Récursivité 1 : Algorithmes et Complexité Partie 3
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- Florentin Lamarche
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1 1 / 46 Récursivité 1 : Algorithmes et Complexité Partie 3 Salem BENFERHAT Centre de Recherche en Informatique de Lens (CRIL-CNRS) benferhat@cril.fr 1 Version préliminaire du cours. Tout retour sur la forme comme sur le fond est le bienvenu.
2 Récursivité Croisée 2 / 46
3 Type de récursivité Récursivité croisée Deux fonctions sont dites mutuellement récursives si elles dépendent les unes des autres. 3 / 46
4 Type de récursivité 4 / 46 Baguenaudière
5 Récursivité : Baguenaudière 5 / 46 Baguenaudière : principe On se donne une table (que l on appellera baguenaudière) à n cases, chacune peut contenir un pion. Chaque case est numérotée de 1 à n. La baguenaudière peut être vide ou pleine. Exemple : Une baguenaudière pleine à 5 cases
6 6 / 46 Récursivité : Baguenaudière Baguenaudière : Règles du jeu Pour la case 1, on peut enlever un pion ou mettre un pion sans contrainte. Pour la case 2, on peut enlever un pion ou mettre un pion uniquement si la case 1 est pleine De manière générale, pour la case i (différente de 1 et 2), on peut enlever un pion ou mettre un pion si : La case i 1 est pleine (contient un pion) Toutes les cases de 1 à i 2 sont vides.
7 7 / 46 Récursivité : Baguenaudière Baguenaudière : But du jeu La baguenaudière peut être vide ou pleine. Si elle est vide, le but est de la remplir Si elle est pleine, le but est de la vider
8 8 / 46 Exemple de baguenaudière Remplir 5 cases
9 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
10 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
11 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
12 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
13 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
14 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
15 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
16 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
17 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
18 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
19 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
20 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
21 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
22 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
23 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
24 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
25 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
26 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
27 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
28 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
29 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
30 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases
31 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : remplir 5 cases 9 / 46
32 10 / 46 Exemple de baguenaudière Vider 5 cases
33 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
34 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
35 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
36 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
37 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
38 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
39 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
40 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
41 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
42 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
43 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
44 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
45 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
46 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
47 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
48 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
49 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
50 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
51 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
52 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
53 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
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55 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
56 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
57 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
58 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
59 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases
60 Déroulement du Jeu Baguenaudiere : vider 5 cases 11 / 46
61 Récursivité : Baguenaudière Exercices On rappelle qu une baguenaudière peut être vide ou pleine. Ecrire une fonction récursive qui consiste à remplir une baguenaudière vide. Ecrire une fonction récursive qui consiste à vider une baguenaudière pleine. 12 / 46
62 Récursivité : Fonction remplir void Remplir (int N) { if (N>0) { if (N==1) { printf("mettre un pion dans la case %d \n", N); } else { Remplir(N-1); Vider (N-2); printf("mettre un pion dans la case %d \n", N); Remplir(N-2); } } } 13 / 46
63 Récursivité : Fonction vider 14 / 46 void Vider (int N) { if (N>0) { if (N==1) { printf( "Enlever un pion de la case %d \n", N); } else { Vider (N-2); printf("enlever un pion de la case %d \n", N); Remplir(N-2); Vider(N-1); } }
64 Tour de Hanoï : encore une variante Nouvelle variante On considère de nouveau le problème de la tour de Hanoï, mais en ajoutant une contrainte supplémentaire : On ne peut échanger de disques entre la tige de départ et la tige intermédiare 15 / 46
65 16 / 46 Tour de Hanoï Une nouvelle variante
66 17 / 46 Une nouvelle variante de la tour de Hanoï Contrainte supplémentaire Aucun disque ne peut être échangé entre la tige de départ et la tige intermédiaire
67 18 / 46 Tour de Hanoï Une nouvelle variante
68 19 / 46 Variante de Hanoï Nombre de disques = 2
69 Tour de Hanoï 20 / 46 Etape 0: La tour à l état initial Tige 0 Tige 1 Tige 2
70 Tour de Hanoï 21 / 46 Etape 1: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
71 Tour de Hanoï 22 / 46 Etape 2: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 1 Tige 0 Tige 1 Tige 2
72 Tour de Hanoï 23 / 46 Etape 3: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
73 Tour de Hanoï 24 / 46 Etape 4: déplacer un disque de la tige 1 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
74 25 / 46 Variante de Hanoï Nombre de disques = 3
75 Tour de Hanoï 26 / 46 Etape 0: La tour à l état initial Tige 0 Tige 1 Tige 2
76 Tour de Hanoï 27 / 46 Etape 1: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
77 Tour de Hanoï 28 / 46 Etape 2: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 1 Tige 0 Tige 1 Tige 2
78 Tour de Hanoï 29 / 46 Etape 3: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
79 Tour de Hanoï 30 / 46 Etape 4: déplacer un disque de la tige 1 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
80 Tour de Hanoï 31 / 46 Etape 5: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 0 Tige 0 Tige 1 Tige 2
81 Tour de Hanoï 32 / 46 Etape 6: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 1 Tige 0 Tige 1 Tige 2
82 Tour de Hanoï 33 / 46 Etape 7: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
83 Tour de Hanoï 34 / 46 Etape 8: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 1 Tige 0 Tige 1 Tige 2
84 Tour de Hanoï 35 / 46 Etape 9: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
85 Tour de Hanoï 36 / 46 Etape 10: déplacer un disque de la tige 1 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
86 Tour de Hanoï 37 / 46 Etape 11: déplacer un disque de la tige 2 vers la tige 0 Tige 0 Tige 1 Tige 2
87 Tour de Hanoï 38 / 46 Etape 12: déplacer un disque de la tige 1 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
88 Tour de Hanoï 39 / 46 Etape 13: déplacer un disque de la tige 0 vers la tige 2 Tige 0 Tige 1 Tige 2
89 Récursivité croisée : variante de la tour de Hanoï Cette variante de la tour de Hanoï a une solution naturelle avec la récursivité croisée, avec les deux fonctions suivantes : Première fonction Hanoi sans AB (n,a,b,c) qui consiste à transférer n disques de la tige A vers la tige C sans utiliser de communications entre A et B (dans les deux sens). 40 / 46
90 Récursivité croisée : variante de la tour de Hanoï Première fonction Attention à l utilisation des arguments: l appel à la fonction Hanoi sans AB (n-1,a,b,c) permet de transférer (n-1) disques de la tige A vers la tige C sans utiliser de communications entre A et B (tout va bien). l appel à la fonction Hanoi sans AB (n-1,b,a,c) permet de transférer (n-1) disques de la tige B vers la tige C sans utiliser de communications entre A et B (tout va bien). mais l appel à la fonction Hanoi sans AB (n-1,c,a,b) permet de transférer (n-1) disques de la tige C vers la tige A sans utiliser de communications entre A et C (et non pas entre A-B). Donc il est important de tenir compte des paramètres lorsque vous écrivez votre fonction. 41 / 46
91 Récursivité croisée : variante de la tour de Hanoï Deuxième fonction Hanoi sans BC (n,a,b,c) qui consiste à transférer n disques de la tige A vers la tige C sans utiliser de communications entre B et C (dans les deux sens). 42 / 46
92 Récursivité croisée : variante de la tour de Hanoï Exercice Supposons que les deux fonctions suivantes sont disponibles : Hanoi sans AB (n-1,a,b,c) 1 2 Hanoi sans BC (n-1,a,b,c) Ecrire les fonctions (récursives) Hanoi sans AB (n,a,b,c) et Hanoi sans BC (n,a,b,c) Evaluer leur complexité 43 / 46
93 44 / 46 Variante de Hanoï Solutions
94 Récursivité croisée : Hanoï sans AB 45 / 46 void hanoi_sans_dep_inter (int nbre_disques, int dep, int inter, int dest) { if(nbre_de_disques!=0) { hanoi_sans_dep_inter(nbre_disques-1,dep,inter,dest); hanoi_sans_inter_arrive(nbre_disques-1,dest,dep,inter); printf("deplacer un disque de %d vers %d\n",dep,dest); hanoi_sans_dep_inter(nbre_disques-1,inter,dep,dest); } }
95 Récursivité croisée : Hanoï sans BC 46 / 46 void hanoi_sans_inter_arrive (int nbre_disques, int dep, int inter, int dest) { if(nbre_de_disques!=0) { hanoi_sans_inter_arrive(nbre_disques-1,dep,dest,inter); printf("deplacer un disque de %d vers %d\n",dep,dest); hanoi_sans_dep_inter(nbre_disques-1,inter,dest,dep); hanoi_sans_inter_arrive(nbre_disques-1,dep,inter,dest); } }
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