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2 DIFFERENTES PARTIES DU PROGRAMME : ARITHMETIQUE MATRICES ET SUITES

3 L' ARITHMETIQUE C est la branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés Quelques mots clés: Diviseurs, multiples, division euclidienne... Nombres premiers entre eux, PGCD, PPCM... Nombres premiers Algorithmes,...

4 L'ARITHMETIQUE ETUDE DE PROBLEMES HISTORIQUES ECRITURE D'UN NOMBRE ENTIER DANS DIFFERENTES BASES UTILISEES CHEZ LES MAYAS, LES BABYLONNIENS ECRITURE DES NOMBRES PREMIERS : NOMBRE DE FERMAT, NOMBRE DE MERSENNE INFINITÉ OU NON INFINITÉ DES NOMBRES PREMIERS, LÀ EST LA QUESTION

5 L'ARITHMETIQUE ETUDE DE PROBLEMES CONCRETS Un astronome a observé au jour J le corps céleste A qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard, il observe le corps B dont la période d'apparition est de 81 jours. Déterminer la date de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. (équation de Diophante)

6 L'ARITHMETIQUE Des applications récentes : La détection des erreurs (clé de contrôle d un numéro INSEE, d'un code barre, d'un numéro bancaire...) La correction des erreurs La cryptographie (codage, internet)

7 L'ARITHMETIQUE EXEMPLE DE CRYPTOGRAPHIE La cryptographie est la science du codage. Elle a été principalement utilisée dans l'histoire à des fins militaires ou politiques. Dès l'antiquité, on connaissait une méthode de cryptage très simple (trop simple!) : le code César, qui se perfectionna par la suite en codage affine.

8 L'ARITHMETIQUE Pour commencer, à toute lettre de l'alphabet, on associe un nombre : Soit x le nombre associé à la lettre de départ. On se donne deux entiers a et b. Le couple (a ; b) s'appelle la clé de codage. On calcule : y = ax + b. On calcule ensuite le reste de la division euclidienne de y par 26. On note c(x) ce reste. Pour terminer,on associe à c(x) la lettre correspondante par lecture inverse du tableau. Si a = 1, le codage se résume à un décalage ; c'est le code César.

9 L'ARITHMETIQUE Lettre initiale M A T H S x y=3x c(x) Lettre codée P F K A H On a codé le mot «MATHS» avec la clé (3;5), ce qui donne : PFKAH. Il existe d'autres codages possibles : Vigenère, Hill Le plus efficace jusqu'à présent est le codage RSA, basé sur une clé public pour le codage et une clé privé pour le décodage. Il utilise les nombres premiers.

10 CALCUL MATRICIEL DEFINITION : m et n sont deux entiers naturels non nuls. Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres formé de m lignes et de n colonnes. Il existe des matrices lignes (une seule ligne), des matrices colonnes (une seule colonne) et des matrices carrées

11 CALCUL MATRICIEL On peut additionner, multiplier des matrices entre elles. Il existe des matrices inverses pour les matrices carrées : M est l'inverse de N si et seulement si M*N = M*N = I I étant la matrice unité (des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs)

12 CALCUL MATRICIEL APPLICATIONS : Résolution de systèmes linéaires : le calcul matriciel donne un moyen très performant de résoudre des systèmes de n équations à n inconnues. L'utilisation des graphes : les graphes sont un outil qui permet de représenter «graphiquement» un problème donné et de le résoudre. L'étude de mouvement de population, de marche aléatoire ceci en relation avec les suites.

13 CALCUL MATRICIEL L'un des problèmes historiques les plus célèbres est celui des ponts de Königsberg : est il possible de trouver un parcours qui revienne à son point de départ en empruntant une fois et une seule chaque pont. C'est Leonhard Euler qui répondit à cette question et établit les premiers théorèmes de la théorie des graphes.

14 CALCUL MATRICIEL Exemple : Un fumeur décide d arrêter de fumer. On choisit d utiliser la modélisation suivante : s il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ; s il fume un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,6. On appelle p n la probabilité de ne pas fumer le n ième jour après sa décision d arrêter de fumer et q n la probabilité de fumer le n ième jour après sa décision d arrêter de fumer. On suppose que p 0 = 0 et q 0 = 1. A long terme, peut on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer?

15 CALCUL MATRICIEL Soit F le sommet fume et N le sommet ne fume pas. On construit alors la matrice de transition de l'état N à F : A=[ 0,9 0,6 ] 0,1 0,4 On peut établir en calculant différentes puissances de A que cette personne à 85 % de chance d'arrêter définitivement de fumer.

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