UTILISATION PRATIQUE 1)E LA METHODE DE SIMULATION DANS L'ASSURANCE,,NON LIFE"

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1 - - dvitant UTILISATION PRATIQUE 1)E LA METHODE DE SIMULATION DANS L'ASSURANCE,,NON LIFE" D'HOOGE, FRANCKX ET GENNAI~T J3ru xelles I. -- INTRODUCTION Les colloques successifs d'astin ent eu le mdrite de clarifier certaines iddes thdoriques importantes. En invitant au colloque d'arnhem les aetuaires 5. penser aux m~thodes de Monte Carlo, les organisateurs ont forcdment orient~ les recherches vers le domaine des applications. Car simuler, c'est 5. dire dtablir des rdsultats conformes ~. un processus akatoire bien d&ermin~, suppose priori que les donndes numdriques d'introduction (ou de definition) ont &d fix~es. Nous ne reprendrons pas les principes de la m&hode de simulation, ils sont donn~s de mmli~re magistrale dans,,notes on operations research I959" du centre de recherche op&ationnelle du Massachusetts Institute of Technology. Le ehapitre ix, portant titre,,simulation of Ra~Mom processes" r~digd par Herbert P. Galliher donne un exposd complet du probl~me. Nous renvoyons cette rdf&ence. Parmi les idles que ['on doit retenir, car elle est d'applieation dans tousles domaines, nous citons,,never shnulate a single numerical problem;always simulate several of a class of problems". Dans le domaine non life, cet aspect est fondamental. Ce qui y flit ddfaut, ee sont des algorithmes g&]draux de rdsolution numdriques. Une des difficult& majeures rencontr~es par les actuaires a ~t~ et est encore le calcul effectif des convolutions. Ceux qui ont dtabli cette note se sont pos6 la question de savoir si la m&hode de Monte Carlo ne pouvait fournir un proc~dd: les convolutions. -- suffisamment g~n~ral pour ~tre applicable k une classe de risques arbitraire. -- dormant comme sous-produit des ~ldments intdressant aussi bien les th6oriciens que les praticiens.

2 - - la 8S L'ASSURANCE,,NON LIFE" Une rdponse largement positive semble donnde k ces desiderata. La base de la mdthode de simulation est le thdor6me de Cantelli- Glivenko:,,lorsque la taille d'nn dchantillon augmente la fonction de distribution de l'dchantillon converge fortement vers 13 fonction de distribution de [a population doat l'dchantillon a dtd extrait". Un risque quelconque -- n'appartenant pas ndcessairement ~t une classe homog~ne -- est d6fini par de,ix coordom~&s stochasliwes. D'une part l'inlensitd du risque (valeur aldatoire du hombre de sinistres frappant un contrat au cours de l'annde), d'autre part la haule tr d,u si~uslre (montant al4atoire de chaque sinistre particulier). L'algorithme de simulation doit 6tre programmd de fa on 5. ~tre utilisable quelles que soient les coordonn6es stochastiques. En introdui.aant dans l'ordinateur des valeurs particuli~res -- donc numdriques -- de ces coordonndes stochastiques, celni-ci rdalisera mac dpreuve simulde, dont le rdsultat est la ddpense totale annuelle pour un contrat. En rdpdtant cette dpreuve un grand nombre de lois, et en enregistrant les rdsultats, on constitue la pop~tlation n,um&ique de rdfdrcnce A partir de cette derni6re, on ddduira comn-m sous-produits par des sous-routines les autres rdsultats statistiques. Dans nos exp6riences, cette population de base comportant 36o.ooo valeurs simuldes (nombre non pris au hasard), elle nous a pennis de nou~ rendre compte de la convergence effective annonc6e par le thdor+me de Cantelli-Glivenko. Le mdtier d'assureur est possible parce que par les cumuls dec rdsultats individuels des rdgularitds statistique~ sent constatdes. Le probl6me des cumuls est par suite essentiel. Une question que nous heirs sonlmes posde peut s'dnoncer comme suit: Ex~ste-t-iI une mdthodc systd,matiqu.e 7bermctta,zt de calculer le budget slochaslique relalif d ctn hombre arbitraire de co.ntrals? En d'autres mots, si un ensemble de risques comporte k = 765 contrats est il possible de donner en ddbut d'exercice les valeurs numdriques de la fonction de distribution du total ~t payer pour cet ensemble de contrats? Deux mdthodes peuvent ~tre envisag6es: premiere : par cumul des r~sultats de eontrats de la population de base et application de la mdthode de Cantelli-Glivenko; clle a

3 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 89 dtd effectivement utilisde pour les valeurs de k = I, 4, 9, 25, IOO, 400, la seconde: par une mdthode d'approxinlation, (interpolation ou extrapolation) Lt partir de certaines courbes de budget particuli6res (celles d6duites par la premiere mdthode) on cherche 5. dtablir celle de l'effectif impos6. La deuxi6me mdthode est bas6e sur l'utilisation des,,courbes de transforn-tations". Si.F(x) et q)(y) sont dcux fonctions de rdpartition des variables X et Y, une telle courbe de transformation ddfinit la fonction 3' =f(x)telle que: t0[f(x)] ~.F(x) Darts it cadre d'une dtude num6rique, l'image statistique des courbes de transformation est obtenue 5. la machine, mais ajustde graphiquement ou par calcul dl6mentaire. Le choix de la fonction de rdfdrence F(x) n'est pas arbitraire. L'idde d'esscher nous a amend 5. es,,ayer la loi normale en particulier. Des rdsultats encourageants ont dtd obtenus de cette mani6re, ils indiquent que des dtudes subs6quentes sont souhaitables. A partir du moment oh l'on di.~pose du budget stochastique d'un ensemble de risques, on peut dtudier tousles probl6mes et dtablir n'importe quelle tarification. Dans cette note, nous avons voulu dtudier. -- l'~nfluc~ce de l'effeclif d'.m~e classe de risques sur les chances qu'a u~ assureur de subir des fluclualions ddfavorables. -- l'influen.ce de l'effeclif d'une classe de risques sur la partition de la prime globale pure entre assureur er rdass~lreur, lorsqu.e ce dernier ppre.~z.d a sa charge l'i.ndemnisaliol~ au delc~ d'~me cerlai~ze limite de retention. (stop loss). Ce choix particulier montre que les 6tudes ont atteint actuellement un niveau tel que la rdsolution effective el: numdrique des probl6mes pratiques est devenu possible. Cependant, pour que l'algorithme soit gdndral, et les rdsultats comparables, il a fallu prendre une ddfinition invariante des fluctuations ddfavorables. Si E ddsigne la valeur moyenne du budget d'une classe de risques, une fluctuation ddfavorable sera mesurde par: 3' = E (~ + p) p~>o

4 - La 9o L'ASSURANCE,,NON LIFE" La fluctuation y correspond h une budgdtaire la valeur probable. La valeur de E des coordondes stochastiques et de l'effectif qui varient de cas en cas. D6s lors, le param&re principal de l'dtude est la valeur de p, exprimde en pour cents de la valeur moyenne. L'influence de l'effectif est non n6gligeable ; les r~sultats con,signals dans des tableaux permettent les calculs rdels pour un effectif quelconque. Un rapprochement avec les considdrations de la fullcredibility am6ricaine est instructif. Le prdsent travail a dr6 exdcutd en team. L'un d'entre nous s'est chargd de la conception gdndrale, le second de la programmation et de l'exdcution sur IBM 162o, le troi.~i~me de l'exploitation des r6sultats. Ce team a eu le sentiment net d'avoir appris beaucoup dans l'exfcution du prdsent travail. I1 esp6re que cette exp6ricnce sera aussi constructive pour les autres. 2. DESCRIPTION DES TRAVAUX DE SIMULATION EFI:ECTUI:~S 2.1. Donndes a - variable al6atoire N, i,ntensild du risque, suit une loi clont la fonction de rdpartition est une image statistique observde, suivant les donndes ci-apr6s (~) (z) Nombre de sinistres Fr~quence observdc F. (.3) lnlage statistique de ht fonction de rdparation Sn i2o i i o 58ozo989 o 8613;934 o o o0025o374 o 09625r87 o o.9985oo74 o 99925o37 T.O000000

5 L'ASSURANCE,,NON I.IFE" 91 Cette loi cst extraite de l'article:,,un probl6me de tarification de l'assurance accidents d'automobiles examin6 par la statistique math4matique" Pierre Delaporte, XVIe Congr6s International d'aetuaires. Vol. II, 196o. b- La variable aldatoire M, hauteur d'un sinistre, suit la loi th6orique exponentielle de moyenne unit6 dont la fonction de %paration est F(m) = Prob(M < m) = I--e -m c- Pendant la pdriode de r6f6rence considdr6e (une ann6e), tin contrat subit un nombre n de sinistres, dont la somme des ddgals S=m~+m2+...+m~ est 6galement une variable al6atoire et repr6sente la d6pense possible de l'assureur pour le contrat consid6r Crdation d'un fichier de base On a simul contrats pendant la p6riode de r6f6rence d'une ann6e. On a not6 pour chacun d'entre eux les valeurs obtenues pour les variables N (intensit6) et S (somme des d6gats). Ces r6sultats out 6t6 perfords sur des cartes h raison de 6 contrats par carte, et ont servi h l'6tablissement des statistiques d6crites clans les paragraphes suivants. La simulation d'un contrat se fait par la m6thode classique suivante. La g6n6ration d'une variable al6atoire de fonction de donn6e se fait ~ partir de nombres pseudo-al4atoires h distribution uniforme stir l'intervalle (o, I). Pour ceux-ci, on utilise les formules suivantes (hombres entiers): Xi = = 7 :~ X:+i = axy(modm) avec a = 7" jl/i = I010 Les nombres pseudo-al6atoires (compris entre o et I) sont x a = IO -1oX: j = I, 2... Cheque lois qu'on a besoin d'un tel nombre, quel qua soit son usage, on le d6termine 5 partir du prdc6dent, qui a 6t6 conserv6 en n%moire.

6 9 2 L'ASSURANCE,,NON LIFE" Pour slmuler la variable N, on prend un tel nombre x~ et on utilne la table du paragraphe 2.1., colonne (3)- Si.f,_~.~.~q < ft, on prend n = i (f_, = o) Pour simuler une valeur s de la variable S, on simule n fois la variable M (hauteur), par la formule de la fonction inverse de la fonction exponentielle, avec un nombre pseudo-aldatoire -D comme argument.,uj =- -- In (I -- x;) et on fait la somme s = n 3.2 mj 1 l Les premiers couples obtenus pour n (intensitd) et s (sore.me des ddggtts) sont : IZ S 0 O , I I 1"26625I 2.3. U~ se2tl contral. Quelques statistiq,ucs imporlantes el imace slatistique de la fonclio~ de rdpartition de la variable S. i ) Les moments et coefficients suivants out 6t6 calcul& par des moyenne~ portant sur contrats. Au cours de ce calcut, oa a note les rdsultats correspondant ~t N = 9.ooo, I8.ooo, 27.o0o, 36.ooo et 45.ooo contrats. a) la moyenne: S b) l'6cart quadratiquc: v(s)= ~/-S ~-- (S)"- c) le moment de troisihme ordre: m:,(s) = S~ -- 3.s'~ S + 2(S)~ d) le moment de quatri+me ordre: m4s) = S~ --4 s~ s + 6 s~ (s)~ + 2(s)~

7 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 93 avec e) le coefficient de symdtrie: c~- f) le coefficient de curtosis: ~-.m~ (S) [~(S)]3.,~ (S)?,(S)]" N N N N X sl s~ 3 S~ 4 ~ S~ S'--~ ' N' S ~-' ' N' S:~=L' N' S a-''' N La wtriable s prend les N valeurs donndes par la simulation. Le tableau ci-apr&s reprend les r6sultats obtenus.,v S v(s) m.~(s) m.~(s) ~ p 0ooo o t.2755o ]460 I 7 6o8o o I ooo o o I o3o I o i oo 4,to o68 r6.65ol6 450o0 o t o o o[o o ) Pour N = 9ooo, I8OOO, 27000, 36000, et On a ddtermind l'image slatislique de la variable S et ceci avec un pas de probabilild de o,i. Afin de faive apparmtre le stabilild de eerie image en fonction du hombre d'~preuves, on a reims dans la tableau ci dessous quelques points i pour les diffdrentes valcurs de N ooo I o o o79o944 o o.78536t o o o.892~22 o89o o o o o94o777 o o o942o o o o o o o9834o 7 6o o.991~i1 o o o9913ii o o o o 8 o o o o o o o o o o o o o999o22 o o o o o o o o o o o

8 94 L'ASSURANCE,,NON LIFE" On a tracd sur la figure I la reprdsentation de cette image statistique pour N = 54ooo, d'apr~s les rdsultats numdriques de la table de l'annexe I. 1o og 08, PRO8 ( $ (s ) Y FI k Contrats. Image statistique de la fonction de rdpartition de S. Statistiques. A partir du richer de base, on a construit des dchantillons des variables aldatoires k Sk = X sj t t oil sj est une des variables S du fichier de base. Les valeurs de k ont dtd choisies comn-te indiqufi au tableau ci dessous: P [ oo 40o o 4 4 Une variable Stc reprdsente la somme des ddgats pour un effectif de k contrats pendant la pdriode de rdfdrence. Pour obtenir une

9 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 95 image statistique de la fonction de de Sk, on a effectu6 IOO simulations de cette variable. Les rdsultats, classds par ordre de grandeur croissante donnent une image statistique de la fonction de r6partition (figure 2, trait continu pour k = 4)- En r6pdtant la d6termination expdrimentale de cette image statistique, on a constatd que les dchantillons successifs prdsentaient une dispersion a,isez consid6rable. C'est pourquoi, pour chaque valeur de k, on a construit p fichantillons (volt tableau ci dessus), 10! o9! PROB C S4<s )? 8 9 I ;... 07" / '/ FIG t t /" I I I I dont on a fait la moyenne arithm6tique pour constituer une image statistique.moyenne de la fonction de r6partition de Sk. Le nombre total de contrats simul4s a 6t6 imposd par les valeurs maximales de k et p choisies (900 4 IOO = 360 ooo). Plus pr6cis6ment, on peut remarquer que les cent valeurs de Sk qui servent 5. construire une image statistique sont let cent percentiles empiriques, abscisses de l'image statistique oh la frdquence relative atteint un pourcentage donnd. Pour clmcun des percentiles, on fait la moyenne des p percentilles obtenus pour obtenir le percentile de l'image moyenne. L'image statistique moyenne obtenue pour k = 4 et p est prdsentde en traits interrompus ~t la

10 96 L'ASSURANCE,,NON LIFE" figure 2. On constate qu'elle est beaucoup plus r6gulifire que les images statistiques dont die est la moyenne. Dans ce qui suit, on n'utilisera plus que les images statistiques moyennes pour rdsoudre les problfimes posds. En particulier, ces images statistiques moyelmes ont 6td utilisdes pour calculer les statistiques suivantes : k Se v(se) m~(s,) m.,(&.) ~(&) ~(S~) o oo oot t9.14 o ~ t6o4 Ioo 64 3to o o51 38o8.o t281ooo o.2t54o 2.78t [ o o.ol oo L'annexe 2 reproduit la table de l'image statistique moyenne obtenue pour k = ioo, 4oo, 9oo. 3. EXPLOITATION DES RI:;SUL'I'ATS DE LA SIMULATION Dans ce qui suit, on ddcrit les mdthodes utilisdes, et on note un certahl nombre d'observation,~ On donne tr6s peu de justifications 5. base thdorique Comparaison des fomlions de rdpartition de S~, somme des ddgdts de k contrals groupds, avec la fonclion de d'u.ne loi de Gauss. Le budget de k contrats groupds est une somme de k w~riables aldatoires identiques et inddpendantes. On peut donc a'attendre k pouvoir apptiquer les thdor6mes de la tendance centrale. Pratiquement, pour un nombre k donnd de contrats, on peut vdrifier graphiquement si l'adoption de la loi normale est admissible en utilisant la technique de la droite de Henry. Celle-ci consiste k reprdsenter darts un syst~me cart6sien Oxy les points de coordonn6es (x~,yi) tels que xt soit le i5 percentile de la loi de Gauss-Laplace idduite, et 3,l le m~me percentile (empirique) de la fonction de rdpartition particuli6re dtudide. Dans les graphiques des figures 3, 4 et 5, ces points n'ont dtd reprdsent6s que pour les percentiles de rangs multiples de 5, et pour k = 4, 9, 25, IOO, 4oo et 9o0.

11 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 97 Si la fonctio.n de rdparlilion dludide est effecliveme.nl celle d'u~te loi normale, et. si on remtblace les percentiles empiriques ~ar les percentiles thdoriques sur l'axe Oy, les 7boints du graphique doivent se trouver sur une droile, qui est la reprdsentation de la foncti.on de transformation dont il est question darts l'introduction. FIG 3 Y iii 20 ~t 10 /" // i j // p=35 I///." /11 p:36 s ~-" ''~" percenttles th~or~ lues G (0,1) -~ o, % Rdciproquement, la fonction de r6partition est inconnue, et si les points d6d.uits des percentiles empiriques sont suffisamment alignds, on peut admettre que la loi thdorique est une loi normale. La moyenne et l'dcart quadratique de cette loi normale peuvent ~tre estimds sur le graphique (voir la fig. 4) ou encore calcul6s (2.3) Au vu des graphiques repr6sent6s, on peut ad,metlre q~e pour k = IOO, 4oo, 900 la loi de la somme des ddgdls est,,pratiquemeny' normcde, tandis que pour k = 4, 9, 25, l'app r ximati.n de la los rdelle par une loi normale est 7braKquement d rejeter. Ceci constitue un excmple pratique de d6termination de la valeur

12 98 L'ASSURANCE,,NON LIFE d'un effectif 5_ partir duquel la tendance centrale devient pratiquement utilisable (ce que la thdorie n'assure pas). FIG.4 Y.o " 1 "qsw ) io l,,.o.5-1 percentiles th~omques G(OjI) , J. i, i ~ i 1 x 3.2. Comparaison des fonctio'ns de de la somme des ddgdts de k co~zlrals groupds avec une fonclion de empiriquc de ~'df eyg't~cc. Au lieu de prendre comme loi de rdfdrence une loi de Gauss- Laplace, comme dans le paragraphe prdcddent, on peut prendre une des lois de la famille dtudide, en l'occurence la fonction de rdpartition empirique de la somme des ddgfits pour k = IOO. On peut ain~i se ddgager complhtement de toute considdration thdorique pour la rdsolution des probl6mes pratiques qui seront envisagds dans la suite. Dans les graphiques des figures 6 et 7, on a effectu~ un travail analogue it celui des figure.~ 3, 4 et 5, en portant sur l'axe Ox, au lieu des percentiles thdoriques de la loi normale rdduite, les percentiles empiriques de la loi de Sto., somme des d6gats de IOO contrats.

13 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 99 A l'examen de ces graphiques, on peut admettre que la correspondance des percentiles est pratiquement lindaire entre k = IOO d'une part, et k = 25, 4oo et 9o0 d'autre part. On peut dcrire les 60C Y I ""'k:900 """" p=4 500 FIG ~oo.._.-'" p=4 200 ~o, s 9. s,o 4P 5 qo, 7,o, sp, oercenti/es 90 9s I J ff th~oriques G(O,1) dquations d'une ch'oite qui repr6sente cette transformation, utilisant la m6thode des moments; on choisit l'6quation y=ax+b en avec des coefficients aet b tels que les moments empiriques calcul6s se correspondent effectivement. Entre Sto. et Se on 6crit les 6quations v(sk) = a v(sloo) pour k = 25, 400 et 900, on obtient les coefficients suivants

14 Ioo L'ASSURANCE,,NON LIFE" b 25 4oo 9oo 0,505 -[6,40 2, I2t 3,o[ 383 k=25 30 FIG k=9 15 k--4 5 i i ' ~ "r5 ~...j..o--~'o.,~ 5o6,o ~ 8,0,9,o 95, ntcles SfO 0 wo, : : : ~ ~ ~! I Ji I x, ~, I 40 SO

15 L'ASSURANCE,,NON LIFE" IOI Le~, droitcs correspondantcs ont dtd tracdes sur les figures 6 et 7 Elles seront utilisdes pour rdsoudre certains probl~n-tes pratiques au paragraphe Utilisalio~ directe d' t~e image stalistiqlte moyerme Probldmes -- types On prendra comme exemple la variable Sto,, dont une table de r image statistiq ue est donnde on annexe 2. Pour l'utilisation directe iii 400.~o~ ~ 2OO p~r~enttle$ S EO i i, i i i i J i i i i i i i I i f i i i i i i ,5'0 90 x

16 - 7o,74) - 70,74) Io2 L'ASSURANCE,,NON LIFE" d'une telle table, on consid&re que chacune des valeurs apparaissant darts la table arrive avec une probabilit4 de o,oi. La moyenne et l'6cart quadratique empiriques de S~oo sont respectivement S~oo = 64,31 et v(stoo) = 12,4o. Probl&ne I. Estimation de la probabilit4 pour que la somme des d6gs.ts relatifs ~ IOO contrats ddpasse 75 unitds" 2o pour cent (ligne 81 de la table). ProbI&~e 2. Estimation de la somme des d6g~ts qui a une probabilit4 d'etre ddpassde 4gale ~t 5 % ' 86 i% 98 I1 est h. remarquer que l'estimation correspondant ~ une probabilitd de 1% est moins prdcise que celle qui correspond ~t 5 %, par suite de la dispersion plus grande qui apparait clans les,,queues" des images statistiques simuldes. Probl&ne 3- Ddtermination approchde (approximation de la m4thode des rectangles) du montant de la prime de r6assurance,,stop loss". On suppose par exemple que lorsque la somme des d4ggtts d4passe 70, 74 untt~s pendant la p&iode de r6f4rence {pour l'ensemble des loo contrats), le rdassureur prend b. sa charge la pattie qui d4passe ce montant. Le montant 7 o, 74 correspond /t IiO % de la valeur moyenne 64,31. Dans ce cas, la valeur moyenne de l'intervention du rdassureur est de (70,84 - (71,o ,74 ) (98, =2,569 I00 I00 I00 ce qui constitue une fraction de 4 % de la moyenne 64,3 I, La fraction 0,04 est un laux relalif de slop loss Tables des probabilitds d'dcarls ddfavorables el de taux de stop loss Pour les probl&mes 2 et 3 du paragraphe prdcddent, on a effectual des calculs systdmatiques, en fonction d'arguments normalis4s, qui sont des exc~s relatifs h la moyenne empirique: les annexes 3 et 4 donnent, en fonction de p (i~re colonne) et de k (I~re ligne), respectivement prob [S~ > Sk (I + p)] (probabilild d'dcarls ddfavorables)

17 L r - ASSURANCI=,,NON LIFE" lo3 ' et la valeur moyenne du taux relatzf de slop loss lorsque le rdassureur prend k sa charge la partie du montant Sic qui d6passe Se (I + p) On peut retrouver dans cette derni6re table le rdsultat calcul6 5. la fin du paragraphe 3 3.1, et faire la constatation importante suivante: lorsque l'effeclz~ augmenlc, la probabilitd fun dcart ddfavorable el le taux relalzf de stop toss diminuenl pour une mdmc valeur de p. Ainsi, la probabilitd d'un dcart ddfavorable de io % passe de 0,36 ~. 0,29 et 5t 0,06 lorsque l'effectif passe de k = 4 8 k = IOO et k : 900. Dans les m4mes conditions, le taux relatif de stop loss passe de o,34 ~ 0,o4 et it o,ool 7. On remarquera cependant que la probabilit6 des petits 6carts ddfavorables (jusque 2o % environ) commence par crctre en fonction de k, pour ddcroite ensuite. Ceci est do /l la forte dissyntdtrie de la loi de S Ddtermination d'une fonction de rdparlition i ntermddiaire d parlir de cerlaines fonclions de rdparlihon simul&s. On se propose de d6terminer par exemple une fonction de approch6e pour Saoo Interpolation enlre les fonclions de simuldes. On peut interpoler les fonctions de rdpartition de St,o, 5400 et $9 oo. Pour cela, on utilise les coefficients d'interpolation de Lagrange. On note pt, p4 et p9 les percentiles correspondants pour k = IOO, 400 et 900. Le percentile interpold pour k = 500 est avec p5 = Lt pt + t., p4 + Lg p,a (i) L! -- (5--4) (5 --" 9) --I (1 --4)(1--9) 6 0,167 (5--I) (5--9] L4 : (4 ---I) (4 -- 9) 15 x6 -- : Lo67 (5 -- 1) (5 -- 4) 1 (9 -- I) (9 -- 4) IO -- O,I

18 lo4 L'ASSURANCE,,NON LIFE" a) Interpolation entre les donn6es brutes des trois simulations. Pour le percentile de rang IO, on trouve p.~ = --o,i67 x 48,76 + I,O67 X 222,6 + o,i x 526, ,0 (annexe 2) l)ans ee cas, il faut disposer de trois tables de fonctions de r~partition simul~es, mais il n'est pas ndcessaire de faire l'hypoth~e de la lindaritd de la transformation entre ces trois fonctions de rdpartition. Cette mdthode pourrait servir pour interpoler entre les fonctions de rdpartition simuldes de $4, $9 et S~s par exemple. b) Interpolation entre les donndes de,~ simulations lissdes par l'intermddiairc d'une droite de Henry (3.2.) On prend pour p~ les percentiles de la table de l'image statistique de la fonction de rdpartition de Sloo, et pour p4 et :b~ respectivement p4 = 2,101 /St p,~=3,ol pt+383 (Ia) Ce sont les valeurs donndes par les fonctions de transformation calculdes au paragraphe 3.2. On trouve ainsi pour le percentile de rang IO, pl = 48,76, p4 = 223,4, p9 = 529,8 (annexe 2 et formules ia) et, par la formule (I) /55 ~ 283,2 Pour appliquer cette mdthode, il suffit de disposer d'une seule table (ceilc de S~.~), mais il faut faire l'hypoth~se de la lindarit~ de la transformation des fonctions de rdpartition. Remarque: on peut tracer sur la figure 7 une droite de transformation de la fonction de rdpartition de S,.o vers Ssoo. lres coefficients a et b de celle ci s'obtiennent par interpolation entre les coefficients des droites relatives k Stoo (non tracfic), 54o0 et.%o0. On trouve l'dquation y = 2,376 x + 167, 4 (2) Cette droite est repr~sentde sur la figure 7 (droit interpole)6

19 L'ASSURANCE,,NON LIFE" ExlrapolaHon d'une fonction de simulde On fair l'hypoth~se que les variables Sk envisagdes suivent une loi de Gauss. a) Equation thdorique d'une fonction de transformation. On note G(E, ~) une loi de Gauss de moyenne E et dcart quadratique,. Si S,t suit une toi G(E1, crt) et Sn2 une loi G(E% ~2), avec ni = k. ~ n e, on a E2 = k 2 El et la droite de transformation de la fonction dc de Sn~ vers celle de Sn: est y= kx+ Et(k a-k) (3) On trouve cette 6quation en exprimant que les moments de la foncnon de transformde doivent 6tre E-. et ~2. b) Transformation de Stoo en $5oo. On fait k - = 5 dans l'expression (3) et E~ = 63,26 (valeur cap culde h partir de la moyenne de S sur 54ooo contrats). On trouve y = 2,236 x + I74,85 (4) La droite correspondante est reprdsentde sur la figure 7 (droite extrapol6e). Si on l'utilise pour caleuler le percentile de rang IO de $5oo 5. partir de celui de Stoo, on trouve y = 283,9 Observation. La correspondance remarquable entre ce rdsultat et ceux du paragraphe prdsente un caract&re accidentel: la droite interpol6e et la droite extrapolde se coupent en effet aux environs du percentile de rang IO. On remarquera dans le tableau du paragraphe que la correspondance des percentiles de rang 9 est moins bonne Calcul direcl de la loi de S~oo. Darts la formule (4) oll a utilisd pour x les percentiles en-tpiriques de la loi de Sloo. Ayant flit l'hypoth~se de la loi de Gauss, et con-

20 I06 L'ASSURANCE,,NON LIFE" naissant la moyenne et l'dcart quadratique de 51oo ~t partir de ceux de S, d&ermin6s au paragraphe 2.3., on aurait tout aussi bien pu prendre pour x les percentiles thdoriques de la loi de $1oo. Dans ces conditions, il est inutile de passer par l'interm&!.iaire de la loi de S~oo, et on peut ddterminer la fonction de rdpartition de Stoo directement tt partir de celle de la loi de Gauss rdduite G(o,I), de la mani&e suivante: I Donndes" les moments de la loi de Delaporte sont E(N) = o,6418 et ~2(N) = 0,9722 les moments de la loi exponentielle sont E(M) = i et cr2(m) = i 2 Moments de la loi de S ~): E(S) = E(N).E(M) = o,6418 i =o,6418 ~e(s) = E(N) ~(M) + E2(M) ~2(N) = o,6418 x i + 12 X 0,9722 = 1,614o o(s) = V~-I40 = L27o 4 3 Moments de la loi de Ssoo: E = o,6418 x 50o = 32o, 9 a = 1,27o 4 /5oo=28,4 I 4 Fonction de transformation de G(o,i) vers la loi de Ss,o: y = 28,41 x + 32o, 9 Application' Le percentile thdoriquc de rang Io de la loi de Gauss r6duite G(o,I) est --i,282. On en d6duit le percentile de m4me rang de $1oo par la transformation y = 28,4I x (--I,282) + 32o, 9 = 284, Comparaison el vdrificalion des mdlhodes ulilisdes On a rassembl6 ci-dessous les rdsultats des calculs faits prdcddemment pour la loi de.55oo et relatifs au percentile de rang io. ') L D'HooGE et P. It.. GENNART. Les risques non-viagers Foncttons actuarmlles et tables, t965.

21 L'ASSURANCE,,NON LIFE" lo7 On y ajoute une colonne, o~ les mimes mdthodes ont 6t6 appliqudes pour le percentile de rang 9 o. La derni~re ligne contient les m~mes rdsultats d6duits directement de la loi enlpirique de $5oo, dont les percentiles ont dtd ddterminds par une moyenne de (P = 4, voir 2.4). On peut considdrer que la correspondance entre les rdsultats des diverses m6thodes est tr&s satisfaisante. percentile ro percentile 90 Interpolation 3 4 i & Interpolation 3.4 i b Extrapolatmn de Szoo Calcul direct Smmlation directe 282,o 283,2 283,9 284,5 285,8 36o,99 36o,5 i 356,6o 357,3 356,o 3.5. Exlension A condition de conserver la loi de Delaporte pour l'intensitd des sinistres, on peut utiliser les r~sultats numdriques de notre 6tude lorsque le montant des d4g~,ts suit une loi exponenfielle de moyenne m comn'te unit6 mondtaire au lieu de l'unitd; il suffit pour cela de multiplier par m le montant des d6ggtts Conclusions La simulation est une op6ration ondreuse. La seule constitution du fichier de base a demand6 85 heures de travail sur ordinateur IBM 162o. I1 faut donc 6viter la simulation si le calcul peut la remplacer. Ainsi, nous avons montr6 que pour les calculs relatifs 5. la loi de,55oo l'utilisation de la loi de Gauss rdduite, et des moments d6duits des donndes du probl~me pouvait donner des r6sultats sans aucune simulation. Cependant, la simulation a apportd deux rdsullats importants: I Elle a permis de d6terminer exp6rimentalement l'effectif g. partir du quel l'approxirnation de la loi de Gauss est admissible (en l'occurrence, k >/ IOO) 2 En dessous de cet effectif, elle permet d'effectuer des calculs prdvisionnels sur des foncfions de simuldes ou interpol6es. Notons encore que les r6sultats de la simulatiou ont mis en 6vi-

22 xo8 L'ASSURANCE,,NON LIFE" dence l'6volution des 6carts ddfavorables et des taux relatifs de stop toss en fonction de i'effectif. Remarque finale: darts l'exposd, on a ddveloppd ~t dessein les aspects les plub 6ldmentaires, de fafon & Iaciliter le travail de ceux qui voudraient utiliser effectivement ces mfthodes. I)e tO Oo O I.20 i o I. 60 I. 7 I.80! , o ( m ANNEXE 1 IJN SEt'l, CONTRAT IMAGE btatistique I)F. S, SOMME I)ES I)EGATS Epreuves Classe Frdquence Frdq. Relatwe Frdq. Rel. Cumulde A O o 8o 0o I O0 1 [ i I 5 [. 60 t 7 l. 80 t O0 2.IO 2, o oo 3.m o tt66 o o io52.o1948i 963.o o.oI7o ol or4259 7Ol.ol o[ ott [[592 62t.Oil OO05O o5.oo75oo oo6388 3t o9.oo [ t88.oo348[ OO3lll 139.oo Io o I o o 3.89o7o o oo o08t 926t66.93o5t l t

23 L'ASSURANCE,,NON 1.1FE" IO 9 Dc oo 4.1o 4.2o o 5- oo 5.1o 5.2o o 5.6o o oo 6.1o o o Io 7.2o 7.3o 7.4o 7.5o UN SEUL ANNEXE [ CONTRAT IMAGE STAT[ST[QUE DE S, SOMME DES I)EGArI'S Eprcuves Classe 17rdquence Frdq. Relative Frdq. A oo29o [ oo lo Ol oo ootl OOlOl8 4.8o 7.o o 53.ooo oolo55 5 "IO 54.ootooo ooo o oom o o 34.ooo o 26.ooo48I 6,2o o 23.ooo ooo L 9,ooo35 r i 7.ooo ooo3r4 7.IO 1I t I1,ooo2o lo lo OOO12Q Rel Cumulde o , o 976o o7 979o55.98oo o o7.9844o o o [ 99ol66 99o o

24 II0 L'ASSURANCE,,NON LIFE" ANNEXE I UN SEUL CONTRAT 1MAGE STATISTIQUE DE S, SOMME DE DEGATS 540oo Epreuves Classe Frdq~ence Frdq. Relative Frdq. Rel. Cumulde De A o 8.oo 8 8.oo 8. io 6 8.1o 8.2o o o o 8.9o 6 8.9o 9.oo IO 3 9.1o o o 3 9.9o IO.OO 3 lo. oo IO. IO 5 IO. IO IO. 20 IO IO "30 IO-40 4 ro.4o lo 5 3 lo.5o lo.6o i lo.6o lo.7o 3 lo.7o 1o.8o o lo.9o 11.oo '2 11.oo it.to 3 ii.1o ii.20 o II.3 o i li O I1.4 0 II.5 I II.60 I i ~ I r.80 o oooi48.ooolii.0o0o74.o0o074.ooo166.oooi29.ooolii ooorlt.oooo74.oooo oooo92.ooolll.o oooo37.ooolii 0oo ooot o oooo oooooo.oooo37.oooo55.oooooo.ooool8.oooooo.ooooi8.oooo oooooo.99674o.997oi8.997o o o o o92.999x o

25 L'ASSURANCE,,NON LIFE" III De ANNEXE I UN SEUL CONTRAT IMAGE STATJSTIQUE DE S, SOMME DES DEGATS Epreuves Classe Frdquence Freq. Relative A 11.8o 11.9o o.oooooo lt.9o 12.oo o.oooooo 12.OO I2.20 I.OOOO O.OOOOOO I O.OOOOOO I I I2.60 O.OO00OO o.ooooo0 I2.7o 12.8o o.ooo0oo o.oooooo 12.9o 13.oo o.oooooo 13 oo 13.1o o.oooooo 13.1o 13.2o o.oooooo I OOOOI9 13.3o 13.4o O.oooooo 13.4o 13.5o o 13.6o I I.O o 13.8o o.oooooo 13.8o 13.9o a3.9o 14.oo o.oooooo 14.oo 14.1o o.oooooo 14.2o 14.2o o.oooooo 14.2o 14.3o 2.00o o 14.4 o 1.0o t ~4.5 o 14.6o o.oooooo 14.6o 14.7o o.oooooo 14.7o 14.8o o.oooooo ~4.8o 14.9o o.oooooo T4.9o 15.oo o.oooooo Frdq. Rel. Cumulde I ANNEXE 2 MOYENNE IMAGE STATISTIQUE P= 9 P= 4 7( = ioo /( = 4oo 35.81o ,38185o o P = 4 1( = o 5oi.Io8o7o

26 112 L'ASSURANCE,,NON LIFE" ANNEXE 2 MOYI~NNE image STATIST[QUE P = 9 P = 4 l' = 4 1(= loo K = 4oo K= 9oo o o J7"6t 52 52o'147oo ~9-31o81o o lo t2o ii 49.3o i loo o.7945 o o t37 o 15 5t o9i5o o o t.22237o ~ " " t " "94 t o2ot9o 55o o o64 o i oo o7 o o o ~3o8o ~7o oo 56 ' o6o oo 56o o o 244" o '337t5 563' o " 't o.o313oo o.3o t ' " o r89 oo o t-62112o t8o2I oo 57o.986too t.47o7oo " 'f8172

27 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 113 ANNEXE t I MOYENN]~ IMAGE STATISTIQUE P= 9 P= 4 K = IOO K = t t o 63.78o96o t t72o5o o o7o o 65.3t267 o 259.o76o5o o o.85r45o x.28642o t.77775o o o o.lot4ti o t.o5462o 27t.t7242o 7t.3945o o4oo L715o 73.98J65o t ~4245o 75.99o143 28o.32842o to5 28t.o2765o 77.o o o5 o 78.t ooo 8o o56t o [ oo5o P = 4 If= oo 58o o 58I.t L t O2OO O OO o t097 o L ~997 o O O O O o O t3.O5367 o 6t o o 018.OO8920 6t OO t IO~OO 628.1~462o o oo

28 1I 4 L'ASSURANCE,,NON LIFE" MOYENNE ANNEXE 2 IMAGE STATISTIQUE P= 9 P= 4 P= 4 K = ioo K = 400 K= oi.98647o oo6 3o5.57t35 o I2o t o o [ oo loo o9o 323.6r222o t27o ANNEXE 3.0O,0i I0.lI.I2.I 3 14 l 5.I6.t I I PROBABII,tTES K =.39 3 {} , l.3 j.3 I 3 o = x 4 t , I.3 3, )' ECAR'FS 9 K = , , I9 I( -~- IOO I l DIEFAVO RAB LES t t4 I3 12.II.II.IO O5 K = I 4.I 3.12.II. 0 9.o6.o O '2 O. 00 ]f = t ll 08 o6.04.o 4.o O0

29 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 115 ANNEXE o I. OO I.05 I.IO 1.15 I.20 i.25 t. 30 i "35 I.4 i -45 I.5 I. 60 I. 7 I.8o i oo 2.io PROBABILITES K =4 K= 9 K i I 7.2t r t8. i2.17.ti.16.io I5.o9 14.o8 ~4.08 ~3.07 i I t.o 5 II.0 4 lo.04 1o.03 o9. o3 09.o D'ECAIZTS DEFAVOI~ABLES = 25 K = IOO K = 400 t9.o5 t9.04 i o 4 17.o3 16. o 3 16.o o2 14. o i 3 o.oo.i2.t2.ii.ii K = 9oo

30 oo L'ASSURANCE,,NON LIFE" 2.5o ANNEXE 3 PI{OBABILITES 1)' ECARTS 1)EFA\rORABLES 1 = 4 K = 9 K - 25 K = loo K = 400 K = o2.02 ANNEXE 4.o2,o io.12.I TAUX RELATIF DE STOP LOSS /f = 4 K=9 K = 25 K = o o o o oo,t38518o,o6o4o4o ~3o499o to o o76o ~1548o o89o72o ot7846o t7296IO.o77824o.oi4795o o o1224oo o718o oo9943 o o63195 o.oo7951o o5883oo r43866o oo5119 o t38582o oo4o51o o0.oo3154o o o o.o4o342o.oo184oo o39o.o37294o oo144oo oolo4oo 23o149o.ItO251o.o31768o.ooooooo o6o64o o.1o2o67o o94472o.o23o35o o.o87331o o.o o1797oo o.o ol657oo o7742~o O O t8034IO.o O12888o.I7634IO.O ot18880 K = o32132o o1876oo OLOOO2O.oo71~9o.oo475io oo1924o.oo123to.00o ]4 = 900.O26O120.O17429O.OttO690.OO63680.oo33tlo.oo17o[o

31 L'ASSURANCE,,NON LIFE" 117 ANNEXE,[ N = o7 o.80,~57578o oo.9,14o7t6o I.OO.t25498o t.o 5.1L8498o I IO.1[19ooo [ o.o99454 o 1.3o o.o778o3o t.5o.o687o4o i t.7 o.o53405 t.8o.o47t58o i 90.o O27344 o o.oi51t8o 2.8o.Olli18o 2.98 o.ooooooo TAUX I~ELATIV 1)E STOI' I.O~S N = 9 A" ~ 25 1 = loo.o61283o.oo94t2o.o54965o.oo74t2o.o49o94o.oo5812o -o4384io.oo4312o o3894xo.oo3~49o.o34535o o o237tlo.o2o711o.oi5858o.o12o36o.oo9o36o.oo684oo Ix" = :-~ 900

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