Chapitre 8 : Intégrales

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Jean-René Champagne
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Terminle S 2014/2015 Chpitre 8 : Intégrles Cours 1 Intégrle et ire Définition 1 Dns le pln muni d un repère orthogonl, on ppelle unité d ire, que l on note u.

L ensembled est constitué despoints M(x,y) du plntels que x b et 0 y f (x) c est-à-dire l ensemble des points du pln qui se trouvent entre l courbe C et l xe des bscisses.

1 Terminle S 2014/2015 Chpitre 8 : Intégrles Cours 1 Intégrle et ire Définition 1 Dns le pln muni d un repère orthogonl, on ppelle unité d ire, que l on note u.., l ire du rectngle OIKJ où OI = ı, OJ = j et OK = ı + j LedomineD : soit une fonctiondéfinie et positive sur un intervlle [;b]. L courbereprésenttivec f est u-dessus de l xedes bscisses. L ensembled est constitué despoints M(x,y) du plntels que x b et 0 y f (x) c est-à-dire l ensemble des points du pln qui se trouvent entre l courbe C et l xe des bscisses. Définition 2 Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b]. L intégrlede f sur [;b],notée f (x)dx, est l iredu domined situé sous l courbec. Remrques et b sont les bornes d intégrtion. x est l vrible d intégrtion, elle est dite muette, d utres lettres peuvent être utilisées. f (x)dx =0 dns cecs, l iredu domine est nulle. Pour toute fonction continue positive f (x)dx est un nombreréel positif ounul. Lycée Émile Duclux Pge 1/5

Terminle S 2014/2015 Méthode 1 Soit f l fonctionffine définie sur R pr f (x)= 1 6 2 x+2, clculer f (x)dx.

2 Terminle S 2014/2015 Méthode 1 Soit f l fonctionffine définie sur R pr f (x)= x+2, clculer f (x)dx. 2 Théorème 1 Reltion de Chsles Pour tousréels,b et c tels que b c on : c f (x)dx = f (x)dx+ c b f (x)dx 2 Fonction définie pr une intégrle Soit f une fonction continue et positive définie sur l intervlle [; b] et x un nombre réel quelconque de cet intervlle. L intégrle f (t)dt est l irede l prtiecoloriéeen bleu qui dépend dex. Théorème 2 Si f est une fonctioncontinueet positive sur l intervlle [;b], l fonction F définie sur [;b]pr F(x)= est dérivble sur [;b] et s fonction est l fonction f. Démonstrtion. Voirchier. f (t)dt Lycée Émile Duclux Pge 2/5

3 Terminle S 2014/ Notion de primitive Définition 3 Soit f unefonction définie sur un intervlle I de R. On ppelleprimitive de f sur I une fonction Fdérivble sur I telle quepour tout x de I, F (x)=f (x). Méthode 2 Soit f l fonctiondéfinie sur R pr f (x)=x 2 2x+3. Montrerque l fonction Fdéfinie sur R pr F(x)= 1 3 x3 x 2 +3x est une primitivede f. Théorème 3 Admis Si f est une fonctioncontinuesur un intervlle I, lorsf dmet des primitives sur I. Théorème 4 Soit f unefonction continuesur un intervlle I de R et Fune primitivede f sur I. Pour tout réel k,l fonctionx F(x)+k est ussi une primitive defsur I. Si Gest une primitive de f sur I, lorsil existe un réel k tel que:pour tout x de I, G(x)=F(x)+k. Démonstrtion. Voirchier. Remrque:si f dmet uneprimitivesur I,lorselledmet uneinfinitéde primitives.on dit quedeux primitivesdef sur I différent d une constnte. Théorème 5 Soit f une fonction dmettnt des primitives sur I. Étnt donné deux réels x 0 et y 0, vec x 0 pprtennt à I, il existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x 0 )=y 0. Démonstrtion. Voirchier. 3.1 Primitive de fonctions de référence k désigne un réel quelconque. f définie pr Fprimitive de f I f (x)= F(x)=x+k R f (x)=x n vec n N F(x)= 1 n+1 xn+1 +k R f (x)= 1 x n vec n Nn>1 F(x)= 1 +k (n 1)xn 1 R f (x)= 1 F(x)=lnx+k ]0;+ [ x f (x)= 1 F(x)=2 x+k ]0;+ [ x f (x)=cosx F(x)=sinx+k R f (x)=sinx F(x)= cosx+k R Lycée Émile Duclux Pge 3/5

4 Terminle S 2014/ Primitives et opértions Théorème 6 Soit u et v deux fonctionsdéfinies sur un intervlle Ide R dmettnt les fonctions U et Vcommeprimitives sur I. L fonction U+Vest une primitive de l fonctionu+v sur I. Pour tout réel λ,l fonctionλu est une primitivede l fonction λu sur I. Formes de référence k désigne un réel quelconque. 1. L fonctionu u n (n N 1 ) pour primitives sur I les fonctions n+1 un+1 +k 2. Si u nes nnule ps sur I, l fonction u 1 vec n>1 pour primitives sur I les fonctions un n 1 1 u n 1 +k. 3. Si l fonctionu est strictement positive sur I, lorsl fonction u u pour primitives sur I les fonctions2 u+k. 4. Les fonctionsu cosu et u sinu ont respectivement pour primitives sur I les fonctionssinu+k et cosu+k. 5. L fonctionu e u pour primitives sur I les fonctionse u +k. 6. Si l fonctionu est strictement positive sur I, lorsl fonction u u 4 Lien entre intégrles et primitives pour primitivessur I les fonctionslnu+k. Nous vons vu dns le prgrphe2que, si f est une fonction continue et positive sur l intervlle [;b], lors l fonction F définie sur [;b] pr F(x)= est dérivble sur [;b]et s fonction dérivée est l fonction f. En d utres termes, l fonction F:x 4.1 Le théorème fondmentl Théorème 7 f (t)dt f (t)dt est une primitive del fonctionf sur l intervlle [;b]. Si f est une fonction continue et positive sur l intervlle [;b] et si F est une primitive quelconque de f sur [;b], lors Démonstrtion. Voirchier. f (x) dx =F(b) F() Méthode 3 Clcul d une intégrle à l ide d une primitive Clculer 1 0 x 2 dx. 4.2 Générlistion de l notion d intégrle On sit que toute fonction continue dmet des primitives. Pourtoutefonctioncontinuesuruneintervlle[;b],étntdonnéeuneprimitiveFdef sur[;b],onpeutclculerlenombre F(b) F() (même si l fonction f n est pspositive). De plus, l vleur F(b) F() nedépend ps du choix del primitive F choisie. Cette remrque permet de générliser l définition de l intégrle ux fonctions de signe quelconque. Lycée Émile Duclux Pge 4/5

5 Terminle S 2014/2015 Définition 4 Soit f unefonction continuesur un intervlle [;b] et F une primitivede f sur [;b]. On ppelleintégrle de l fonctionf entre et b le nombre f (x) dx =F(b) F(). 4.3 Propriétés des intégrles Le théorème 6 ci-dessus, combiné u théorème fondmentl, permet de démontrer l propriété de linérité de l intégrle : Théorème 8 Linérité de l intégrle Soit f et g deux fonctionscontinues sur un intervlle [;b]et α et β deux réels. αf (x)+βg(x) dx=α f (x) dx+β g(x) dx Démonstrtion. Voirchier. Nous vons déjà remrqué que l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] est un réel positif, cr c est l ire du domineddéfini plus hut. Cette remrque l conséquence importnte suivnte : Théorème 9 Croissnce de l intégrle Soit f et g deux fonctionscontinues sur un intervlle [;b]. Si,pour tout x [;b],f (x) g(x), lors Démonstrtion. Voirchier. 4.4 Vleur moyenne d une fonction f (x) dx g(x) dx. L notion de vleur moyenne répond u problème consistnt à rechercher (pr exemple dns l configurtion représentée ci-dessous) un rectngle bsé sur l intervlle [; b] dont l ire serit égle à celle du domine D. Cette notion est importnte dns d utres disciplines comme nous le verrons en exercices. Définition 5 Soit f unefonction continuesur un intervlle [;b]. On ppellevleur moyennede l fonction f sur l intervlle [;b] le nombreµ défini pr: µ= 1 b f (x) dx Lycée Émile Duclux Pge 5/5

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