Cours de Mathématiques Compléments de calcul intégral Sommaire

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1 Sommire Sommire I Intégrles doubles ou triples I.1 Intégrles doubles : théorèmes de Fubini I.2 Intégrles doubles : Chngement de vribles I.3 Formule de Grien-Riemnn et pplictions I.4 Intégrles triples : Théorèmes de Fubini I.5 Intégrles triples : Chngement de vribles II Centres et moments d inertie II.1 Cs d une plque plne II.2 Cs d un solide en dimension III Intégrles curvilignes III.1 Rppels III.2 éfinition III.3 Cs des formes exctes IV Notions d nlyse vectorielle IV.1 Chmps de sclires et chmps de vecteurs IV.2 Circultion et grdient IV.3 ivergence et rottionnel IV.4 Quelques formules d nlyse vectorielle IV.5 Potentiels sclires et potentiels vecteurs Pge 1 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

2 Prtie I : Intégrles doubles ou triples I Intégrles doubles ou triples I.1 Intégrles doubles : théorèmes de Fubini Théorème Soient u, v deux pplictions continues de [, b] dns IR, vec u v. Soit le compct du pln défini pr : x b et u(x) y v(x). Soit f : IR, continue. On l églité : f(x, y) dx dy = Théorème b ( ) v(x) f(x, y) dy dx. Soient u, v deux pplictions continues de [c, d] dns IR, vec u v. Soi le compct du pln défini pr : c y d et u(y) x v(y). Soit f : IR, continue. On l églité : f(x, y) dx dy = Cs prticuliers d c u(x) ( ) v(y) f(x, y) dx dy. Soit le compct [, b] [c, d]. Soit f : IR, continue. d ( b ) On l églité : f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy = c u(y) b ( d Supposons notmment que f(x, y) ϕ(x)ψ(y), où ϕ et ψ sont continues. b d Alors on l églité : f(x, y) dx dy = ϕ(x) dx ψ(y) dy. I.2 Intégrles doubles : Chngement de vribles Proposition Soit f une ppliction continue sur le compct, inclus dns l ouvert V. c c ) f(x, y) dy dx. Soient un compct inclus dns l ouvert U et ϕ : U V de clsse C 1 telle que ϕ() =. On suppose que ϕ est injective ou sinon que l ensemble des points de qui ont plusieurs ntécédents une ire nulle. On note (u, v) ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ce chngement de vribles. (x, y) Soit J(u, v) = le jcobien de ϕ en un point quelconque de U. (u, v) Alors on l églité : f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) du dv Pge 2 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

3 Prtie I : Intégrles doubles ou triples Pssge en coordonnées polires L formule s écrit : f(x, y) dx dy = f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ I.3 Formule de Grien-Riemnn et pplictions Proposition Soit un compct de IR 2, de frontière δ. On suppose que δ est sns point double, et orientée dns le sens positif : si on suit cette frontière orientée, on lisse sur s guche. Soit ω = P dx + Q dy une forme différentielle de clsse C 1 sur un ouvert U contennt. ( Q Alors ω = P (x, y) dx + Q(x, y) dy = x P ) dx dy. y Conséquences δ δ Aires plnes se rmennt à des intégrles curvilignes Avec les nottions ci-dessus, l ire A() de s obtient pr : A() = x dy = y dx = 1 (x dy y dx) 2 δ δ Clcul des ires de domines définis en coordonnées polires Soit le domine du pln limité pr les demi-droites issues de O d ngles polires θ 1 θ 2, et pr l courbe d éqution ρ = ρ(θ) 0. Alors l ire de s écrit : A() = 1 2 θ2 θ 1 ρ 2 (θ) dθ. I.4 Intégrles triples : Théorèmes de Fubini Théorème Soit un compct de IR 2 et u, v deux pplictions continues de dns IR. Soit le compct de IR 3 défini pr : (x, y), u(x, y) z v(x, y). Soit f une ppliction continue définie sur, à vleurs réelles. ( ) Alors on l églité : f(x, y, z) dx dy dz = v(x, y)f(x, y, z) dz dx dy u(x,y) Théorème Soit un compct de IR 3 limité inférieurement pr z = et supérieurement pr z = b. Pour tout z de [, b] soit z = {(x, y) IR 2, (x, y, z) }. Soit f une ppliction continue définie sur, à vleurs réelles. c ( ) Alors on l églité : f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dx dy dz z δ Pge 3 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

4 Prtie I : Intégrles doubles ou triples Cs prticuliers Soit le compct de IR 3 défini pr = [p, q] [r, s] [t, u]. u ( s ( q Alors, pr exemple : f(x, y, z) dx dy dz = En prticulier, si f(x, y, z) ϕ(x)ψ(y)ξ(z), où ϕ, ψ, ξ sont continues : q s u f(x, y, z) dx dy dz = ϕ(x) dx ψ(y) dy ξ(z) dz. p I.5 Intégrles triples : Chngement de vribles Proposition Soit f une ppliction continue sur le compct, inclus dns l ouvert V. r t t r p ) ) f(x, y, z) dx dy dz. Soient un compct inclus dns l ouvert U et ϕ : U V de clsse C 1, telle que ϕ() =. On suppose que ϕ est injective ou sinon que l ensemble des points de qui ont plusieurs ntécédents un volume nul. On note (u, v, w) ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). (x, y, z) Soit J(u, v, w) = le jcobien de ϕ en un point quelconque de U. (u, v, w) Alors on l églité : f(x, y, z) dx dy dz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw Exemples Pssge en coordonnées cylindriques L formule s écrit : f(x, y, z) dx dy dz = f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz. Pssge en coordonnées sphériques Avec x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, et z = r cos ϕ, où θ désigne l longitude et ϕ l coltitude, et en notnt g l ppliction définie pr g(r, θ, ϕ) = f(x, y, z), l formule devient : f(x, y, z) dx dy dz = g(r, θ, ϕ) r 2 sin ϕ dr dθ dϕ. Pge 4 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

5 Prtie II : Centres et moments d inertie II Centres et moments d inertie II.1 Cs d une plque plne On définit ici les éléments d inertie d une plque du pln Oxy limitée pr un compct, et recouverte d une densité surfcique µ(x, y) 0. éfinition L msse d une plque plne est l intégrle de s densité : m() = µ(x, y) dx dy. Remrque On suppose que l plque est homogène, c est-à-dire recouverte d une densité constnte µ. Alors m() = µa(), où A() = dx dy est l ire de. éfinition Le centre d inertie G de l plque est défini pr OG = 1 m() M = (x, y) est un point prcournt et où m() est l msse de l plque. Si est homogène lors OG = 1 A() 0Mµ(x, y) dx dy, où 0M dx dy où A() est l ire de l plque. Les coordonnées de G s obtiennent pr projection : x G = 1 xµ(x, y) dx dy, et y G = 1 yµ(x, y) dx dy. m() m() Et dns le cs d une plque homogène : x G = 1 x dx dy, et y G = 1 y dx dy. A() A() es considértions de symétrie peuvent souvent fciliter le clcul des coordonnées de G. éfinition Soit un compct du pln. On désigne ici pr Γ un point ou une droite du pln. Le moment d inertie de pr rpport à Γ est I Γ = d(m, Γ) 2 µ(x, y) dx dy, où d(m, Γ) est l distnce du point cournt M(x, y) de à Γ. et exemples Les moments d inertie sont homogènes u produit d une msse pr le crré d une distnce. Le moment d inertie de pr rpport à l xe Ox est I 0x = y 2 µ(x, y) dx dy. Le moment d inertie de pr rpport à l xe Oy est I Oy = x 2 µ(x, y) dx dy. Le moment d inertie de pr rpport à O est I O = (x 2 + y 2 )µ(x, y) dx dy = I 0x + I 0y. Pge 5 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

6 Prtie II : Centres et moments d inertie II.2 Cs d un solide en dimension 3 On définit ici les éléments d inertie d un solide de l espce Oxy limité pr un compct, et muni d une densité volumique µ(x, y, z) 0. éfinition L msse du solide est l intégrle de s densité : m() = µ(x, y, z) dx dy dz. Remrque Supposons que le solide soit homogène, c est-à-dire de densité constnte µ. Alors l msse de est m() = µv (), où V () = dx dy dz est le volume de. éfinition Le centre d inertie du solide est le point G défini pr : OG = 1 0Mµ(x, y, z) dx dy dz. m() Si est homogène lors OG = 1 V () 0M dx dy dz où V () est le volume de. Les coordonnées de G s obtiennent pr projection : x G = 1 xµ(x, y, z) dx dy dz, y G = 1 yµ(x, y, z) dx dy dz m() m() et z G = 1 zµ(x, y, z) dx dy dz. m() ns le cs d une plque homogène : x G = 1 x dx dy dz y G = 1 y dx dy dz A() A() z G = 1 z dx dy dz A() es considértions de symétries peuvent souvent fciliter le clcul des coordonnées de G. éfinition On désigne ici pr Γ un point, une droite ou un pln de l espce. Le moment d inertie de pr rpport à Γ est I Γ = d(m, Γ) 2 µ(x, y, z) dx dy dz, où d(m, Γ) est l distnce du point cournt M(x, y, z) de à Γ. Pge 6 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

7 Prtie II : Centres et moments d inertie et exemples Les moments d inertie sont homogènes u produit d une msse pr le crré d une distnce. Le moment d inertie de pr rpport u pln Oxy est I 0xy = z 2 µ(x, y, z) dx dy dz. Le moment d inertie pr rpport u pln Oxz est I 0xz = y 2 µ(x, y, z) dx dy dz. Le moment d inertie pr rpport u pln Oyz est I 0yz = x 2 µ(x, y, z) dx dy dz. Le moment d inertie pr rpport à l xe Ox est I 0x = (y 2 + z 2 )µ(x, y, z) dx dy dz. On constte que I Ox = I Oxy + I Oxz. Le moment d inertie pr rpport à l origine est I 0 = On constte que I 0 = I Oxy + I Oxz + I Oyz. (x 2 + y 2 + z 2 )µ(x, y, z) dx dy dz. Pge 7 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

8 Prtie III : Intégrles curvilignes III Intégrles curvilignes III.1 Rppels On considère ici l espce ffine euclidien E 3 de dimension 3, identifié à IR 3 pr le choix d un repère orthonormé. Un point M de E 3 est identifié u triplet (x, y, z) de ses coordonnées. Un rc prmétré (I, ϕ) est l donnée d un intervlle I et d une ppliction ϕ : I IR E 3. L imge de t est notée M(t). C est le point de prmètre t. On noter x(t), y(t), z(t) les coordonnées de M(t). L ensemble des points M(t), qund t prcourt l intervlle I, est ppelé le support de l rc. L rc (I, ϕ) est dit continu (resp. de clsse C k ) si ϕ est continue (resp. de clsse C k ). III.2 éfinition éfinition Soit = ([, b], ϕ) un rc C 1 de support contenu dns l ouvert Ω. Soit ω = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz une forme différentielle continue sur Ω. Pour tout M de Ω l quntité ω(m) est donc une forme linéire sur IR 3 définie pr : h = (α, β, ) IR 3, ω(m)(h) = αp (M) + βq(m) + R(M). On ppelle intégrle curviligne de ω le long de l rc le réel noté ω égl à : b ω(m(t))m (t) dt = b Propriétés L quntité ω est linéire pr rpport à ω. (P (M(t)) x (t) + Q(M(t)) y (t) + R(M(t)) z (t)) dt. L intégrle curviligne de ω sur un rc fermé ne dépend ps de l origine choisie sur cet rc. On générlise fcilement, pr l reltion de Chsles, l définition de ω u cs d un rc = (I, ϕ) où ϕ est continue sur I et seulement C 1 pr morceux. III.3 Cs des formes exctes Proposition Soit ([, b], ϕ) un rc C 1 pr morceux de support contenu dns Ω ouvert. Soient A = M() et B = M(b) l origine et l extrémité de l rc. Soit ω = df une forme différentielle excte sur Ω, où f est une ppliction de clsse C 1. Alors on l églité : ω = f(b) f(a). Pge 8 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

9 Prtie III : Intégrles curvilignes L intégrle curviligne d une forme différentielle ω excte sur un rc prmétré ne dépend que des extrémités de l rc et est égle à l ccroissement d une primitive quelconque de ω. En prticulier, si est un rc fermé lors ω = 0. Pge 9 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

10 Prtie IV : Notions d nlyse vectorielle IV Notions d nlyse vectorielle Soit E 3 l espce ffine euclidien orienté de dimension 3, rpporté à un repère orthonormé direct. Un point M de E 3 est identifié u triplet (x, y, z) de ses coordonnées. On désigne pr Ω un ouvert de E 3. IV.1 Chmps de sclires et chmps de vecteurs éfinition Un chmp de sclires sur l ouvert Ω est une ppliction f de Ω dns IR. On dit que ce chmp est continu (respectivement de clsse C k ) si l ppliction f qui u point M(x, y, z) ssocie f(m) = f(x, y, z) est continue (respectivement de clsse C k ). Les surfces d équtions f(m) = λ sont ppelées surfces de niveu de f. éfinition Un chmp de vecteurs sur l ouvert Ω est une ppliction E de Ω dns IR 3. Un chmp de vecteurs E est déterminé pr trois chmps de sclires P, Q, R : M(x, y, z) E 3, E(M) = (P (M), Q(M), R(M)). Le chmp E est continu (resp. de clsse C k ) P, Q, R sont continus (resp. de clsse C k ). Les lignes de chmp de E sont les rcs Γ tels qu en tout point M de Γ, le vecteur E(M) soit porté pr l tngente en M à l rc Γ. IV.2 Circultion et grdient éfinition (Circultion d un chmp de vecteurs) Au chmp E = (P, Q, R) correspond l forme différentielle ω = P dx + Q dy + R dz. Soit = ([, b], ϕ) un rc prmétré de support inclus dns Ω. L intégrle curviligne de ω sur l rc est ppelée circultion du chmp E le long de cet rc. Elle se note E(M) dm. Pr conséquent : E(M) dm = ω = b (P (M) x (t) + Q(M) y (t) + R(M) z (t)) dt. Pge 10 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

11 Prtie IV : Notions d nlyse vectorielle éfinition (Grdient d un chmp de sclires) Soit f un chmp de sclires sur l ouvert Ω de E 3, de clsse C 1. On ppelle grdient de f le chmp de vecteurs, noté grd(f), défini pr : ( ) f f f M(x, y, z) Ω, grd(f)(m) = (M), (M), x y z (M) éfinition (Chmps de grdients) On dit qu un chmp de vecteurs E = (P, Q, R) est un chmp de grdients sur Ω s il existe un chmp f de clsse C 1 sur Ω tel que E = grd(f). Le chmp de vecteurs E = (P, Q, R) est un chmp de grdients l forme différentielle w = P dx + Qdy + Rdz est excte. Plus précisément : E = grd(f) ω = df. Si E = grd(f), on dit que f est un potentiel sclire du chmp E. Les lignes de chmps de E sont les trjectoires orthogonles des surfces de niveu de f, ppelées ici équipotentielles. Soit E = grd(f) un chmp de grdients. L circultion de E le long de l rc prmétré = ([, b], ϕ) est égle à f(b) f(a), c est-à-dire à l ccroissement du potentiel sclire f. IV.3 ivergence et rottionnel éfinition (ivergence d un chmp de vecteurs) Soit E = (P, Q, R) un chmp de vecteurs, de clsse C 1 sur l ouvert Ω de E 3. On ppelle divergence de E, et on note div(e), le chmp de sclires défini sur Ω pr : M Ω, div(e)(m) = P Q R (M) + (M) + x y z (M). Interpréttion div(e) est le produit sclire i E x + j E y + k E z. éfinition (Rottionnel d un chmp de vecteurs) Soit E = (P, Q, R) un chmp de vecteurs, de clsse C 1 sur l ouvert Ω de E 3. On ppelle rottionnel de E, le chmp de vecteurs défini sur Ω pr : ( ) R Q P R Q P M Ω, rot(e)(m) = (M) (M), (M) (M), (M) y z z x x y (M) Pge 11 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

12 Prtie IV : Notions d nlyse vectorielle Interpréttion et nottion rot(e) est le chmp de vecteurs i Avec l opérteur Nbl : x = y, rot(e) = E = z éfinition (Chmps de rottionnels) E x + E j y + E k z. x y z R P y Q z Q = P z R. x R Q x P y On dit qu un chmp de vecteurs E de clsse C 1 est un chmp de rottionnels s il existe un chmp de vecteurs continu F tel que, sur l ouvert Ω, on it E = rot(f ). On dit lors que E dérive du potentiel vecteur F. éfinition (Lplcien d un chmp de sclires) Soit f un chmp de sclires, de clsse C 2 sur l ouvert Ω de E 3. On ppelle lplcien de f le chmp de sclires, noté f défini pr : M Ω, f(m) = 2 f x (M) + 2 f 2 y (M) + 2 f 2 z (M). 2 On remrque que le chmp f s écrit f = div(grd(f)). On dit que f est hrmonique sur Ω si son lplcien f est nul sur Ω. IV.4 Quelques formules d nlyse vectorielle Soient f, g des chmps sclires de clsse C 1 sur Ω, et λ, µ IR. Soient E, F des chmps de vecteurs de clsse C 1 sur Ω. On les églités suivntes : grd(λf + µg) = λgrd(f) + µgrd(g) grd(fg) = fgrd(g) + ggrd(f) div(λe + λf ) = λdiv(e) + µdiv(f ) rot(λe + µf ) = λrot(e) + µrot(f ) div(fe) = fdiv(e)+ < grd(f), E > rot(fe) = frot(e) + grd(f) E div(e F ) = < F, rot(e) > < E, rot(f ) > Soient f, g des chmps sclires de clsse C 2 sur Ω, et λ, µ IR. Soient E, F des chmps de vecteurs de clsse C 2 sur Ω. On les églités suivntes : Pge 12 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.

13 Prtie IV : Notions d nlyse vectorielle (λf + µg) = λ(f) + µ(g) (fg) = f(g) + g(f) + 2 < grd(f), grd(g) > rot(grd(f)) = 0 et div(rot(e)) = 0 rot(fgrd(g)) = grd(f) grd(g) IV.5 Potentiels sclires et potentiels vecteurs Les chmps sont supposés définis sur un ouvert Ω de E 3. Proposition Si le chmp E, de clsse C 1, est un chmp de rottionnels lors div(e) 0. L réciproque est vrie si l ouvert Ω est étoilé. Les potentiels vecteurs de E sont lors les chmps F = F 0 + grd(f), où F 0 est un potentiel vecteur prticulier et où f est un chmp sclire quelconque de clsse C 1. Proposition Si le chmp E, de clsse C 1, est un chmp de grdients lors rot(e) 0. Si Ω est étoilé, l réciproque est vrie : les potentiels sclires de E sont lors les chmps f = f 0 + λ, où f 0 est un potentiel sclire prticulier et où λ est un chmp sclire constnt quelconque. Pge 13 Jen-Michel Ferrrd c EduKlub S.A.