Primitives et intégrales

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1 Termile S Primitives et itégrles Note : Ds tout ce cours, les ires sot eprimées e uité d ire (u. : ire du rectgle de côté ds u repère orthogol) et les volumes sot eprimés e uité de volume (u.v : volume d u prllélépipède de côté ds u repère orthogol) : z y Primitives. Itroductio Activité : Soit l foctio f défiie sur R pr f() = Soit et b deu ombres réels, o souhite eprimer e foctio de et b ( < b) l ire délimitée pr les droites = et = b, l droite y = 0 et l courbe de l foctio f : b 0 y f() = = b y = f() y = ( huteur(grde bse+petite bse). L figure grisée est u trpèze A trpèze = vut ( ) [ ] b 4 b +b 4 + que l o peut oter 4 + O ote F l foctio défiie sur R pr F() = Motrer que F () = f() pour tout de R.. ), motrer que so ire S.Mirbel pge /

2 Termile S. Défiitio Défiitio : Soit ue foctio F défiie et dérivble sur u itervlle I. O dit que F est ue primitive d ue foctio f sur I si o F = f. Eemple-eercice : Ds chque cs, dire si l foctio F est ue primitive de l foctio f :. I = R,F() = 3 +6 et f() = 6. I = R,F() = 3 et f() = 6 3. I = R,F() = + et f() = Remrque : Ue foctio f qui dmet ue primitive peut voir plusieurs primitives distictes. Pour trouver ue primitive d ue foctio usuelle f il suffit de lire le tbleu de dérivée de droite à guche e pret soi de vérifier les coefficiets, ussi de coître les opértios de dérivées, compléter le tbleu de droite : Foctio f Foctio dérivée f k (k est u prmètre réel) 0 Ue foctio primitive F de f Foctio dérivée f 0 m+p m m (, N) (, N) + ( ) cos() si() e l() si() cos() e si() cos() e Eemple-eercice : Pour chque foctio f détermier ue foctio primitive F, pour vérifier votre répose dériver F.. 4. f() = 3. f() = 4. f() = + S.Mirbel pge /

3 Termile S.3 Les formes composées De l même mière que pour les foctios de référece, o détermie ue primitive d ue foctio f pr lecture cotrire du tbleu de dérivtio des formes composées. u est ue foctio défiie sur u itervlle I déqut suivt l formule : Foctio f Foctio dérivée f u (, N) u u u (, N) u u + u u u Ue foctio primitive F de f Foctio dérivée f u u u ( ) u u u cos(u) si(u) e u l(u) u si(u) u cos(u) u e u u u u si(u) u cos(u) u e u u u Eemples - eercices : Détermier ue primitive F des foctios f suivtes (l itervlle de défiitio est ps à détermier) :. f() = cos(3+). f() = ( +) 3 3. f() = e 4. f() = f() = si() cos() = t() 6. f() = e e Remrque : Il est ps toujours évidet de détermier l epressio de foctios primitives (lorsqu elles eistet), et pour certies foctios qui dmettet des primitives, o e coit ps leur epressio, pr eemple l foctio : e défiie sur R..4 Propriétés Théorème : Soit f et g deu foctios défiies sur u itervlle I et F et G ue primitive respective de ces foctios. λ est u ombre réel. Ue primitive de f +g est F +G Ue primitive de λf est λf Itégrle et primitive. Itroductio Activité : Soit l foctio f défiie sur [0 ; ] pr f() =. Le but de l ctivité est de détermier l ire défiie pr le domie D suivt, o ote A l ire de ce domie : D = {M( ; y)\0 et 0 y f() = } S.Mirbel pge 3 /

4 Termile S y = O défiit deu suites u et v pr : u = ( ) i f = ( ( ) ( 0 f +f (( i=0 ) ( ) ( )) 0 ( ) v = i=0 ( ) i+ f = ( f ( ) +f ) +...+f ( )) = ( ) ( ) ) +...+f = (( ) ( ) ( )). Le grphique suivt illustre les deu suites u et v, détermier ce que représete chcue de ces suites : y = f ( ) i+ f ( ) i i i+ = figure imée. Motrer que pour tout etier turel, v = u +. Aisi o u A v. 3. Motrer que les suites u et v sot djcetes, c est à dire : u est croisste et v est décroisste lim + v u = 0 O dmet lors A = lim + u = lim + v. 4. O dmet que = (+)(+). Motrer que tout etier, 6 () u = S.Mirbel pge 4 /

5 Termile S (b) v = E déduire l ire A. O ote A =. Défiitio 0 f()d = 3 Défiitio : Soit f ue foctio cotiue et positive défiie sur u itervlle I. O ppelle itégrle de à b l ire A du domie D = { [ ; b] et 0 y f()}, o l ote A = O défiit deu suites u et v : u = ( ) i f i=0 v = ( ) i+ f i=0 f()d (se lit itégrle de à b de f(). Ces deu suites coverget vers l même limite A. f()d symbolise l ire d u rectgle de lrgeur très petite d et de logueur f() (voir ctivité) et le symbole peut s iterpréter comme l somme des ires de ces petits rectgles. Toute foctio cotiue et positive sur [ ; b] dmet ue ire A défiie pr le domie D = { [ ; b] et 0 y f()}. f ( ) i f ( ) i+ i i+ = Théorème : Soit ue foctio f cotiue et positive défiie sur u itervlle I = [ ; b]. L foctio F() = f(t)dt est dérivble sur I et F = f. O dmet que le théorème reste vri pour toute foctio f cotiue sur I = [ ; b]. Démostrtio : O dmet que f est croisste sur I (le cs géérl est dmis). F( 0 +h) F( 0 ) Soit 0 [ ; b], motros que lim = f( 0 ) : h 0 h S.Mirbel pge 5 /

6 Termile S f ( 0 +h) f ( 0 ) 0 0 +h b. Soit h > 0, e iterprétt des ires, simplifier F( 0 +h) F( 0 ) = 0+h 0 f()d f()d.. f est croisste ordoer f( 0 ), f( 0 +h) et f(t) pour t [ 0 ; 0 +h], et e iterprétt les ires, ordoer f( 0 ) h, f( 0 +h) h et 0+h 0 f(t)dt. 3. E déduire f( 0 ) F( 0 +h) F( 0 ) f( 0 +h). h De l même mière o dmet que si h < 0, o f( 0 +h) F( 0 +h) F( 0 ) h F( 0 +h) F( 0 ) 4. Détermier lim h 0 h h>0 Remrque : F() = F() = 0. f(t)dt est ue primitive de f sur [ ; b]. F( 0 +h) F( 0 ) et lim h 0 h h<0.3 Eistece et uicité d ue primitive.3. Eistece d ue primitive f( 0 ). et l dérivbilité de F e 0. Théorème : eistece Soit ue foctio f défiie et cotiue (ou cotiue pr morceu) sur u itervlle I, f dmet ue primitive sur I. Démostrtio : f est ue foctio cotiue sur I = [ ; b] (l cs géérl de l itervlle I est dmis), elle dmet u miimum m sur I. Soit l foctio g défiie sur I = [ ; b] pr g() = f() m.. Que dire de l cotiuité de l foctio g? Quel est l sige de g()? E déduire ue primitive G de g sur [ ; b].. Soit l foctio F défiie sur [ ; b] pr F() = G()+m. Motrer que F est ue primitive de f sur [ ; b]..3. Uicité d ue primitive Théorème : Soit ue foctio f défiie et cotiue (ou cotiue pr morceu) sur u itervlle I et o ote F ue primitive de f sur I. Si G est ue primitive de f sur I lors I,G() = F()+C où C est ue costte réelle. Démostrtio : S.Mirbel pge 6 /

7 Termile S. Soit F est ue primitive de f sur u itervlle I et l foctio G défiie sur I pr G() = F()+C (où C est ue costte réelle), motrer que G est ue primitive de f sur I.. Étude de l réciproque : Soit F et G deu primitives de f sur I. Clculer (F G), que peut-o dire de l foctio F G? Corollire : coditio iitile pour l uicité d ue primitive Soit ue foctio f défiie et cotiue sur u itervlle I et 0 u ombre de I et y 0 u ombre réel. Il eiste ue et ue seule primitive F de f telle que F( 0 ) = y 0. Le couple ( 0 ;y 0 ) est ppelé coditio iitile. Démostrtio : Soit G ue primitive de f sur I. Si G est ue utre primitive de f lors il eiste ue costte réelle C telle que F() = G()+C. Détermier l vleur de C qui vérifie l coditio iitile (l costte étt uique, l primitive F qui vérifie l coditio iitile est uique). Eemple-eercice : Trouver l primitive de l foctio f de coditio iitile (;0), telle que f() = 8 3. iterpréttio grphique : Sur le grphique suivt, les courbes représetet des primitives de l foctio f de l eemple, ue seule psse pr le poit A de coordoées (;0) A C 3 3 Clcul itégrle 3. Clcul à prtir d ue primitive Théorème : Soit ue foctio f cotiue sur u itervlle I et F ue primitive de f sur I. et b I, Démostrtio :. Soit G() = f()d = F(b) F() = [F()] b. f(t)dt ue primitive de f sur I. Doer G() et G(b).. Soit F ue utre primitive de f sur I, o lors I, F() = G() + C (C est ue costte réelle). Clculer F(), e déduire G(b) et f(t)dt. S.Mirbel pge 7 /

8 Termile S Eemple-eercice : Clculer les itégrles suivtes : e l() t 4t+dt d e d 3 d e 3 d d 3. Propriétés Théorème : liérité de l itégrle Soit deu foctios f et g défiies et cotiues sur l itervlle [;b], λ u ombre réel o ul. f()+g()d = f()d+ g() d λf()d = λ f()d Théorème : reltio de Chsles Soit deu foctios f défiies et cotiues sur l itervlle [;b], c u ombre réel de [;b]. f()d = c f()d+ Démostrtio : Eprimer les itégrles à prtir d ue primitive F de l foctio f. c f()d. Théorème : positivité de l itégrle Soit deu foctios f défiies et cotiues sur l itervlle [;b], telle que pour tout de l itervlle [;b], f() 0. O f()d 0. Corollire : compriso de deu itégrles Soit deu foctios f et g défiies et cotiues sur l itervlle [;b], telles que pour tout de [;b], f() g(). O f()d g() d. Démostrtio : O compre f() g() à 0 et o utilise le théorème de positivité isi que l liérité. Corollire : iéglité de l moyee Si [ ; b],m f() M lors m(b ) Démostrtio : Utiliser le corollire précédet. f()d M(b ). S.Mirbel pge 8 /

9 Termile S 3.3 Moyee Défiitio : Soit ue foctio f cotiue défiie sur l itervlle [;b]. O ppelle vleur moyee de f() sur l itervlle [;b] le ombre : b f()d. Eemple-eercice : Soit l foctio f défiie sur [ ;3] pr f() = 0,5+. Clculer l vleur moyee de f() sur l itervlle [ ;3] et iterpréter grphiquemet cette vleur. = = y = f() y = Aimtio grphique pour compredre le lie etre l ire et l moyee 3.4 Aires et itégrles Propriétés :. Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle I = [ ; b]. O vu que l ire A défiie pr le domie D = {M( ; y)\ b et 0 y f()} est Eercice - eemple : Clculer l ire A du domie D = {M( ; y)\ 5 et 0 y } : f()d. y = Soit f ue foctio cotiue et égtive sur u itervlle I = [ ; b]. L ire A défiie pr le domie D = {M( ; y)\ b et f() y 0} est f()d. Eercice - eemple : Clculer l ire A du domie D = {M( ; y)\0 5 et 0, 5 y 0} (o dmet que [0 ; 5],f() 0) : S.Mirbel pge 9 /

10 Termile S y = 0, Soit f et g deu foctios cotiues sur u itervlle I = [ ; b] telles que [ ; b],f() g(). L ire A défiie pr le domie D = {M( ; y)\ b et f() y g()} est Eercice - eemple : Clculer l ire A du domie D = {M( ; y)\0 et 3 y } : g() f()d. y = y = Volumes et itégrles z y z y S.Mirbel pge 0 /

11 Termile S z r y S.Mirbel pge /