Corps finis et théorie de Galois
|
|
- Paul Lachapelle
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Corps finis et théorie de Galois Exercice 1. Soit p un nombre premier impair et Ω une clôture algébrique de F p. 1. Justifier que F p = {x Ω x p = x}.. Montrer qu il existe un élément ζ Ω tel que ζ = 1. En déduire que 1 est un carré dans F p si et seulement si p 1 [4]. 3. Montrer qu il existe un élément ζ Ω tel que ζ 4 = 1. En considérant l élément ζ +ζ 1, montrer que est un carré dans F p si et seulement si p ±1 [8]. 1. Notons A = {x Ω x p = x}. Soit x F p Ω. Si x = 0 alors x p = x donc x A. Sinon, x F p qui est un groupe de cardinal p 1. Dès lors, d après le théorème de Lagrange, x p 1 = 1 et donc x p = x i.e. x A. On peut ainsi affirmer que F p A. Mais, dans Ω, le polynôme X p X a au plus p racines donc A p = F p. Il s ensuit que A = F p.. Comme Ω est algébriquement clos, le polynôme X +1 admet au moins une racine ζ Ω. Ainsi, il existe ζ Ω tel que ζ = 1. Si 1 est un carré dans F p alors il existe a F p tel que a = 1 1 (car p ). Mais alors a 4 = 1 donc l ordre de a dans F p est 4. Par le théorème de Lagrange, 4 divise l ordre de F p i.e. 4 divise p 1. Il s ensuit que p 1 0 [4] i.e. p 1 [4]. Réciproquement, supposons que p 1 [4]. Alors, il existe un entier m tel que p 1 = 4m donc ζ p 1 = ζ 4m = [ ( 1) ] m = 1 donc ζ p = ζ. Il s ensuit que ζ F p d après la première question et donc 1 est bien un carré dans F p. 3. De la même façon, le polynôme X 4 +1 admet au moins une racine ζ dans Ω donc il existe ζ Ω tel que ζ 4 = 1. Remarquons que, pour un tel ζ, ( ζ +ζ 1) = ζ + + ζ mais, comme ζ 4 = 1, ζ = ζ et donc ( ζ +ζ 1 ) =. Ainsi, a := ζ +ζ 1 est une racine carré de dans Ω. Si p 1 [8] alors il existe une entier m tel que p 1 = 8m donc ζ p 1 = ζ 8m = [ ( 1) ] m = 1 et ainsi ζ p = ζ i.e. ζ F p. Par suite ζ 1 F p et a est une racine carré de dans F p. De plus, si p 1 [8] alors il existe une entier m tel que p+1 = 8m donc ζ p+1 = ζ 8m = [ ( 1) ] m = 1 et ainsi ζ p+1 = 1 i.e. ζ p = ζ 1. Par suite, ζ p = [ζ p ] 1 = ζ et donc, comme Ω est de caractéristique p, a p = ζ p +ζ p = ζ 1 +ζ = a donc a F p et donc a une racine carré dans F p. Réciproquement, supposons que admet une racine carré dans F p. Alors, c est aussi une racine dans Ω et comme p, les deux racines de dans Ω sont a et a. Ainsi, a F p. Il s ensuit que a p = a i.e. ζ p +ζ p = ζ +ζ 1. Dès lors, ζ p ζ = ζ 1 ζ p = ζ p 1 [ζ p ζ]. Si ζ p ζ = 0 alors ζ F p. Or, ζ 4 = 1 1 et ζ 8 = 1 donc l ordre de ζ est 8. Par le théorème de Lagrange on a donc 8 divise p 1 i.e. p 1 [8]. Sinon, ζ p 1 = 1 i.e. ζ p+1 = 1 et, de même, 8 divise p+1 i.e. p 1 [8]. Exercice. Soit p un nombre premier et P F p [X] un polynôme de degré d. 1. Montrer que P est irréductible dans F p [X] si et seulement si P n a pas de racine dans F p r[x] pour tout entier r 1, d.. Montrer que F 4 = {0,1,j,j } avec j = 1+j. En déduire que les polynômes 1+X +X 5, 1+X 3 +X 5, 1+X+X +X 3 +X 5, 1+X+X +X 4 +X 5 et 1+X +X 3 +X 4 +X 5 sont les polynômes irréductibles de degré 5 sur F [X].
2 1. Supposons que P = QR avec Q et R deux polynômes de F p [X] de degrés respectifs q 1 et r 1. Alors, comme q + r = d, q d ou r d. Supposons, par exemple, que q d. Alors, comme Q n est pas constant, il admet une racine a dans F p. Ainsi, Q est un polynôme annulateur de a de degré q donc [F p [a] : F p ] = m q r. Or, F p[a] est un corps de dimension m sur F p donc F p [a] = F p m. Ainsi, a est une racine de Q et donc de P dans F p m. On a donc montré que si P n est pas irréductible sur F p alors il admet une racine dans un F p m avec m d. Par contraposée, si P n admet pas de racine dans F p r pour tout r d alors P est irréductible sur F p. Réciproquement, supposons que P est irréductible sur F p et considérons une racine a de P dans F p. Alors, à une constante multiplicative près, P est le polynôme minimal de a sur F p donc [F p [a] : F p ] = d et ainsi F p [a] = F p d. Si r N est tel que a F p r alors F p d F p r donc d divise r. Dès lors, r d d.. On sait que F 4 est un corps à 4 éléments {0,1,j,k} = F [j,k]. De plus, j / F car sinon j = 0 ou j = 1 et donc F 4 3. Ainsi, j est de degré au moins sur F. Par ailleurs, comme F 4 est un F espace vectoriel de dimension et, comme F[j] F 4, F 4 = F[j]. Comme j / F, son ordre dans F 4 est au moins. Mais cet ordre est un diviseur de 4 1 = 3 donc l ordre de j est 3 est en particulier j / {0,1,j}. Dès lors, j = k. On a donc F 4 = {0,1,j,j }. De plus, comme j 3 1 = 0, (j 1)(j +j +1) = 0 et donc, j étant différent de 1, j +j +1 = 0 i.e. j = j 1. Or, F 4 est de caractéristique donc j = j +1. En conclusion, F 4 = {0,1,j,j } avec j = j +1. Considérons à présent P F [X] un polynôme de degré 5. Alors, P = X 5 +ax 4 +bx 3 +cx +dx +e avec a, b, c, d et e dans F. D après le résultat précédent, P est irréductible sur F si et seulement si P n a pas de racine dans F ni dans F 4 autrement dit s il n a pas de racine dans F 4. Si e = 0 alors 0 est racine de P donc e 0 si P est irréductible. Il y a donc 16 polynômes possibles : P 1 = X 5 +1 P = X 5 +X +1 P 3 = X 5 +X +1 P 4 = X 5 +X 3 +1 P 5 = X 5 +X 4 +1 P 6 = X 5 +X +X +1 P 7 = X 5 +X 3 +X +1 P 8 = X 5 +X 4 +X +1 P 9 = X 5 +X 3 +X +1 P 10 = X 5 +X 4 +X +1 P 11 = X 5 +X 4 +X 3 +1 P 1 = X 5 +X 3 +X +X +1 P 13 = X 5 +X 4 +X +X +1 P 14 = X 5 +X 4 +X 3 +X +1 P 15 = X 5 +X 4 +X 3 +X +1 P 16 = X 5 +X 4 +X 3 +X +X +1 Dans cette liste, les polynômes P 1, P 6 à P 11 et P 16 sont les polynômes qui admettent 1 comme racine donc ne sont pas irréductibles. Remarquons de plus que, comme nous sommes en caractéristique, l application Fr : x x est un morphisme d anneaux donc P(j ) = P(Fr(j)) = Fr(P(j)) = P(j) donc j est racine de P si et seulement si j est racine de P. P (j) = j 5 +j +1 = j +j +1 = 0 donc P 3 est n est pas irréductible. P 3 (j) = j 5 +j +1 = j +j +1 = 1 donc P 3 est irréductible. P 4 (j) = j 5 +j 3 +1 = j +1+1 = j donc P 4 est irréductible. P 5 (j) = j 5 +j 4 +1 = j +j +1 = 0 donc P 5 n est pas irréductible. P 1 (j) = j 5 +j 3 +j +j +1 = j +1+j +j +1 = j donc P 1 est irréductible. P 13 (j) = j 5 +j 4 +j +j +1 = j +j +j +j +1 = 1 donc P 13 est irréductible.
3 P 14 (j) = j 5 +j 4 +j 3 +j +1 = j +j +1+j +1 = j donc P 14 est irréductible. P 15 (j) = j 5 +j 4 +j 3 +j +1 = j +j +1+j +1 = j donc P 15 est irréductible. On conclut donc que les polynômes irréductibles de F [X] sont P 3 = X 5 +X + 1, P 4 = X 5 + X 3 +1, P 1 = X 5 + X 3 + X + X + 1, P 13 = X 5 + X 4 + X + X + 1, P 14 = X 5 + X 4 + X 3 + X + 1 et P 15 = X 5 +X 4 +X 3 +X +1. Exercice Vérifier les factorisations dans C[X] suivantes : X = (X +i)(x i) = (X X+1)(X + X+1) = (X +i X 1)(X i X 1).. En déduire que X 4 +1 est irréductible dans Q[X]. 3. Soit p un nombre premier impair. Montrer que l ensemble des carrés de F p est un sous-groupe d indice. En déduire que si (a,b) F p alors a, b ou ab est un carré dans F p. 4. Montrer que X 4 +1 est réductible dans F p [X] pour tout nombre premier p. 1. X 4 +1 = X 4 i = (X i)(x +i). De plus, X i = X ( e 4) ( iπ = X e i 4)( π X +e i 4) π et X +i = X ( e 4) ( iπ = X e i 4) π. Il s ensuit que X 4 +1 = ( ) X e 4)( iπ X +e i 4)( π X e = ( ) X e 4)( iπ X e i 4)( π X +e [ = X Re ( e 4) iπ + e i π 4 ][ X +Re ( e 4) iπ + e i π 4 ] = (X X +1)(X + X +1) D autre part, X 4 +1 = ( ) X e 4)( iπ X +e i 4)( π X e = ( ) X e 4)( iπ X +e i 4)( π X e [ X iim ( e 4) iπ e i π 4 ][ X +iim ( e 4) iπ e i π 4 ] (X i X 1)(X +i X 1). Supposons que P = QR avec Q et R deux polynômes de Q[X] unitaires non constants. Alors, comme P n a pas de racines réels, P et Q sont de degré pair et donc de degré. Or, les racines de Q dans C sont des racines de P donc Q est de la forme Q = (X a)(x b) avec a et b deux éléments différents de {e iπ 4, e iπ 4, e iπ 4,e iπ 4}. Or, il n y a que 6 possibilités qui correspondent aux 6 polynômes de degré apparaissant dans les factorisations ci-dessus. Comme aucun de ces 6 polynômes n est dans Q[X], on aboutit à une contradiction. Ainsi, P est irréductible sur Q. 3. Considérons l application ϕ : F p F p définie par ϕ(x) = x. Alors, ϕ est un morphisme de groupes car ϕ(xy) = (xy) = x y = ϕ(x)ϕ(y). Dès lors, G := Imϕ qui n est autre que l ensemble des carrés de F p est un sous-groupe de F p. De plus, G F p/ kerϕ. Ainsi, l indice de G qui est égal à F p / G est le cardinal de kerϕ. Or, ϕ(x) = 1 x = 1 x = 1 ou x = 1. Comme p, 1 1 et ainsi kerϕ = { 1,1} contient éléments. Ainsi, G est bien un groupe d indice de F p. Soit a et b deux éléments de F p.
4 Si l un des deux est 0 ou 1 alors il est son propre carré donc il est dans G. Si a = b alors ab = a G. Si l on n est pas dans l un des cas précédents alors a, b et ab sont trois éléments distincts de F p. En effet, a b et si a = ab alors soit a = 0 soit b = 1 (et de même si ab = b). Dès lors, comme G est d indice dans F p, l une au moins des trois classes ag, bg et abg est égale à G et ainsi l un au moins des trois éléments a, b et ab appartient à G i.e. est un carré dans F p. Ainsi, dans tous les cas, si p est impair, au moins l un des éléments a, b ou ab est un carré dans F p. 4. Soit un nombre premier p. Dans F [X], X 4 +1 = X 4 1 = (X 1)(X +1) donc X 4 +1 est réductible. Dans F 3 [X], on vérifie que (X X 1)(X +X 1) = X 4 3X +1 = X 4 +1 donc X 4 +1 est réductible. Supposons p 5. Si 1 est un carré dans F p alors il existe ω F p tel que ω = 1 donc X 4 +1 se factorise dans F p [X] en (X +ω)(x ω). Si 1 n est pas un carré alors, d après la question précédente, l un des deux nombres ou est un carré. Si = a pour un certain a F p alors (X +ax +1)(X ax +1) = X 4 +( a )X +1 = X 4 +1 donc X 4 +1 est réductible. De même, si = a pour un certain a F p alors (X +ax 1)(X ax 1) = X 4 (+a )X +1 = X 4 +1 donc X 4 +1 est réductible. Ainsi, dans tous les cas, X 4 +1 est réductible dans F p. Remarque. On sait qu un polynôme P Z[X] qui est irréductible dans F p [X] pour tout nombre premier p est irréductible dans Q[X]. L exemple précédent montre non seulement que la réciproque est fausse mais qu il existe des polynômes de Z[X] irréductibles sur Q et qui ne le sont dans aucun des F p [X]. Exercice 4. Soit k un corps parfait et Ω une clôture algébrique de k. On considère deux extensions galoisiennes K 1 Ω et K Ω de k. Montrer que K 1 K et K 1 K sont deux extensions galoisiennes de k. Soit x K 1 K. Alors, comme x K 1 et comme K 1 /k est galoisienne, Conj k,ω (x) K 1. De même, Conj k,ω (x) K et, ainsi, Conj k,ω (x) K 1 K ce qui prouve que K 1 K /k est galoisienne. Commençons par caractériser K 1 K i.e. le corps engendré sur k par K 1 et K. Plus précisément, montrons que K 1 K = L où L est l ensemble des y de Ω tel qu il existe un entier n N, un polynôme P K [X 1,...,X n ] et un n uplet (x 1,...,x n ) K n 1 tels que y = P(x 1,...,x n ). L ensemble L est clairement un anneau inclus dans K 1 K, il suffit donc de montrer que c est un corps. Soit y un élément non nul de L. Alors, il existe un entier naturel n, un polynôme P K [X 1,...,X n ] et un n uplet (x 1,...,x n ) K n 1 tels que y = P(x 1,...,x n ). Ainsi, y K [x 1,...,x n ] donc, comme x 1,..., x n sont algébriques sur k donc sur K, [K [y] : K ] < + i.e. K [y] est un corps. Il existe donc un polynôme Q K [y] tel que yq(y) = 1. Or, Q(y) = Q(P(x 1,...,x n )) L donc y admet un inverse dans L. Ainsi, K 1 K = L. Soit y K 1 K. Alors, il existe un entier naturel n, un polynôme P K [X 1,...,X n ] et un n uplet (x 1,...,x n ) K n 1 tels que y = P(x 1,...,x n ). Soit σ Hom k (L,Ω). Alors, σ(y) = σ(p(x 1,...,x n )) = P σ (σ(x 1 ),...,σ(x n )). Comme K 1 /k est galoisienne, pour tout i entre 1 et n, σ(x i ) K 1. De même, comme K est galoisienne, les images des coefficients de P K [X 1,...,X n ] par σ sont dans K i.e. P σ K [X 1,...,X n ]. Il s ensuit que y est de la forme y = Q(y 1,...,y n ) avec Q = P σ K [X 1,...,X n ] et, pour tout i, y i = σ(x i ) K 1. Dès lors, σ(y) L et donc σ(l) L et ainsi L/k est galoisienne.
5 Exercice 5. Soit k un corps parfait et Ω une clôture algébrique de k. on considère P [ X] un polynôme irréductible de degré n et K = k(x 1,...,x n ) Ω le corps engendré par les racines x 1,..., x n de P dans Ω. On note G = Gal(K/k). 1. Montrer que n divise G.. Soit R = {x 1,...,x n } K. Justifier que R = n et montrer que l action de G sur R définit un morphisme injectif G Bij(R) S n. 3. En déduire que G divise n!. 1. Remarquons que, comme K est engendré sur k par un nombre fini d éléments, K est de degré fini sur k. De plus, x 1 K donc k k[x 1 ] K et ainsi, d après le théorème de la base téléscopique, on est assuré que [K : k] = [K : k[x 1 ]][k[x 1 ] : k]. Or, P étant irréductible, à une constante multiplicative non nulle près, P est le polynôme minimal de x 1 sur k et donc [k[x 1 ] : k] = degp = n. On en déduit que n divise [K : k]. Comme K est un corps de décomposition, l extension K/k est galoisienne et de plus G = [K : k]. On en déduit donc que n divise G.. Le polynôme P étant irréductible et le corps k parfait, P est également séparable. Dès lors, il a autant de racines que son degré donc R = n. Si σ G et x R alors P(σ(x)) = σ(p(x)) = σ(0) = 0 donc σ(x) R. Ainsi, σ(r) R. De plus, comme σ est injective et comme R est fini, σ induit une bijection de R dans R. Dès lors, G agit sur R par ϕ : G Bij(R) S n σ σ R De plus, comme K est engendré sur k par les éléments de R, un automorphisme k linéaire σ de K est entièrement déterminer par les images des éléments de R. Autrement dit, l action de G sur R est fidèle i.e. ϕ est injective et permet d assimiler G à un sous-groupe de Bij(R) et donc de S n. 3. Comme S n = n!, d après le théorème de Lagrange, Imϕ divise n! et donc G divise n!. Exercice 6. On considère le réel x = Montrer que [Q(x) : Q] = 4 et déterminer les conjugués de x dans C.. Montrer que Q(x)/Q n est pas galoisienne. 3. Montrer que Q(x)/Q( ) et Q( )/Q sont galoisiennes. 4. Montrer que Q(x,i)/Q est galoisienne de degré Montrer que Q( + )/Q est galoisienne de degré Montrer que Gal(Q( + )/Q) est cyclique d ordre x = 1 + donc (x 1) =. Ainsi, P = (X 1) est un polynôme de Q[X] qui annule x donc [Q[x] : Q] 4. De plus, = x 1 Q[x] donc Q Q[ ] Q[x]. D après le théorème de la base téléscopique, on a donc [Q[x] : Q] = [ Q[x] : Q[ ] ][ Q[ ] : Q ]. Or, [ Q[ ] : Q ] = donc [ ] Q[x] : Q[ ] {,4}. Supposons que ce degré est. Alors x Q[ ] donc il existe deux rationnels a et b tels que x = a+b. Ainsi, x = a +b +ab i.e. 1+ = a +b +ab. Comme la famille (1, ) est libre sur Q, on en déduit que a +b = 1 et ab = 1. Dès lors, ni a ni b n est nul et b = 1 s ensuit que a + ( 1 a a. Il ) = 1 soit a 4 a + 1 = 0. Considérons alors l équation (E) y y + 1 = 0. Le discriminant est = 1 < 0 donc l équation (E) n a pas de solution dans Q et ainsi a 4 a + 1 = 0 n a pas de solution dans Q. Ainsi, [ Q[x] : Q[ ] ] = et, par suite, [Q[x] : Q] = 4.
6 Dès lors, comme P est unitaire de degré 4, P est le polynôme minimal de x sur Q. Les Q conjugués de x sont donc les racines de P. Or, P = [ X 1 ][ X 1+ ] = (X x)(x +x)(x x )(X +x ) où x = i 1. Ainsi, ConjQ,Q (x) = {x, x,x, x }.. Comme x est réel, Q[x] R. Or, x / R donc x / Q[x]. On en déduit que Q[x]/Q n est pas galoisienne. 3. On a vu que [Q[x] : Q] = et Q = X 1 est un polynôme unitaire de degré de Q[ ] qui annule x donc Q est le polynôme minimal de x sur Q[ ]. On en déduit que Conj Q[ ],Q[ ] (x) = {x, x} Q[x] donc Q[x]/Q[ ] est galoisienne. De même, le polynôme minimal de sur Q est X donc Conj Q,Q ( ) = {, } Q[ ] donc Q[ ]/Q] est galoisienne. 4. Remarquons que xx = i ( +1)( 1) = i donc x = ix 1 Q[x,i]. On en déduit x Q[x,i] et donc Conj Q,Q (x) = {x, x,x,x } Q[x,i]. Par ailleurs, le polynôme minimal de i sur Q est X +1 donc Conj Q,Q (i) = {i, i} Q[x,i]. Par propriété, on conclut que Q[x,i]/Q est galoisienne. Comme x Q[x,i], Q Q[x] Q[x,i] donc, d après le théorème de la base téléscopique, [Q[x,i] : Q] = [Q[x][i] : Q[x]][Q[x] : Q]. Or, on a déjà vu que [Q[x] : Q] = 4 et [Q[x][i] : Q[x]] = car i / Q[x] et X +1 est un polynôme de Q[x][X] qui annule i. Ainsi, on a bien [Q[x,i] : Q] = Posons y = +. Alors, y = + donc (y ) =. Ainsi, P 1 = (X ) est un polynôme de Q[X] qui annule y donc [Q[y] : Q] 4. De plus, = y Q[x] donc Q Q[ ] Q[y]. D après le théorème de la base téléscopique, on a donc [Q[y] : Q] = [ Q[y] : Q[ ] ][ Q[ ] : Q ]. Or, [ Q[ ] : Q ] = donc [ Q[y] : Q[ ] ] {,4}. Supposons que ce degré est. Alors y Q[ ] donc il existe deux rationnels a et b tels que y = a+b. Ainsi, y = a +b +ab i.e. + = a +b +ab. Comme la famille (1, ) est libre sur Q, on en déduit que a +b = et ab = 1. Dès lors, ni a ni b n est nul et b = 1 a. ( ) 1 Il s ensuit que a + = soit a 4 a + 1 a = 0. Considérons alors l équation (E) z z+ 1 = 0. Le discriminant est = 4 = > 0 donc l équation (E) a deux solutions réelles z 1 = 1 et z = 1+. Dès lors, a = 1 ou a = 1+. Mais, comme a et rationnel, a aussi et on a donc, comme = (1 a ) ou = (a 1), est rationnel ce qui est absurde. Ainsi, [ Q[y] : Q[ ] ] = et, par suite, [Q[y] : Q] = 4. Dès lors, comme P 1 est unitaire de degré 4, P 1 est le polynôme minimal de y sur Q. Les Q conjugués de y sont donc les racines de P 1. Or, P 1 = [ X ][ X + ] = (X y)(x +y)(x y )(X +y ) où y =. Ainsi, Conj Q,Q (y) = {y, y,y,y }. Remarquons que yy = + = et = y Q[y] donc y = y 1 Q[y] et dès lors y Q[y]. On en déduit que Conj Q,Q (y) = {y, y,y,y } Q[y] donc l extension Q[y]/Q est galoisienne. 6. Notons G = Gal(Q[y]/Q). Comme Q[y]/Q est galoisienne de degré 4, G = 4. De plus, G agit sur les conjugués de y et, comme Q[y] est engendré par y sur Q, un élément σ G est entièrement déterminé par l image de y. Ainsi, les 4 éléments de G sont définis par Id = σ 0 : y y, σ 1 : y y, σ : y y et σ 3 : y y. Pour montrer que G est cyclique, il suffit de montrer que G admet un élément d ordre 4. Or, σ 1 (y) = y y donc σ 1 Id. De plus, σ 1 (y) = σ 1(y ). Or, y = y 1 donc σ 1 (y ) = σ 1 ( y 1 ) = σ 1 ( )σ 1 (y) 1 = σ 1 ( )y 1 = σ 1 ( ) y. Mais, = y donc σ 1 ( ) = σ 1 (y) = y = donc σ1 (y) = y. Ainsi, σ 1 Id donc l ordre de σ 1 est au moins 3. Mais, par le theorème de Lagrange, cet ordre divise 4 donc σ 1 est un élément d ordre 4 de G et ainsi G =< σ 1 > Z/ 4Z.
7 Exercice 7. Soit k un corps parfait et Ω une clôture algébrique de k. On considère une polynôme P k[x] irréductible de degré n et K Ω l extension de k engendrée par les racines de P dans Ω. 1. Démontrer que si Gal(K/k) est abélien alors [K : k] = n.. La réciproque est-elle vraie? 1. Comme P est irréductible sur un corps parfait, il est séparable et admet donc n racines distinctes notées x 1, x,..., x n. Si Gal(K/k) est abélien alors tout sous-groupe de Gal(K/k) est distingué et donc toutes les extensions intermédiairesl/k aveck L K sont galoisiennes. En particulier,k[x 1 ]/k est galoisienne doncconj k,ω (x 1 ) k[x 1 ]. Or, comme P est irréductible, P est le polynôme minimal de x 1 sur k donc les k conjugués de x 1 sont les racines de P et ainsi {x 1,x,...,x n } k[x 1 ]. Il s ensuit que K = k[x 1,x,...,x n ] k[x 1 ] K donc K = k[x 1 ]. Or, P est le polynôme minimal de x 1 sur k, [K : k] = [k[x 1 ] : k] = degp i.e. [K : k] = n.. La réciproque est fausse. Considérons le polynôme P = X sur k = Q. Remarquons que P est irréductible dans Q[X] grâce, par exemple, au critère d Eisenstein (3 ne divise pas 1 mais divise 3 et 3 ne divise pas 3). Alors, si on pose α = i 6 3, les racines de P dans C sont α, α, β = 1 (α4 +α), β = 1 (α4 α), γ = 1 ( α4 + α) et γ = 1 ( α4 α). On constate que k[α] K k[α] donc K = k[α]. Comme P est irréductible, P est le polynôme minimal de α sur Q et donc [K : k] = [k[iα] : k] = deg P i.e. [K : k] = 6. Montrons que le groupe de Galois G de P n est pas abélien. Comme G est d ordre 6, il est abélien si et seulement s il est monogène. Il suffit donc de démontrer qu il n existe pas dans G d élément d ordre 6. Un élément σ de G est entièrement déterminé par l image de α qui est l une des 6 racines de P. Si σ(α) = α alors σ = Id est d ordre 1. Si σ(α) = α alors σ = Id donc σ est d ordre. Si σ(α) = β alors σ (α) = 1 (β4 +β) = α donc σ = Id et σ est d ordre. Si σ(α) = β alors σ (α) = 1 (β4 β) = γ et σ 3 (α) = 1 ( β4 β) = α donc σ 3 = Id et σ est d ordre 3. Si σ(α) = γ alors σ (α) = 1 ( γ4 +γ) = α donc σ = Id et σ est d ordre. Si σ(α) = γ alors σ (α) = 1 ( γ4 γ) = β et σ 3 (α) = 1 ( β4 β) = α donc σ 3 = Id et σ est d ordre 3. Ainsi, G n a pas d élément d ordre 6 donc G n est pas abélien. Le groupe G est isomorphe à l unique groupe d ordre 6 non abélien à savoir le groupe diédral d ordre 6, D 3 (groupe des isométries du triangle équilatéral).
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFeuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES
Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables
MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailCours introductif de M2 Théorie des Nombres
Cours introductif de M2 Théorie des Nombres Jean-François Dat 2012-2013 Résumé Ce cours est une introduction aux concepts et outils de base de la théorie algébrique des nombres : théorie des entiers, théorie
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLa Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37
La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail