Lentilles Détermination de distances focales

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1 Lentilles Détermination de distances focales Résumé Les lentilles sont capables de faire converger ou diverger un faisceau lumineux. La distance focale f d une lentille caractérise cette convergence ou divergence. Par exemple, pour une lentille convergente, l endroit où un faisceau de rayons parallèles converge est à une distance f du centre de la lentille. Dans cette expérience, f sera mesurée de plusieurs façons pour différents montages de lentilles.

2 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Théorie Lentilles minces Rayons principaux et construction d images Formule de Descartes et grandissement Systèmes optiques centrés simples Aberrations Manipulations Observation des aberrations Aberration sphérique Coma Aberration chromatique Détermination de la distance focale d une lentille convergente Détermination de la distance focale d un système convergent Détermination de la distance focale d une lentille divergente Par un système convergent Par la méthode du miroir plan Plan de travail 12

3 1 Théorie 2 1 Théorie 1.1 Lentilles minces On appelle lentille un corps transparent limité par deux surfaces courbes ou une surface courbe et une surface plane. Dans la plupart des cas, ces surfaces sont sphériques. La lentille est mince si son épaisseur est petite devant les rayons de courbure de ses surfaces. On appelle axe optique de la lentille la droite qui passe par les centres de courbure de ses surfaces. On peut considérer que dans une lentille mince les points d intersection de l axe avec les deux surfaces de la lentille sont confondus en un même point O appelé centre optique. Les propriétés des lentilles sont dues à la forme des surfaces séparant de l extérieur le milieu transparent d indice de réfraction n. Elles sont la conséquence des réfractions que subissent les rayons lumineux lorsqu ils traversent ces surfaces. On admet que les rayons passant par le centre optique ne subissent pas de réfraction et ne sont par conséquent pas déviés. Une lentille convergente est une lentille dont le bord est plus mince que la partie centrale. Un faisceau de rayons parallèles se transforme en un faisceau convergent après avoir traversé une telle lentille (figures 1.1 et 1.3). Le bord d une lentille divergente est plus épais que sa partie centrale. Un faisceau de rayons parallèles devient divergent après avoir traversé une telle lentille (figures 1.2 et 1.4). Pour traiter simplement les lentilles minces, on se place dans l approximation de Gauss : on ne considère que les rayons lumineux peu inclinés et proches de l axe optique (rayons paraxiaux). Un système optique ne satisfaisant pas à ces conditions présente des aberrations (voir 1.5). Pour une lentille convergente, le foyer est, par définition, le lieu de convergence du faisceau de rayons parallèles à l axe optique (figure 1.1). Il est situé sur l axe optique à la distance f, dite distance focale, du centre optique. Toute lentille possède deux foyers symétriques par rapport au centre optique. Pour une lentille divergente, le foyer est le lieu d où semblent provenir les rayons divergents formés par un faisceau de rayons parallèles à l axe optique (figure 1.2). Les plans perpendiculaires à l axe optique et qui passent par les foyers

4 1.2 Rayons principaux et construction d images 3 Fig. 1.1: définition du foyer d une lentille convergente. Fig. 1.2: définition du foyer d une lentille convergente divergente. sont les plans focaux (figures 1.3 et 1.4). Les lois de l optique géométrique, décrivant la propagation des rayons lumineux, sont applicables aux lentilles. Nous pouvons déduire les lois de l optique géométrique du principe de Fermat stipulant que le chemin suivi par la lumière entre deux points est tel que le temps de parcours de la lumière est minimal.v La loi du retour inverse de la lumière découle aussi du principe de Fermat : si la lumière suit un chemin lorsqu elle se propage d un point A vers un point B, elle suivra le même chemin lorsqu elle se propage de B vers A. On peut donc inverser le sens des rayons lumineux dans les figures ci-dessus. En particulier, un objet situé au foyer ou dans le plan focal émet des rayons qui, à la sortie d une lentille convergente, constituent un faisceau parallèle. Cette propriété est souvent utilisée dans des éléments optiques appelés collimateurs qui servent à obtenir un faisceau de lumière parallèle (voir les manipulations ORf et ASs). 1.2 Rayons principaux et construction d images La construction géométrique de l image d un objet par la lentille est réalisée à l aide des rayons issus de chaque point de l objet ; l image du point est située au point d intersection de ces rayons après leur passage à travers

5 1.2 Rayons principaux et construction d images 4 Fig. 1.3: faisceau parallèle et plan focal. Fig. 1.4: faisceau parallèle et plan focal. la lentille ou au point d intersection des prolongements de ces rayons après le passage de la lentille. Habituellement on utilise deux rayons quelconques des trois rayons principaux suivants (le troisième rayon est utile pour la vérification de la construction) : 1. Le rayon passant sans déviation par le centre optique de la lentille. 2. Le rayon tombant sur la lentille parallèlement à son axe optique. Après réfraction par la lentille, ce rayon ou son prolongement passe par le foyer image F i de la lentille. 3. Le rayon ou son prolongement qui passe par le foyer objet F o de la lentille. Après réfraction dans la lentille, ce rayon est dirigé parallèlement à l axe optique. Les figures 1.5 et 1.6 montrent les rayons principaux pour une lentille convergente et une lentille divergente alors que les figures 1.7 et 1.8 donnent un exemple de construction d image. Selon leur position ou leur formation, les objets et les images peuvent être réels ou virtuels. On les définit de la manière suivante.

6 1.2 Rayons principaux et construction d images 5 Fig. 1.5: tracé des rayons principaux pour une lentille convergente. Fig. 1.6: tracé des rayons principaux pour une lentille divergente. Objet réel : lumineux. un objet réel est un objet dont chaque point émet des rayons Image réelle : une image réelle est formée de l ensemble des points où convergent les rayons lumineux émis par les points d un objet. Un écran placé à cet endroit révèle effectivement une image de l objet concerné. La présence de l écran est nécessaire pour observer une image (l oeil placé au niveau de l écran ne recueillerait pas d image). Des images réelles sont données, par exemple, par tous les appareils de projection. Image virtuelle : lorsque, à la sortie d un système optique, les rayons lumineux issus d un même point P d un objet semblent tous émerger d un point P par lequel ces rayons ne passent pas, on dit que P appartient à l image virtuelle de l objet (Figures 1.2 et 1.4). Une image virtuelle ne peut être recueillie sur un écran ; ce dernier ne ferait qu intercepter les rayons avant leur passage à travers la lentille. L image virtuelle s observe en regardant l objet à travers la lentille. Les images virtuelles sont courantes : image fournie par un miroir, image donnée par les verres de lunettes, par une loupe ou encore par un microscope. Objet virtuel : l image d un système optique peut servir d objet pour un autre système optique. Si le second système intercepte les rayons convergeant vers l image avant qu ils ne l aient atteinte, cette dernière jouera le rôle d objet virtuel pour le second système optique.

7 1.3 Formule de Descartes et grandissement 6 Fig. 1.7: construction de l image d un objet pour des lentilles convergente. 1.3 Formule de Descartes et grandissement L image d un objet se trouvant à une distance y du centre optique d une lentille de distance focale f, se forme sur l axe optique en une position bien déterminée, mesurée par la distance y à partir du centre optique. Cette dernière distance s obtient expérimentalement. Elle est confirmée par la construction de l image au moyen des rayons principaux. La formule de Descartes relie les distances y et y à la distance focale f : 1 y + 1 y = 1 f. (1.1) La formule de Descartes se déduit aisément de la construction géométrique de l image ; elle est valable seulement pour l approximation de Gauss. La formule de Descartes est valable pour les lentilles convergentes et divergentes si l on tient compte de la convention de signes suivante : on donne le signe positif à la distance focale d une lentille convergente et aux distances relatives aux objets et images réels. on donne le signe négatif à la distance focale d une lentille divergente et aux distances relatives aux objets et images virtuels. On appelle puissance P (ou convergence, ou encore vergence) d une lentille l inverse de la distance focale f : P = 1 f. (1.2)

8 1.4 Systèmes optiques centrés simples 7 Fig. 1.8: construction de l image d un objet pour des lentilles convergente divergente. L unité de la puissance est la dioptrie dans le système international d unités (une dioptrie = 1 m 1 ). On appelle grandissement latéral ou transversal g le rapport de la grandeur de l image i à la grandeur de l objet o. Ces grandeurs sont mesurées perpendiculairement à l axe optique. On voit facilement sur la figure 1.7 que le grandissement est relié aux distances y et y : g = i o = y y. (1.3) 1.4 Systèmes optiques centrés simples Un système optique est formé de plusieurs lentilles ; il est centré si les centres de courbure de toutes ses surfaces de séparation sont situés sur le même axe optique. La distance focale f d un système centré formé de deux lentilles minces accolées, de distances focales f 1 et f 2, est donnée par la relation : 1 f = 1 f f 2. (1.4)

9 1.5 Aberrations Aberrations Les déformations des images dans les systèmes optiques sont appelées aberrations. L aberration géométrique est le défaut de l image apparaissant dans le système optique à cause de l utilisation de larges faisceaux ou de faisceaux inclinés de lumière monochromatique. L aberration chromatique est la déformation de l image due au phénomène de dispersion de la lumière non monochromatique dans les lentilles du système optique. L aberration sphérique est une aberration géométrique apparaissant lorsque de larges faisceaux traversent une lentille sphérique. L image d un point n est plus un point, mais une surface circulaire d un diamètre non négligeable ; les rayons émis par le point-objet traversant la lentille en différentes zones éloignées ne convergent pas en un point unique (impression de flou). En particulier, des rayons incidents parallèles à l axe optique tombant sur différentes zones de la lentille coupent l axe en plusieurs points distincts (fig. 1.9) ; le foyer n est plus un point mais un segment de droite F F sur l axe optique. L enveloppe des rayons convergents est une surface caustique. Fig. 1.9: aberration sphérique d une lentille ; le foyer F des rayons paraxiaux n est pas confondu avec le foyer F des rayons marginaux. Conséquence de l aberration sphérique, le défaut appelé coma apparaît pour de larges faisceaux incidents obliques faisant un angle appréciable avec l axe optique. L image d un point prend la forme d une tache allongée et non uniformément éclairée rappelant plus ou moins une comète. L aberration chromatique est une conséquence de la variation de l indice de réfraction du milieu en fonction de la longueur d onde de la lumière. La

10 2 Manipulations 9 Fig. 1.10: aberration chromatique. position du foyer varie ainsi en fonction de la longueur d onde. L image d une source de lumière blanche a la forme d anneaux concentriques diversement colorés. L image est irisée. 2 Manipulations 2.1 Observation des aberrations Aberration sphérique Fixez sur une lampe le cache percé d une petit trou figurant un objet ponctuel. Placez une lentille convergente à une distance plus grande que 20 cm et effectuez la mise au point sur l écran. Peut-on rendre l image tout à fait nette? Placez le diaphragme le plus près possible de la lentille et observez la différence de netteté (et de luminosité) de l image selon le degré de fermeture du diaphragme. Que fait le diaphragme? Repérez la position de l image lorsque le diaphragme est ouvert, puis avec le diaphragme à moitié fermé. Comment expliquez-vous la différence entre ces positions? Coma L image étant mise au point à diaphragme ouvert, faites pivoter légèrement la lentille autour de son axe vertical (débloquer pour cela la vis du support de lentille).

11 2.2 Détermination de la distance focale d une lentille convergente 10 Observez la formation de la coma en fonction de l inclinaison du faisceau par rapport à l axe optique Aberration chromatique A diaphragme ouvert, observez la différence de coloration du bord de l image selon que l écran se trouve avant ou après la position de mise au point optimale. Quelles sont les couleurs qui apparaissent et comment expliquez-vous le changement de coloration? 2.2 Détermination de la distance focale d une lentille convergente Placez devant la lampe le cache figurant l objet en forme de flèche. Repérez la position de l objet en utilisant le fil à plomb (tenir ce dernier à l extrémité de la lampe de manière à ce que le fil arrive sur la graduation, et ajouter 2 mm de décrochement). Evaluez l incertitude. Placez la lentille L 1 (la plus convergente) sur le support ad hoc. Choisissez une position de la lentille, placez le diaphragme et déterminez la position de l image sur l écran. Pour cela, procédez à 5 réglages indépendants de l écran et calculez la position moyenne. Mesurez également la grandeur i de l image. Répétez ces opérations pour trois positions différentes de la lentille. Calculez le distance focale f et vérifiez-en la constance. Calculez la distance focale moyenne. Vérifiez la formule du grandissement. Déterminez de manière identique, mais pour une seule position de la lentille, la distance focale de la lentille convergente L 2. Note : l estimation de l incertitude de f n est pas élémentaire ; à partir de la relation 1.1, on trouve la distance focale : f(y, y ) = yy y + y. (2.1) Pour obtenir l incertitude sur f, on calcule la différentielle de f(y, y ) : f = (y ) 2 (y)2 y + (y + y ) 2 (y + y ) 2 y. (2.2)

12 2.3 Détermination de la distance focale d un système convergent 11 Remarque : l incertitude relative sur f peut se mettre sous la forme f f = y y + y y (y + y ) y + y. (2.3) 2.3 Détermination de la distance focale d un système convergent Accolez L 1 et L 2, puis déterminez expérimentalement (comme pour L 2 ) la distance focale de ce système. Calculez ensuite la distance focale du système en utilisant les résultats obtenus au paragraphe 2.2 et la relation 1.4. Comparez les deux résultats. Pour les incertitudes, adaptez la relation 2.2 à la situation présente. 2.4 Détermination de la distance focale d une lentille divergente Par un système convergent Accolez la lentille L 1 et la lentille divergente que l on appellera L 3. On obtient un système optique convergent dont on peut déterminer la distance focale comme auparavant. Calculer ensuite, au moyen de la relation 1.4, la distance focale de L Par la méthode du miroir plan La méthode du paragraphe précédent n est valable que si le système des deux lentilles est convergent, c est-à-dire s il donne une image réelle. La méthode du miroir plan, par contre, est applicable pour une image virtuelle. Son principe est le suivant (fig. 2.1) : la lentille divergente L 3 donne une image i de l objet o. On superpose i à l image i, également virtuelle, donnée par le miroir M d un objet auxiliaire o. Le miroir M étant fixé en une position convenable, on déplace l objet o jusqu à ce que son image i coïncide avec l image i. On juge de la coïncidence de ces deux image virtuelles par l absence de parallaxe : lors du déplacement horizontal de l oeil perpendiculairement à l axe optique, les deux images doivent demeurer fixes l une par rapport à

13 3 Plan de travail 12 Fig. 2.1: schéma de la position des objets et des images dans la méthode du miroir plan. l autre. On a alors : y = ML 3 Mi avec Mi = Mo. Pour une position de L 3, mesurez y, puis effectuez trois réglages et mesures de y. Calculez la moyenne des y. Déterminez finalement la distance focale de L 3. Attention aux signes! (voir section 1.3). 3 Plan de travail 1. Observez les différentes aberrations. 2. Déterminez la distance focale de L 1, et vérifiez la formule du grandissement. 3. Déterminez la distance focale de L Déterminez la distance focale du système convergent. Vérifiez la relation Déterminez la distance focale de L 3 par les deux méthodes. Comparez les résultats.

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