l'approvisionnement des stations d'essence. Utilisant des données réelles, ils démontrent que des gains significatifs peuvent être obtenus. Finalement, Baker (00) effectue une courte revue des principaux logiciels commerciaux de planification de tournées de véhicules. L'importance pratique du PTV a motivé les chercheurs du monde entier à développer des algorithmes heuristiques et exacts pour le résoudre. Laporte et Semet (00) proposent une classification des heuristiques en deux groupes principaux : les heuristiques classiques et les métaheuristiques. Ils divisent les heuristiques classiques en trois sous-groupes : heuristiques de construction, heuristiques en deux phases et heuristiques d'amélioration. Les heuristique en deux phases se divisent elles-mêmes en deux catégories : groupage en premier, routage en second et routage en premier, groupage en second. Ils effectuent une revue détaillée des heuristiques classiques et analysent leur performance relative. Gendreau et al. (, 00) traitent des métaheuristiques qu'ils divisent en six grands types : recuit simulé, recuit déterministe, recherche taboue, algorithmes génétiques, colonie de fourmis et réseaux de neurones. La littérature sur le problème de tournées de véhicules étant beaucoup trop abondante pour être résumée ici, le lecteur intéressé peut consulter Laporte et Osman () qui proposent une liste détaillée des contributions sur le sujet. Parmi les heuristiques de construction, les heuristiques basées sur les économies occupent une place importante de par leur simplicité et leur capacité à tenir compte de contraintes complexes. L'algorithme d'économies classique a été proposé par Clarke et Wright en et depuis plusieurs chercheurs ont tenté de l'améliorer ou ont développé des approches basées sur les économies. À cet effet, notons les travaux de Gaskell (), Yellow (0), Desrochers et Verhoog (), Altinkemer et Gavish (), Wark et Holt () et de Altinel et Öncan (00). Les algorithmes basés sur les économies ont l'avantage d'être relativement simples, rapides et faciles à implanter. Des expériences numériques (Girard 00) basées sur les problèmes test de Christofides, Mongozzi et Toth () montrent que les solutions de l'algorithme de Clarke et Wright () se situent en moyenne à, % des meilleures solutions connues. L'objectif de cet article est de développer deux algorithmes de perturbation basés sur les économies afin de résoudre le PTV. Les méthodes proposées ont le mérite d'être simples puisqu'elles se basent essentiellement sur l'algorithme de Clarke et Wright () ainsi que sur les algorithmes d'amélioration bien connus -opt et -opt de Lin (). Les méthodes développées perturbent le calcul des économies de façon à diversifier le processus de fusion des routes. La perturbation est une technique qui a été appliquée à plusieurs problèmes d'optimisation combinatoire avec succès (voir entre autres Codenotti et al. (), Renaud et al. (00) et Boctor et al. (00)). Les algorithmes proposés, tout en étant rapides, permettent d'obtenir des résultats comparables à plusieurs métaheuristiques connues. La Section effectue une revue des principaux algorithmes basés sur les économies. La Section présente les méthodes développées. Une expérience numérique sur les problèmes de la littérature est menée à la Section. Finalement, nous présentons nos conclusions à la Section.

3 - Heuristiques basés sur les économies Dans cette section nous présentons l algorithme original de Clarke et Wright () ainsi que quelques-unes de ses généralisations les plus importantes. L heuristique de Clarke et Wright () Cette heuristique fonctionne de manière itérative en fusionnant à chaque itération deux routes en une seule ce qui procure une économie de distance. L heuristique débute par une solution initiale où chacun des n clients est visité individuellement sur une route aller-retour. À chaque étape, les deux routes procurant la plus grande économie sont fusionnées ensemble. La fusion de la route (0,, i, 0) avec la route (0, j,, 0) en une plus grande route (0,, i, j,, 0) procure le gain suivant : c 0i + c 0j - c ij. On dénotera ainsi s ij = c 0i + c 0j - c ij comme étant l économie réalisée en fusionnant une route débutant (ou se terminant) avec le client i avec une route débutant (ou se terminant) avec le client j. Évidemment, une économie est réalisable seulement si la route résultante respecte les contraintes de capacité et de durée. L heuristique débute donc par calculer toutes les économies s ij possibles pour ensuite les trier en ordre décroissant. L algorithme considère alors la plus grande économie disponible et regarde si il est possible de fusionner les routes correspondantes tout en respectant les contraintes. L algorithme considère alors l économie suivante. La solution est obtenue lorsqu il n est plus possible de fusionner ensemble des routes ou lorsque la liste des économies disponibles est épuisée. Cette description correspond à la version parallèle de l heuristique puisque plusieurs routes peuvent être construites en parallèle. Il est possible d implanter l algorithme des économies de façon séquentielle en restreignant le choix des économies de façon à construire une seule route à la fois. Lorsque cette dernière ne peut plus être agrandie à cause des contraintes, une nouvelle route est créée. Les adaptations de Gaskell (), Yellow (0) et Altinel et Öncan (00) Puisse qu il s agit d une procédure heuristique, l ordre dans lequel les fusions sont effectuées peut influencer grandement la qualité de la solution finale. Plusieurs auteurs ont donc suggéré des modifications au calcul des économies afin d améliorer la performance de l algorithme initial. Gaskell () et Yellow (0) ont suggéré l utilisation de la formule d économie modifiée suivante : s ij = c 0i + c 0j - λc ij où λ est un paramètre qui permet de calibrer l importance accordée à la distance entre les clients i et j. Ils proposent d appliquer l heuristique plusieurs fois avec différentes valeurs de λ ce qui permet éventuellement d obtenir des solutions différentes. Altinel et Öncan (00) proposent une généralisation qui tient compte de la demande des clients dans le calcul des économies : qi + q j sij = c i + c j λcij + µ c i c j + ν, où q correspond à la demande moyenne de l ensemble des q clients.

4 Les adaptations de Desrochers et Verhoog () et de Altinkemer et Gavish () Ces adaptations généralisent le calcul des économies en permettant une réorganisation de la nouvelle route plutôt qu en considérant une simple fusion où l ordre de visite des clients des deux routes est préservé. Ainsi, l économie de fusionner deux routes p et q est calculée comme étant s pq = L p + Lq L pq où L p est la longueur optimale d un problème du voyageur de commerce visitant le dépôt et les clients de la route p. Afin que le choix des économies à implanter soit effectué d une façon moins myope, les auteurs proposent de résoudre un problème de couplage de poids maximum (maxweight -matching problem) basé sur les économies s pq. À chaque itération, toutes les économies suggérées par la solution du problème de couplage sont implantées. Plusieurs variantes sont proposées afin de réduire le temps de calcul dont le recours à des heuristiques afin de résoudre le problème du voyageur de commerce de façon approximative plutôt qu exacte. L adaptation de Wark et Holt () Cette adaptation débute avec n groupes visitant chacun un seul client. À chaque itération la résolution d un problème de couplage permet de sélectionner les groupes à fusionner. Les poids du problème de couplage correspondent soient aux économies classiques s ij ou à des économies modifiées qui favorisent la fusion de routes où la capacité des véhicules est peu utilisée. Lorsqu une solution est obtenue, l algorithme fractionne de façon aléatoire certaines routes et le processus de fusion est recommencé. Laporte et Semet (00) et Girard (00) ont analysé la performance des adaptations présentées ci-dessus à l'aide des problèmes test de Christofides, Mingozzi et Toth (). Tel que mentionné par Laporte et Semet, les résultats de Altinkemer et Gavish (), qui présentent une déviation de, % au-dessus des meilleures solutions connues, sont leurs meilleurs résultats obtenus à l'aide de 0 applications de l'algorithme avec plusieurs combinaisons de paramètres. Les résultats de Wark et Holt (), qui présentent une déviation moyenne de 0, %, sont les meilleurs obtenus à l'aide de résolutions. Les résultats rapportés par Desrochers et Verhoog (), qui présentent une déviation de, %, ont été obtenus à l'aide d'une seule résolution. Notons que les résultats de Altinkemer et Gavish () ont été obtenus avec des distances arrondies à l'entier le plus proche alors que les résultats de Wark et Holt sont basées sur des distances réelles. Ces résultats démontrent que les implantations de l'algorithme de Clarke et Wright basées sur l'utilisation d'un problème de couplage procurent des résultats supérieurs à ceux de la version originale. L'implantation de Wark et Holt semble la plus performante. - Les heuristiques proposées Dans cette section nous présentons une méthode de construction, CW +, qui utilise une version perturbée du calcul des économies. Cette méthode est à son tour utilisée à l'intérieur d'une approche d'amélioration, D CW +, qui exploite plusieurs décompositions du problème à résoudre. Ces méthodes sont présentées ci-dessous.

5 L'heuristique CW + L'heuristique CW + fonctionne exactement comme la méthode originale de Clarke et Wright à + l'exception du calcul des économies qui est effectué comme suit : sij = c0 i + c j0 λijcij où λ ij est un facteur de pondération sélectionné de façon aléatoire entre λ et λ + pour chaque arc (i,j). L'utilisation du λ ij induit une perturbation dans le calcul des économies ce qui permet d'obtenir éventuellement une solution différente à chaque application de l'algorithme. Puisque cet algorithme est très rapide, nous proposons de l'appliquer à plusieurs reprises, disons R fois, en utilisant à chaque fois le -opt (Lin ) pour optimiser les routes individuelles. À la fin des R répétitions, la meilleure solution est conservée puis ses routes sont optimisées à nouveau à l'aide du -opt (Lin ). L heuristique D-CW + L heuristique D-CW + est une procédure d'amélioration qui peut être appliquée à n'importe quelle solution réalisable d'un problème de tournées. Cette heuristique décompose la solution courante en une série de sous problèmes de tournées qui sont individuellement résolus à l'aide de l'algorithme CW +. Nous présentons ci-dessous les détails de cet algorithme. Partant d'une solution initiale ayant L routes, chacune de celles-ci est considérée comme un ensemble de clients. Le centre de gravité de chaque route est trouvé en calculant simplement la moyenne des coordonnées x et y des clients de la route. L'ensemble des routes est ensuite trié en ordre croissant en fonction de l'angle polaire que forme chaque centre de gravité avec le dépôt. La méthode d'amélioration consiste alors à résoudre systématiquement tous les sous-ensembles de m routes consécutives à l'aide de R répétitions du CW + suivies du -opt. À chaque sous-ensemble de m routes correspond un sous-problème de tournées de véhicules, ayant les mêmes contraintes, obtenu en faisant l union des m ensemble de clients et du dépôt. La Figure illustre cette décomposition pour un problème ayant quatre routes. Pour chacune des routes, le X représente son centre de gravité. La partie gauche de la figure représente les quatre sous problème obtenu lorsque m =. Les routes en traits pointillés (par opposition à celles en gras) sont celles qui font partie du sous-problème à optimiser à l aide du CW +. La partie de droite représente les quatre sous problèmes renfermant chacun trois routes. Afin de restreindre le nombre de possibilités, l'algorithme débute par toutes les paires de routes consécutives, m =, puis augmente graduellement la valeur de m jusqu'à M. Le paramètre M représente la borne supérieure sur le nombre de routes qui seront optimisées simultanément à l'aide du CW +. Dès qu'une amélioration est enregistrée sur un sous-ensemble de routes, ces dernières sont à nouveau optimisées à l'aide du -opt. Cette nouvelle meilleure solution est notée et l'algorithme recommence à partir de m =. L'algorithme se termine lorsque tous les sous-ensembles de M routes ont été considérés et qu'aucune amélioration n'a été trouvée. La Figure détaille les différentes étapes de l'algorithme D-CW +.

6 (m = ) (m = ) Figure : La décomposition en sous-ensembles

7 Meilleure solution := Solution courante Trier les L routes en ordre croissant de l'angle polaire que forme leur centre de gravité avec le dépôt 0: For m := to M, Do For t := to L, Do Repeat R times Appliquer le CW + à l'ensemble des clients visités par la route t et les m- routes suivantes Appliquer le -opt sur chacune des routes Retenir et mettre à jour la meilleure solution trouvée End Repeat Appliquer le -opt à la meilleure des R solutions trouvées Si la solution obtenue est meilleure que la solution précédente, remplacer les m routes initiales par les m nouvelles routes. Enregistrer la nouvelle solution et retourner à 0. End Do End Do Figure : L'algorithme du D CW + - Résultats numériques Les heuristiques proposées ont été codées en Delphi sur un ordinateur portatif IBM Pentium-M,, GHz avec un système d exploitation Windows XP. Toutes les distances ont été calculées en chiffres réels avec pleine précision. Comme pour toutes les études effectuées sur le PTV, les résultats numériques ont été obtenus sur deux ensembles de problèmes standards de la littérature. Le premier ensemble renferme les problèmes classiques (http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/orlib) proposés par Christofides, Mingozzi et Toth (). Ces petits problèmes ont entre 0 et clients. Les meilleures solutions connues pour ses problèmes sont rapportées dans Laporte et Semet (00). Le deuxième ensemble renferme les 0 grands problèmes (http://www-bus.colorado.edu/publications/workingpapers/kelly) ayant entre 00 et clients qui ont été proposés par Golden et al. (). Les détails de ces problèmes ainsi que les meilleures solutions connues sont rapportées dans Reimann et al. (00). ces problèmes sont euclidiens. Performance de heuristique CW + Le Tableau présente les résultats de l heuristique CW + en fonction de ses paramètres [λ ; λ + ] qui contrôlent le niveau de perturbation dans le calcul des économies et du nombre de répétitions R. Pour chacune des combinaisons de paramètres, les résultats sont présentés sur trois lignes. La ligne présente les résultats moyens pour les problèmes de Christofides, Mingozzi et Toth (). La ligne présente les résultats moyens pour les 0 problèmes de Golden et al. (). Finalement, la ligne présente les résultats moyens pour l ensemble des problèmes. Les colonnes % Dev. et Sec. rapportent respectivement la déviation moyenne au dessus des meilleures solutions connues et le temps de calcul moyen en secondes pour l ensemble de problèmes considéré.

8 Afin d évaluer correctement l impact des paramètres [λ ; λ + ], le Tableau est divisé horizontalement en quatre sections pour lesquelles la moyenne des λ ij qui seront générés est respectivement 0,,,0,, et,. Pour chacune de ces quatre moyennes, trois combinaisons de différentes étendues des paramètres [λ ; λ + ] ont été évaluées. Le paramètre R contrôlant le nombre de répétitions de l algorithme CW + a été fixé à R = 00 et les résultats ont été enregistrés pour R = 0, 0 et 00. Tel que prévu, les meilleurs résultats sont obtenus avec R = 00 itérations. Des analyses plus poussées ont démontré que le gain marginal à utiliser une valeur de R supérieure à 00 était pratiquement nul. L analyse des résultats en fonction des paramètres [λ ; λ + ] est beaucoup plus intéressante. Premièrement, utiliser des [λ ; λ + ] trop petits ne génère pas suffisamment de perturbations dans le calcul des économies pour obtenir de bonnes solutions. En effet, lorsque la moyenne des λ ij est de 0,, la déviation moyenne au dessus des meilleures solutions connues pour les problèmes test est de,,, et,0 % respectivement pour les combinaisons de paramètres [0, ; 0,], [0, ; 0,] et [0, ; 0,] avec R = 00 répétitions. Pour l ensemble de problèmes, lorsque R = 00 les meilleures combinaisons des paramètres [λ ; λ + ] sont [, ;,] et [, ;,] avec des déviations moyennes de,% et,% respectivement. Sur l ensemble des petits problèmes de Christofides, Mingozzi et Toth (), la plus petite déviation moyenne obtenue est de, % en moins de secondes avec les paramètres [0, ;,]. Sur l ensemble des 0 grands problèmes de Golden et al. () la plus petite déviation moyenne obtenue est de,0 % en, secondes avec les paramètres [, ;,]. Ce sont ces derniers paramètres qui permettent d obtenir la déviation moyenne la plus faible sur l ensemble des problèmes avec seulement, % d écart en secondes de calcul en moyenne. La combinaison de paramètres [, ;,] et R = 0 offre un excellent compromis entre la qualité de la solution et le temps de calcul avec une déviation moyenne globale de, % en seulement secondes de calcul en moyenne. Ces résultats sont en gras dans le Tableau. Le Tableau compare les résultats du CW + (avec [, ;,], R = 0 et R = 00) avec ceux de l implantation originale de Clarke et Wright (), tous deux suivis du -opt. Les résultats de l algorithme de Yellow (0) ont été obtenus en prenant pour chaque problème la meilleure solution obtenues après résolutions avec des valeurs de λ allant de 0, à, par sauts de 0, puis en passant le -opt sur l ensemble des routes de la meilleure solution. Pour CW + nous présentons les résultats avec R = 0 car c est la plus petite valeur de R qui permet d obtenir des résultats moyens supérieurs à ceux de Clarke et Wright et à ceux de Yellow sur les deux ensembles de problèmes. Ces résultats démontrent que des améliorations significatives peuvent être obtenues.

9 Tableau : Résultats du CW + Problèmes λ - λ + R % Dev. Sec. % Dev. Sec. % Dev. Sec., 0,, 0,,, 0, 0,,,,, 0,,,, 0,,,,, 0, 0,0 0,,0, 0, 0,, 0,,0 0,,0 0,,,,0,,,, 0,,0 0,,,0 0, 0,,,,0, 0,00,0 0., 0,,,0,, 0,, 0,,,0 0,,,,,,,,,,,,,,, 0,, 0,,, 0,,,,,0,,,0,,,,,,, 0,,0 0,,, 0,,,,,,, 0,,,,,,0,, 0,, 0,,, 0,,,,,,0,,,,,,,,0, 0,, 0,,, 0,,,0,,,0,,,0,,,,,0, 0,, 0,,,,0,,0,,,,,,,,,,,, 0,, 0,,,,,,,,,,0 0,,0,,,,,, 0,, 0,,,,,,,,,,0,,,,,,,0,0 0,, 0,,,,,,,,,,,,,,,,,0

10 Problèmes Clarke et Wright + -opt Tableau : Résultats comparatifs Yellow λ= 0,, 0,,,, + -opt CW + [, ;,], R=0 + -opt CW + [, ;,], R=00 + -opt % dev. Sec. % dev. Sec. % dev. Sec. % dev. Sec., 0,, 0,, 0,,,,,,,,,,0 0,,0 0,,,,,,,0 Performance de l heuristique D CW + Le Tableau présente les résultats obtenus par l heuristique d amélioration D CW + lorsque la solution initiale est obtenue à l aide de l heuristique CW + avec [, ;,] et R=0. Rappelons que l heuristique D CW + est une procédure d'amélioration qui utilise trois paramètres : M qui détermine le nombre maximal de routes qui entrent dans la décomposition en sous-problèmes, [λ ; λ + ] et R qui contrôlent le CW + pour la résolution des sous-problèmes. Afin que de bien cerner la performance de l'algorithme D CW + nous avons évalué combinaisons différentes de paramètres. Pour contrôler le nombre maximum de routes qui entrent dans un sous problème nous avons testé deux valeurs de M soit M = et M = L/, L étant le nombre de routes dans la solution courante. La logique derrière ces deux valeurs est que pour les petits problèmes on peut se permettre de résoudre des sous problèmes ayant plusieurs routes soit jusqu'à M = L/. Par contre, les grands problèmes ayant parfois plus de 0 tournées différentes, il devient important de limiter la décomposition pour éviter des temps de calcul prohibitif (M = ). Le second paramètre, R, contrôle la profondeur de recherche qui est appliquée par l'heuristique CW + sur le sous problème. De petites valeurs de R procureront des temps de calcul rapides au détriment d'une optimisation poussée du sous problème. Nous avons donc testé les valeurs de R suivantes :,, 0, 0, 0 et 0. Le dernier ensemble de paramètres à fixer est [λ ; λ + ] et nous avons testé [0, ;,], [, ;,] et [, ;,] puisque ce sont les combinaisons qui procurent les meilleurs résultats tels que démontré au Tableau. Le Tableau présente les résultats moyens sur les ensembles de problèmes, et. Une première observation intéressante est que, avec un ensemble de paramètres appropriés, l'heuristique D CW + peut dominer l'heuristique CW +. En effet, la plus petite déviation moyenne sur l'ensemble des problèmes obtenus par CW + était de, % en secondes (voir Tableau ). Par opposition, D CW + avec R =, M = et [, ;,] obtient une déviation moyenne, % en seulement 0, secondes en moyenne. Les résultats du Tableau montrent que la meilleure performance de D CW + est obtenue avec [, ;,]. La déviation moyenne sur l'ensemble des problèmes est alors de, % pour un temps de calcul moyen de secondes (M = L/, R = 0, [, ;,]). Une performance similaire peut être obtenue plus rapidement en limitant le nombre de décompositions à M = et en augmentant la profondeur de recherche à R = 0, la déviation moyenne passe alors de, % à, % mais le temps de calcul moyen diminue significativement de secondes à secondes.

11 Tableau : Performance moyenne de l'algorithme D CW + Problèmes M R L/ L/ L/ L/ L/ L/ D CW + [0, ;,] D CW + [, ;,] D CW + [, ;,] % dev. Sec. % dev. Sec. % dev. Sec.,,....,,0....,,....,,0,0,,,,,0,0,,,0,0,,,,,0,,,,,0,,,,,,,,,,,0,,,,,,,, Pour les problèmes de Golden et al. () l'ensemble de paramètres (M = L/, R = 0, [, ;,]) permet d'obtenir une déviation moyenne de, %. Pour l'ensemble de problèmes de Christofides, Mingozzi et Toth (), la plus petite déviation moyenne obtenue est de,0 % avec un temps de calcul moyen de secondes. Les Tableaux et démontrent que ces résultats sont supérieurs à ceux obtenus par plusieurs algorithmes tabous bien connus.

12 Pour les petits problèmes de Christofides, Mingozzi et Toth (), le Tableau montre que l'heuristique D CW + performe mieux que les algorithmes tabous de Xu et Kelly () et de Rego (). Il offre également de meilleurs résultats que l'algorithme de génération de pétales de Renaud et al. () qui est une des meilleures heuristiques classiques. D CW + avec une déviation de,0 % surpasse clairement les adaptations de Altinkemer et Gavish () et Desrochers et Verhoog () avec des déviations respectives de, % et,0 %. Il est cependant moins performant que l'adaptation de Wark et Holt () qui demande cependant des temps de calcul prohibitif. Ce tableau met également en évidence l'écart de performance existant avec quelques-uns des meilleurs algorithmes métaheuristiques comme ceux de Prins (00) et de Reimann et al. (00). Le Tableau présente les mêmes résultats sur les 0 problèmes de Golden et al. (). Cette fois-ci, l'algorithme D CW + offre une performance supérieure à plusieurs algorithmes connus, dont le tabou granulaire de Toth et Vigo (00). Les algorithmes de Prins (00) et de Reimann et al. (00) demeurent les plus performants par un ordre de grandeur significatif. Notons cependant que l'algorithme proposé demande des temps de calcul relativement courts. - Conclusions Dans cet article nous avons proposé de nouvelles heuristiques basées sur la méthode des économies de Clarke et Wright. Ces heuristiques ont été développées avec un objectif de simplicité et de rapidité. Ainsi, elles n utilisent que le calcul classique des économies de Clarke et Wright ainsi que les algorithmes de base d'amélioration -opt et -opt qui sont facilement accessibles à tous. La première heuristique, CW +, est une procédure de construction qui utilise le concept de perturbation afin de générer un large éventail de solutions. L'heuristique CW + est très rapide et permet d'obtenir des solutions initiales intéressantes, en moyenne à,% des meilleures solutions connues pour l'ensemble des problèmes test. Nous avons également proposé une approche d'amélioration, D CW +, qui décompose la solution à améliorer en plusieurs sous problèmes de tournées qui sont eux-mêmes améliorés à l'aide de l'algorithme CW +. L'heuristique D CW + est rapide et offre une performance globale similaire à celle de plusieurs algorithmes tabous connus. Pour l'ensemble des problèmes, D CW + offre une déviation moyenne de,% en secondes. Bien que ces résultats soient intéressants, ils démontrent néanmoins qu'il existe toujours un écart important entre les résultats qu'il est possible d'obtenir avec des algorithmes simples de construction classique et les meilleurs résultats obtenus par des métaheuristiques beaucoup plus sophistiqués comme les algorithmes tabous, génétiques ou de colonies de fourmis. Nous pensons que ces résultats vont continuer à stimuler la recherche sur le problème de tournées de véhicules. En effet, au cours des dernières années, les meilleurs résultats obtenus par les métaheuristiques récentes démontrent des gains d'environ, % sur les problèmes classiques de Christofides, Mingozzi et Toth () et d'environ % sur les problèmes de grande taille de Golden et al. (). Il reste à espérer que des gains similaires pourront être effectués avec des algorithmes classiques rapides et que ceux-ci pourront voir leurs performances se rapprocher significativement de celle des métaheuristiques tout en étant beaucoup plus simple à implanter et beaucoup plus rapide au niveau des temps de calcul.

13 Tableau : Comparaison avec quelques heuristiques de la littérature sur les problèmes de Christofides, Mingozzi et Toth () Heuristique Référence % Dev. Sec. Ordinateurs utilisés Adaptation du Clarke et Wright Altinel & Öncan (00). a 0 Sun Ultrasparc III Improved petal Renaud, Boctor & Laporte (). 0 Sun Sparc Tabu search Xu & Kelly (). b b DEC Alpha Flower (best) Rego (). HP 000/ D CW +.0 Pentium M, GHz Clarke et Wright avec problème de couplage Wark & Holt () 0. c Sun /0 MP Algorithme génétique Prins (00) 0. Pentium GHz D-Ants (meilleures solution sur 0 résolutions) Reimann, Doerner & Hartl (00) 0. 0 Pentium II 00 MHz a Resultats pour les problèmes avec limite de capacité seulement (aucune limite sur la durée des routes). Les solutions rapportées sont les meilleurs obtenus avec 0 résolutions utilisant différents ensembles de paramètres. Le temps rapporté est le temps de calcul total sur l'ensemble des 0 résolutions. b Les solutions et le temps de calcul proviennent de Xu et Kelly () et de Golden et al. (), p.. Les moyennes sont calculées sur problèmes puisqu'aucune solution n'est rapportée pour le problème. c Les solutions sont les meilleurs obtenus après répétitions. La valeur de la solution finale est tronquée après la première décimale. Le temps de calcul est la moyenne sur les répétitions. Tableau : Comparaison avec quelques heuristiques de la littérature sur les 0 problèmes de Golden et al. () Heuristic Reference % Dev. Sec. Ordinateurs utilisés VLNS Ergun et al. (00). Pentium III MHz Record-to-record Golden et al. (). Pentium 00 MHz Tabu search Xu & Kelly (). a 000 a DEC Alpha GTS Toth & Vigo (00). 0 Pentium 00 MHz D CW +. Pentium M, GHz Algorithme génétique Prins (00) 0. 0 Pentium GHz D-Ants Reimann, Doerner & Hartl (00) Pentium II, 00 MHz a Basé sur les solutions des problèmes à 0 tel que rapporté par Prins (00). Prins rapporte que si des nombres réels sont utilisés, les résultats de Xu & Kelly pour le problème à sont non réalisables. Prins a également recalculé la valeur de la solution pour les problèmes 0 à 0 en utilisant des distances réelles (voir Prins, 00, p. -). Les temps de calcul sont ceux rapportés par Golden et al. (, p. ).

14 Remerciements Cette recherche a été partiellement supportée par le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) à l'aide des subventions OGP0 et OPG000. Ce support est grandement apprécié. Références Altinel I.K. et T. Öncan, A new enhancement of the Clarke and Wright savings heuristic for the capacitated vehicle routing problem. Journal of the Operational Research Society,, -, 00. Altinkemer K. et B. Gavish, Parallel savings based heuristic for the delivery problem, Operations Research,, -,. Baker Edward K., Evolution of microcomputer-based vehicle routing software: case studies in the United states. Dans The Vehicle Routing Problem, P. Toth et D. Vigo (éditeurs), SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia (00): -. Boctor, F.F., G. Laporte et J. Renaud, Heuristics for the traveling purchaser problem, Computers and Operations Research, 0, -0, 00. Campbell Ann M., Clarke Lloyd W. et Savelsbergh Martin W. P., Inventory routing in practice. Dans The Vehicle Routing Problem, P. Toth et D. Vigo (éditeurs), SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia (00): 0-0. Christofides, N., A. Mingozzi et P. Toth, The vehicle routing problem. Dans N. Christofides, A. Mingozzi, P. Toth et C. Sandi (éditeurs) Combinatorial optimization, Wiley, -,. Clarke, G. et J. V. Wright, Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points, Operations Research,, -,. Codenotti, B., G. Manzini, L. Margara et G. Resta, Perturbation: an efficient technique for the solution of very large instances of Euclidean TSP, INFORMS Journal on Computing,, -,. Cornillier Fabien, Boctor Fayez F., Laporte Gilbert et Renaud Jacques, An exact algorithm for the petrol replenishment problem. Document de travail, Faculté des sciences de l'administration, Université Laval, 00. Desrochers, M et T. W. Verhoog, A Matching based savings algorithm for the vehicle routing problem, Working paper G--0, GERAD, Université de Montréal,. Ergun, Ö, J.B. Orlin et A. Steele-Feldman, Creating very large scale neighbourhoods out of smaller ones by compounding moves: A study on the vehicle routing problem, MIT Sloan Working Paper -0, 00. Gaskell, T.J., Bases for vehicle fleet scheduling, Operational Research Quarterly,, -,. Gaur Vishal et Fisher Marshall L., A periodic inventory routing problem at a supermarket chain. Operations Research,,, 00, -. Gendreau, M., G. Laporte et J. Y. Potvin, Vehicle routing: modern heuristics. Dans E.H.L. A. arts et J. K. Lenstra (éditeurs) Local Search in Combinatorial Optimization, Wiley, Chichester, UK, -,. Gendreau, M., G. Laporte et J.Y. Potvin, Metaheuristics for the capacitated VRP. Dans P. Toth et D. Vigo (éditeurs) The vehicle routing problem, -, Siam monographs on discrete mathematics and applications, Philadelphia, 00. Girard, S., Résolution du problème de tournées de véhicules par perturbation, M. Sc. Thesis, Faculté des sciences de l administration, Université Laval, 00.

15 Golden Bruce L., Assad Arjang A. & Wasil Edward A., Routing vehicles in the real world: applications in the solid waste, beverage, food, diary, and newspaper industries. Dans The Vehicle Routing Problem, P. Toth et D. Vigo (éditeurs), SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia (00): -. Golden, B. L., E.A. Wasil, J.P. Kelly et I. M. Chao, The impact of metaheuristics on solving the vehicle routing problem: Algorithms, problem sets and computational results. Dans T. Crainic et G. Laporte (éditeurs) Fleet Management and Logistics, Kluwer, -,. Laporte G., The vehicle routing problem: An overview of exact and approximate algorithms. European Journal of Operational Research,, -,. Laporte G. et I. H. Osman, Routing Problems: A Bibliography, Annals of Operations Research,, -,. Laporte, G. et F. Semet, Classical heuristics for the capacitated VRP, Dans The Vehicle Routing Problem, P. Toth et D. Vigo (éditeurs), SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia (00): 0-. Lin S., Computer solutions of the traveling salesman problem, Bell System Technical Journal,, -,. Prins, C., A simple and effective evolutionary algorithm for the vehicle routing problem, Computers and Operations Research,, -00, 00. Privé Julie, Renaud Jacques, Boctor Fayez et Laporte Gilbert, Solving a vehicle-routing problem arising in soft-drink distribution. À paraître dans Journal of the Operational Research Society. Rego, C., A subpath ejection method for the vehicle routing problem, Management Science,, -,. Reimann, M., K. Doerner et R.F. Hartl, D-Ant: Savings based ants divide and conquer the vehicle routing problem, Computers and Operations Research,, -, 00. Renaud, J., F.F. Boctor et G. Laporte, An improved petal heuristic for the vehicle routing problem, Journal of the Operational Research Society,, -,. Renaud, J., F. F. Boctor et G. Laporte, Perturbation heuristics for the pickup and delivery traveling salesman problem, Computers and Operations Research,, -, 00. Sniezek John, Bodin Lawrence, Levy Laurence et Ball Michael, Capacitated arc routing problem with vehicle-site dependencies: The Philadelphia experience. Dans The Vehicle Routing Problem, P. Toth et D. Vigo (éditeurs), SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia (00): -0. Toth, P. et D. Vigo, The granular tabu search and its application to the vehicle routing problem, INFORMS Journal on Computing,, -, 00. Wark, P. et J. Holt, A Repeated matching heuristic for the vehicle routing problem, Journal of the Operational Research Society,, -,. Xu J. et J. P. Kelly, A network flow-based tabu search heuristic for the vehicle routing problem. Transportation Science, 0, -,. Yellow, P. C., A Computational modification to the savings method of vehicle scheduling, Operational Research Quarterly,, -, 0.

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