Nombres entiers. Arithmétique.

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1 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 1/6 Nombres entiers. Arithmétique. I) L ensemble des entiers naturels 1) Récurrence simple 2) Récurrence double 3) Récurrence forte 4) Exemples de récurrences simple, double et forte 5) Propriétés liées à l ordre 6) Division euclidienne II) Arithmétique 1) Diviseur, multiple 2) Congruences 3) pgcd, ppcm 4) Algorithme d Euclide 5) Nombres premiers 6) Décomposition en facteurs premiers 7) Algorithmes classiques: test de primalité, factorisation, crible d Erathostène I) L ensemble des entiers naturels = {0,1,2,...} est l ensemble des entiers naturels. 1) Récurrence simple PH0L Soit P HnL une affirmation dépendant d un entier naturel n. Alors: ; fl " n œ, P HnL " n œ, P HnL fl P Hn + 1L b) Rédaction ( Les mots clés en gras doivent apparaître ) On démontre par récurrence la propriété P HnL. Initialisation: P H0L est vraie car... Transmission: Soit n œ. On suppose que P HnL est vraie. Montrons que P Hn + 1L est vraie.... (Ou encore: On suppose que P HnL est vraie pour un entier n et on montre que P Hn + 1L est vraie ) Conclusion: " n œ, P HnL est vraie. Conseil: pour être certain de faire une vraie récurrence, indiquer dans la transmission le moment HR où l on utilise l hypothèse de récurrence.

2 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 2/6 2) Récurrence double Soit P HnL une affirmation dépendant d un entier naturel n. Alors: P H0L et PH1L ; fl " n œ, P HnL " n œ, HP HnL et P Hn + 1LL fl P Hn + 2L b) Rédaction ( Les mots clés en gras doivent apparaître ) On démontre par récurrence double la propriété P HnL. Initialisation: P H0L et P H1L sont vraies car... Transmission: Soit n œ. On suppose que P HnL et P Hn + 1L sont vraies. Montrons que P Hn + 2L est vraie.... (Ou encore: On suppose que P HnL et P Hn + 1L sont vraies pour un entier n et on montre que P Hn + 2L est vraie ) Conclusion: " n œ, P HnL est vraie. 3) Récurrence forte Soit P HnL une affirmation dépendant d un entier naturel n. PH0L Alors: ; fl " n œ, P HnL " n œ, HP H0L et P H1L et... et P HnLL fl P Hn + 1L b) Rédaction ( Les mots clés en gras doivent apparaître ) On démontre par récurrence forte la propriété P HnL. Initialisation: P H0L est vraie car... Transmission: Soit n œ. On suppose que P H0L, P H1L,..., P HnL sont vraies. Montrons que P Hn + 1L est vraie.... Conclusion: " n œ, P HnL est vraie. 4) Exemples de récurrences simple, double et forte a) Montrer que " n œ * n, SHnL = S käk! = Hn + 1L! - 1 k=1 b) Soit Hu n L la suite définie par: u 0 = 2, u 1 = 1 et " n œ, u n+2 = u n u n. Prouver que " n œ, u n = 3 n + H-2L n. c) Prouver que " n œ *, $ Hp, ql œ 2 ë n = 2 p H2 q + 1L 5) Propriétés liées à l ordre Toute partie non vide de admet un minimum. Toute partie non vide et majorée de admet un maximum. Ces propriétés sont fausses dans. Par exemple avec A = ]0,1[, min A et max A n'existent pas.

3 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 3/6 6) Division euclidienne et définition Soient a et b deux entiers naturels avec b 0. Alors il existe un unique couple Hq, rl d entiers naturels tel que ; a = b q + r 0 b r < b. L égalité a = b q + r avec 0 b r < b est l égalité de la division euclidienne de a par b. a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste. Par exemple 100 = 7ä est l égalité de la division euclidienne de 100 par 13. b) Proposition Dans l égalité de la division euclidienne de a par b: ; a = b q + r 0 b r < b alors q = B b a F et r = a - b B b a F. II) Arithmétique 1) Diviseur, multiple a) Définition et notation Soient a et b deux entiers relatifs. Alors: a divise b ñ a est un diviseur de b ñ b est multiple de a ñ $ k œ ê b = k a. On note alors a b. b) Exemples 7 35, -5 5, 3 0, 1 est un diviseur de tous les entiers, 0 est un multiple de tous les entiers. c) Propriétés Soient a, b, c œ. Alors: a b et b c fl a c (Transitivité de la divisibilité) a b et a c fl " l, m œ, a Hl b + m cl 2) Congruences (hors programme PCSI) a) Définition et notation Soient a, b œ et n œ *. Alors: a est congru à b modulo n ñ n divise b - a. On note alors a ª b) Exemple 17 ª 9 [4] et également 17 ª 1 [4] et 19 ª -1 [4] c) Théorème " a œ, " n œ *, n a, ñ n ª r est le reste de la division euclidienne de a par b ñ a ª r@bd et 0 b r < b.

4 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 4/6 d) Calculs sur les congruences " a, b, c, d œ, " k, n œ * : a ª b@nd et c ª d@nd fl ; a + c ª b + (On peut additionner ou multiplier les congruences) aäc ª a ª b@nd fl ak ª b k äa ª nd. e) Exemples a) Calculer le reste de la division de par 7 b) Soit n œ non divisible par 2 ou par 3. Prouver que n 2-1 est divisible par 24. f) Exercice Soit N œ, que l on écrit N = a n a n-1... a 0 en base 10. On note SHNL = a 0 + a a n la somme des chiffres de N. a) Prouver que N est divisible par 9 ñ S HNL est divisible par 9. b) Trouver un critère analogue de divisibilité par 11. 3) pgcd, ppcm et définitions Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Alors: Le plus grand diviseur commun de a et b est noté pgcd Ha, bl. (Pour le pgcd, l un des deux entiers peut être nul) Le plus petit multiple commun strictement positif de a et b est noté ppcm Ha, bl. Par exemple, pgcd(35,14) = 7, pgcd(100,0) = 100 et ppcm(35,14) = 70 b) Calcul de d = pgcd(a,b) On peut calculer d = pgcd Ha, bl en: a) Ecrivant la liste des diviseurs de a et de b, d est alors le plus grand diviseur commun. b) A partir de la décomposition en facteurs premiers (voir plus loin) g) Utilisant l algorithme d Euclide (voir plus loin) c) Calcul de m = ppcm(a,b) On peut calculer m = ppcm Ha, bl en: a) A partir de la décomposition en facteurs premiers (voir plus loin) b) utilisant la propriété: p pcm Ha, blä pgcd Ha, bl = aäb. Le calcul de ppcm Ha, bl est donc ramené à celui de pgcd Ha, bl. 4) Algorithme d Euclide (Euclide, mathématicien de la Grèce antique, environ ) Le pgcd de a et b est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes successives a = b q 1 + r 1 ; b = r 1 q 2 + r 2 ; r 1 = r 2 q 3 + r 3 ; r 2 = r 3 q 4 + r 4 etc a) Preuve Il repose sur la remarque suivante: si a=b q + r est l égalité de la divison euclidienne de a par b, alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r). (En effet, l ensemble des diviseurs de a et b est égal à l ensemble des diviseurs de b et r) Si l on fait alors les divisions euclidiennes successives: a=bq 1 + r 1 ; b= r 1 q 2 + r 2 ; r 1 = r 2 q 3 + r 3, etc, on en déduit:

5 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 5/6 pgcd Ha, bl=pgcd Hb, r 1 L=pgcd Hr 1, r 2 L=pgcd Hr 2, r 3 L=... Mais b>r 1 > r 2 > r 3 >... r 0. La suite des restes successifs Hr n L est une suite strictement décroissante d entiers. Donc il existe un plus petit entier n tel que r n = 0. Alors pgcd Ha, bl=pgcd Hr n-1, 0L=r n-1. Le pgcd de a et b est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes. Exemple: calculer pgcd(637,490) et pgcd (12345, 54321) b) Algorithme def pgcd(a, b): """ Calcul du pgcd par l'algorithme d'euclide""" while b > 0: a, b = b, a % b return a 5) Nombres premiers a) Définition Un entier naturel n r 2 est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et n. On note P l ensemble des nombres premiers. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...} ATTENTION: 1 n est pas un nombre premier. b) Théorèmes Un entier n r 2 n est pas premier si et seulement si il existe deux entiers a r 2 et b r 2 tels que n = a b si et seulement si il admet un diviseur d tel que 2 b d b n. Tout entier n r 2 admet un diviseur premier. Il y a une infinité de nombres premiers. 6) Décomposition en facteurs premiers Tout entier naturel n r 2 s écrit de façon unique sous la forme n = p 1 n 1 p 2 n 2.. p k n k avec les p i nombres premiers deux à deux distincts et les n i œ *. L écriture n = p 1 n 1 p 2 n 2.. p k n k est la décomposition de n en facteurs premiers. b) Exemples Calculer les décomposition en facteurs premiers de a = 10! et b = c) Calcul de pgcd(a,b) et ppcm(a,b) à partir des décompositions en facteurs premiers On prend les plus petits ou plus grands exposants dans les décompositions de a et b Calculer pgcd(a,b) et ppcm(a,b) pour: a = 490 et b = 693 a = 10! et b =

6 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 6/6 d) Exercice: (Nombre de diviseurs d un entier) Soit n = p n 1 1 p n p n k k la décomposition de n en facteurs premiers. Prouver que le nombre de diviseurs de n est ND HnL = H1 + n 1 L H1 + n 2 L... I1 + n k M Combien a = 60, b = 10! et c = ont-ils de diviseurs? e) Exercices a ) Soient a, n œ * avec a r 2 et n non premier. Prouver que A = a n - 1 n'est pas premier. b) Soient a, n œ * avec a r 2 et n r 2 tels que B = a n + 1 soit un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2. 7) Algorithmes classiques: test de primalité, factorisation, crible d Erathostène a) Test de primalité def premier(n): """ n est-il premier?""" for d in range(2, floor(sqrt(n)+1)): if (n % d) == 0: return False return True b) Factorisation d un entier def factorisation(n): """Factorisation en produit de nombres premiers""" m, div, res = n, 2, "" while div <= sqrt(m): k = 0 while (m % div) == 0: k = k + 1 m = m // div if k == 1: res = res + "{0} x ".format(div) elif k > 1: res = res + "({0}^{1}) x ".format(div, k) div = div + 1 if m > 1: res = res + str(m) else: res = res[:-3] rep = "{0} = {1}".format(n, res) print(rep) c) Crible d Erathostène (Ératosthène ( ), astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec) C est un algorithme très performant pour calculer la liste des nombres premiers plus petits qu un entier donné. def crible(n): """ Liste des nombres premiers plus petits que n""" s = list(range(n+1)) for p in range(2, floor(sqrt(n)) + 1): if s[p]!= 0: for k in range(2, (n // p) + 1 ): s[k * p] = 0 res = [e for e in s if e > 1] return res