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1 Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. * * * Partie A : OPTQUE Ce problème d optique comprend deux parties indépendantes : ocométrie et lunette astronomique achromatique. La première partie concerne la mesure, par diérentes méthodes, des distances ocales de lentilles minces convergentes et divergentes. La seconde partie consiste à rechercher les conditions pour limiter l aberration chromatique, c est-à-dire les déauts de ormation des images dus à la dispersion des verres des objecti et oculaire d une lunette astronomique. Les quatre igures de la partie «Optique» sont en page 6. On considérera que les lentilles minces de ce problème sont utilisées dans le cadre de l approximation de Gauss.. FOCOMETRE L axe (x x) d un banc d optique est orienté dans le sens de parcours de la lumière. On notera O et O les centres de deux lentilles (L ) convergente et ( L ) divergente, A et A les points sur l axe optique d un objet lumineux transverse AB et de son image A B par l instrument... Lentille convergente : ( L ) de centre O et de distance ocale ' On exprimera ' et ' à, cm près.... Méthode d autocollimation... Décrire la méthode expérimentale dite «d autocollimation» qui permet de mesurer la distance ocale d une lentille mince convergente. /

2 ... Quand l image A B de l objet AB est obtenue par cette méthode, la distance mesurée objet-lentille est de, cm. Les incertitudes absolues de lecture sur l axe et de mise au point de l image étant au total évaluées à,5 cm, exprimer la distance ocale ' de ( L ) et son incertitude absolue '.... Formule de conjugaison de Descartes L objet réel AB placé à 35 cm de la lentille ( L ) donne une image nette A B de cet objet sur un écran (E) situé à 46,5 cm de la lentille.... Déterminer la distance ocale ' de cette lentille.... Sachant que les incertitudes absolues sur les distances objet-lentille (incertitude de lecture) et lentille-écran (incertitudes de lecture et de netteté de l image) sont respectivement évaluées à,4 cm et,8 cm, calculer l incertitude absolue '...3. Méthode de Bessel Un objet AB et un écran (E) sont ixes et distants de D. Entre l objet et l écran, on déplace la lentille (L ) pour obtenir sur (E) une image nette A B On pose p = OA. Montrer que si D >D min, valeur minimale que l on exprimera en onction de ', alors il existe deux positions distinctes p et p (avec p < p ) de ( L ) pour lesquelles une image nette se orme sur l écran. Donner les expressions de p et p en onction de D et ' Si d représente la distance entre les deux positions de la lentille ( L ) quand D >D min, montrer que la distance ocale ' s exprime en onction de D et d Déterminer l incertitude absolue ' de l expression de ' sachant que les incertitudes absolues de D et d sont respectivement notées par D et d Calculer la distance ocale ' de ( L ) et son incertitude absolue ' sachant que D = (9 ± ) cm et d = (3 ± ) cm...4. Méthode de Silbermann L objet AB étant ixe, sa position sera prise comme origine sur l axe optique. On cherche les positions de la lentille ( L ) et de l écran (E) telles que le grandissement A'B' transversal γ = =. La distance objet-écran est alors D ± D. AB..4.. Utiliser la relation de conjugaison de Descartes et l expression du grandissement pour obtenir ' en onction de D On mesure D = 8,4 cm avec une incertitude absolue de,5 cm comprenant la lecture et la mise au point de l image pour ce grandissement. En déduire la distance ocale ' de ( L ) et son incertitude absolue ' La méthode de Silbermann peut-elle se déduire de la méthode de Bessel? Justiier votre réponse...5. Comparaison des méthodes Parmi ces quatre méthodes quelle est celle qui vous semble la plus rapide à mettre en œuvre pour obtenir l ordre de grandeur de ' et celle qui vous permet la meilleure précision? /

3 .. Lentille divergente : ( L ) de centre O et de distance ocale ' On exprimera ' à, cm près.... Théorème des vergences (ormule des opticiens) Pour déterminer la distance ocale d une lentille mince divergente ( L ), on accole celleci à une lentille mince convergente ( L ) de vergence V = 8 m - et on utilise ce système mince [( L)+ ( L )] pour obtenir d un objet réel AB, une image réelle A B, renversée, de même dimension que l objet. La distance objet-image mesurée est égale à m.... Déterminer la vergence V du système de lentilles accolées.... En déduire la vergence V et la distance ocale ' de la lentille ( L) sachant que pour l association [( L)+ ( L )] nous avons : V = V + V Les centres optiques des lentilles dites «accolées» sont en ait distants de e =,5 cm. Evaluer à nouveau V et ' à partir de cette ormule de Gullstrand qui prend en compte la distance entre les centres optiques : V = V + V e V V.... Viseur à rontale ixe Un viseur à rontale ixe est utilisé pour déterminer la distance ocale ' de la lentille ( L ). On vise d abord l objet AB, on insère ( L ) entre l objet et le viseur à une distance x de AB et enin on doit reculer d une distance D pour viser l image A B.... À partir de la relation de conjugaison de Descartes, montrer que la distance ocale ' s exprime en onction des distances x et D.... Sachant que x = 3 cm et D = 6,5 cm, calculer '...3. Méthode de Badal La méthode de Badal se déroule en deux étapes : ère étape : une lentille convergente ( L ) donne d un objet ponctuel A situé au oyer objet F de cette lentille, une image rejetée à l inini. Une seconde lentille convergente ( L ) de distance ocale connue ' est disposée à la suite de ( L ) à une distance supérieure à '. L image inale ponctuelle A se trouve sur un écran (E) situé au oyer image F' de ( L). ème étape : la lentille divergente ( L ), de distance ocale ' inconnue, est positionnée dans le plan ocal objet de ( L ). Pour obtenir la nouvelle image nette A, il aut éloigner (E), de ( L ), d une distance D En appliquant la relation de conjugaison de Newton à la lentille ( L), déterminer la relation donnant l expression de la distance ocale ' en onction des distances ' et D Pour les distances ' =,5 cm et D = 6,5 cm, calculer '.. LUNETTE ASTRONOMQUE ACHROMATQUE La vergence V d une lentille mince est donnée par la relation algébrique suivante : V = ( n ) R R où n est l indice de réraction du verre constituant la lentille et R et R, les rayons de courbure algébriques ( R = SC) respectivement des aces avant et arrière de la lentille. x x x 3/

4 L indice n varie avec la longueur d onde λ suivant la loi empirique de Cauchy : B n= A+, A et B étant deux constantes positives. λ Pour un verre de type crown : A 3 =,55 et B= 3,5 nm. nd On déinit la constringence ν et le pouvoir dispersi K d un verre par : ν = =, où K nf nc nf, nd et n C sont les indices du verre pour les radiations F (bleu : λ F = 486 nm), D (jaune : λ D = 589 nm) et C (rouge : λ C = 656 nm). On notera F', D' et C' les distances ocales images et F F', FD' et FC' les oyers images de la lentille pour les radiations F, D et C respectivement... Constringence, pouvoir dispersi et distance ocale d une lentille d un verre crown Une lentille mince (L), en verre crown, est biconvexe avec les rayons de courbure R et R tels que R = 9cm et R = 5cm. Le diamètre de (L) est : D = 8 cm.... Calculer, avec le nombre de chires signiicatis correct, les indices nf, nd et n C. En déduire la constringence ν et le pouvoir dispersi K pour ce verre crown.... Déterminer la distance ocale moyenne D' de (L)... Aberrations chromatiques principales des lentilles minces Deux lentilles minces (L ) convergente (Figure ) et (L ) divergente (Figure ) sont éclairées, parallèlement à l axe optique, par un aisceau de lumière blanche.... Reproduire les igures et et tracer le cheminement des rayons lumineux bleu et rouge de longueurs d onde respectives (λ F ) et (λ C ) émergeant des lentilles (L ) et (L ), en indiquant pour chacune de ces deux lentilles la position relative des oyers F ' et F' sur l axe optique. F C... Aberrations chromatiques longitudinale et transversale... L aberration chromatique longitudinale d une lentille est déinie par la distance algébrique A L = F'F' F C qui sépare les oyers bleu F F ' et rouge F C '. Exprimer A L pour la lentille convergente (L), en onction de la constringence ν et de la distance ocale moyenne ', en supposant que D F' C' D'. Commentaire. Calculer numériquement A L.... On déinit l aberration chromatique transversale A T d une lentille comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par les aisceaux bleu et rouge, interceptée par un écran disposé normalement à l axe optique. Exprimer A T pour (L), en onction de la constringence ν et de D, en supposant de plus que D' est quasiment la moyenne arithmétique de et F' C'. Commentaire. Calculer la valeur de A T..3. Objecti achromatique On réalise un objecti achromatique mince, en accolant la lentille (L) précédente biconvexe, de rayons de courbures R et R en verre crown avec une lentille (L ), plan-concave en verre de type lint, de sorte que les aces en contact aient le même rayon de courbure R. 4/

5 Les indices de réraction des deux verres sont donnés par la loi de Cauchy : B - lentille (L), en verre crown : n = A+ avec A =,55 et B = 3,5 nm λ B - lentille (L ), en verre lint : n = A + où A et B sont à déterminer. λ Exprimer les vergences V, V respectivement des lentilles (L), (L ) en onction des constantes A, A, B, B, des rayons R, R et de λ. En déduire la vergence V = V + V des deux lentilles accolées. V.3.. Déterminer l expression de. Que doit valoir cette expression pour supprimer λ l aberration chromatique? En déduire une relation entre B, B, Ret R puis exprimer la vergence V en onction de A, A, R et R Calculer les constantes A et B pour une vergence V de l objecti égale à,5 m Oculaire achromatique Soient deux lentilles biconvexes (L ) et (L ), de ocales images respectives ' et ', taillées dans le même verre lint d indice n, de même axe optique, dont les deux dioptres, pour chacune d elles, ont en valeur absolue le même rayon, R' pour (L ) et R ' pour (L ). Les deux lentilles placées à une distance d l une de l autre doivent permettre de réaliser un oculaire achromatique (Figure 3)..4.. Déterminer, en onction de R', R', A, B, d' et λ, les vergences V' de (L ), V' de (L ) et V' de cet oculaire en appliquant la ormule de Gullstrand : V' = V' + V' d'v'v'. V'.4.. Calculer et en déduire les acteurs numériques k et k de l expression : λ V' k( n ) B = ( 3 ' + ' + k d' ). λ R'R' λ.4.3. Quelles doivent être les relations, d une part entre ' et ' si R'= 3R' et d autre part entre d' et ' si on veut éliminer l aberration chromatique?.4.4. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur de d' pour avoir un oculaire de vergence V' = 75 m On déinit respectivement par ( F ; F' ) et ( F ; F' ) les oyers principaux objet et image pour les lentilles (L ) et (L ) Déterminer le oyer objet F (conjugué de F dans (L )) et le oyer image F' (conjugué de F' dans (L )) pour ce doublet en exprimant FF et F' F'en onction de d' En prenant comme réérence la distance d' entre les deux lentilles, reproduire la Figure 3 en positionnant les six oyers objet et image pour ce doublet. 5/

6 .5. Lunette achromatique L objecti achromatique {(L)+(L )}, assimilé à une lentille mince unique, est associé à cet oculaire {(L )+( L )} pour réaliser une lunette astronomique (Figure 4)..5.. Calculer le grossissement angulaire de cette lunette. (On assimilera l oculaire à une lentille unique de vergence V' = 75 m - )..5.. Reproduire la Figure 4 et tracer le chemin suivi par le rayon incident (sous l angle α) à travers et à la sortie de l oculaire. On précisera les oyers et rayons secondaires utiles à la construction. (L ) (L ) (λ F ), (λ C ) (λ F ), (λ C ) (λ F ), (λ C ) O (λ F ),(λ C ) O Figure Figure (L ) (L ) d' x ' O ' O ' x Figure 3 (L) + (L') ( ) L L ( ) ' x α O O ' O ' x objecti Figure 4 oculaire 6/

7 Partie B : ÉLECTROMAGNÉTSME Le problème d électromagnétisme comprend deux parties indépendantes : une partie «magnétostatique» avec détermination du champ magnétique B et du potentiel vecteur A créés par des courants, suivie d une partie «phénomènes d induction» étudiée dans l approximation du régime quasi stationnaire. Représentation des grandeurs scalaires : a, b, AB, CD et vectorielles : a, b, AB, CD En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : a, b, AB, CD, a, b, AB, CD Notation du produit scalaire ( F G) et vectoriel ( F G) des deux vecteurs F et G. Les neu igures de la partie «Electromagnétisme» sont en page. Relations d analyse vectorielle : (onction scalaire); F, G et H (onctions vectorielles) F G H = G( F H) H( F G ) div ( G ) = div G + ( grad ) G div( F G) = G rot F F rotg rot ( G ) = rot G + ( grad ) G rot( F G) = FdivG Gdiv F + ( G grad) F ( F grad) G Coordonnées cylindriques: grad ; div G ; rot G Fonction scalaire ( ρ, θ, ) Fonction vectorielle G( ρ, θ, ) = G ( ρ, θ, ) e + G ( ρ, θ, ) e + G ( ρ, θ, ) e ρ ρ θ θ grad = eρ + eθ + e ρ ρ θ ( ρgρ ) Gθ G divg = + + ρ ρ ρ θ rot G G G G ρ G ( G ) G θ ρ θ ρ = ρ + θ + ρ θ e ρ e ρ ρ θ e O ρ e e θ e ρ y θ x Coordonnées cylindriques : ρ, θ, 7/

8 . DÉFNTONS.. Loi de Biot-Savart On considère une distribution iliorme de courant dans le vide représentée sur la Figure, où nous avons porté le vecteur unitaire u sur PM.... Exprimer le champ magnétique db(m), créé en M par l élément dl du courant d intensité pris autour de P.... En déduire le champ magnétique B(M) créé en M par le circuit iliorme (C)...3. Quels sont les domaines de validité pour appliquer la loi de Biot-Savart?.. Théorème d Ampère... Énoncé et ormulation du théorème d Ampère sous sa orme intégrale. Application au cas des courants représentés sur la Figure.... Donner le nom et la relation de la orme locale du théorème d Ampère.. CHAMP MAGNÉTQUE B ET POTENTEL VECTEUR A Les coordonnées cylindriques (ρ, θ, ) seront utilisées dans ce paragraphe... Relations : A = B r, div A... Montrer que, dans le cas d un champ magnétique uniorme B, en tout point M de l espace tel que OM = r, le champ de vecteur déini par A = B r est un potentiel vecteur pour B.... Calculer rot B, puis rot r et en déduire la valeur de div A... Courant rectiligne Un conducteur rectiligne cylindrique illimité, de rayon R, d axe de révolution, est parcouru par un courant volumique j uniorme et dirigé de vers. Un point M de l espace est repéré par ses coordonnées cylindriques (Figure 3 ).... Examiner les éléments de symétrie et d invariance de ce conducteur cylindrique qui ont une conséquence sur les modules et directions du champ magnétique B(M) et du potentiel vecteur A(M).... Déterminer, en appliquant le théorème d Ampère, le champ magnétique B en tout point M intérieur et extérieur au conducteur. Nous poserons B = B int pour ρ < R et B = B ext pour ρ > R. Tracer l allure de la courbe de B(ρ), où B = B...3. En déduire le potentiel vecteur A en tout point M intérieur (A int ) et extérieur (A ext ) au conducteur, à partir de la relation locale champ-potentiel sachant que A(R) =, condition posée arbitrairement. Tracer l allure de la courbe de A(ρ)...4. Le potentiel A(M) pouvait-il se calculer à partir de la relation précédente Justiier votre réponse. A = B r? 8/

9 .3. Courant circulaire.3.. Une spire plane circulaire de centre O, d axe O, de rayon a est parcourue par un courant stationnaire d intensité. En un point M de son axe, la spire est vue sous un angle de (π α) (Figure 4 ) D après les éléments de symétrie et d invariance de la spire de courant, déinir les variables dont dépendent le champ magnétique B(M ) et le potentiel vecteur A(M ) ainsi que leurs directions Calculer, à l aide de la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au point M et le mettre sous la orme : B(M ) = B (O) ( α) où B(O) représente le champ magnétique au centre de la spire et (α) une onction trigonométrique de l angle α Exprimer le potentiel vecteur da(m ) pour tout point M de l axe O, dû à un élément dl de la spire, parcouru par un courant d intensité. En déduire A(M ). Ce résultat est-il compatible avec l étude menée en (.3..) pour A(M )?.3.. Un solénoïde de longueur inie L, d axe est constitué de spires coaxiales jointives, de rayon R et parcourues dans le même sens par un courant stationnaire d intensité. L origine des coordonnées cylindriques est prise au milieu du solénoïde, et l on désigne par n le nombre de spires par unité de longueur (Figure 5 ) Exprimer le champ magnétique db(m) créé par l élément de solénoïde d épaisseur d En déduire le champ magnétique B(M) pour tout point M de l axe du solénoïde, sachant que les spires des extrémités du solénoïde sont vues du point M sous les angles α et ( π α ) Un solénoïde dont la longueur L est très grande devant le rayon R des spires est qualiié de «solénoïde inini» Utiliser le résultat précédent pour exprimer le champ magnétique en tout point M de l axe du «solénoïde inini» Soit T un point quelconque à l intérieur du solénoïde et situé à la distance ρ de l axe (ρ < R) (Figure 6 ). Par application du théorème d Ampère au contour rectangulaire OTT O O de longueur OO = l sur l axe, évaluer le champ magnétique B int pour tout point T intérieur Soit U un point quelconque à l extérieur du solénoïde, à la distance ρ de l axe (ρ > R) (Figure 6 ). Par un raisonnement analogue au précédent, appliqué au contour rectangulaire OUU O O, en déduire le champ magnétique B ext pour tout point U extérieur En écrivant la relation locale champ-potentiel et à l aide de la ormule de Stokes, calculer les potentiels vecteurs A int pour tout point T intérieur (ρ < R) et A ext pour tout point U extérieur (ρ > R) Les potentiels A int et A ext pouvaient-ils se calculer à partir de la relation précédente A = B r? Justiier votre réponse Tracer les graphes de B(ρ) et A(ρ) des normes du champ magnétique et du potentiel vecteur respectivement. 3. NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE 3.. Loi de Len, loi de Faraday Une spire plane circulaire de centre O, de rayon a (a < R), est placée perpendiculairement au champ magnétique à l intérieur du «solénoïde inini». Les spires jointives de rayon R du solénoïde sont parcourues par le courant variable (t) = sin ωt. (Figure 7 ) Déterminer la.é.m induite dans la spire en utilisant : 3... la loi de Faraday. 9/

10 A 3... la circulation du champ local induit E i =. t 3... En déduire l intensité i(t) du courant induit circulant dans la spire de résistance r. Préciser le sens du courant dans la spire. La spire, placée à l intérieur du «solénoïde inini», tourne maintenant autour d un axe ixe de son plan à une vitesse angulaire constante ω Un courant stationnaire d intensité circule dans les spires jointives de rayon R du solénoïde et crée un champ magnétique B int (Figure 8 ). Calculer l intensité i(t) du courant dans la spire, de résistance r, lors de sa rotation Déterminer le champ magnétique variable B int (t) qui annule, à chaque instant, le courant dans la spire dans les cas suivants : B int (t) a la direction constante de l axe O et un module variable B int (t) a un module constant et une direction variable. On négligera l inductance propre du circuit. 3.. La roue de Barlow Le circuit représenté en Figure 9 comprend, dans un montage en série : une roue de Barlow, un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K. Cette roue de Barlow, disque conducteur homogène de centre O, de rayon a, de moment d inertie J par rapport à son axe de rotation, est soumise à un champ magnétique uniorme B parallèle à l axe de la roue. Un point P de sa périphérie est en contact avec un bain de mercure pour assurer le passage du courant tout en minimisant les actions mécaniques de rottement que l on négligera. On suppose la roue paraitement conductrice. La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale ω. A l instant de ermeture de K, t =, le condensateur porte la charge initiale q sur la plaque reliée au résistor Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P, nous représentons sur la Figure 9, celle qui passe par un point M en transportant un courant d intensité di Exprimer la orce de Laplace d sur un élément dl de cette ligne de courant Déterminer le moment Γ, en O, des orces électromagnétiques agissant sur la roue en onction de a, i et B. Commenter le résultat obtenu Exprimer la.é.m. induite en onction de a, ω et B. (On utilisera, judicieusement, la circulation de ( v e B)) Établir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du circuit. En déduire les lois d évolution dans le temps de : 3... l intensité i(t) que l on mettra sous la orme : it ( ) = i exp( t/ τ ). Déterminer i et τ en onction de a, J, R, C, q, B = B et ω B la charge q(t) du condensateur sachant que q() = q la vitesse angulaire ω(t) de la roue avec ω() = ω Quand t devient très grand, q(t) et ω(t) tendent respectivement vers q et ω. Expliciter q et ω en onction de a, J, q, C, B et ω On ixe la vitesse angulaire initiale à la valeur ω de açon que < ω B Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour toute valeur de q > A partir de quel instant t r, celle-ci deviendra-t-elle un récepteur? /

11 3 n 4 5 (C) dl P u M + ( Γ ) Figure Figure R j ρ M P a α O e M Figure 3 Figure 4 U U R α α α M L Figure 5 P d e θ O e ρ e T T ρ O O l Figure 6 O n Figure 7 n O θ ω B O M r di P Mercure i K R C +q -q Figure 8 Figure 9 Fin de l énoncé /

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