MARINA : un outil de reconstruction de bâtiments en 3D à partir d images

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1 1 MARINA : un outil de reconstruction de bâtiments en 3D à partir d images Stéphane HUOT et Christian COLIN École des Mines de NANTES Département Informatique NANTES, FRANCE Résumé Dans cet article, nous présentons un système original de reconstruction architecturale en trois dimensions à partir d images, appelé MARINA. MARINA s appuie sur la Géométrie Projective et l algèbre de Grassman-Cayley pour effectuer une reconstruction tridimensionnelle de façon formelle, par raisonnement géométrique. Le processus de reconstruction est interactif, dirigé par des dessins de l utilisateur sur les images (photographies, dessins ou gravures) et la spécification de contraintes géométriques (incidences, parallélismes ou orthogonalités entre les éléments des dessins). Le système produit alors rapidement un modèle en trois dimensions numérique, qui est affiché à l aide de textures extraites des images. Le domaine d application initial de MARINA est la reconstruction de bâtiments anciens à partir de documents d archives et de photographies. Il peut être étendu à la conception en architecture, à la modélisation d objets polyédriques. 1. Introduction Cet article présente un système de photomodélisation conçu avec une nouvelle approche, centrée sur la géométrie projective, l algèbre de Grassman-Cayley et un raisonnement géométrique formel. Le modeleur implémenté, MARINA (Modeleur Architectural Interactif et Naturel), a été développé dans le cadre d un projet associant historiens et architectes, et visant à reconstruire des bâtiments anciens à partir de documents graphiques d archives (photographie, peinture, gravure, dessin, ). Il permet d obtenir des modèles en trois dimensions à partir d un seul (voir figure 1-a) ou de plusieurs (voir figure 1- b) documents graphiques quelconques. L approche utilisée permet d améliorer les calculs de reconstruction en termes de vitesse, de précision et de simplification des cas à traiter.

2 2 L interface utilisateur est simple, l utilisateur dessine directement sur les images afin de préciser ce qui doit être reconstruit et énonce des contraintes géométriques que le modèle doit respecter. Ces informations sont traduites dans l algèbre de Grassman-Cayley avant d être traitées formellement. La rapidité et la simplicité de la reconstruction avec MARINA permettent d utiliser ce système non seulement comme modeleur mais aussi comme outil de conception. L article est structuré en cinq parties : un état de l art permet de situer les travaux connexes existants, une présentation du noyau projectif utilisé et de l algèbre de Grassman- Cayley, la reconstruction avec MARINA à partir d un seul document graphique puis à partir de plusieurs. Nous terminons par les résultats obtenus et les extensions prévues. (a) (b) Figure 1 : Photomodélisation avec MARINA. 2. Travaux antérieurs La photomodélisation, ou reconstruction tridimensionnelle à partir d une ou plusieurs photographies, recouvre divers domaines de recherche : la photogrammétrie, la vision par ordinateur, la robotique, la conception assistée par ordinateur. Cependant l approche utilisée est différente selon la discipline. La photogrammétrie [PHO66], domaine antérieur à l informatique, emploie des techniques de photographie stéréoscopique. Les formes sont déterminées à l aide d images qui se chevauchent prises avec des appareils étalonnés. Le problème majeur réside dans les nombreuses données à traiter (correspondance de points entre les images) et la nécessité d utiliser avec précision des appareils étalonnés. En robotique et en vision, des algorithmes de stéréoscopie automatiques sont utilisés [FAU93]. Les techniques de mise en correspondance sont sensibles au bruit, à la variation lumineuse et aux déformations perspectives. Néanmoins, [KOC93][NIE97][ZHA98] proposent des systèmes de reconstruction automatique fiables. Toutefois, ils nécessitent des images prises depuis des points de vue assez proches car l usage de la stéréovision et de la géométrie épipolaire

3 3 requiert une bonne correspondance entre les points des images. De plus, ces méthodes ne sont pas adaptées à la reconstruction des parties cachées. Nous nous focalisons sur l approche habituelle de la conception assistée par ordinateur, à savoir sur des systèmes interactifs car non seulement les sources graphiques utilisées dans notre cas sont quelconques, mais aussi parce que les parties cachées doivent pouvoir être modélisées. Enfin, les photographies n ont pas vocation à être entièrement reconstruites. Aussi, seul un utilisateur peut définir les parties qu il souhaite reconstruire. FACADE [DEB96] est un système de modélisation à partir de photographies. L utilisateur place des primitives volumiques paramétriques sur des images étalonnées (dont les paramètres de l appareil photographique utilisé sont connus) numérisées, et définit des contraintes entre et sur ces blocs, en faisant correspondre les bords des primitives avec des lignes des images. Le système détermine les paramètres non instanciés. Avec cette approche, la modélisation est simple. Cependant, l utilisateur est limité aux primitives offertes par le système ce qui peut rendre la modélisation de scènes complexes délicate. Il est à noter que le logiciel CANOMA [CAN99] produit à l origine par Metacreation est inspiré de FACADE. Le projet européen REALISE [LEY96] est basé sur une approche hybride entre vision et conception assistée par ordinateur afin de faciliter la tâche de l utilisateur. Ce dernier précise interactivement la topologie de la scène et laisse le système déterminer sa géométrie à partir d images non calibrées en utilisant la géométrie projective. De nombreuses tâches sont automatisées comme la détection des lignes dans les images et les correspondances entre les photographies. L utilisateur reste indispensable pour valider les choix incertains. Le système est conçu comme une extension à un modeleur tridimensionnel classique. F. van den Heuvel [HEU98] et D. Liebowitz [LIE99] proposent chacun un système de reconstruction de scènes à partir de seulement une ou deux images non étalonnées. Le premier utilise des contraintes géométriques et le second la géométrie projective. Pour tous les systèmes qui déterminent automatiquement les paramètres de l appareil photographique utilisé, l'étalonnage (ou calibration) de caméra 1 est le point de départ du processus de reconstruction. De nombreuses méthodes peuvent être utilisées pour étalonner une caméra, ou une paire de caméras (vision stéréoscopique) [TSA87][CAP90]. Mais les méthodes les plus utilisées en reconstruction à partir d images sont les méthodes d étalonnage automatique [FAU92][MAA99]. Initialement prévues pour l étalonnage des machines comportant un module de vision (robots), ces méthodes permettent de retrouver les paramètres d une caméra, uniquement à partir des images produites. 1 Nous utilisons le terme caméra au sens large (caméra vidéo ou appareil photographique), dans le sens anglosaxon du terme.

4 4 Toutes les méthodes vues précédemment sont basées sur des algorithmes de calcul numérique. Ces calculs, parfois intensifs, sont coûteux en temps et en ressources, et parfois sujets à des instabilités numériques. 3. Raisonnements formels en géométrie projective L idée principale de notre approche est de résoudre formellement le problème de la reconstruction en utilisant la géométrie projective pour deux raisons. Premièrement, la géométrie projective définit des propriétés utiles qui sont préservées lors du passage de deux à trois dimensions. Deuxièmement, le formalisme utilisé est simple et efficace pour le raisonnement géométrique, sans souci de précision numérique. MARINA s appuie sur le noyau mathématique développé dans notre équipe au sein du projet GINA [KuM98] [KML98]. Ce noyau est un solveur de contraintes géométriques basé sur la géométrie projective pour décrire des primitives géométriques et sur l algèbre de Grassman-Cayley pour exprimer les contraintes Géométrie projective et algèbre de Grassman-Cayley La géométrie projective est l étude des propriétés projectives préservées par projection. Les éléments (points, lignes, plans, ) en géométrie projective peuvent être liés par une relation d incidence. L incidence est utilisée pour exprimer des propriétés géométriques entre des éléments, propriétés comme le parallélisme, la coplanarité ou l intersection. Par exemple, dire qu une droite coupe un plan revient à dire qu «il existe un point A incident à la droite et incident au plan». Le parallélisme entre deux droites est exprimé comme suit : «il existe un point I à l infini, et I est incident aux deux droites». Toutes les contraintes géométriques de nos problèmes de reconstruction peuvent donc être exprimées sous la forme compacte de contraintes d incidence. Mais il faut tout de même un formalisme mathématique efficace pour représenter les éléments et les propriétés. Les éléments sont représentés par des variétés projectives affines dans un sous-espace vectoriel appelé espace projectif. Cette représentation nous permet d utiliser l algèbre de Grassman-Cayley (algèbre extérieur espace vectoriel) pour définir les propriétés de ces éléments et effectuer des raisonnements géométriques. Cette algèbre permet de représenter les variétés projectives sous forme de tenseurs qui dans les dimensions utilisées en informatique graphique, 3 ou moins, sont des points, vecteurs (4x1) ou matrices (4x4) facilement manipulables. Constituée de trois opérateurs, join( ), meet(λ) et dual(*), l algèbre de

5 5 Grassman-Cayley permet d exprimer les propriétés des éléments géométriques par des formules simples et compactes : - Intersection entre la droite D et le plan P :D Λ P - Plan contenant le point a et la droite D : A D Avec de telles formules, nous pouvons automatiser les raisonnements formels en géométrie projective. Un autre avantage est la manipulation des points à l infini comme d autres éléments, ce qui évite beaucoup de cas particuliers lors de l application d opérateurs aux objets. Nous obtenons donc une expression formelle du modèle à reconstruire, qui peut ensuite être numériquement instanciée en utilisant des formules simples, représentant les opérateurs de l algèbre. Plus de détails sur l algèbre de Grassman-Cayley pourront êtres lus dans [MAC97][MLK97][WHI97] Solveur de contraintes Le noyau projectif de GINA est conçu pour calculer un modèle en trois dimensions à partir d un dessin fait à main levée et de déclarations de contraintes. Si ces dernières doivent être absolument respectées, le dessin constitue une préférence du fait de l imprécision d un tel tracé. Le processus de résolution est découpé en deux parties. La première consiste à corriger le dessin imprécis de façon à ce qu il corresponde à une vraie perspective. La seconde s intéresse à l élévation du modèle à partir d une vraie perspective. La résolution est décomposée en tâches plus fines de façon à séparer les contraintes selon leur nature avant de les résoudre. - Projection 2D des contraintes affines et projectives : dans un dessin en perspective, toutes les lignes parallèles se coupent en un point appelé point de fuite. Due à l imprécision du tracé, les projections des lignes parallèles dans l espace ne se coupent pas toutes exactement au même endroit. Pour calculer les points de fuite, et donc vérifier les contraintes, nous utilisons une méthode des moindres carrés pour minimiser les écarts entre le point de fuite calculé et le dessin. - Contraintes d orthogonalité : Ces contraintes permettent de déterminer la position de l œil. Pour cela, 3 faisceaux de droites parallèles sont nécessaires. Ce calcul est

6 6 basé sur l intersection de trois sphères passant par l œil et de diamètre la distance entre deux des trois points de fuite. - Contraintes projectives : Ayant calculé les points de fuite et la position de l œil, le dessin est corrigé en respectant les contraintes de parallélisme et d orthogonalité. Un graphe orienté de voisinage est construit à partir des points du tracé, des points de fuite et des contraintes d incidence. L orientation du graphe permet de mettre en évidence les parties sous-contraintes pour lesquelles des valeurs arbitraires sont données. Les points sur-contraints et les points de fuite sont déplacés en respectant les relations d incidence. Lorsqu il n y a pas de cycle dans le graphe, le dessin est corrigé formellement. Dans le cas contraire, une méthode numérique (moindres carrés) est appliquée pour corriger le dessin. - Contraintes projectives sur le modèle tridimensionnel : Les contraintes projectives sur le modèle en trois dimensions sont converties en des contraintes d incidence binaires en utilisant l algèbre de Grassman-Cayley. «Quatre points a 1, a 2, a 3, a 4 sont coplanaires» est transformé en une contrainte unaire «il existe un plan P», et quatre contraintes binaires «le point a i est incident au plan P». Ces contraintes d incidence permettent de définir un graphe de voisinage. Pour réaliser l élévation, il suffit de fournir autant de valeurs qu il existe de degrés de liberté et de propager ces données dans le graphe [KUZ99]. Ainsi, dans un problème à un seul degré de liberté, il suffit de donner l altitude de l un des points pour obtenir une maquette tridimensionnelle définie à une homothétie près. Il est à noter que les parties cachées sont relevées comme les autres. 4. MArINa Le système MARINA que nous proposons permet de reconstruire en trois dimensions des modèles à partir de sources graphiques non étalonnées. La tâche de reconstruction est divisée en deux parties. La première, adaptée à l homme, où sa connaissance est indispensable et ne peut être inférée automatiquement. L utilisateur dessine directement sur les images numérisées afin de préciser ce qu il souhaite reconstruire. Il fournit également des contraintes sur le modèle en trois dimensions La seconde phase, appropriée à la machine, s intéresse à l élévation par raisonnement formel et à la visualisation du modèle. Nous décrivons ci-dessous les outils de description puis les mécanismes de construction à partir d un ou de plusieurs documents graphiques.

7 Outils de description Avec Canoma et FACADE, l utilisateur place sur l image des formes prédéfinies puis les déforme interactivement afin que leurs bords correspondent aux éléments du document graphique. Il nous semble plus naturel de pouvoir dessiner directement sur l image à l aide d un dispositif d entrée (souris, tablette, ). Aussi dans MARINA, l utilisateur dispose d outils graphiques simples permettant de tracer des éléments de base comme des points et des lignes. La métaphore utilisée est celle des logiciels de dessin vectoriel. Tout élément est modifiable, la mise à jour des éléments qui lui sont liés est automatiquement assurée. Ainsi, le déplacement d un point provoque la modification des segments dont l une des extrémités est ce point. D autres outils sont disponibles : - Des outils interactifs de définition de contraintes permettent d indiquer qu un ensemble d éléments sélectionnés partagent une même propriété. - Des outils spéciaux constituent des macros de description. Ces outils, plus spécialisés, permettent de décrire plus rapidement des objets. Ainsi, l outil «parallélépipède» autorise la saisie de la projection 2D d un parallélépipède par le dessin de huit arêtes sur douze. Les parties manquantes et les contraintes, comme le parallélisme entre les faces opposées, sont automatiquement ajoutées au système. Ces outils ne sont pas des primitives, mais des raccourcis de description. L utilisateur peut ensuite ajouter de nouvelles contraintes sur l élément saisi ou supprimer toute composante (contrainte, point, ligne, ) de cet élément. De nouvelles macros peuvent être ajoutées facilement. - Des outils de boîtes de dialogue permettent à l utilisateur d éditer, modifier, ajouter tout paramètre et toute contrainte. Dans cette classe d outils, l utilisateur peut indiquer si l élément saisi correspond à un objet visible ou caché sur l image. - Des outils de mise en correspondance donne la capacité à l utilisateur de définir explicitement des correspondances d éléments (point, ligne, ) présents sur des images différentes Reconstruction à partir d une seule image Le processus de reconstruction à partir d une image se déroule en 3 étapes : - la description de qu il faut reconstruire à l aide d un dessin et de contraintes, - le calcul du modèle tridimensionnel,

8 8 - le calcul du rendu du modèle. Il est incrémental. L utilisateur peut ajouter, modifier la description et relancer les deux phases suivantes Description A l aide des outils détaillés précédemment, l utilisateur dessine directement sur l image de référence. Les tracés définissent ce qui sera reconstruit dans l image. N ayant à sa disposition qu une seule vue, il doit tracer également les parties cachées afin que le modèle reconstruit puisse les intégrer. Il évalue leur position dans l image et les déclare en tant qu objets non visibles. Leurs coordonnées dans l image étant trop approximatives, le calcul de l élévation n en tiendra pas compte pour déterminer leurs coordonnées dans l espace. Ces parties peuvent êtres déterminées seulement s il existe suffisamment de contraintes portant sur elles Reconstruction du modèle Pour la reconstruction du modèle, nous faisons abstraction de l image de référence. Le dessin réalisé et les contraintes définies correspondent aux données dont le noyau GINA a besoin pour faire une élévation. Ces informations sont donc traduites dans le formalisme de GINA (i.e. dans l algèbre de Grassman-Cayley). Même si les lignes sont tracées précisément sur une photographie, rien ne garantit qu elles respectent les règles d une vraie perspective. En effet, les images étant non calibrées nous n avons aucune information sur les distorsions de l appareil photographique. Le noyau GINA corrige le dessin afin qu il corresponde à une perspective avant de calculer le modèle en trois dimensions. Comme indiquée en section 3, la méthode employée est formelle, en précision infinie, et sans aucune division. La reconstruction à l aide du noyau peut échouer dans deux cas particuliers : - quand un dessin ne peut pas être corrigé de façon à satisfaire les contraintes définies, le noyau ne corrige pas la contradiction. Cependant, cette erreur ne se produit pas sur des images sans distorsion prononcée (cas des photographies usuelles), - quand le nombre de contraintes sur les objets est insuffisant. L utilisateur doit alors ajouter de nouvelles contraintes sur le modèle tridimensionnel.

9 Visualisation du modèle Le modèle calculé est texturé lors de sa visualisation en utilisant la bibliothèque Java3D [JAV99]. Le dessin de l utilisateur définit les bords des surfaces du modèle en trois dimensions que l utilisateur souhaite reconstruire. Ces bords définissent donc les zones de l image de référence à extraire pour le plaquage des textures. Les opérations de plaquage standard de Java3D ne corrigent pas les déformations perspectives. Aussi, convient-il de redresser les textures extraites avant de les plaquer en utilisant par exemple la bibliothèque Java Advanced Imaging [JAV00]. Certaines faces reconstruites ne sont pas visibles sur l image. En l absence de texture, elles sont arbitrairement coloriées dans une couleur par défaut. L utilisateur peut ensuite manipuler interactivement le modèle reconstruit Reconstruction à partir de plusieurs images Le noyau de GINA ne peut reconstruire une scène qu à partir d un dessin. Nous utilisons alors une méthode simple pour reconstruire un modèle à partir de plusieurs images et dessins. L idée est de produire des reconstructions locales dans chaque espace image et de réunir les modèles obtenus en utilisant des points de correspondance donnés par l utilisateur (4 points non coplanaires pour chaque paire de modèle, comme expliqué dans [HUA94]). Au niveau du plaquage de textures dans le cas de faces présentes dans plusieurs images, nous calculons l angle de vue de la face dans chaque image. L image dont l angle de vue est le plus proche de la normale à la surface est alors choisie pour extraire la texture. Ce critère de choix empirique assure dans la majorité des cas le moins de déformations perspectives. 5. Résultats Avec MARINA, le processus de création de scènes tridimensionnelles est simple et plus rapide qu en utilisant des modeleurs traditionnels. Dessiner directement sur les images est intuitif pour de nombreux utilisateurs. La définition des contraintes est facilitée grâce à l utilisation d outils adaptés notamment les outils spéciaux, véritables raccourcis de description. A titre d exemple, le modèle de la figure 2 a été obtenu en 6 minutes. Ce temps inclut toutes les phases : dessin des parties à reconstruire, définition des contraintes, reconstruction par le noyau projectif, extraction des textures et visualisation. Le modèle est décrit à l aide de dix primitives de tracé pour un total de 20 points. 13 contraintes ont été

10 10 données explicitement sur un total de 206 (i.e. 193 contraintes ont été ajoutées par les outils spéciaux ou sont issues de raisonnements). La première phase, la description, a duré cinq minutes. La reconstruction a nécessité 47 secondes, l extraction 12 secondes pour 8 faces texturées. MARINA est écrit en Java, la bibliothèque graphique est Java3D. Pour ces temps, nous avons utilisé la première version du noyau projectif en Prolog sur une UltraSparc 1. Une nouvelle implémentation du noyau en C++ est en phase d intégration à MARINA. Les tests précis avec MARINA n ont pas encore été faits, mais le facteur d accélération sur des cas tests est de l ordre de Figure 2 : Reconstruction à partir d une perspective d architecte. MARINA a été conçu pour reconstruire des modèles en trois dimensions à partir d un ou plusieurs documents graphiques quelconques. Ainsi, peut-on mélanger des documents de nature différente. Dans l exemple de la figure 3, nous disposons d une seule photographie de la maison. Nous avons reconstruit un modèle tridimensionnel de cette maison à partir de ce document (figure 3-a). Nous avons réalisé deux esquisses de l arrière du bâtiment correspondant à deux hypothèses de travail (figures 3-b et 3-d). Nous avons obtenu deux modèles en trois dimensions mélangeant une photographie et un dessin mettant en valeur les deux scenarii de l arrière de la maison (figures 3-c et 3-e). La rapidité et la simplicité de la reconstruction permettent d explorer diverses possibilités de modélisation. MARINA est un outil de modélisation qui peut être utilisé dès la phase de conception en transformant rapidement une esquisse en une scène tridimensionnelle afin de mieux appréhender l objet en cours de conception.

11 11 (a) (b) (c) (d) (e) Figure 3 : Fusion de sources graphiques de nature différente. 6. Conclusion et travaux futurs MArINa est un système de reconstruction de modèles trois dimensions à partir d un ou de plusieurs documents graphiques quelconques. Il est basé sur la géométrie projective, l algèbre de Grassman-Cayley et un raisonnement géométrique formel. La contribution de MArINa porte sur l amélioration des calculs de reconstruction (vitesse, précision, simplicité) et sur la simplification de l interface utilisateur. A notre connaissance, MArINa est le premier système de photomodélisation basé sur un noyau géométrique formel. En plus d être un solveur de reconstruction, il démontre la validité du noyau projectif de GINA. Actuellement nous finalisons l interfaçage du nouveau noyau projectif en C++ avec MArINa dans une nouvelle implémentation du système, plus complète (au niveau des outils d interaction et des macros de construction) et modulaire (facilitant l évolution du système, et l interfaçage avec d autres réalisations de l équipe). D autres travaux en cours portent sur l amélioration du traitement des textures. Ainsi, vise t-on à traiter les cas d occultation de la scène à reconstruire afin de «réparer» les textures masquées par des objets (voitures, panneaux, ) et à composer des textures à partir de plusieurs images pour améliorer la visualisation du modèle reconstruit. Enfin, les travaux futurs porteront sur la prise en compte

12 12 des contraintes inter-images (i.e. portant sur des éléments d images différentes) et sur l élargissement du panel des formes modélisables (en ajoutant des outils spéciaux et en étendant les capacités du noyau). Remerciements Nous remercions Jean-Daniel Fekete et Frédéric Jourdan pour leur aide. Nous remercions aussi tous les acteurs du projet ACIV «Modélisation multimodale des milieux urbains. Application aux projets d embellissement à l époque des Lumières» pour leurs collaborations directes ou indirectes. Références [CAN99] METACREATIONS INTERNATIONAL LTD., Wilson House, Fenian Street, Dublin 2, Ireland, Canoma User s Guide, [CAP90] B. CAPRILE, V. TORRE, Using Vanishing Points for Camera Calibration, International Journal of Computer Vision, 4, 1990, pp [DEB96] P. E. DEBEVEC, C. J. TAYLOR, and J. MALIK, Modeling and rendering architecture from photographs: A hybrid geometry- and image-based approach, Actes de SIGGRAPH 96 (H. Rushmeier, ed.), Addison Wesley, New Orléans, Louisiane, 4-9 Août 1996, pp [FAU92] O. FAUGERAS, Q.-T. LUONG, and S. MAYBANK, Camera Self-Calibration: Theory and Experiments, Actes de la European Conference on Computer Vision, Santa-Margerita, Italie, 1992, pp [FAU93] O. FAUGERAS, Three-Dimensional Computer Vision, a Geometric Viewpoint, MIT press, [HEU98] F. A. VAN DEN HEUVEL, 3D reconstruction from a single image using geometric constraints, ISPRS Journal of photogrammetry & Remote Sensing, 53, 1998, pp [HUA94] T. S. HU ANG, A. N. N ETRAVALI, Motion and structure from feature correspondences : A review, Actes IEEE, 82(2), 1994, pp [JAV99] SUN MICROSYSTEMS INC, Java3D API 1.2 Specification, 1999 [JAV00] S UN M ICROSYSTEMS INC, Autometric Inc. Eastman Kodak Inc., Siemens Corporate Research Inc., Java Advanced Imaging API 1.0 Specification, 2000 [KML98] P. M. KU Z O, P. MA C É, O. LHOMME, A constraint-based System for 3D Geometric Modeliing, 3 rd International Conference Computer Graphics and Artificial Intelligence, Limoges, avril 1998.

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