Corrigé de l'exercice 2-1

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1 Thème : cinématique, et Lien vers les énoncés des exercices : Marcel Délèze Edition Corrié de l'exercice -1 a) Equation cartésienne le point P (x, y) appartient à la droite AB les vecteurs AP x - 1 et AB sont colinéaires y - - le déterminant des vecteurs AP, AB est nul det x (x - 1) (-) - (y - ) 0 y x - y x + y b) Système d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP x - 1 et AB sont colinéaires y - - le vecteur AP est un multiple du vecteur AB AP k AB où k est un nombre réel appelé paramètre x - 1 y - k - x 1 + k y - k Interprétation éométrique: k indique par combien il faut multiplier le vecteur AB pour obtenir le vecteur AP. c) Autre système d'équations paramétriques On peut choisir librement l'équation paramétrique d'une composante (n'importe quelle fonction affine non constante x m t + p, m 0 ) puis calculer l'équation paramétrique de l'autre composante au moyen de l'équation cartésienne de la trajectoire : x t - x ( t) + 17 y - t + 17 d) Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désinant le temps et le système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiline uniforme: à l'instant k, le mobile a la position r () - à l'instant k7, le mobile a la position r (7) 1 Déplacement Δ r r (7) - r () - Durée Δk 7 - Vitesse v Δ r Δk

2 _et_-cinematique-cor.nb Horaire r (k) v (k - k 0 ) + r (k 0 ) Corrié de l'exercice k (k - ) x (k) 1 - k - y (k) a) Sytème d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP et AB sont colinéaires le vecteur AP x - 1 y - z + est un multiple du vecteur AB - AP k AB où k est un nombre réel appelé paramètre x - 1 y - z + k - x 1 + k y - k z - + k b) Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désinant le temps et le système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiline uniforme : 1 à l'instant k, le mobile a la position r () - à l'instant k1, le mobile a la position r (1) - 1 Déplacement Δ r r (1) - r () Durée Δk 1-7 Vitesse v Δ r Δk Horaire r (k) v (k - k 0 ) + r (k 0 ) (k - ) k k k x (k) y (k) z (k)

3 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice - y 1 - x 1 + x - y + k + - t + 9 Corrié de l'exercice - ParametricPlot[{{ + t, - t}, { + t, 7 + t}}, {t, -, 1}, représentation raphique de courbes paramétrées AspectRatio rapport d'aspect Automatic] automatique Eliminate[{x + k, y - k}, k] élimine - y x Eliminate[{x + t, y 7 + t}, t] élimine y x Reduce[ + k + t - k 7 + t, {k, t}] k - 16 && t

4 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice - ParametricPlot[{{- + t, 1 - t}, { + t, -6 - t}}, {t, 0, 10}, représentation raphique de courbes paramétrées AspectRatio rapport d'aspect Automatic] automatique v 1 -, v 1 + (-).81 v -, v + (-) 0.7 Reduce[x - + t1 y 1 - t1 x + t y -6 - t, {x, y, t1, t}] x 19 && y - && t1 7 && t 7 Oui, les deux mobiles se rencontrent au point (19, -) à l'instant t7.

5 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice -7 Enclenchons le chronomètre à l'instant où le premier mobile passe au point (6; -). L'horaire du premier est - r 1 (t) t Les deux mobiles se rencontrent à l'instant t, c'est-à-dire au point - r 1 () La vitesse du deuxième mobile est donc Δ r v Δt L'horaire du deuxième mobile est donc - r (t) -1 t Corrié de l'exercice Déterminons d'abord l'équation cartésienne de la trajectoire du premier mobile Eliminate[{x t, y 1 + t}, t] élimine -1 + y x Calculons ensuite le point de rencontre, c'est-à-dire l'intersection des deux trajectoires Reduce[ x - y x - y - 0, {x, y}] x && y 7 L'heure de la rencontre est éale à l'heure du passae du premier au point d'intersection Reduce[ t t, t] t La vitesse du deuxième mobile est donc Δ r v Δt L'horaire du deuxième mobile est donc 1 r (t) t + 0-1

6 6 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice -9 Reduce[x - + t1 y 1 - t1 z t1 x + t y -6 - t z, {x, y, z, t1, t}] False L'ensemble des solutions est vide donc les deux trajectoires ne se coupent pas. Par ailleurs, les deux trajectoires ne sont pas parallèles donc les deux trajectoires sont auches. Corrié de l'exercice -10 Reduce[x -8 + t1 y 11 - t1 z t1-6 x 1 + t y - t z 1 - t, {x, y, z, t1, t}] x 19 && y - && z && t1 9 && t 9 Les deux mobiles se rencontrent au point (19 m; - m; m) à l'heure t 9. Corrié de l'exercice -11 Reduce[ x - + t1 y 1 - t1 z t1 - x 1 + t y - t z 1 - t, {x, y, z, t1, t}] x 19 && y - && z && t1 7 && t 9 Les deux trajectoires se coupent au point (19 m; - m; m). Les deux mobiles ne se rencontrent pas car les heures de passae au point d'intersection sont différentes.

7 _et_-cinematique-cor.nb 7 Corrié de l'exercice -1 Vitesse du premier mobile Horaire du premier Δ r 1 v 1 Δt r 1 Lieu de la rencontre (t) 1 (7) 1 r (t - ) + (7 - ) + La vitesse du deuxième mobile est donc Δ r v Δt L'horaire du deuxième mobile est donc (t) - 1 r (t - )

8 8 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice -1 Si la dérivée d'une fonction est une constante non nulle r (t) - il s'ensuit que la fonction est un polynôme de deré 1 dont les coefficients x 1, x 0, y 0, y 1, z 1, z 0 sont cherchés r (t) x 1 t + x 0 y 1 t + y 0 z 1 t + z 0 Comparons avec la donnée r (t) x 1 y 1 z 1 - L'horaire prend maintenant la forme r (t) t + x 0 t + y 0 - t + z 0 Les coefficients x 0, y 0, z 0 doivent vérifier r (9) * 9 + x 0 * 9 + y 0 - * 9 + z x 0 y 0 z Finalement, l'horaire est r (t) t - 19 t t + 6 Corrié de l'exercice -1 La méthode consiste à décrire d'abord la droite par un système paramétrique puis à convertir le système paramétrique en un système cartésien. le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP et AB sont colinéaires le vecteur AP x - y + z - est un multiple du vecteur AB -6-7 AP k AB où k est un nombre réel appelé paramètre x - y + z - k -6-7 Eliminate[{x - 6 k, y - + k, z - 7 k}, k] élimine x 1-6 y && 7 y 1 - z x - 6 k y - + k z - 7 k

9 _et_-cinematique-cor.nb 9 Corriés des exercices facultatifs Corrié de l'exercice -6 (facultatif) Déplacement Δ r (-10) Durée Δt Vitesse v Δ r Δt Horaire r (t) v (t - t 0 ) + r (t 0 ) t (t - 10) t - 00

10 10 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice -1 (facultatif) L'horaire du mobile est de la forme r (t) v (t - 8) + r (8) v (t - 8) + 7 Calcul des vitesses possibles, première méthode Il s'ait de déterminer le vecteur vitesse v. La direction du vecteur vitesse est donnée par un vecteur directeur de la trajectoire. La norme du vecteur vitesse est éale à. v λ et v λ 1 et v λ 1 λ ± 1 Les vitesses possibles sont donc v 1 1 et v - 1 Calcul des vitesses possibles, deuxième méthode D'une part, D'autre part v v x et v λ v y v x v y v v x et v v v x + v y et v y v x + v y 16 Ensemble, ces deux conditions constituent le système d'équations dont les solutions sont Horaires v y v x v x + v y v 1.8 et v Les deux horaires possibles sont (t - 8) r 1 (t) v1(t - 8) + r1(8) (t - 8) r (t) v(t - 8) + r(8) 1 + 7

11 _et_-cinematique-cor.nb 11 Corrié de l'exercice -1 a) Si un mouvement est décrit par une seule composante scalaire, il faut comprendre que les autres composantes sont constantes r (t) x 0 y 0-1 t La trajectoire de ce mouvement est une droite: il s'ait d'une droite verticale, parallèle à l'axe des z. Le mouvement est donc rectiline. Puisque le raphique dessiné n'est pas une droite, les déplacements Δz ne sont pas proportionnels aux durées Δt, donc la vitesse v z (t) n'est pas constante. L'horaire décrit une chute libre avec vitesse initiale nulle. Exercice -1 b) 1 Vitesse linéaire norme de la vitesse v v x + v y + v z ( t) t La vitesse linéaire aumente sur [0; [. Elle diminue sur ] - ; 0]. Composante scalaire verticale de la vitesse v z (t) - t La composante scalaire verticale de la vitesse diminue sur ] - ; [. La composante scalaire verticale de l'accélération a z - La composante scalaire verticale de l'accélération est (néative et) constante. La distance à l'oriine est OP (x - 0) + (y - 0) + (z - 0) x 0 + y t x 0 + y 0 + t Dans le cas où le mobile passe par l'oriine, on a x 0 0 et y 0 0 OP t 1 t z (t) La distance à l'oriine aumente sur [0; [. Elle diminue sur ] - ; 0]. Les coordonnées (x, y, z) d'un point s'appellent xabscisse, yordonnée et zcote. La cote du mobile est sa troisième coordonnée; elle représente son altitude z (t) - 1 t La cote du mobile diminue sur [0; [. Elle aumente sur ] - ; 0].

12 1 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice - Orientons l'axe vertical vers le haut et fixons son oriine au pied de la tour, au niveau du sol. L'horaire de l'objet est alors a z m s (v 0 ) z + m s z 0 0 m z (t) z 0 + v 0 t + 1 a z t z 0 + v 0 t - 1 t v z (t) (v 0 ) z - t Dans cet exercice, l'horaire est soumis à la condition t 0 Remarque : dans les calculs par ordinateur, on n'écrit pas les unités mais, pour interpréter les résultats, on se rappellera que les positions sont exprimées en mètres et les temps en secondes. Clear[z, t]; efface z[t_] : 0 + t t vz z ; vz[t] t Plot[vz[t], {t, 0, 1}, AxesLabel {"z [m]", "[s] s"}] tracé de courbes titre d'axe [s] s z [m] a) Heure de passae au point culminant (sommet) en secondes Reduce[vz[t] 0, t] t ts Reduce[vz[t] 0, t][[]]

13 _et_-cinematique-cor.nb 1 Altitude du point culminant (au dessus du sol) en mètres z[ts] 0.87 b) Heure d'arrivée au sol (heure finale) en secondes Reduce[z[t] 0, t] t t.7977 Reduce[z[t] 0 t > 0, t] t.7977 tf.7977 Reduce[z[t] 0 t > 0, t][[]] vz[tf] -.9 Vitesse à l'arrivée au sol (composante scalaire verticale) en m s Norme de la vitesse à l'arrivée au sol.9 m s 88 km h. c) Heure de passae à l'altitude 1 m, en secondes Reduce[z[t] 1, t] t t Reduce[z[t] 1 t > 0, t] t t Reduce[z[t] 1 t > 0, t][[]] -1 tf - t Vitesse moyenne sur les 1 derniers mètres (composante scalaire verticale), en m s Δz v z Δt (0 m) - (1 m) t f - t 1

14 1 _et_-cinematique-cor.nb Exercice - a) v 60 km h m 600 s m s v ; Soient x 0 et t 0 le lieu et l'instant où le conducteur aperçoit l'obstacle. Durant l'intervalle de temps [0; 1 s], sa vitesse est v constante. A l'instant t 1 1 s, il se trouve donc à la position x 1 v t 1 v 1 s m distance de réaction Il commence à freiner à l'instant t 1 1 s. Durant l'intervalle de temps [t 1 ; t f ], son mouvement est uniformément accéléré t1 1; a x -a -. m s (v 1 ) x v t 1 1 s, x 1 v t 1 x (t) x 1 + (v 1 ) x (t - t 1 ) - 1 a (t - t 1) v t 1 + v (t - t 1 ) - 1 a (t - t 1) v t - 1 a (t - t 1) v x (t) v - a (t - t 1 ) a. ; x[t_] : v t - 1 a t - t1 ; vx x ; vx[t] t L'horaire précédent est soumis à la condition t 1 s Heure de l'arrêt (temps de réaction + durée du freinae) ou heure finale Reduce[vx[t] 0, t] t.019 tf.019 Reduce[vx[t] 0, t][[]] Distance d'arrêt position finale x[tf].77

15 _et_-cinematique-cor.nb 1 Exercice - b) v 60 km h m 600 s. m s v.; Soient x 0 et t 0 le lieu et l'instant où le conducteur aperçoit l'obstacle. Durant l'intervalle de temps [0; 1 s], sa vitesse est v constante. A l'instant t 1 1 s, il se trouve donc à la position t1 1; x 1 v t 1 v 1 s. m distance de réaction Il commence à freiner à l'instant t 1 1 s. Durant l'intervalle de temps [t 1 ; t f ], son mouvement est uniformément accéléré a x -a -. m s (v 1 ) x v t 1 1 s, x 1 v t 1 x (t) x 1 + (v 1 ) x (t - t 1 ) - 1 a (t - t 1) v t 1 + v (t - t 1 ) - 1 a (t - t 1) v t - 1 a (t - t 1) v x (t) v - a (t - t 1 ) a. ; x[t_] : v t - 1 a t - t1 ; vx x ; vx[t] t L'horaire précédent est soumis à la condition t 1 s Heure de l'arrêt (temps de réaction + durée du freinae) ou heure finale Reduce[vx[t] 0, t] t tf Reduce[vx[t] 0, t][[]] Distance d'arrêt position finale x[tf]

16 16 _et_-cinematique-cor.nb Corrié de l'exercice - Enclenchons le chronomètre à l'instant du début du freinae : x(0 ) 0 v x (t) v 0 - a t 6 - a t x (t) v 0 t - 1 a t 6 t - 1 a t A l'instant de l'arrêt, on a v x (t) 0 x (t) 1 Résolvons le système de équations à deux inconnues 6 - a t 0 a t 6 6 t - 1 a t 1 t 6-1 (a t) 1 t On obtient t 1 et norme de l' accélération a 6 t 1. m s Horaire: composante scalaire de l' accélération a x -a -1. v x (t) 6-1. t x (t) 6 t t condition 0 t tb Heure du passae à la mi-parcours en s Reduce 6 t t 7. 0 t, t t 1.67 tb 1.67 Reduce 6 t t 7. 0 t, t [[]] Vitesse à mi-parcours en m s 6-1. tb.6 tc heure à laquelle sa vitesse est de m, en secondes s Reduce[6-1. t 0 t, t] t. tc. Reduce[6-1. t 0 t, t][[]]

17 _et_-cinematique-cor.nb 17 Position à cet instant, en mètres 6 tc tc 11. Corrié de l'exercice - Position initiale (altitude 0.7 m) Vitesse initiale (horizontale) r 0 x 0 0 z m v 0 V char 0 où V char désine la vitesse du chariot à l' instant où il quitte la table Horaire r (t) x 0 z 0 + V char 0 t t V char t z 0-1 t Heure à laquelle le chariot atteint le sol z 0-1 t 0 t z 0 * 0.7 m 9.81 m s s Vitesse du chariot à l'instant où il quitte la table (d distance horizontale 0. m) V char t d V char d t d z 0 d z 0 0. m s m s

18 18 _et_-cinematique-cor.nb 9.81` t ParametricPlot ` t, 0.7`représentation raphique de courbes paramétrées, {t, 0, `}, AspectRatio Automatic rapport d'aspect automatique v (t) V char t V char - t Vitesse à laquelle le chariot atteint le sol v ( s) m s m s * s m s norme v v x + v z.0 m s Anle avec la verticale tan (φ) v x φ Arctan v z.8601 Vitesse du chariot pour qu'il tombe à 1 m de la table 0.17 rad 18. V char d z 0 1 m 9.81 m s * 0.7 m.7 m s

19 _et_-cinematique-cor.nb 19 Exercice -6 Horaires des deux mobiles (z 0 désine la hauteur de la chute; on suppose z 0 > 0) r 1 (t) x 0 z t r (t) x 0 z 0 + u 0 t t x 0 z 0-1 t x 0 + u t z 0-1 t La durée t de la chute est la même pour les deux mobiles z 0-1 t 0 et t 0 t f z 0 Les vecteurs vitesses sont v 1 (t) 0 - t 0 - t v (t) u t u - t En ce qui concerne les normes des vitesses, celle du premier objet est inférieure à celle du deuxième: v 1 (t) t v (t) u + t pour tout temps t, on a A l'instant où ils atteinent le sol v 1 (t) < v (t) v 1 (t f ) z 0 z 0 v (t f ) u + z 0 u + z 0

20 0 _et_-cinematique-cor.nb Exercice -7 La formule de la portée ne se trouvant pas dans le formulaire, établir la formule fait partie intérante de l'exercice. Position initiale : le point de départ est l'oriine r 0 x 0 z Vitesse initiale en fonction de la norme de la vitesse et l'anle d'élévation α Horaire v cos (α) 0 v 0 sin (α) v 0 cos (α) v 0 sin (α) r (t) v 0 cos (α) v 0 sin (α) t t Heure à laquelle le projectile atteint le sol (altitude z(t) 0) v 0 cos (α) t v 0 sin (α) t - 1 t v 0 sin (α) t - 1 t 0 t v 0 sin (α) - 1 t 0 t 0 heure du départ ou t f v 0 sin (α) Notons d portée (distance horizontale) lieu où le projectile atteint le sol d x (t f ) v 0 cos (α) v 0 sin (α) v 0 sin (α) cos (α) heure de l' arrivée La relation trionométrique suivante (voir formulaire) permet de simplifier la formule de la portée sin (α) cos (α) sin ( α) La formule de la portée s'écrit alors d v 0 sin ( α) Dans notre problème, l'inconnue est α. L'équation s'écrit alors sin ( α) d v0 0; d 0; 9.81; u d v0 v 0 sin ( α) u ( α Arcsin (u) + k π ou α π - Arcsin (u) + k π, k ϵ Z) Arcsin (u) π - Arcsin (u) α + k π ou α + k π, k ϵ Z Dans l' intervalle [0; π ], cette équation possède deux solutions complémentaires α 1 Arcsin[u], α Réponses numériques en radians π - Arcsin (u) π - ArcSin[u] π - α 1

21 _et_-cinematique-cor.nb 1 {α1, α} ArcSin[u], π - ArcSin[u] {0.6191, } Réponses numériques en derés {α1, α} 180 π {.176,.8} Réponses littérales : α 1 anle d'élévation en tir tendu et α anle d'élévation en tir courbe α 1 1 Arcsin α π - α 1 d v0 Sin[α1] v0 Sin[α] tf1 ; tf ; Show ParametricPlot v0 Cos[α1] t, v0 Sin[α1] t - t mon représentation raphiqu cosinus sinus, {t, 0, tf1}, DisplayFunction fonction d'affichae v 0 Identity, identité ParametricPlot représentation raphique de courbes paramétrées v0 Cos[α] t, v0 Sin[α] t - t cosinus sinus, {t, 0, tf}, DisplayFunction Identity, fonction d'affichae identité AspectRatio rapport d'aspect 100 Automatic, automatique DisplayFunction fonction d'affichae $DisplayFunction, fonction d'affichae pa PlotRane {0, 100} zone de tracé

22 _et_-cinematique-cor.nb Exercice -8 a) Abscisse de la mi-parcours x m x (0) + x ( s) 0 m + 8 m Heure de passae du mobile à mi-parcours x (t) m t m s Vitesse instantanée Vitesse à mi-parcours v x (t) t v x (t) s m s N valeur numérique 7.9 Exercice -8 b) Pour un mouvement uniformément accéléré, la vitesse à la mi-parcours diffère énéralement de la vitesse à la mi-temps. Nous allons l'illustrer par un exemple. Soit l'horaire sur [0; s] z (t) - t Cote de la mi-parcours z[0] + z[ s] 0 + (-0 m) Heure de passae à la mi-parcours -10 m z (t) t -10 t t Vitesse instantanée v z (t) -10 t Vitesse à la mi-parcours Vitesse à la mi-temps v z s -10 m s -1.1 m s Les deux vitesses diffèrent. v z (1 s) -10 m s

23 _et_-cinematique-cor.nb Exercice -9 a x -0. est une constante non nulle, c'est-à-dire un polynôme de deré 0. Il s'ensuit que la vitesse est un polynôme de deré 1 en t v x (t) v 1 t + v 0 où les coefficients v 1 et v 0 sont cherchés. Comparons la dérivée de la vitesse et l' accélération donnée v x (t) ax v 1-0. v x (t) -0. t + v 0 Comparons la vitesse en t et la vitesse donnée 1 v x () 1-0. * + v 0 1 v 0 1. v x (t) -0. t + 1. La vitesse est un polynôme de deré 1. Il s'ensuit que l'horaire est un polynôme de deré en t x (t) x t + x 1 t + x 0 où les coefficients x, x 1, x 0 sont cherchés. Comparons la dérivée de l'horaire avec la vitesse x (t) v x (t) x t + x 1-0. t + 1. pour tous les t x -0. et x 1 1. x -0. et x 1 1. x (t) -0. t + 1. t + x 0 Comparons la position à l'instant t et la position -0 donnée x () * + 1. * + x 0-0 x x (t) -0. t + 1. t