CORRECTION DU DEVOIR MAISON 2
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- Thérèse Gravel
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1 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie CORRECTION DU DEVOIR MAISON Exercice. Angles de vecteurs ABCD est un polygone tel que : AB; AD = π. Dessiner ce polygone tel que AB=4 cm et AD=6 cm. BA; BC = π 4 et DA; DC = π 6 B A C D. Déterminer des mesures de CB; AB et AD; CD On utilise les propriétés sur les angles de vecteurs : Et de même on a : CB; AB = CB; BA; AB = BC; BA = BC = π 4 [π] AD; CD = AD; CD = DA; DC = π 6 [π]. A l aide de la relation de Chasles, calculer la mesure principale de CB; CD On utilise la relation de Chasles afin de trouver une mesure de l angle CB; CD : AB; CB; CD = CB; AB + CD = π AB; 4 + AD + AD; CD = π 4 π π π+4π+π = = 9π 6 = π 4 De plus π< π 4 < π, par conséquent le mesure principale de l angle CB; CD est π 4 rad. Exercice. Equations trigonométriques. Résoudre dans R les équations trigonométriques suivantes : a sin x= sin π 4 x= π 4 [π] ou x= π π 4 [π]. On conclut que x = π 4 + kπ avec k Z où x= π 4 + kπ avec k Z. π 4 + kπ; π 4 } + kπ avec k Z b cos x π = cos π 6 cos x π = x cos π 5π = cos 6 Ainsi x π = 5π 6 + kπ ou x π = 5π 6 + kπ avec k Z. Par conséquent x = 5π 6 + π + kπ= 8π 6 + kπ= 4π + kπ ou x = 5π 6 + π + kπ= π 6 + kπ= π + kπ avec k Z. 4π + kπ; π } + kπ avec k Z S- 0-0 / 6
2 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie c sin x = x = π 6 + kπ ou x = 5π + kπ avec k Z. 6 Par conséquent : x = π 5π + kπ ou x= + kπ avec k Z, d où : } π 5π + kπ; + kπ avec k Z i.e : π + kπ; π } 5π 7π + kπ; + kπ; + kπ avec k Z d cos x = x= 5π 6 + kπ ou x = 5π + kπ avec k Z. Au final : 6 5π 6 + kπ; 5π } + kπ avec k Z 6. a Montrer que cos π π = sin 5 0. π On sait que pour tout x R on a : sin x = cos x, appliquons cette égalité pour x= π, et on obtient : 5 π sin π = cos π π sin = cos π 5 b Résoudre dans R l équation trigonométrique : cos x = sin π 0 On vient de montrer que x = π est solution de cette équation, par conséquent : 5 cos x = sin π 0 cos x = cos π 5 x = π 5 + kπ ou x= π 5 + kπaveck Z π 5 + kπ; π } 5 + kπ avec k Z Exercice. Un élève propose deux «nouvelles»formules à ajouter aux formules trigonométriques classiques : Ces deux formules sont-elles :. vraies pour tout nombre réel a? cos a = cos a sina = sin a Ces formules ne sont pas vraies pour tout nombre réel a. Prenons l exemple de π : De même : cos π = cos π = sin π = sin π =. vraies pour quelques valeurs de a? Si oui, lesquelles? Il n existe a priori aucune solution évidente à ce problème. On décide alors de tracer la représentation graphique de la fonction f où f x=cosx et de la fonction g où g x=cos x. S- 0-0 / 6
3 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie C f : y = cos x C g : y = cos x Il existe des points d intersection entre les deux courbes, par conséquent il existe des valeurs de a telles que f a = g a. En procédant de la même manière pour la deuxième égalité on observe : C f : y = sin x C g : y = sin x L égalité a lieu lorsque sin x = 0 sin x = 0 x= 0+kπ avec k Z. fausses pour toute valeur de a? Les réponses à la question précédente impliquent que les deux formules ne sont pas fausses pour toute valeur de a. Exercice 4. On se propose de résoudre l équation E : cos x+ sin x = [ pourx π ; π ]. E admet une «solution évidente». Laquelle? Pour x= π 4 on a : cos π 4 + sin π 4 = + = Ainsi π est une solution évidente de E. 4. a Soit P le polynôme du second degré définie sur R par : Px=x x+ Déterminer la forme canonique de P. On cherche les antécédents de c, donc de. Px= x x+ = 4 x x= 0 5 x x= 0 6 xx =0 7 x = 0 ou x = 8 S- 0-0 / 6
4 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie L équation de l axe de symétrie de la parabole est donc x =, ainsi α= et : β=pα= + = +=0 La forme canonique de P est donc : Px= x b A l aide de la question précédente déterminer l antécédent de 0 par P. Px=0 9 x = 0 0 x = 0 x = 0 x = 0 n a qu un antécédent qui est. c En posant X = cos x et Y = sinx et ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un système de deux équations à deux inconnues que l on résoudra en utilisant le résultat de la question précédente. On sait que x R on a cos x+ sin x = X + Y =, par conséquent X et Y vérifient le système suivant : X + Y = X+ Y= X + Y = Y= X X + X = Y= X X + X+ X = Y= X Ainsi X X+ =0 PX=0 X=. Par conséquent Y= X= =. On a déterminé les valeurs de X et Y, d où : X= cos x cos x = x = π Y= sin x 4 + kπ avec k Z sin x= L ensemble des solutions de E est donc : π } S E = 4 + kπ avec k Z X X+ =0 Y= X Exercice 5. Sur les pas de Claude Ptolémée A l aide du théorème de Ptolémée : S / 6
5 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie Théorème. Si le quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle, alors : AB CD+BC AD=AC BD démontrons que : «si 0<b< a < π, alors sina b=sina cos b sinb cos a». Sur le demi-cercle de diamètre AD= et de centre O, on place les points B et C tels que : DA; DC =a et DA; DB = b sin a C sin b B D a b O a b A. Déterminer en fonction de sina, sinb, cosa et cosb les longueurs AB, BD, AC et DC. Le triangle ABD est rectangle en B, par conséquent : sin b= AB BD = AB et cosb= AD AD = BD De la même manière le triangle ACD est rectangle en C, par conséquent : sin a= AC DC = AC et cos a= AD AD = DC. Montrer que OB; OC = a b D après le théorème de l angle au centre dans un cercle on a : OA; OB = DA; DB = b ; OA; OC = DA; DC =a S / 6
6 Chapitre wicky-math.fr.nf Trigonométrie On en déduit, en utilisant la relation de Chasles que : OB; OC = OB; OA + OA; OC = OA; OB + OA; OC = b+ a = a b En déduire que BC=sina b. Dans le triangle OBC isocèle en O, on considère la hauteur issue de O qui est aussi médiane et bissectrice dans le triangle OBC. Notons I le milieu de [BC]. Dans le triangle rectangle OIB on a : a b sin = IB sina b= BC sina b= BC OB. Conclure à l aide du théorème de Ptolémée. D après le théorème de Ptolémée on a, dans le cas où 0<b< a< π alors ABCD est un quadrilatère convexe donc : AB CD+BC AD= AC BD sin b cos a+ sina b =sin a cosb sina b= sin a cosb sin b cos a Exercice 6. Problème ouvert : un escargot se déplace. Un escargot se déplace dans un potager rectangulaire de dimensions m 4 m. Un repère orthonormé O;I,J est tracé sur le sol tel que : O est le centre du potager ; OI a pour direction la longueur du potager ; le plan est orienté. L escargot par de O et avance à la vitesse de 6 cm.min en suivant l axe des abscisses dans le sens positif pendant minute, puis tourne d un angle de π. Il poursuit son chemin pendant minute, tourne encore et ainsi de suite. 45 Arrivera-t-il sur une des clôtures en moins de heures? Voici ici un dessin représentant le déplacement de notre escargot dans un potager rectangulaire. On s aperçoit graphiquement qu il va sortir du potager en moins d une demi-heure. M K,5 m O m L S / 6
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