Les Algorithmes arithmétiques

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1 Chaitre5 : Les s arithmétiques Les s arithmétiques I. Calcul PGCD 1) Méthode de différece 0-Def F gcd (a,b : etier) : etier Tat que a b faire Si a>b alors a a-b Sio b b-a Fisi Fitatque 2-gcd a 3-Fi 2) Méthode de d Euclide 0-Def F gcd (a,b : etier) : etier Tat que a mod b 0 faire r a mod b a b b r Fitatque 2-gcd b 3-Fi II. Calcul PPCM Méthode de différece 0- Def F gcd (a, b : etier) : etier Méthode d Euclide 0- Def F gcd (a, b : etier) : etier 0-Def F cm (a, b : etier) : etier si a>b alors max a, mi b sio max b, mi a fisi 2- [M max] Tat que M mod mi 0 faire M M+max Fitatque 3-cm M III. Arragemet et combiaiso 1) Arragemet A! = avec 0 ( - )! A 0-Def F arrage (, : etier) : etier [A 1] 2-Pour i de -+1 à faire A A*i fiour 3-arrage A 1 A = * A 0 A = Def F arrage (, : etier) : etier Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 1

2 Chaitre5 : Les s arithmétiques 2) Combiaiso C! = avec 0!( - )! C 0-Def F comb (, : etier) : etier [um 1,d 1] 2-Pour i de +1 à faire um um*i d d*(-i+1) fiour 3-comb um div d -1 = C C C C = 1 et C =1 0- Def F comb (, : etier) : etier IV. Décomositio e facteurs remiers 0-Def F factrem(n : etier) : chaîe [ch "", i 2] 2- Rééter Si N mod i=0 alors Covch(i,c) ch ch+c+"*" N N div i sio i i+1 fisi Jusqu'à (N=1) V. Règles de divisibilité 1) Divisibilité ar 2 : 60=2*2*3*5 3-efface (ch, log (ch),1) 4-factrem ch 5-Fi U ombre est divisible ar 2 (air) si et seulemet si so chiffre des uités est divisible ar 2 s est divisible ar 2 car il se termie ar 8 qui est divisible ar est divisible ar 2 car il se termie ar 2. 2) Divisibilité ar 3 U ombre est divisible ar 3 si et seulemet si la somme de ses chiffres est divisible ar est divisible ar 3 car : = 45 qui est divisible ar 3 Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 2

3 Chaitre5 : Les s arithmétiques 3) Divisibilité ar 4 U ombre est divisible ar 4 si seulemet si le ombre formé ar ses deux deriers chiffres est divisible ar est divisible ar 4 car il se termie ar 48 et ous voyos que 48 est divisible ar 4 4) Divisibilité ar 7 Pour détermier si u ombre x est divisible ou o ar 7 o suit le ricie suivat : 1. surimer le chiffre d uité de x 2. calculer la valeur absolue de la différece etre le ombre obteu e 1 et le double du chiffre surimé 3.recommecer les étaes 1 et 2 jusqu'à obteir u ombre à u seul chiffre 4.si le chiffre obteu e 3) est égal à 0 ou 7 alors x est divisible ar 7 : x= ) Divisibilité ar 11 a) 1ère faço Pour détermier si u ombre X est divisible ar 11 : o calcule la somme A des chiffres e ositio imaire ; o calcule la somme B des chiffres e ositio aire ; X est divisible ar 11 si et seulemet si la valeur absolue de A B est divisible ar 11. Cosidéros le ombre A = = 6 B = = 17 B A = 17 6 = 11 Nous trouvos u résultat divisible ar 11, doc est divisible ar 11. Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 3

4 Chaitre5 : Les s arithmétiques b) 2ème faço O séare le ombre ar traches de deux chiffres à artir des uités e itercalat des + et o effectue l'oératio obteue. Si le résultat est divisible ar 11 alors le ombre de déart est divisible ar 11. Rereos l'exemle récédet 19382, o obtiet : = 176 Comme le résultat a lus de deux chiffres, o recommece : = est divisible ar 11 doc est divisible ar 11 d'arès la roriété. VI. Coversio etre bases 1) Coversio d u ombre décimal e biaire La coversio corresod à des divisios etières successives ar 2 jusqu'à avoir u quotiet ul. Le ombre biaire est obteu e lisat les différets restes du derier vers le remier 0-Def F Cov10_2 ( : etier) : chaîe [ch ""] 2-Rééter r mod 2 covch(r,c) fisi ch c+ch div 2 Jusqu a =0 3- Cov10_2 ch 0- Def F Cov10_2 ( : etier) : chaîe 2) Coversio d u ombre décimal e hexadécimal 0-Def F Cov10_16 ( : etier) : chaîe 0- Def F Cov10_16 ( : etier) : chaîe [ch ""] 2-Rééter r mod 16 Si r >=10 alors c chr(r+55) sio covch(r,c) fisi ch c+ch div 16 Jusqu a =0 3- Cov10_16 ch Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 4

5 Chaitre5 : Les s arithmétiques 3) Coversio d u ombre décimal à ue base B 0-Def F Cov10_B (, b : etier) : chaîe 0- Def F Cov10_B (,b: etier) : chaîe [ch ""] Si =0 alors Cov10_B "" 2-Rééter Sio r mod b r mod b Si r 10 alors c chr(r+55) Si r 10 alors c chr(r+55) sio Sio covch(r,c) fisi covch(r,c) ch c+ch Fiisi div b cov10_b Cov10_B( div b, b)+c Jusqu a =0 Fisi 3- Cov10_B ch 2- Fi 4) Coversio d u ombre biaire e décimal La coversio se fait e additioat les uissaces de 2 corresodat aux bits de valeur 1 0-Def F Cov2_10 ( : chaîe) : etier 0- Def F Cov2_10 ( : chaîe) : etier [S 0] 2-Pour i de 1 à log () faire Si [i] ="1" alors S S+ Puis (2, log ()-i) fisi Fi our 3- Cov2_10 S 5) Coversio d u ombre hexadécimal e Décimal 0-Def F Cov16_10 ( : chaîe) : etier 0-Def F Cov16_10 ( : chaîe) : etier [S 0] 2-Pour i de 1 à log () faire Si [i] das ["A".."F"] alors c Ord([i])-55 Sio Valeur([i],c,e) fisi S S+c*Puis(16,log()-i) Fi our 3- Cov16_10 S 6) Coversio d u ombre d ue base B e Décimal 0-Def F CovB_10 ( : chaîe, b: etier) : etier [S 0] 2-Pour i de 1 à log () faire Si [i] das ["A".."F"] alors c Ord([i])-55 Sio Valeur([i],c,e) fisi S S+c*Puis(b,log()-i) Fi our 3- CovB_10 S 0-Def F CovB_10 ( : chaîe, b: etier) : etier Si = alors CovB_10 0 Sio Si [1] das ["A".."F"] alors c Ord([1])-55 Sio Valeur([1],c,e) Fisi Efface(,1,1) CovB_10 c*puis(b,log())+covb_10(, b) Fisi 2- Fi Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 5

6 Chaitre5 : Les s arithmétiques 7) Coversio d u ombre d ue base B1 e ue base B2 : 0-Def F CovB1_B2 (1 : chaîe, b1, b2: etier) : chaîe 8) Coversio d u ombre biaire e hexadécimal Si le ombre de chiffres du ombre biaire à covertir est as multile de 4, o ajoute à gauche du ombre des zéros jusqu'à le ombre de chiffres soit multile de 4. O effectue le remlacemet (de gauche à droite) de chaque 4 bits ar le chiffre hexadécimal corresodat. : = ) Coversio d u ombre hexadécimal e biaire La coversio cosiste à remlacer chaque chiffre hexadécimal ar so équivalet biaire sur 4 bits. : =3C Eseigat : Be Youssef Mohamed Hédi 6