Chapitre C : PGCD, PPCM.

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1 Chapitre C : PGCD, PPCM. Table des matières I. Diviseurs communs à deux entiers 1 II. PGCD de deux entiers 2 III. Calcul par l algorithme d euclide 3 IV. Calcul par la décomposition en facteurs premiers 3 V. Propriétés 3 VI. PPCM de deux entiers 3 VII. Propriétés du PPCM de deux entiers 4 Nota Bene 1. Dans ce chapitre a et b sont, sauf mention explicite du contraire, des entiers relatifs. On rappelle que D(a) désigne l ensemble des diviseurs de a. Le terme entier désignera un entier relatif. On rappelle les axiomes de construction de N dont onse servira dans certaines démonstrations de ce chapitre : N est un ensemble non vide vérifiant les trois propriétés axiomatiques suivantes : (A1) Toute partie non vide de N a un plus petit élément. (A2) Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément. (A3) N n a pas de plus grand élément. Les trois axiomes précédents seront donc les seuls résultats admis dans la suite de ce cours d arithmétique. 1

2 I. Diviseurs communs à deux entiers Définition 2. Les diviseurs communs à deux entiers a et b sont les entiers relatifs qui divisent à la fois a et b. On note D(a,b) l ensemble de ces diviseurs communs. Exemple 3. Ainsi, D(12,18) = {1,2,3,6, 1, 2, 3, 6}. Remarque 4. Ainsi, il est clair qu on a : D(a,b) = D(a) D(b), D(a,b) = D(b,a), D(a,a) = D(a), D(a,0) = D(a) et D(1,a) = { 1,1}. On a alors la propriété fondamentale suivante, dont la démonstration est basée sur le fait que si un entier divise deux entiers u et w alors il divise aussi leur somme et leur différence : Propriété 5. D(a, b) = D(a kb, b) pour tout entier k. On en déduit les conséquences suivantes : Corollaire 6. Si b est non nul, D(a,b) = D(r,b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Corollaire 7. Soit b non nul, b divise a, si, et seulement si, D(a,b) = D(b).. Exemple 8. En appliquant ce qui précède, on a : D(60,18) = D( ,18) = D(6,18) = D(6). II. PGCD de deux entiers Définition et Théorème 9. Si a et b sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls, l ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément. On l appelle plus grand commun diviseur de a et b et on le note PGCD(a,b) (ou parfois a b). Exemple 10. Le PGCD de 12 et 18 est 6. Remarque 11. Si a et b sont tous deux nuls, comme D(0,0) = Z, alors on a pas l existence de ce plus grand élément et on ne peut pas parler du PGCD de a et b. Si a ou b sont non nuls, on peut préciser que forcément 0 < PGCD(a,b) min( a, b ). Sous la même hypothèse, on a : PGCD(a,b) = PGCD(b,a) (commutativité) et P GCD(a, b) = P GCD( a, b ) donc on se ramène en général à a et b positifs. PGCD(1,b) = 1 et, pour b non nul, PGCD(0,b) = b. (définition) Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Par exemple, 15 et 22. On a alors l analogue pour le PGCD de la propriété 5 et de ses corollaires : Proposition 12. Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls, alors pour tout entier relatif k : PGCD(a,b) = PGCD(a kb,b). En particulier, si b est non nul : PGCD(a,b) = PGCD(r,b), où r est le reste de la division euclidienne de a par b, et b est un diviseur (non nul) de a si, et seulement si, PGCD(a,b) = b. 2

3 Exemple 13. 1) En appliquant ce qui précède, on a : PGCD(60, 18) = PGCD(60,18) = PGCD( ,18) = PGCD(6,18) = 6. 2) De même, on montre que, pour tout entier naturel n, 2n 2 + n + 2 et 2n + 1 sont premiers entre eux. III. Calcul par l algorithme d euclide Proposition 14. (algorithme d Euclide) Soient a et b deux entiers tels que 0 < b a. L algorithme suivant appelé algorithme d Euclide permet en un nombre fini d étapes de calculer le PGCD de a et b : (1) Calculer le reste de r dans la division euclidienne de a par b. (2) Si r = 0, PGCD(a,b) = b. (3) Si r 0, remplacer a par b, b par r et recommencer à partir de (1). Quand b ne divise pas a, on dit que PGCD(a,b) est le dernier reste non nul de l algorithme d Euclide. Exemple 15. On montre ainsi que P GCD(240, 36) = 12. IV. Calcul par la décomposition en facteurs premiers Proposition 16. Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. S ils n ont aucun facteur premier commun, PGCD(a,b) = 1. Sinon, PGCD(a,b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leur décomposition. Exemple 17. Par cette méthode, on obtient : PGCD(1008,540) = 36. V. Propriétés Propriété 18. Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. 1. (diviseurs communs et pgcd) Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de P GCD(a, b) (i.e. D(a, b) = D(P GCD(a, b)) ). 2. (homogénéité) Pour tout k N, PGCD(ka,kb) = kpgcd(a,b). 3. (propriété caractéristique) Soit d un entier naturel, d = P GCD(a, b) si, et seulement si, a = da et b = db avec a et b entiers premiers entre eux. On a alors la conséquence suivante de la dernière de ces propriétés : Conséquence : Toute fraction a peut s écrire sous forme irréductible en divisant son b numérateur et son dénominateur par PGCD(a,b). 3

4 VI. PPCM de deux entiers De la même manière qu au début du chapitre avec l ensemble des diviseurs d un entier, on peut s intéresser à ses multiples et on notera ici, pour tout entier a, M(a) l ensemble des multiples strictement positifs de a. De plus, un multiple commun de deux entiers a et b est un entier à la fois multiple de a et b. Définition et Théorème 19. Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. L ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b admet un plus petit élément noté PPCM(a,b) et appelé plus petit commun multiple de a et b. Exemple 20. PPCM(9,12) = 36. On peut utiliser ce PPCM pour calculer , on peut alors remarquer que le résultat 12 est une fraction irréductible (on peut montrer que ceci est un phénomène général si les fractions de départ sont sous forme irréductibles). Remarque 21. Si a ou b est nul, alors, par exemple pour a nul, M(0) M(b) = et on ne peut pas parler du PPCM de a et b. PPCM(a,b) = PPCM(b,a) = PPCM( a, b ) donc, on se ramènera en général à a et b positifs. Si a est un entier non nul, PPCM(a,a) = PPCM(a,1) = a. Soit a et b deux entiers non nuls, b divise a si, et seulement si, PPCM(a,b) = a. VII. Propriétés du PPCM de deux entiers Propriété 22. Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. 1. (diviseurs communs et ppcm) L ensemble des multiples communs de a et b est l ensemble des multiples de PPCM(a,b). 2. (relation pgcd-ppcm) PGCD(a,b) PPCM(a,b) = a b. 3. (homogénéité) Pour tout k N, PPCM(ka,kb) = kppcm(a,b). Remarque 23. Vu la seconde propriété, si a et b sont premiers entre eux, alors leur PPCM est leur produit. La seconde propriété nous donne une méthode de calcul du PPCM après avoir obtenu le P GCD. De plus, on peut calculer le P P CM par une méthode analogue à la seconde méthode de calcul du PGCD : Proposition 24. Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. PPCM(a,b) est égal au produit des facteurs premiers figurant dans la décomposition de l un deux nombres, chacun étant affecté du plus grand (ou du seul) exposant avec lequel il figure dans leur décomposition. Exemple 25. On peut utiliser une des méthodes décrites précédemment pour montrer que PPCM(1008,540) =

5 PGCD,PPCM : démonstrations Définition du PGCD Exemple 26. Pour a = 12 et b = 18, on a : Donc D(12) = {1;2;3;4;6;12}, D(18) = {1;2;3;4;6;9;18}. D(a) D(b) = {1;2;3;4;6} et le plus grand élément de ce dernier ensemble, 6, est donc le PGCD de 12 et 18. Remarque Implicitement la définition suppose l existence et l unicité du PGCD. Les deux sont faciles à prouver : pour l existence, il suffit d utiliser le fait que D(a) D(b) est une partie non vide de N donc qu elle a un plus petit élément; pour l unicité, raisonner par l absurde. Première méthode de calcul : décomposition en facteurs premiers On suppose dans ce paragraphe a et b entiers et supérieurs ou égaux à 2 (ce qui permet de parler de leur décomposition en produit de facteurs premiers). On aura besoin pour la suite des deux résultats suivants : Lemme 28. Soient n un entier non nul et différent de 1 et p un nombre premier. Si p α divise n alors p est un des facteurs de la décomposition en facteurs premiers de n et son exposant dans cette décomposition est supérieur ou égal à α. Démonstration. En effet, comme p α divise n, il existe un entier k tel que : n = kp α. Si k = 1 alors la propriété à obtenir est évidente. On peut donc supposer k 1. Dans ce cas, k possède une décomposition en produit de facteurs premiers : k = p β pβs s, où p 1 < p 2 <...p s sont des nombres premiers et β 1,β 2,...β s sont des entiers non nuls. Donc : n = p β pβs s p α. Dans cette dernière expression, on a deux cas : a) Si il existe j entier, avec 1 j s, tel que p = p j alors, on a : n = p β pβ j+α j...p βs s. Le membre de gauche est une décomposition en produit de facteurs premiers. Par unicité d une telle décomposition, on en déduit que c est la décomposition en produit de facteurs premiers de n donc on a bien la conclusion souhaitée dans ce cas. 5

6 b) Sinon, on peut poser p s+1 = p et β s+1 = α et on a : n = p β pβs s p β s+1 s+1. Le membre de gauche est, à renumérotation près (pour avoir les p i par ordre croissant), une décomposition en produit de facteurs premiers de n. Par unicité d une telle décomposition, on en déduit que c est la décomposition en produit de facteurs premiers de n donc on a bien la conclusion souhaitée dans ce cas aussi. Lemme 29. L entier d est un diviseur commun de a et b si, et seulement si, il s écrit comme produit de facteurs premiers communs à a et b, chacun à un exposant inférieur à celui qu il a dans la décomposition en facteurs premiers de a et de b. Démonstration. Dans le cas où d = 1, la propriété est évidemment vérifiée. On suppose dans la suite que d 1. CN : on suppose que d est un diviseur commun de a et b. Comme d est un entier supérieur ou égal à deux, il a une décomposition en produit de facteurs premiers : d = q β 1 1 qβ qβs s, où q 1 < q 2 <...q s sont des nombres premiers et β 1,β 2,...β s sont des entiers non nuls. Comme d divise a, il existe un entier k tel que : Donc : a = kd. a = kq β 1 1 qβ qβs s. Ainsi, pour tout j entier, avec 1 j s, q β j j divise a. Donc, vu le lemme précédent, q j est un facteur de la décomposition en produit de facteurs premiers de a et β j est inférieur à l exposant de q j dans cette décomposition. On peut raisonner de même en remplaçant a par b. Au total, on a montré que, pour tout j entier, avec 1 j s : q j est un facteur dans la décomposition en facteur premier de a et de b et β j est inférieur à l exposant de q j dans chacune de ces décompositions. CS : Soit d un entier s écrivant comme produit de facteurs premiers communs de a et de b avec des exposants inférieurs ou égaux à ceux qu ils ont dans la décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b. Ainsi, si a a pour décomposition en produit de facteurs premiers : a = p α 1 1 pα pαs s, où p 1 < p 2 <...p s sont des nombres premiers et α 1,α 2,... α s sont des entiers non nuls, alors, on peut écrire d de la façon suivante : d = p β pβs s, 6

7 où p 1 < p 2 <... p s sont des nombres premiers et β 1,β 2,...β s sont des entiers éventuellement nuls tels que : β 1 α1, β 2 α2,...β s αs. Donc, en posant : il est clair que : k = p α 1 β 1 1 p α 2 β p αs βs s, a = kd avec k entier, donc que d divise q. Le résultat principal de cette partie est le suivant : Théorème 30. Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs de a et b avec, pour chacun, un exposant égal au minimum de celui qu il a dans la décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b. Démonstration. 7

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