2. Suite croissante convergente (chapitre 1 : Les suites )

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1 TS Restitution Organisée de onnaissance - Table des matières 1. OMPARAISON DE SUITES (HAPITRE 1 : LES SUITES ) SUITE ROISSANTE ONVERGENTE (HAPITRE 1 : LES SUITES ) LIMITE DE LA SUITE (Q N ) (HAPITRE 1 : LES SUITES ) DIVERGENE DES SUITES ROISSANTES ET NON MAJOREES (HAPITRE 1 : LES SUITES ) UNIITE DE LA FONTION EXPONENTIELLE (HAPITRE 4 : LA FONTION EXPONENTIELLE ) 3 6. LIMITES DE LA FONTION EXPONENTIELLE (HAPITRE 4 : LA FONTION EXPONENTIELLE ) 3 7. THEOREME FONDAMENTAL (HAPITRE 9 : ALUL INTEGRAL ) EXISTENE DE PRIMITIVES (HAPITRE 9 : ALUL INTEGRAL ) THEOREME DU TOIT (HAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L ESPAE ) EQUATION ARTESIENNE D UN PLAN (HAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L ESPAE ) DROITE ORTHOGONALE A UN PLAN (HAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L ESPAE ) INDEPENDANE D EVENEMENTS (HAPITRE 5 : PROBABILITES ONDITIONNELLES ) DUREE DE VIE SANS VIEILLISSEMENT (HAPITRE 10 : LOIS ONTINUES ET ESTIMATION ) ESPERANE LOI EXPONENTIELLE (HAPITRE 10 : LOIS ONTINUES ET ESTIMATION ) LOI NORMALE (HAPITRE 10 : LOIS ONTINUES ET ESTIMATION ) INTERVALLE DE FLUTUATION (HAPITRE 11 : LOIS ONTINUES ET ESTIMATION ) INTERVALLE DE ONFIANE (HAPITRE 11 : LOIS ONTINUES ET ESTIMATION ) omparaison de suites (chapitre 1 : Les suites ) Soit ( ) N et ( ) N deu suites Si à partir d un certain rang et lim = + alors lim = + Démonstration Soit + R fié arbitrairement, puisque lim = + alors l intervalle de la forme 2+; + 4 contient toutes les valeurs à partir d un certain rang 5 6, > + or à partir d un certain rang 5 ;, 7 5 ; On note 5 le plus grand des rangs 5 6 et 5 ;, on a alors 7 5 > + c est à dire que tout intervalle de la forme 2+; + 4 avec + R contient toutes les valeurs à partir d un certain rang 5 donc lim = + 2. Suite croissante convergente (chapitre 1 : Les suites ) Propriété Si une suite est croissante et admet pour limite le nombre réel >, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égau à >. Démonstration par l absurde Soit ( ) N une suite croissante qui admet pour limite le réel > et on suppose la négation de «tous les termes de la suite sont inférieurs ou égau à >» soit les termes de la suite ne sont pas tous inférieurs ou égau à >. Page 1 sur 8

2 On suppose qu il eiste un terme de la suite supérieur à > : B > > ( ) N une suite croissante donc pour tout 7 7 B Puisque B > >, il eiste D > 0 tel que B = > + D > > lim = > donc l intervalle ouvert F> H ; > + H I contient toutes les valeurs ; ; à partir d un certain rang 7 6 donc pour tout > H ; > + H ; Notons 5 le plus grand des rangs 7 et 7 6 alors 7 5 > D 2 > + D 2 et B donc > + D est impossible, on ne peut pas avoir en même temps > + D 2 et > + D e qui implique que notre supposition de départ est fausse donc il n eiste pas de terme de la suite supérieur à > ou encore tous les termes de la suite sont inférieurs ou égau à > Si N > 1 alors lim N = + Démonstration dans d le cas où P > 1 : 3. Limite de la suite (q n ) (chapitre 1 : Les suites ) Lemme : Inégalité de Bernoulli Soit S un nombre réel strictement positif, pour tout entier naturel 7, (1 + S) 1 + 7S. Démonstration par récurrence du lemme : Etape n 1 : initialisation Pour 7 = 0, (1 + S) = 1 et S donc (1 + S) 1 + 7S Etape n 2 : hérédité Soit un entier naturel 7 fié arbitrairement, On suppose que (1 + S) 1 + 7S et démontrons que (1 + S) %6 1 + (7 + 1)S (1 + S) 1 + 7S (1 + S)(1 + S) (1 + 7S)(1 + S) (1 + S) %6 1 + S + 7S + 7S ; (1 + S) %6 1 + (7 + 1)S + 7S ; 1 + (7 + 1)S car 7S ; > 0 Etape n 3 : conclusion La propriété (1 + S) 1 + 7S est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel 7. N > 1 donc il eiste S R % tel que N = 1 + S Par conséquent, N = (1 + S) et d après l inégalité de Bernoulli N = (1 + S) 1 + 7S pour tout 7 N. or S > 0 donc lim (1 + 7S ) = + et donc par comparaison lim N = + 4. Divergence des suites croissantes et non maorées (chapitre 1 : Les suites ) Propriété Si la suite ( ) N est croissante et non maorée alors lim = + Démonstration La suite ( ) N est maorée lorsque \ R, 7 N \ donc la suite ( ) N est non maorée lorsque \ R, 7 N B > \ or la suite ( ) N est croissante donc 7 N B > \ ce qui signifie que pour tout nombre réel \, il eiste un rang 7 à partir duquel tous les termes suivant sont supérieur à \, par conséquent lim = + Page 2 sur 8

3 5. Unicité de la fonctio on eponentielle (chapitre 4 : La fonction e ponentielle Propriété définition : Il eiste une unique fonction a dérivablee sur, telle que : a ' a et a(0 ' 1. On l appelle fonction eponentielle notée ep. L eistence est admise et démontrons l unicité. Soit b une autre fonction dérivable sur R, telle que : b ' b et b(0 ' 1. On pose c = d e Puisque pour tout f,, a(f g 0, c est définie et dérivable sur,. Pour tout f,, c h b (fa(f G b(fa (f (f ' a ; ' b(fa a(f G b(fa(f (f a ; ' 0 (f donc c est une fonction constante sur, or a(0 ' b(0 ' 1 donc f,, c(f ' c(0 ' d( ' 1 e( f,, d( e( ' 1 donc a(f ' b(f 6. Limites de la fonctio on eponentielle (chapitre 4 : La fonction e ponentielle Propriété lim l ' ( et lim n& l ' 0 Limite en ( : La fonction a(f ' l G f est définie et dérivable sur,. f,, a (f ' l G 1 l ' 1 donc f 8 0 l 8 1 d où a h (f 8 0 Par conséquent, la fonction a(f ' l G f est croissante sur 40; ( 4 donc f 8 0, a(f 8 a(0 l G f 8 l G 0 donc l G f : 0 l : f pour tout f 8 0. On en déduit, par comparaison, que lim l ' (. & Limite en G : f,, l ' 1 or lim ln G f ' ( n& 1 donc lim n& l ' lim ' 0 n& ln et lim l ' ( 7. Théorèm me fondamental (chapitre 9 : alcul intégral Théorème : Si a est une fonction continue et positive sur 4S, q2, la fonction r dépinie sur 4S, q2 par r f u a(vwv Démonstration dans le cas où y est croiss sante sur 4~, 2: Soit f 4S, q2 choisi arbitrairement, c, avec f ( c 4S, q2 1 er cas : lorsque c : 0, d après la relation de hasles : u a(vwv ' u a(vwv ( u donc r(f ( c G r(f ' u a est croissante sur 4S, q2 donc on peut encadrer est dérivable en f 4S, q2 et r h (f ' a(f et a pour dérivée a. a(vwv a(vwv par l aire des deu rectangles de largeur { et de longueur y( et y( ( { : a(vwv Page 3 sur 8

4 2 e cas : lorsque c < 0 D après la relation de hasles : c a(f ) u a(v)wv c a(f + c) c a(f ) r(f + c) r(f ) c a(f + c) y( ) ƒ( + {) ƒ( ) { u a(v)wv = u a(v)wv soit r(f ) = r(f + c) + u donc r(f ) r(f + c) = u y( + {) + u a(v)wv a(v)wv a(v)wv or ( c) a(f + c) u a(v)wv ( c) a(f ) ( c) a(f + c) r(f ) r(f + c) ( c) a(f ) a(f + c) r(f ) r(f + c) a(f c ) y( + {) ƒ( + {) ƒ( ) y( { ) onclusion : a est continue en f donc lim a(f + c) = a(f ) z r(f + c) r(f ) donc d'après les gendarmes lim = a(f z c ) soit f 4S, q2, r est dérivable en f et r (f ) = a(f ) On en déduit que r est dérivable sur 4S, q2 et r = a 8. Eistence de primitives (chapitre 9 : alcul intégral ) Théorème : Toute fonction a continue sur un intervalle admet des primitives sur. Démonstration dans le cas d un intervalle fermé borné = 4~, 2,, en admettant que la fonction possède un minimum ˆ sur (On admet le cas général) : Soit la fonction définie sur par b(f) = a(f), pour tout f, a(f) b(f) 0 La fonction b est continue et positive sur 4S, q2, alors la fonction Š f u b(v)wv est une primitive de b sur 4S, q2 Soit alors, la fonction f r(f) = Š(f) + f, f r h (f) = Š h (f) + = b(f) + = a(f) donc a admet des primitives sur 4S, q2 9. Théorème du toit (chapitre 12 : Géométrie dans l espace ) Théorème du toit : Œ et Œ sont deu plans sécants suivant une droite Δ. Si w une droite de Œ et w une droite de Œ sont parallèles alors Δ est parallèle à w et w. On note Ž un vecteur directeur de et un vecteur directeur de w et w. On démontre que Δ est parallèle à w et w en raisonnant par l absurde. Page 4 sur 8

5 On suppose donc que Δ n est pas parallèle à w. Dans ce cas, les vecteurs Ž et ne sont pas colinéaires, Ž et sont alors deu vecteurs directeurs du plan Œ. De la même façon, Δ n est pas parallèle à w donc Ž et sont alors deu vecteurs directeurs du plan Œ. Par conséquent, Œ et Œ possèdent deu vecteurs directeurs en commun, ils sont donc parallèles, ce qui est contradictoire avec l hypothèse faite de plans sécants. Par conséquent, Δ est parallèle à w et w 10. Equation cartésienne d un plan (chapitre 12 : Géométrie dans l espace ) L espace est muni d un repère orthonormé S Un plan Œ de vecteur normal non nul 7Ž q admet une équation cartésienne de la forme Sf + q + + w = 0 où w R. Réciproquement S, q, trois nombres réels non tous nuls et w un réel, l ensemble des points \(f; ; ) tels que S Sf + q + + w = 0 est un plan de vecteur normal 7Ž q. S Soit Œ un plan de vecteur normal 7Ž q et passant par +(f ; ; ). f f S Soit \(f; ; ) Œ alors +\ ŽŽŽŽŽŽ. 7Ž = 0 = š. q = S(f f ) + q( ) + ( ) +\ ŽŽŽŽŽŽ. 7Ž = Sf + q + Sf q = 0 Soit Œ l ensemble des points \(f; ; ) tels que Sf + q + + w = 0 Si S 0, + œ ; 0; 0ž vérifie Sf + q + + w = 0 donc + Œ. S Posons 7Ž q alors +\ ŽŽŽŽŽŽ. 7Ž = Ÿ f + S. q = S œf + ž + qf + = Sf + w + qf + = 0 Les vecteurs ŽŽŽŽŽŽ +\ et 7Ž sont orthogonau donc Œ est le plan passant par + et de vecteur normal 7Ž. Si S = 0 alors soit q 0 soit 0, on reprend la démonstration avec + 0; w q ; 0 ou + œ0; 0; q ž 11. Droite orthogonale à un plan (chapitre 12 : Géométrie dans l espace ) Une droite est orthogonale à toute droite d un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deu droites sécantes de ce plan. La condition nécessaire est évidente. ondition Suffisante : Soit w une droite de vecteur directeur Ž orthogonale à w 6 et w ; deu droites sécantes de vecteurs directeurs respectifs ŽŽŽŽ 6 et ŽŽŽŽ ;. Soit de vecteur directeur, une droite quelconque du plan Les vecteurs, ŽŽŽŽ 6 et ŽŽŽŽ ; sont coplanaires donc il eiste S et q deu réels tels que = SŽŽŽŽ 6 + q ŽŽŽŽ ; On a alors Ž. = Ž. (SŽŽŽŽ 6 + q ŽŽŽŽ ; ) = SŽ. ŽŽŽŽ 6 + qž. ŽŽŽŽ ; = 0 donc w est orthogonale à Page 5 sur 8

6 12. Indépendance d événements (chapitre 5 : Probabilités conditionnelles ) Si + et sont deu événements indépendants alors + et sont aussi indépendants. + et + forment une partition de donc ( ) = (+ ) + (+ ) or + et sont indépendants donc (+ ) = (+) ( ) par conséquent (+ ) = ( ) (+ ) (+ ) = ( ) (+) ( ) (+ ) = 1 (+) ( ) or (+ ) = (Ω) (+) = 1 (+) et donc (+ ) = (+ ) ( ) On en déduit que + et sont indépendants eu aussi 13. Durée de vie sans vieillissement (chapitre 10 : Lois continues et estimation ) Soit «une variable aléatoire suivant une loi eponentielle, pour tous réels v et c positifs, («v + c) = («c). («v et «v + c) («v + c) = = («v) («v + c) («v) car c 0 («v) = 1 («< v) = 1 u l n wf = 1 ± ln ² («v) = 1 ln 1 = 1 1 ln = l n de la même façon : («v + c) = l n ( %z) («v + c) = ln ( %z) l n = ln l n z l n = l n z = («c) 14. Espérance loi eponentielle (chapitre 10 : Lois continues et estimation ) Soit «une variable aléatoire qui suit une loi eponentielle de paramètre sur 40; + 4, on note a sa densité, «admet une espérance ³(«) = lim u v a(v)wv = 1 ³(«) = lim u v a(v)wv = lim u v ln wv On cherche une primitive de vl n sous la forme r(v) = ( v + )l n r h (v) = l n ( v + )l n = ( v + )l n n = Par identification : µ + = 0 = = 1 = n6 donc r(v) = œ v 6 ž ln est une primitive de v l n. ³(«) = lim u v ln wv = lim v 1 ln ¹ ³(«) = lim f 1 ln + 1 = lim 1 fln 1 ln or 1 et lim fln = lim f = 0 donc ³(«) = l 1 lim ln = 0 car > 0 Page 6 sur 8

7 15. Loi normale (chapitre 10 : Lois continues et estimation ) Soit «une variable aléatoire qui suit la loi normale º(0; 1), pour tout» 20; 14, il eiste un unique réel positif ¼ > 0 tel que ( ¼ «¼ ) = 1» La fonction a est continue donc elle admet une primitive mais cette primitive n est pas eprimable par les fonctions usuelles. Pour tout > 0, par symétrie de la courbe de a(f) = 6 À ;¾ ln À Á ( «) = 2 (0 «) = 2 u a(f)wf = 2r() où r est la primitive de a sur R qui s annule en 0. La fonction r est donc continue et strictement croissante sur 20; + 4 car a(f) > 0 sur 20; + 4. De plus lim Á r() = Á lim u a(f)wf = 1 Á 2 donc r() 0 Pour tout» 20; 14, 1» 20; 14 D après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste un réel positif ¼ > 0 tel que 2r( ¼ ) = ( ¼ «¼ ) = 1» De plus 2r étant monotone, le réel ¼ est unique 16. Intervalle de fluctuation (chapitre 11 : Lois continues et estimation ) Si  suit la loi B(7; ), alors, pour tout» dans 20; 14 on a, lim  7 = 1» Å (1 ) Å (1 ) où = Ä ¼, + ¼ Æ et ¼ désigne le nombre réel tel que ( ¼ «¼ ) = 1» lorsque «suit la loi º(0; 1).  B(7; ) ³( ) = 7 et È( ) = Å7 (1 ) D après le théorème de Moivre-Laplace La variable centrée réduite Ê = Ï Ë ÌnÍ ÅÍ(6nÍ) vérifie pour tous réels S et q : lim (Ê 4S, q2) = u 1 À 2Î ln ; wf = (S «q) où «º(0; 1) or pour tout» dans 20; 14, il eiste un unique réel positif ¼ > 0 tel que ( ¼ «¼ ) = 1» lim ( ¼ Ê ¼ ) = ( ¼ «¼ ) = 1» = lim œ7 ¼Å7 (1 )  7 + ¼ Å7 (1 )ž = lim š ¼ Å (1 )  7 + ¼ lim  7 = 1» Å (1 ) Page 7 sur 8

8 17. Intervalle de confiance (chapitre 11 : Lois continues et estimation ) Lorsque 7 est assez grand, l intervalle r 1, r + 1 ¹ contient la proportion avec une probabilité au moins égale à 0,95. et intervalle s appelle intervalle de confiance pour au niveau de confiance 95%.  B(7; ) ³( ) = 7 et È( ) = Å7 (1 ) D après le théorème de Moivre-Laplace La variable centrée réduite Ê = lim (Ê 4S, q2) = u 1 où «º(0; 1) En particulier Ï À 2Î ln Ë ÌnÍ ÅÍ(6nÍ) vérifie pour tous réels S et q : ; wf = (S «q) lim ( 2 Ê 2) = ( 2 Ê 2) 0,9544 > 0 Donc pour 7 assez grand, ( 2 Ê 2) sera très proche de 0,9544 Par eemple avec D = 0,0004, il eiste 5 N, tel que pour tout 7 5 0,954 ( 2 Ê 2) 0,9548 ( 2 Ê 2) 0,95 2  7 2 0,95 Å7 (1 ) œ7 2Å7 (1 )  7 + 2Å7 (1 )ž 0,95 2Å (1 ) š  7 Or Å (1 ) 6 pour tout 40,12 ; En effet, la fonction a 40; 12 (1 ) = ; + 2Å (1 ) + 0,95 a h ( ) = = 0 = 1 2 a admet un maimum atteint pour = 6 ; et qui vaut a œ6 ; ž = 6 Ó donc pour tout 0 (1 ) 6 Ó 0 Å (1 ) 6 ; donc ;ÅÍ(6nÍ) ; + ;ÅÍ(6nÍ) ¹ I 6 ; + 6 F et donc œ 6 r + 6 ž > 0,95 et enfin œr 6 r + 6 ž > 0,95 Page 8 sur 8