Variables aléatoires indépendantes

Transcription

1 Variables aléatoires indépendantes Nous aurons besoin dans la suite de parler de la notion de variables aléatoires indépendantes (et plus généralement mutuellement indépendantes). On en donne ici la définition sans en tirer les conséquences que nous verrons plus tard. Définition Soit et deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω,,). On dit que les variables et sont indépendantes si (Ω),(Ω),()()() Loi de Bernoulli Situation standard Toute expérience aléatoire conduisant à deux issues possibles : l une est appelée succès et l autre échec. Une telle expérience s appelle : épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire associée prend la valeur 1 si le succès est réalisé et 0 sinon. Univers image (Ω)0,1 Si est la probabilité du succès dans l expérience aléatoire, on a (1) Espérance mathématique et variance () Notation On écrit B() Pour aller plus loin La loi de Bernoulli est la «brique» de nombreuses situations concernant les variables aléatoires.

2 Loi binomiale Situation standard On répète successivement épreuves de Bernoulli indépendantes et de même loi (ce qui revient à dire que l on recommence la même épreuve de Bernoulli fois dans les mêmes conditions). On s intéresse au nombre de succès obtenus dans ces épreuves. Univers-image (Ω)0, Si est la probabilité du succès de chacune des épreuves, on a : Soit en posant 1 : 0,,() (1) 0,,() Espérance mathématique et variance () Notation On écrit B(,) Remarque Si B() alors B(1,) Nous avons en effet (0)1 1 0 (1) Pour aller plus loin On considère variables de Bernoulli,, de même paramètre, indépendantes. Soit. Nous allons prouver que suit une loi binomiale de paramètres et. Cette preuve va être faite par récurrence. Montrons que ce résultat est vraie pour 1.

3 Dans ce cas qui suit une loi de Bernoulli de paramètre et donc une loi binomiale de paramètres 1 et. Soient,,, des variables de Bernoulli de même paramètre, mutuellement indépendantes. Montrons que si suit une loi binomiale de paramètres et, alors suit une loi binomiale de paramètres (1) et.. Nous admettrons le résultat suivant : les variables,,, étant mutuellement indépendantes, alors et sont indépendantes. On s intéresse d abord à l univers-image. On sait que (Ω)0, donc pour tout élément de Ω : 0 () 0 ()1 Donc 0 () ()1 Et donc 0 ()1 Décrivons pour tout 0,1 l évènement ( ). Il y a deux cas particuliers : 0 et 1. En effet ( 0)( 0 0) Et ( 1)( 1) Pour tout 1,, on peut écrire ( )( 0)( 1 1) donc bien (Ω)0,1 par indépendance ( 0)( 0 0) ( 0)( 0) par indépendance 0 (1) (1) 1 0 (1) ( 1)( 1) ( ) ( 1) (1) 1 1 (1) enfin pour tout 1, par incompatibilité puis par indépendance :

4 ( )( 0)( 1 1) ( 0)( 1 1) ( )( 0)( 1)( 1) (1) (1) 1 (1) 1 (1) d après la formule de Pascal ( ) 1 (1) Cette formule est vérifiée également pour 0 et (1). Donc la variable suit bien une loi binomiale de paramètres (1) et. Il y a donc hérédité. On peut énoncer le théorème suivant : Théorème : Soit,, variables aléatoires de Bernoulli, indépendantes et de même paramètre. Soit. La variable suit une loi binomiale de paramètres et. Ce théorème permet de retrouver un résultat connu. On sait que,( ) Loi géométrique () ( ) Situation standard On répète successivement des épreuves de Bernoulli indépendantes et de même loi jusqu à ce que l on obtienne un succès. On s intéresse au nombre de répétitions qu il a fallu faire pour obtenir un succès. Univers-image (Ω) Si est la probabilité du succès de chacune des épreuves, on a :,()(1) Soit en posant 1 :,()

5 Espérance mathématique et variance () 1 () Notation On écrit G() Pour aller plus loin On considère une famille de variables aléatoires,, indépendantes, suivant toutes une même loi géométrique de paramètre. On considère On cherche la loi suivie par. 0,, 1donc. (Ω), Explicitons une expérience aléatoire que l on peut associer à. On considère une pièce pour laquelle la probabilité d obtenir «pile» est égale à. On lance cette pièce jusqu à ce que l on ait obtenu piles. Soit la variable indiquant le nombre de lancers avant le premier pile, la variable indiquant le nombre de lancers entre le premier pile et le second pile (le premier lancer pris en compte étant celui qui suit le premier pile),, est la variable indiquant le nombre de lancers entre le (1) è pile et le è pile La variable correspond au nombre de lancers pour obtenir le è pile. Elle est donc égale à. Les variables,,, suivent des lois géométriques de paramètre. Nous nous retrouvons dans la situation que nous voulons analyser d une somme de lois géométriques de même paramètre que l on peut considérer comme mutuellement indépendantes. Déterminons la probabilité de l évènement () avec. L évènement () signifie que l on a eu sur les (1) premiers lancers (1) piles et () faces. Appelons la variable aléatoire qui correspond au nombre de piles parmi les (1) premiers lancers. Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres (1) et. On peut écrire ()(1) par indépendance () 1 1 (1) 1 1 (1) Donc ( ) 1 1 (1)

6 Loi uniforme Situation standard C est la loi de l équiprobabilité. Toute variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs telles que toutes ont la même probabilité suit une loi uniforme. En général, on se ramène au cas où les valeurs prises par la variable sont les entiers entre 1 et. Univers-image Dans le cas cité ci-dessus, l univers image est (Ω)1, 1,,() 1 Espérance mathématique et variance () 1 2 () 1 12 Notation On écrit Loi hypergéométrique U, Situation standard Une urne contient boules : noires et blanches (). On extrait simultanément boules de l urne. On s intéresse au nombre de boules noires qu il y a dans les boules extraites. Univers-image L univers image est difficile à définir précisément. S il y a «assez» de boules noires, c est-à-dire si et s il y a assez de boules blanches (), on aura (Ω)0, Mais s il, on ne pourra pas avoir plus de boules noires, et si, il y aura toujours au moins une boule noire.

7 En pratique, si, le maximum de boules noires que l on peut obtenir est, sinon c est. Le maximum de boules noires est donc égal au plus petit des deux nombres : et. Si, l échantillon contiendra au maximum boules blanches et donc au minimum boules noires, sinon si, c est-à-dire si négatif, le minimum de boules noires sera 0. Donc le minimum de boules noires est le plus grand des deux nombres 0 et. donc en fait (Ω)max(0,),min (,) (Ω),() Espérance mathématique et variance () En posant est la probabilité d' avoir une boule noire. également () (1)() 1 Donnons comme exemple le calcul de l espérance. On connaît la formule de Vandermonde () 1 1!!()! 1! (1)!()! (1)! (1)!(1)(1)!

8 Donc 1 1 (1)! ()!(1)! ()! ()!! () Où est la probabilité d obtenir une boule noire. Notation On écrit Ou bien H(,,) H(,,) Loi de Poisson Il n y a pas de situation standard. La loi de Poisson apparaît d abord comme approximation d une loi binomiale quand le nombre de répétition de l épreuve de Bernoulli tend vers l infini (en pratique devient grand) avec une probabilité du succès «petite». Examinons la situation. On considère une variable aléatoire tel que B(,). On pose. 0,,() (1) 1 Que se passe t il quand tend vers l infini? Cherchons la limite de () quand tend vers l infini, étant un nombre réel fixé. Pour cela, on raisonne en terme d équivalents.!!()! 1! (1) 1! () Or Donc Et donc Donc 0,1,~ () ~

9 On en tire ~ 1! ()~ 1! 1 Reste à trouver un équivalent pour 1. Calculons la limite de cette quantité quand tend vers l infini. On écrira d abord : 1 () Quand tend vers l infini, tend vers 0 et donc ~! 1 ln1 ~ Donc donc Et enfin On en tire que ()ln1 ~ ~ ~ lim ()ln1 lim 1 lim () lim ()! Remarque On sait que (). On retrouve que dans la loi de Poisson, l espérance vaut. également Quand tend vers l infini, on aura : ()(1)1 lim () lim 1 Résultat conforme à celui connu sur les lois de Poisson. Univers-image donc (Ω),()!

10 Espérance mathématique et variance également ()