COURS DE MECANIQUE GENERALE

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1 OURS DE MEANQUE GENERALE SAT - sttut Suéu d l Autbl t ds Tasts Usté d Bugg - Ns Aé Usta Pal Vaucc

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3 OURS DE MEANQUE GENERALE Plycs ds cus d Mécaqu Gééal t dssés à lsat sttut Suéu d lautbl t ds Tasts Usté d Bugg a P Vaucc Aé usta

4 PREFAE s lycés st dstés à êt u sut édaggqu u ls élès d la è t d la duxè aé d lsat ù j dss l cus d Mécaqu Gééal dus atat ts as Ls sujts abdés das c cus st cux établs a l sl Pédaggqu d l SAT t aués a la ss ds Tts d géu ; l s agt d sujts tyqus d u sgt d écaqu das u écl d géus fét à cs dcats l cus st atculé ts gads ats : céatqu dyaqu wt t dyaqu lagag La céatqu s cs ds chats 3 à 5 csacés sctt à la céatqu du t à la céatqu lat t à cll du cs gd Dfféts thès st délés das ctt at c a xl la décst d tss t accéléat das l tèd d Ft as qu das ls ès shéqus t cyldqus ls ls fdatals d la céatqu ls tasfats gallés d è ls agls deul la thé ds gads t tts tats ls théès deul t d hasls La dyaqu wt st atculé su sx chats ; l ué 6 st csacé à ltduct ds cs d Nwt t ds théès fdataux d la dyaqu du t as qu ds caux tys d fcs csats Succsst abd das l chat 7 létud classqu du ut du t atél das u cha d fc ctal ac alcat à la écaqu célst L chat 8 st csacé à létud du ty atculèt tat d fcs csats ls fcs dssats Esut das ls chats 9 t gééals sctt aux systès dscts t aux cs gds ls ésultats déjà acqus u l t atél Pu la dyaqu du cs gd ls uts à la Pst st bèt tduts L chat 0 st csacé à létud ds étés dt ds systès atéls utl dssabl u abd la dyaqu du cs gd Falt l chat st csacé à la dyaqu uls ù ls ls s à létud ds chcs st tduts auss b u u t atél qu u u cs gd lb u sus à ds ls Ls chats 3 à 7 st csacés à u tduct à la écaqu lagag Plus détal l chat 3 st csacé au Pc ds Taaux Vtuls t l 4 aux équats d Lagag Succsst cs ésultats st alqués à létud d dux blès fdataux t lés écaqu : la stablté t bfucat ds cfguats déqulb das l chat 5 t laalys ds tts scllats das l chat 6 ù la thé d laalys dal st té das ss lgs sstlls L chat 7 t ctt at t l cus ac létud du cas classqu clu d lscllatu sl Pa ls dfféts achs ssbls à l étud d la écaqu gééal j a chs cll qu sbl la lus hêt lsqu sadss à ds élès d au usta : u ach d qu fat al à u cta guu athéatqu qu sul t daalys t d d ct ds ls d la atu Gallé ê à laub dffcl d la écaqu aat déjà cs qu la atu st u l éct ac ds caactès athéatqus Ja quad ê ssayé d d ctt ach la lus sb t élégat ssbl c s aîts t as t "La hlsh st éct das c gad l lus qu css as dêt ut dat s yux Mas c l ut s l s cds as l lagag t caît as ls caactès ac lsquls l st éct O la lagu st cll ds athéatqus t ls caactès st tagls ccls t dauts fgus géétqus S ls caît as cst huat ssbl d cd ê as u sul t Sas ux ut quall à la dé das u labyth bscu t xtcabl" G Gall "l Saggat" R

5 dutls u tat qu d l lus ssbl lsbls ls fuls t ls assags aalytqus sas ls agga ddcats dssabls t luds st u cla qu ja chs sas héstat la ct tygahqu d u ls txts ds athéatqus Das u équ ù l gès sctfqu st ad c jaas auaaat ê la écaqu classqu scc a ls lus acs s dt d s ul édt as das ls ctus t ls ésultats as sas dut das ls éthds J a dc as u d duts à utls lalgèb tsll utl athéatqu d d s gad claté t utlté das ls alcats écaqu quu fft tal écssa à sa aîts st à s yux lagt justfé t éuéé das la sut st u ça qu l chat st csacé à u ad tduct à lalgèb tsll qu st as xhaust sas dut as qu a u sul but clu dtdu l fals tsl t ls ésultats dt fa usag das ls chats suats Das l ê chat st alés auss ds éléts daalys ctll t d géét dffétll qu st ux auss utlsés das la sut du cus L chat st csacé à u sujt atcul à -ch t ls athéatqus t la écaqu clu ds ctus alqués tas cassacs ds athéatqus st b sû dssabls u abd létud d la écaqu t c cus écha as à ctt ègl : s c dqué auaaat ctas sujts st dctt tduts das l chat d c cus dauts st csdéés aat au bagag d cassacs du lctu qu dt suffsat aîts l calcul dffétl t tégal u ls fcts du aabl lalgèb léa la géét aalytqu ds cubs cqus t la slut déquats dffétlls das à cffcts cstats Pu t j xcus à l aac ac l lctu s l styl st as xcllt t s la sytax st as dg d u txt éct J a ssayé sas êt sû da éuss d fa d ux t d as t altat ctt agfqu lagu qu st l faças t qu st as la Ns 6 stb 00 Pal Vaucc - -

6 SYMBOLES UTLSES : u chaqu : xst au s u! : xst u sul : aatt / u : : tl qu α β k u tc : scalas u w tc : ctus A B L tc : tsus du duxè d E : sac ucld V : sac ctl ds taslats L : sac ctl ds tsus du duxè d : dut scala : dut ctl : dut dyadqu k : alu abslu d u scala : d u ctu L : d u tsu L : déat a at au ts : gadt : tsu d t latf au t : bayct U : ttl V : ég ttll T : ég cétqu E : ég écaqu ttal L : taal W : ussac δ : délact tul δl : taal tul δw : ussac tull Q : quatté d ut K : t d la quatté d ut a at au t L : lagag ω : tss agula ϖ : féquc ν : féquc ccula cffct d fttt τ : éd : ctu uls R : ésultat ds fcs ulss M : t ésultat ds fcs ulss µ : ass édut ass d act - -

7 TABLE DES MATERES hat ELEMENTS DE ALUL VETOREL ET TENSOREL Esac ucld Pts t ctus 3 Pdut scala dstac thgalté 3 4 Bas d V 4 5 Exss du dut scala 4 6 Tsus du duxè d 5 7 Pdut dyadqu 5 8 sats catéss du tsu du duxè d 5 9 Pdut tsl 6 0 Tassé du tsu 6 Tsus syétqus t atsyétqus 7 Tac du tsu 7 3 Pdut scala d tsus 8 4 Détat du tsu 8 5 Valus t ctus s du tsu 9 6 Pdut ctl 7 Otat du bas 8 Tsu s 3 9 hagt d bas 4 0 Rès 7 ubs d ts ctus t tsus 9 Déé du cub 0 3 tégat du cub abscss culg 4 L tèd d Ft 3 5 ubu du cub 5 6 Fuls d Ft t St 6 7 Pétés d la ts 7 8 Shè sculatc t ccl sculatu 8 9 has 9 30 Gadt du cha scala 9 hat VETEURS APPLQUES Vctus alqués ésultat t ésultat tsus 3 Ax ctal 33 3 Systès équalts 35 4 Systès équlbés

8 hat 3 NEMATQUE DU PONT 3 Tajct tss t accéléat 36 3 Vtss scala t abscss culg ubu tss t accéléat Mut cdés shéqus Mut la cdés las Mut cdés cyldqus 40 hat 4 NEMATQUE RELATVE 4 Rès fxs t bls 43 4 Pè l d la céatqu Ful d Pss Duxè l d la céatqu Tasfats gallés Muts gds 47 hat 5 NEMATQUE DES ORPS RGDES 5 Tasfats t dgés d lbté du cs gd 48 5 Ls agls deul Théès fdataux su l ut du cs gd 5 54 Lax d tat glbal Altud du tat Vtss t accéléat das u ut gd Rtats ftésals Lax dstataé tat Muts las du cs gd L ct dstataé tat 60 5 Bas t ulat 60 5 Mécass 6 hat 6 LES PRNPES DE LA DYNAMQUE 6 tduct 6 6 Ls cs d Nwt 6 63 lassfcats ds fcs ég ttll taal écaqu Pc d dalbt t fcs dt Théè d lég cétqu tégal è d lég Quatté d ut Mt d la quatté d ut 7 69 Mass tll t ass gatatll 7 - -

9 hat 7 DYNAMQUE DU PONT MATEREL DANS UN HAMP DE FORE ENTRALE 7 tduct 73 7 tégals ès Obts dégééés Obts gééals Obts cculas 8 76 Fcs éulss L blè d Kl Ls bts dégééés du blè d Kl Ls bts gééals du blè d Kl La f ds bts gééals du blè d Kl 89 7 éatqu ds laèts 9 7 La tsè l d Kl La l du ts L blè ds dux cs La l d gatat usll 97 hat 8 FORES DSSPATVES 8 tduct 99 8 Fttt La ésstac au ult Latsst 06 hat 9 DYNAMQUE DES SYSTEMES DSRETS 9 tduct 07 9 Fcs ts Ls équats gééals du ut u u systè dsct Quatté d ut Mt d la quatté d ut Equats fdatals d la dyaqu ds systès 0 97 Théè d lég cétqu 98 tégal è d lég 99 Théè d Kög 3 hat 0 PROPRETES DNERTE DES SYSTEMES 0 tduct 4 0 Bayct 4 03 Pétés du bayct 5 04 Mt dt 6 05 Tsu dt 6 - -

10 06 Lllsïd dt 8 07 L théè d Huygs-St 0 hat DYNAMQUE DES ORPS RGDES tduct 3 Quatté d ut 3 3 Mt d la quatté d ut 4 4 Pussac 4 5 Eg cétqu 4 6 Déés tlls 6 7 Ls équats fdatals u u cs gd 7 8 L théè d lég cétqu u u cs gd 8 9 Ls équats deul 8 0 Muts autu du t 9 Muts à la Pst 30 Rtats ats 30 3 Pécsss 3 4 Gyscs 3 5 Efft gyscqu 33 6 La bussl gyscqu 33 hat DYNAMQUE MPULSVE tduct 36 Léquat fdatal d la dyaqu uls u u t atél 36 3 Ls équats fdatals d la dyaqu uls u ls systès 37 4 hc t cs gds 38 5 Vaat d lég cétqu du cs gd à la sut du chc 39 6 hc sas fttt t cs gds lbs 40 7 Lhythès csttut d Nwt 4 8 Tys d chc 4 9 Pt dég 43 0 hc ct u as bl 44 hc du cs gd lb ct u cs ayat u t fx 46 hc das u la 47 hat 3 LE PRNPE DES TRAVAUX VRTUELS 3 Ls systès hls t ahls 49 3 Délacts tsss taal t ussac tuls lassfcat égétqu ds ls L c ds taaux tuls Equalc du c ds taaux tuls t d la l du ut Equalc déquats fdatals t l du ut u u cs gd Passag à la statqu

11 hat 4 LES EQUATONS DE LAGRANGE 4 Ls équats d Lagag das l cas gééal 60 4 Ls équats d Lagag u ls systès csatfs 6 43 U xl : l dul csé 64 hat 5 STABLTE ET BFURATON DE LEQULBRE 5 Gééaltés 67 5 fguat déqulb stabl sl Lyau Réstat géétqu : lsac ds hass U xl : ls scllats lbs L théè d Lagag-Dchlt Aalys d la qualté d lég ttll Bfucat d léqulb Exl : l flabt Exl : l sag 77 hat 6 MODES NORMAUX 6 Gééaltés 79 6 L d dagalsat sultaé L tsu d tasfat Exss gééal d lég cétqu Léasat t déculag ds équats déqulb 8 66 Mds aux Dsct qualtat ds ds aux 84 hat 7 LOSLLATEUR SMPLE 7 Gééaltés 86 7 Oscllats lbs ats Oscllats lbs ats Oscllats fcés ats La ésac 9 76 La has 9 - x -

12 hat ELEMENTS DE ALUL VETOREL ET TENSOREL ESPAE EULDEN Ls ééts d la écaqu classqu s lact das lsac ucld à ts dss qu us défsss as: dt qu E st u sac ucld tdsl s l xst u sac ctl V qu lu st asscé d ds ts das lqul l st déf u dut scala t tl qu: ls éléts d V qu st ds ctus st d tasfats d E lu-ê: V : E E ; la s d dux éléts d V st déf c u u u V t E ; t q E! V : q Pu ux cd tut cla l faut d abd tdu dux ccts assz tats PONTS ET VETEURS Nus chssss u fs u tuts u sac ucld E; ss éléts st alés ts E dt êt dtfé ac lsac da ù us s Lsac ctl V sa alé sac ds taslats d E t ls éléts d V st alés taslats Aalyss dc ls étés écés c-dssus; cc ac la dè Ec q sgf qu st u tasfat d E lu-ê c st à d at d u t d E u a c u t d E t qu ctt tasfat st tégalt dété a la alu s su u t d E Gahqut: q q Fgu Raqu: l ê ctu ut é dfféts tasfats fct du t d alcat: q as auss q Nus utlss à la lac d léctu q u éctu qu a u ss géétqu lus dct: q - -

13 hat Ell déft la s d u t t d u ctu c u t D la lat c-dssus t auss la déft d u ctu d V c la dfféc d dux ts d E: q La s d dux ts as qu la dfféc d u t ac u ctu st as défs O t atat à la duxè été: u u u V t E St q u q t st uq u q u Als u w ù w st l ctu fé a la s d u t d Gahqut tut cla csd à la faus ègl du aallélga: q u u w Fgu Raqu: a ls étés gééals d u sac ctl u lus slt géétqut à lad d la fgu c-dssus a: u u E atcul fa u équaut à fa l ch tllé dqué su la fgu L ctu ul st déf c la dfféc d dux ts cïcdts L ctu ul st uqu t l st l sul ctu tl qu V s dux étés du ctu ul st tès faclt détabls ac la été qu l a xlqué c-dssus U ctu w tl qu w ku k R st dt êt u cbas léa ds ctus u ù ls scalas k st ls cffcts d la cbas S u u w t u ls u dés l xst aucu sbl d k tl qu la lat c-dssus sa satsfat als ls ctus w t u st dts léat dédats ; cla sgf qu l st as ssbl x w c s ds u ù c qu st la ê chs qu la cbas léa ds ctus w t u ut a c ésultat l ctu ul s t sult s tus ls cffcts d la cbas st ds zés Das l cas cta ls ctus st dts léat dédats La s d ctus c-dssus ut êt éct f abégé c w k u k R ; - -

14 hat ctt tat st dt auss s d Est : das u s d Est l faut addt a at à l dc satué qu st l dc éété das l xss L utlsat d la s d Est t d allég la tat t d la d lus céhsbl ; c st u cla qu ll sa sut lyé das la sut d c cus 3 PRODUT SALARE DSTANE ORTHOGONALTE U dut scala st u f bléa syétqu déf st tt déft dt êt b cs ac qu ll déft ls étés sls t d tès gad tac du dut scala D abd dt qu l dut scala st u f: athéatqu u f ω st u alcat qu è su ls éléts d u sac ctl dc su ds ctus u d c ésultat u scala U f st bléa s ll è su dux ctus t s ll st léa a at à chaqu ctu Dc l dut scala st u f ω du ty ω : V V R Ls étés d léaté st tujus ls ês: ωu w ωu ωu w u V ωk u ωu k k ωu u V t k R U f st syétqu s ll cut a at aux dux éléts su lsquls ll è c st à d s ωu ω u u V Falt u f st déf st s l scala ésultat d l alcat su l ê ctu dux fs st tujus stf u t qul ctu sauf u l ctu ul ù l ésultat st zé: ωu u> 0 u V ωu u 0 u Ls étés lstés c-dssus st ls étés sstlls d u dut scala écaqu classqu; cla sgf qu tut f dt a cs étés u êt u dut scala t qu tut f qu a cs étés st u dut scala Nus dqus ls dut scala ac l sybl ; als ls étés c-dssus t la f lus cu suat: u w u u w u w u w w bléaté ; u k k u k u ; u u syét ; u u> 0 u V u u0 u déft st Dux ctus u t st thgaux s t sult s u 0 O u faclt qu l ctu ul st thgal à tut ctu O sat d lalgèb qu l ut déf lusus s u u ctu t qu das u sac à ds f lls st tuts équalts Nus ds c d u ctu u té u u tut slt u ltt gas sa ucld déf c: u u u u l faut aqu qu u tll éat a tujus u ss gâc à la déft st du dut scala La a ctas étés gééals: - 3 -

15 hat u u égalté tagula u d Mkwsky; u u égalté d Schwaz; k u k u k R La dstac t dux ts t q d E st déf a d q ; l faut auss aqu qu gâc à la dè ds étés c-dssus d q ; d st u scala tujus stf O all shè uta t l dqu ac S l sbl d tus ls ctus d V dt la st égal a : S { V / } 4 BASE DE V U bas d V st u sbl qulcqu d ts ctus { 3 } tls qu δ j 3 j j c δ j st l dlta d Kck: δ j s j autt δ j 0 Dc a la déft c-dssus u bas st csé d ts ctus d S qu st utullt thgaux U tll bas s all bas thé B qu l uss tdu ds bass d V qu st as thés sat d lalgèb qu la sul cdt u a u bas d u sac ctl -dsl st d a ctus léat dédats us us bs à c ty d bass ca lls t ds aatags csdéabls t d slcté Tut ctu d V ut êt éct c cbas léa ds ctus d la bas chs: u u ; das la déft c dssus a utlsé la ct d Est ; dc léctu c-dssus sgf tut slt qu u u u u 3 3 Ls scalas u st ls csats catéss du ctu u 5 EXPRESSON DU PRODUT SALARE L dut scala a u xss assz sl qu us t d l calcul: u u j j u u u u 3 3 l faut aqu qu ctt xss qu a btu utlsat ls étés d léaté du dut scala st alabl sult s la bas st thé : c dc lu ds ass u chs tujus u bas thé c qu sa tujus sus-tdu das la sut Nus défsss ls csats catéss du ctu a la lat u u 3; lls st la jct géétqu du ctu u su ls ctus d la bas chs O ut faclt t qu l dut scala as déf équaut xactt à l éat u u cs ful qu déf auss l agl t ls dux ctus A aqu qu a légalté d Schwaz - 4 -

16 hat cs c qu d ssbl la dè lat éct c-dssus 6 TENSEURS DU DEUXEME ORDRE U tsu du duxè d L st u tasfat léa d V lu-ê: L : V V / Lu L u L t Lα u α Lu α R t u V L cct d tsu st gééal t ut al d tsus d t qul d Tutfs s lta c a tdu ls tsus du duxè d S déft la s d dux tsus c A B A B V t l dut du scala a u tsu c α A α A α R t V als lsbl ds tsus L V qu èt su V st u sac ctl dt lélét ul st l tsu uqu O dt tsu ul tl qu O V L tsu dtqu st l sul tsu tl qu V O lass aux élès la déstat du fat qu L L LV 7 PRODUT DYADQUE L dut dyadqu d dux ctus a t b d V st l tsu té a b déf a a b b a V Lalcat déf c-dssus st fft u tsu du duxè d: fat ll è su ds ctus d V u d c ds ctus d V; d lus l st faclt détabl qull st léa st facl d qu s a S als l tsu a a st l tsu qu alqué à d la jct su a t qu l tsu a a d l ctu dcula à a 8 OMPOSANTES ARTESENNES DUN TENSEUR DU DEUXEME ORDRE S { 3 } st u bas d V als { j j 3} st u bas d lsac ctl LV Ell st csé d uf tsus dstcts Dc chaqu tsu du duxè d ut êt éct c u cbas léa ds éléts d ; ls cffcts d ctt cbas léa st ls uf csats catéss du tsu E gééal ut dc s L L j j j 3 ù ls uf quattés L j st ls csats catéss d L das la bas d V t st défs a ls lats L j L j j 3-5 -

17 hat Pa xl u ls csats du dyad a a b j a b j b j a a b j haqu tsu L ut êt ésté das u bas a u atc 3 3 dt ls éléts st ls uf csats catéss d L: L L L3 L L L L3 L 3 L3 L33 O ut atat sécf ls csats du ctu ésultat d lalcat du tsu su u aut ctu: L L L L j j k k j k j k j j tt ful équaut à l alcat du atc 3 3 su u ctu cl 3 9 PRODUT TENSOREL Pu tut cul d tsus A t B LV a A B A B V tt ful déft la cst d dux tsus u dut tsl O ut faclt t qu l dut tsl a la été suat: [A L M] A L A M A L M LV U blè st l suat: s L A B qulls st ls csats d L cassat clls d A t d B? L ésultat dt lass au lctu la sl déstat st l suat: L j A k B kj cst tut slt la ègl d ultlcat lgs a cls d dux atcs caés E ut a ls étés suats lls auss lassés à dét au lctu : a bc d b ca d a b c t d V A a b A a b a b V t A LV 0 TRANSPOSE DUN TENSEUR Pu tut tsu L l xst u t sult u tsu L T alé tassé d L tl qu: u L L T u u V E ut u L L T u L T u L T T u u L T T L T T L hchs atat ls csats catéss d L T : T L L L L L ; j T j T T j ctt ègl us dt tut slt qu la atc éstat d L T st la atc tassé d la atc éstat L j j - 6 -

18 hat U b xcc st d t ls étés suats du tsu tassé A t B LV a t b V α R: α A T α A T a b T b a A B T A T B T A B T B T A T a b A a A T b TENSEURS SYMETRQUES ET ANTSYMETRQUES U tsu L st syétqu s L L T Das c cas a qu L j L T j t L T j L j L j L j c qu sgf qu la atc éstat du tsu st ll auss syétqu t quu tsu syétqu a qu sx csats dstcts U tsu L st atsyétqu s L L T Das c cas a qu L T j L j t L T j L j L j L j L L L 0 c qu sgf qu la atc éstat du tsu st ll auss atsyétqu t quu tsu atsyétqu a qu ts csats dstcts état ulls ls csats su la dagal haqu tsu L ut êt décsé das la s d dux tsus ac L L L T L L L T L L L O t faclt qu L st syétqu t L atsyétqu TRAE DUN TENSEUR l xst u t u sul f léa t : LV R alé tac tll qu t a b a b a b V La tac st dc u b él "xtat" du tsu; d lus us as as alé d bas ls d sa déft : la tac st dc u aat tsl Ls aats tsls st ds quattés dédats du tsu qu chagt as s chag la bas das laqull l tsu st ésté l faut aqu qu a déft la tac c u f léa; cla sgf qu - 7 -

19 hat t A B t A t B A B L V t α A α t A α R t A L V O lass au lctu la sl déstat ds étés suats d la tac: L t L T t L t L t W 0 W L V / W W t 3 t O 0 t AB t BA T 3 PRODUT SALARE DE TENSEURS L dut scala t tsus st la f bléa syétqu t déf st suat: A B t A T B Gâc à la déft d tac t à ss étés ut asét éf qu léat déf cdssus st ffctt u dut scala cst-à-d qul ssèd ls étés écés: A B A B A A B A B A B L V α R bléaté ; α A B A α B α A B A B B A A B L V syét ; A A 0 A LV A A 0 A O L lctu st té à dét ls étés suats A B L LV : AB A j B j j 3 A T B T AB s A A T t B B T als A B 0 s A A T als A L A L L s A A T als A L A L L t A A AB A B T B A T a b c d a c b d a b c t d V O déft d u tsu L l scala stf T L L L L t L L j L j déft st 4 DETERMNANT DUN TENSEUR l xst u faç tsèqu d déf l détat du tsu qu écsst d ltduct ds fs tléas U ésultat tès tat st qu l détat du tsu st u - 8 -

20 hat aat du tsu ê t qul cïcd ac l détat d la atc qu ést l tsu das u bas qulcqu l calcul du détat du atc 3 3 st u éat assz sl l blè d la chch du détat du tsu ut s d éslu Pu l détat a ls étés suats d sl déstat: dt O 0 dt dt α L α 3 dt L α R L LV dt A T dt A A LV dt W 0 W LV / W W T dt a b 0 a b V U aut ésultat tès tat dt la déstat écsst c d ltduct ds fs tléas st l Théè d Bt: A B LV l st dt AB dt A dt B 5 VALEURS ET VETEURS PROPRES DUN TENSEUR Sl xst u b λ R t u ctu V \ {} tls qu L λ als λ sall alu t ctu latf à λ d L E fat das l cas du ctu la lat c-dssus us dt qu l ctu st tasfé a l tsu u aut ctu qu lu st tujus aallèl ac at t ls s aès t aat tasfat égal à λ l st édt qu s st ctu d L als k lst auss k R Ls alus t ctus s jut u ôl fdatal das lusus blès t lu chch st dc u éat tès tat Pu c fa éct la lat c-dssus das la f équalt Lλ ; clu-c st u systè d ts équats scalas dt ls cus st ls ts csats d L systè st hgè t dc la sul slut ssbl s la atc du systè st as sgulè st l ctu ul slut tal Mas s la atc du systè st sgulè cst-àd s dtlλ 0 als dauts sluts st ssbls Léquat éct c-dssus st u équat algébqu d tsè dgé dt équat d Lalac u caactéstqu Ell ssèd qu ts sluts élls u clxs qu st ls ts alus s d L Dc la chch ds alus s du tsu d duxè d ass a la slut d léquat d Lalac Pu tu l ctu csdat à u alu l sufft djct das l systè Lλ la alu tué à la lac d λ Natullt atat l systè a u atc sgulè c qu sgf quu équat st suflu Dc ut tu l ctu à - 9 -

21 hat u cstat ès faut du fat qu a ts cus t dux équats Mas dét ctt cstat a alsat du ctu cst-à-d qu s qu l ctu at la égal à S la alu st dubl cst-à-d s ll st u slut d ultlcté dux d léquat d Lalac als a u systè u dux équats st suflus t dc l ctu st dété à dux cstats ès; das dauts ts l y a dux ctus s léat dédats u la ê alu as la déach chag as S u alu a ultlcté ts als ll a ts ctus s léat dédats chacu ac ts cstats à chs lbt c qu t à d qu chaqu ctu d V st ctu O lass à lélè d t qu c d cst l cas du tsu shéqu cst-à-d du tsu qu st tl à Pa tus ls tsus d duxè d ls tsus syétqus ccut u st atculè gâc au Théè sctal: s L L T l xst u bas d V csé d suls ctus s d L théè dt ta as la déstat st u théè d tès gad tac auss b athéatqu qu écaqu t ss cséqucs st és: ls alus s du tsu syétqu st tuts élls; ls ctus s csttut u bas thé d V; cc sgf qul xst au s u bas d V qu st tasfé a L ts ctus c thgaux t ux t aallèls aux ctus dg; ctt bas st la bas al; das sa bas al chaqu tsu syétqu st ésté a L λ E fat das u bas al Lj λ λ δ L j j j j j L Lj j λ j δ j j λ Dc u tsu syétqu das sa bas al st dagal t ss csats st ss alus s O ut auss aqu qu la tac du tsu syétqu st égal à la s ds ss alus s Lsqu a dt quu tsu syétqu a u bas al a sus-tdu qu dux ctus s t du tsu syétqu latfs à dux alus s dstcts λ t λ st thgaux t ux cla ac qu ls ctus du bas st thgaux t ux ll-c st u ccstac assz tat qu ut t as: λ L L T L λ λ t état λ λ cc st a 0 Pu u tsu L dé u xss du ty L s all f quadatqu déf a L S L > 0 V {} la f t l tsu st dts défs stfs O s L st syétqu a u cséquc tat : fat s l csdè L ésté das sa bas al t édatt qu L λ > 0 3

22 hat ù ls λ st ls alus s d L ; l st als édt qu l égalté c-dssus st tujus satsfat s t sult s λ > 0 3 E ut s l x L a ss csats das la bas al a auss qu dt L λ λ λ 3 t dc u tsu syétqu déf stf a sult ls alus s as auss l détat qu st aat a at à la éstat du tsu stf Falt s l xst au s u ctu u dffét du ctu ul u lqul als qu u Lu 0 { u} L > 0 V la f t l tsu st dts s-défs stfs 6 PRODUT VETOREL O déft dut ctl d dux ctus a t b d V l ctu a b W b a ù W a st u tsu atsyétqu alé tsu axal d a; s a a a a 3 als ls csats d W a st dés a 0 a3 a W a a3 0 a a a 0 L dut ctl s édut dc à u sl éat tsll: 0 a3 a b a3b ab3 a b a3 0 a b ab3 a3b a a 0 b3 ab ab st à chaqu tsu atsyétqu W csd u ctu axal déf c a la lat c-dssus; t faclt qu c ctu st l ctu latf à la sul alu éll d W l zé A la guu ls ctus axaux d u tsu atsyétqu st dux u l sé d l aut t l xst u faç tsèqu d fa l chx t ux ; c chx csd à fx l tat d l sac l aagah suat us établs u fs u tuts l tat d l sac c qu équaut à d qu l ctu axal d u tsu atsyétqu st fxé csdéa qu à chaqu tsu atsyétqu csd u sul ctu axal L dut ctl a ctas étés dt lass au lctu la déstat: u w u u w u w u w w bléaté ; u k k u k u - -

23 hat u u atsyét ; a b a k b k R cdt d aalléls ; a b a a b b 0 thgalté du ctu dut ; a b c a c ba b c dubl dut ctl ; a b c c a b b c a dut xt La sxè été c-dssus us f qu l ctu ésultat du dut ctl st thgal au la dété a ls dux ctus dg O lass auss au lctu la éfcat qu l dut xt équaut au détat d la atc a a a3 b b b 3 c c c3 E utlsat ls fuls c-dssus chchs à ést la d u dut ctl : a b a b a b a b a b a b a a b b [ a b a a b] b b [ a a a] b a b [ a a ] b a b [ ] a b cs a b s ; b a a b das la ful c-dssus a t b st ls ctu utas d la dct d a t b sctt als qu st l agl fé a ls dux ctus Falt a b a b s Géétqut c ésultat t qu la du dut ctl st l a du aallélga délté a ls dux ctus du dut La alu abslu du dut xt a als u sl tétat géétqu: ll st l lu du s délté a ls ts ctus U été tat d tut tsu atsyétqu W st la suat : WW W w w ù w st l ctu axal asscé au tsu W ; à s al qu l tsu w w st l tsu qu d la jct d u ctu su l la thgal au ctu w O lass au lctu l s d dét ctt dè st ac la suggst d éc w t W das u bas dt w st l u ds éléts 7 ORENTATON DUNE BASE st édat d quu bas d V ut êt té d dux façs dfféts; da als qu la bas { 3 } st té stt ght-hadd aglas s ; atullt 3 tc éétt cyclqu ds ts dcs t 3 Géétqut cla sgf quu bas st té stt s ls axs st c cux d la fgu 3 S au cta a u bas u laqull - -

24 hat als ll st dt té égatt lft-hadd aglas; u tll bas sat a xl cll d la fgu 3 ac lax 3 tllé Nus csdés tujus ds bass tés stt 3 Fgu 3 8 TENSEUR NVERSE U tsu L st sbl sl xst u tsu L dt l tsu s d L tl qu LL L L Dét qu l tsu s st uqu st u tâch tès sl qu lass au lctu U été tat st qu u tsu sbl tasf ts ctus u t w d V léat dédats ts ctus u t w qu st c léat dédats E fat suss a labsud qu c st u k h w k h R Als L u u L k h w k L h L w k h w c qu st ct lhythès t dc u t w st léat dédats Gâc au théè d Bt t asét qu dt L dt L ; t sauyat su cs dux ds ésultats ut t l Théè dsblté: u tsu L st sbl dt L 0 U tsu syétqu déf stf st dc tujus sbl Ls étés qu sut st lassés à dét au lctu: AB B A L L L T L T : L T α L α L α R U aut été dt la déstat écsst d ccts qu t as étés tduts c st la suat: L u L L w dt L u w tt lat ac ltétat géétqu qu aat dé du dut xt us dt qu la alu abslu du détat du tsu st c u cffct d aat luqu du s cffct qu su l at t l lu aès t aat la tasfat tsll S L st as sbl u l théè dsblté a qu dtl 0 t als aès lalcat d L l s st tasfé u s d lu ul cst-à-d u aallélga tétat du fat qu ls ts ctus talt léat dédats t étés tasfés ts ctus léat dédats - 3 -

25 hat U cséquc édat d la dè ful st qu L u L dt L L T u 9 HANGEMENT DE BASE Sut l faut chag la bas d V t dc s s l blè d tu ls ulls csats catéss du ctu u du tsu Dabd ct tasf u bas u aut bas? tt éat ésus qu das la tasfat la ds ctus st csé as qu lagl fé a dux ctus qulcqus t ltat d lsac Ls tsus qu cst la st alés utas; a ux ls tsus thgaux cst auss ls agls l faut dc all chch a ls tsus thgaux u tsu caabl dé la tat du bas S u tsu st thgal als l agl t dux ctus qulcqus u t s cs das la tasfat : Qu Q u a la déft d tassé T u Q Q u d ù la cdt qu caactés ls tsus thgaux : Q T Q Q Q T Pa lucté du tsu s ls tsus thgaux st ls suls u lsquls tassé t s cïcdt: Q T Q Du théè d Bt t d laat-dè lat t dt Q ±; t b als gâc à L u L L w dt L u w qu u a u tasfat d bas qu cs ltat l faut qu c st dtq Ls tsus thgaux qu t l détat égal à st dc ls suls qu ut é u tasfat d bas; u tl tsu st alé tat u tut slt tat u l dstgu d u tsu tat qu csd à u tsu thgal ac détat égal à hchs dc l tsu tat Q qu è la tasfat d la bas { 3 } das la bas { 3 }; a déft j Q j j 3 t als Q j Q j j tt dè égalté us dt qu la j-è cl d Q st l ctu j-è d la bas l tut xé das la bas Rs atat à la qust gll: ct chagt-lls ls csats catéss du ctu u du tsu ls du chagt d bas? çs ac ls - 4 -

26 hat ctus: a ls csats du ctu das la bas chch ls csats das la bas Als: Q Q T t s all l ctu "u" das la bas a dc qu Q T S ut xlct ls csats tu asét qu j j ù j st la j-è csat du ctu d la bas xé das la bas a xl j j 3 3 Pu ls tsus sut la ê déach: L j L j Q LQ j Q T LQ j t dc s all L l tsu L "u" das l uau è a L Q T LQ Pu xlct ls csats L j ut fa c ça: L j L j L hk h k j L hk h k j L hk h j k L j L hk h jk Pa xl L L L L 3 3 L L L 3 3 L 3 3 L 3 3 L Ls lats d tasfat ds csats du ctu u du tsu a tat d bas st ds ls fdatals qu caactést ls ctus t ls tsus du duxè d U aut été ds tats st cll d a la alu u ls tats s t u ls s E fat s u st u ctu d la tat Q latf à la alu λ l st csdéat qu Q st auss uta Qu Qu λ u u λ Dc ls alus s d u tat t la égal à as ut c d s cs alus s st élls u agas Tutfs ut sas dut aff qu au s u alu st éll E fat l équat caactéstqu st du ty 3 f λ λ kλ kλ k3 0 ac ls cffcts k éls ac qu Q a csats élls Mas cstat faclt qu l λ ± f λ ± t als a l théè ds zés d u fct ctu élls c l lyô fλ l xst au s u alu λ éll tll qu f λ 0 D allus a tujus qu - 5 -

27 hat dt Q λ λ λ 3 ù ls λ st ls alus s élls u clxs d Q t lus sat déjà qu dt Q ±; a cséqut sult dux st ls cas ssbls : λ st éll t ls dux auts st clxs cjugués λ λ 3 * ; ls ts alus s λ st élls sdés als u tat u laqull dt Q : als u a u détat stf das l cas c-dssus la sul alu éll dt êt st E fat * dt Q λ λλ3 λλ 3λ3 λ[r λ3 λ3] quatté qu st st s t sult s λ st st auss E lus a déjà té qu la d u alu d u tsu tat st t dc état la quatté t cchts l caé d la du b clx λ 3 ll aut c qu ct u a u détat égal à qu λ Das l duxè cas ls ts alus s st st tuts sts st u st t ls dux auts égats ; la cdt qu la d chaqu alu st égal à us aè als à d qu ê das c cas u alu au s st u tuts ls ts c qu lqu Q st édat qu la ê déach alqué à u tsu tat aè à aff qu u tl tsu à tujus au s u alu éll égal à ca das c cas l st dt Q U tat atculè qu a tuts ls alus s égals à st l tsu s u éflx : S st édt qu l fft d S st clu d tasf u bas das u bas qu a ls axs chagés d tat u c qu st la ê chs d chag l sg ds csats d u ctu t dc l tat d l sac c tut tsu tat E fft s a u tat Q ut tujus la décs gâc au théè d Bt u tat lus u éflx: Q SQ ù Q st u tat sdés als u tat t ct l dut ctl t dux ctus u t s df à la sut d l alcat d la tasfat : a ls lats c-dssus la dè équat du aagah écédt t ls fuls d s t tasst d u dut tsl as qu l théè d Bt t ls étés ds tsus thgaux a - 6 -

28 Q u Q SQ u SQ dt S dt Q O s csdè l tasfé d u ctu qulcqu l st Q u SQ u Q u Q u T dt SQ [ SQ ] u T T [ Q S ] u [ Q ] u Q u hat d ù t qu l ctu dut ctl d dux ctus chag as d sg à la sut d u tat c au cta tus ls ctus la sgf qu l dut ctl st ssbl à l éat d éflx ; c st u ça qu u dut ctl à la guu st as u ctu as c qu all sudctu à sgf qu l s ct c tus ls ctus sauf u u tasfat atculè cll d éflx L dut xt s all als sudscala ac qu lu auss chag d sg u ls ês ass à la sut d u éat d éflx su ls ts ctus d allus s s all qu l dut xt équaut au détat d la atc ayat a lgs ls ts ctus u chagt d sg ds ctus taî édatt l chagt d sg du détat auss ls étés du détat aagah 4 Tutfs ls tasfats hysqut ssbls d u cs sld c l sa xlqué au chat 5 st sult ls tats s ; c st u cla qu ctua à tat l ésultat d u dut ctl c u ctu à at tè ac qu csdéa jaas la ssblté d u tasfat d éflx 0 REPERES U bas us t d dtf u ctu d V as lsqu dt é u t d E l faut utls u è: u è R st u sbl fé a u t dt g t ts ctus alqués à c t qu ft u bas thé té stt: R { ; 3 } O aqua dc qu das l cas d u bas ls ts ctus st ds ctus lbs als qu u u è l s agt d ts ctus alqués u l cct d ctu alqué l chat suat U fs u è établ ut fx la st d u t d E a at à c è gâc à ss cdés Tutfs l y a lusus façs d fa cla c st-à-d qu u fs qu u è st fxé ut chs lusus ty d cdés d éag L ty l lus sl t cu d éag st l catés: la st d u t st dété à l ad ds csats du ctu das la bas asscé au è chs; cs csats t l d cdés catéss la fgu 4: 3 U aut ty d éag st l cyldqu: l t st éé a la ρ d la jct du ctu su l la ds ctus t a l agl dt aal qu ctt jct f - 7 -

29 hat 3 3 Fgu 4 ac la dct t a la jct z d su 3 fgu 5 Ls ts cdés cyldqus ρ t z st dc lés aux cdés catéss a ls lats ρ acta z 3 Ls lats ss st édt 3 z ρ cs ρ s Fgu 5 A aqu qu ls cdés cyldqus st bés a ls égaltés suats : ρ 0 0 < π 3 3 ρ z ϕ z Fgu 6 U aut ty d éag st l shéqu: u t st éé a la du ctu a l agl ϕ qu la jct d su l la ds ctus t f ac lgtud t a l agl fé a t 3 clattud la fgu 6 Ls ts cdés shéqus ϕ t st dc lés aux cdés catéss a ls lats - 8 -

30 hat acta acta 3 3 ϕ Ls lats ss st édt cs s s s cs 3 ϕ ϕ Ls cdés shéqus st bés a ls ltats suats: π 0 π 0 0 < ϕ OURBES DE PONTS VETEURS ET TENSEURS St R { ; 3 } u è d E t csdés u t 3 ; s ls ts cdés st ds fcts t ctus su l tall [t t ] d R als l alcat t: [t t ] E st u cub d E La aabl dédat t st l aaèt t l équat d la cub t t t t t t t st dt équat aaétqu f ctull: à chaqu alu d t [t t ] csd E u t d la cub fgu 7 S ls fcts t st d class la cub st dt égulè sth aglas O ut csdé auss l ctu t tl qu t t t; l ctu t t st l ctu st t l équat t t t t t t t st l équat aaétqu f ctll d la ê cub: à chaqu alu d t [t t ] csd V u ctu st qu dét E u t d la cub a l bas d l éat t t fgu 7 L xss t st dt auss cub d ts als qu l xss t st u cub d ctus D la ê faç ut tdu u cub tsll: s ls csats d u tsu das u bas chs st fcts ctus d u aaèt t als l alcat Lt : [t t ] LV déf c

31 hat 3 t t t 3 t t t t t t R Fgu 7 Lt L j t j j 3 st u cub tsll Sut écaqu l aaèt t st l ts d déult d u cta éét; us s das ls chats suats lusus xls d cubs d ts ctus t tsus dt l aaèt st l ts t lu sgfcat écaqu l faut auss aqu qu u cub ut a lusus éstats aaétqus : fat s t st l aaèt chs u ést u cub a xl u cub d ts l équat t τ t [ ] déct la ê cub état τ lé à t a l chagt d aaèt τ τ t DERVEE D UNE OURBE sdés u cub d ts t; déft déé t t d la cub t a at au aaèt t la lt d t t ε t l ; dt ε 0 ε t t la déé d u cub d ts état déf c dfféc d ts st u ctu la fgu 8 D u faç aalgu ut déf la déé d u cub ctll d t t ε t l dt ε 0 ε t tsll dl t dt t t t t l ε 0 L t ε L t ε Ec état défs c dffécs sctt d ctus t d tsus la déé d u ctu st u ctu c la fgu 8 t cll d u tsu u tsu Sut dqu ls déés c d d dl L dt dt dt t s l aaèt t st l ts c - 0 -

32 hat d dt d dl L dt dt 3 t t t t ε t ε Fgu 8 S alqu ls éats d lt aux csats caît édatt qu d dt d dl t t Lj t j dt dt c st-à-d qu la déé d u cub a c csats ls déés ds csats d la cub dé Su la bas d ctt csdéat c st facl d cd ls fuls suats qu gééalst aux cubs ls ègls d déat d u fct d u aabl éll: u u ; α α α u u u ; u u u ; [ α t] [ α t] α t u u u ; L u L u L u ; L M L M L M αt : R R; α t : R R; U cas atcul t tat das ls alcats st clu d u ctu aabl as cstat dul ; das c cas la déé st tujus thgal au ctu dé E fat st t ac t R hchs la déé d la au caé qu st sas dut ull ac qu la st cstat a hythès : 0 dc ls dux ctus st thgaux ; cstat édatt qu l cta st a auss Pu t ut tdu la déé scd d u cub tut slt csdéat qu cll-c st qu la déé è d la cub déé è d la cub dé t as d sut u ls déés d d suéu 3 NTEGRATON D UNE OURBE ABSSSE URVLGNE L tégal d u cub d ctus st déf c l ctu qu a a csats ls - -

33 hat tégals d chaqu csat du ctu dé : b b b b 3 a a a a w t t dt t dt t dt t dt S la cub t st égulè ut gééals l duxè théè fdatal du calcul tégal : S csdè qu t a t dt a a t a t t * t t t l équat c-dssus ut êt ééct c * t a t * dt t a * L tégal d u fct ctll st d u cta faç la gééalsat d la s ctll la fgu 9 3 a a t t t a * dt * t Fgu 9 U faç sl d établ la st d u t t su u cub dé st cll d fx u t qulcqu su la cub t d su la lguu d l ac d cub cs t t t t ; ctt lguu st alé abscss culg st t ut dét qu t * * t dt s t t dt t La lguu ttal d u cub t ac t [a b] sa l t dt b a D la ful d st a t t d d3 > ds d t 0 dt dt dt dt t dc st st u fct cssat ac t ; d la ful écédt t la lguu d u ac * - - *

34 hat ftésal d cub 3 ds d d d ful sut éct c ds dx dy dz Das l cas d u cub la y fx ut tujus s t x c qu d l équat f aaétqu x t t t f t y ft u s l éfè f ctll d ù t t t f t ds dt t f t c qu d la ful d la lguu d u cub la t t x t t x fct d l abscss x: s x f x x t dt 4 LE TREDRE DE FRENET O déft ctu tagt à u cub égulè t l ctu τ déf c t τ t O aqu qu l ctu tagt a tujus cstat t égal à t qu a la déft d déé c ctu st tujus té sl ls alus cssats d t La dt tagt à u cub t a dc équat q t * * t t t τ Pa chagt d aaèt l st tujus ssbl d utls l abscss culg s st c aaèt t dc [st] Das c cas s suat d l xss d s t a t d s ds t d s τ t s t ds dt ds s l aaèt st s a tut slt τ s c st-à-d qu s st déjà u ctu d uta τ a cstat sa déé lu st tujus thgal l aagah st u cla qu all ctu al cal à u cub dé l ctu ν déf c - 3 -

35 hat τ t ν τ t l s agt c d u ctu d uta l faut aqu qu ν st déf sult su ls ts d la cub ù la déé τ t st as ull Das l cas a xl d u dt ν st dc as déf; cla sgf as qu u dt a as u ctu al fft ll a fs as aucu d t ux ut s dstgu d u aut dc aucu ut s d cal O ut dét qu s chag d aaétag d la cub ν chag as s tat als qu τ chag d tat s s l ss d acus d la cub à la sut d u chagt d aaèt L ctu al cal st dc lsqu l xst u caactéstqu tsèqu d la cub als qu l ctu tagt l st as ac qu l déd du aaétag L ctu β déf a l dut ctl β t τ t ν t s all ctu bal; l st édat d éf qu c ctu auss a uta Ls ts ctus tduts c-dssus st édt thgaux dux à dux t d uta ; ut c st édt qu τ ν β t dc {τ ν β} st u bas thé dct é tèd d Ft déf chaqu t d la cub t qu chag ac la st fgu 0 ; c st u cla qu c tèd st alé auss tèd lcal L la τν s all la sculatu l la νβ la al t l la βτ la ctfat β la al la ctfat β ν ν β τ la sculatu ν τ τ Fgu 0 L la sculatu st atculèt tat : s csdè u la qu ass a ts ts qulcqus algés d la cub c la td s l la sculatu lsqu cs ts ts s acht l u à l aut tut stat su la cub E fft ut dét qu l la sculatu u t dé d la cub st l la qu s ach ux à la cub au sag d c t S la cub st la l la sculatu st l la qu ctt la cub O ut auss dét qu l ctu al ν st tujus dgé du cté du la ctfat das lqul s tu la cub u ls cubs las ν st tujus dgé s la ccaté d la cub - 4 -

36 hat 5 OURBURE D UNE OURBE l st tat das lusus cas d u éalu d cb u cub s élg d u lg dt au sag d u t Pu cla calcul l ctu tagt dux ts chs l u d l aut l u à l abscss culg s t l aut à sε t su l agl χs ε qu ls ft la fgu O déft als cubu d la cub s la lt χ s ε c s l ε 0 ε 3 s s sε τs sε τsε χsε τsε τs sε Fgu La cubu st dc u scala stf qu su la adté d aat d dct d la cub a uté d acus su la cub ê ; c st édt qu u u lg dt la cubu st tujus ull Déts qu la cubu st lé à la déé scd d la cub : D allus χ s ε s χ s ε χ s ε c s l l l s ε 0 ε ε 0 ε ε 0 ε s ε τ s ε τ s l l ε 0 ε ε 0 ε τ s dτ[ s t] dτ ds dτ dτ dτ t dt ds dt ds ds t dt s t dc c s dτ τ t τ s t dt t qu st u aut ful d calcul d la cubu O btt u ful c llu s l csdè qu a cséqut dτ ds dτ t dt t d dt t t τ τ τ τ ;

37 hat dτ s c s τ τ ds O s W st u tsu atsyétqu ut dét gâc à la ful WW W w w éct u w τ as qu a la déft d dut ctl qu τ τ τ τ τ t dc falt c 3 ful d usag féqut das ls calculs Pu u cub la t xt yt a utlsat la dè ful x y x y c ; x y 3/ s la cub st xlcté c y fx als chsssat l abscss x c aaèt t tu édatt y c ; y 3/ ctt dè ful t qu la cubu d u cub la st fct d la déé scd d la cub fat a at à l abscss x ; s la déé è st tujus tt d tll st qu uss églg s caé a at à l uté la cubu cïcd ac la alu abslu d la déé scd : c st l hythès fdatal utlsé u l étud d la flx das la thé classqu ds uts Falt aqu qu la cubu st u caactéstqu tsèqu d la cub ac qu ut dét qu ll d d as du aaétag chs 6 FORMULES DE FRENET ET SERRET L tèd d Ft tdut au aagah 4 st u tèd qu a ac l t csdéé su la cub ; ls fuls d Ft t St qu a tu atat dt u décst ds déés lats à l abscss culg d τ ν t β d tll st à a u systè d équats dffétlls qu déct l élut du tèd d Ft l lg d la cub Ds lats τ s ν s τ s t c s τ s - 6 -

38 hat a dτ c s ν s ds qu st la è ful d Ft t St ; ll d la aat du ctu tagt a uté d s : ctt aat st u ctu d égal à la cubu t dgé c l ctu al La duxè ful d la aat d β a uté d s : ctt aat st c u ctu aallèl à ν E fat c β a cstat l st dβ β 0 ds t ut état β thgal à τ d dβ dτ β τ τ β 0 ds ds ds t gâc à la è ful d Ft t St t au fat qu β t ν st thgaux a dβ τ c β ν 0 ds c qu u qu l ctu déé d β a at à s dt êt aallèl à ν O s als dβ ϑ s ν s ds qu st la duxè ful d Ft t St ; ll d la aat du ctu bal a uté d s : ctt aat st u ctu tl au ctu al état ϑ s l factu d talté La fct scala ϑs st é ts d la cub La tsè ful d Ft t St cc la aat d ν a uté d s : dν d β τ dβ dτ τ β ϑ ν τ c β ν ds ds ds ds t dc dν c s τ s ϑ s β s ds qu st la tsè ful d Ft t St : la aat d ν a uté d acus st u ctu du la ctfat 7 PROPRETES DE LA TORSON La ts st u scala qu su la déat d u cub d la laété : s u cub st la ll aatt au la sculatu t l ctu β qu lu st dcula st dc cstat Pa cséqut la déé d β st ull t dc a la duxè ful d Ft t St la ts auss L cta st édt a auss : s la ts d u cub st ull tut t als la cub st la Dc la cdt écssa t suffsat u qu u cub st la st qu sa ts st ull tut t La ts ctat à la cubu qu st tujus st ut êt égat E atcul u fs établ u ss d acus su la cub c st-à-d u fs chs u abscss culg ut dét qu s suat c ss la cub st du la sculatu du côté d - 7 -

39 hat β als la ts st égat ll st st das l cas cta fgu ésultat st aat: ut dét qu l sg d la ts st u caactéstqu tsèqu d la cub t déd as du aaétag chs ν β τ ϑ <0 s ν β τ ϑ >0 la sculatu la sculatu s Fgu As qu u la cubu a u ful d calcul d la ts : ϑ ful qu tu alquat ls fuls d Ft t St à l xss d la déé tsè ; aqu qu als qu la cubu déd d la déé duxè la ts st fct d la déé tsè auss 8 SPHERE OSULATRE ET ERLE OSULATEUR La shè sculatc à u cub u t dé st u shè à laqull la cub td à s adat à adhé lcalt au sag d ; d u t d u athéatqu cla sgf qu s q s st l ct d la shè lat au t s als s s s ε q s q ε O ut dét su la bas d ctt déft qu l ct q s st dété a l équat ρ q s ρν β ϑ t dc l s tu tujus su l la al ; s la cub st la la shè sculatc st as déf La quatté ρ st l ay d cubu d la cub déf c ρ c L ay ρ s d la shè sculatc st dé a ρ ρs qs ρ ϑ L tsct t la shè sculatc t l la sculatu au ê t d u cub st l ccl sculatu ccl a ls étés d a la ê tagt qu la cub au t d ctact t ay égal au ay d cubu D l équat du ct d la shè sculatc t la st du ct q du ccl sculatu : 3-8 -

40 hat q ρν L ccl sculatu st ccl axu d la shè sculatc s t sult s q t q s cïcdt t dc s t sult s ρ c 0 ϑ c ϑ quad la cubu st cstat 9 HAMPS U fct déf su u ég Ω d l sac ucld E st u cha ; atcul : u fct f : Ω R st u cha scala ; u cha scala st dc u fct qu ds ds alus élls su ls ts d Ω ; u xl d cha scala st l cha d téatu ; u fct q : Ω E st u cha ctul ; u cha ctul st dc u fct qu fat csd ds ts d E aux ts d Ω ; u xl d cha ctul st la défat d u cs sld; u fct : Ω V st u cha ctl ; u cha ctl st dc u fct qu fat csd u ctu à chaqu t d Ω ; u xl d cha ctl st l cha ds tsss ds ts d u cs sld; u fct L : Ω LV st u cha tsl ; u cha tsl st dc u fct qu fat csd u tsu à chaqu t d Ω ; u xl d cha tsl st l cha ds tsus d t d u cs sld 30 GRADENT D UN HAMP SALARE A chaqu cha scala f ut assc u cha ctl alé gadt du cha t déf c f f f f 3 ; x x x 3 l gadt st dc l ctu qu a a csats ls déés atlls d la fct fats a at aux cdés d Das l cas d u cha scala ut tujus déf ls sufacs d au du cha : c st ls sufacs ù la fct f st cstat d u alu dé O l gadt a l tat été d êt u ctu qu st thgal aux sufacs d au tut t Ls lgs qu t la dct du ctu gadt tut t st ls lg d flux du cha ; lls st dc thgals aux sufacs d au L gadt t d calcul la aat du cha das u dct qulcqu : s st u ctu d uta als la aat du cha a uté d lguu das la dct st dé a df f d ll-c st la ful d la déé dctll O aqu qu a la lus gad alu d la déé dctll lsqu a la dct du gadt : l gadt st dc l ctu qu - 9 -

41 hat d la dct d aat axal du cha tut t ; la du gadt st la alu d ctt aat L gadt st u ctu qu a u gad tac hysqu : atcul ls chas ctls qu cïcdt ac l gadt d u cha scala t ds étés tats t tat cla dstgu l cas d u fc csat l chat

42 hat VETEURS APPLQUES VETEURS APPLQUES RESULTANTE MOMENT RESULTANT TORSEUR O all ctu alqué u ctu V asscé à u t E t dalcat du ctu ; l sa dqué ac La ésultat R du systè d ctus alqués st l ctu R l faut aqu qu R st as u ctu alqué O dé t latf au t du ctu alqué l ctu alqué M L t st dt auss ôl du t ; l faut aqu qu gâc à la été datsyét du dut ctl ld d léat c-dssus st b déf t ut as ls S l ctu st aallèl au ctu l t st ul : cst l cas du ctu alqué dt la dt dact ass a l ôl Vys atat qull st la lat t ls ts du ê ctu calculés a at à dux ôls dfféts Suss u cla d caît l t M fat a at au ôl ; l but st d calcul l t a at à u aut t Als auss la fgu a M M M ll-c st la ful d chagt d ôl Fgu O t dctt d la ful d chagt d ôl qu s l ctu st aallèl au ctu als M M ; cc lqu qu l t du ctu chag as s fat a at aux ts du dt aallèl au ctu qust u c qu st la ê chs qu l t du ctu a at à u ôl dé chag as s délac l ctu l lg d sa dt dact - 3 -

43 hat L t ésultat latf à u t d ctus alqués st l ctu alqué M déjà fat u u sul ctu ut tu la ful d chagt d ôl u l t ésultat ; la déach st xactt la ê t tu faclt qu M M R Ec s la ésultat R st aallèl au ctu als M M ; as das c cas l faut aqu qu ctt ccstac st éfé auss das l cas du systè à ésultat ull ; dc u ls systès à ésultat ull l calcul du t ésultat st aat a at au chx du ôl U cas atcul t assz tat d systè à ésultat ull st clu du cul : u cul st u systè fé a dux ctus alqués tls qu ; cst dc édat daès sa déft d quu cul a ésultat ull Dc l t ésultat du cul st aat a chagt d ôl t l ést la gadu caactéstqu st u ça qu lsqu al du t du cul t as ldc u dqu l ôl hchs dc l t du cul utlsat c l u t qulcqu fg : M [ ] M d u S all d Fgu [ u u] s u alt déé bas d l als a M s d O all tsu la quatté d atu ctll R t ; M - 3 -

44 hat l faut aqu tutfs quu tsu st as u gadu hgè ayat ss dux csats ds dss dfféts AXE ENTRAL S u systè d ctus alqués a la ésultat R ull ut tu u dt alé ax ctal du systè ds ctus dés tll qu l t ésultat fat a at aux ts d lax st aallèl à R Nus dqus ac l sybl A lax ctal Déts dc lxstc d lax ctal St u t qulcqu d E ; sat calcul l t ésultat a at à O chch u t tl qu M α R α R M R Als s ultl ctllt à dt a R ls dux bs d la ful d chagt d ôl u l t ésultat btt M R M M R [ R R S à la lac du ctu jct la quatté R] R [ R ] R M R R t b qu la cdt st scté cst-à-d btt lat déft dc l t M R La dè M R R qu sct la cdt sé t dc A Mas a déjà u qu l t das c cas M chag as s l calcul a at à ds ts qu aatt à la dt a t qu st aallèl à R Dc A st ctt dt t s équat ctll st M R t R t R R t état l aaèt d léquat A st uqu ; fat sl xstat u aut dt A fct aallèl à A u laqull q A aat M R als gâc à la ful d chagt d ôl auat q M R M R [ q R] R q ; das ctt quatté l b st ul à caus d lhythès fat t l t du duxè b st ul ac qu A R st dcula au ctu R t A st déf sult u ls systès ac R l t stat ut êt ul sult s q cst-à-d s q cïcd ac c qu t à d qu A cïcd ac A Lax ctal a u aut été ; u la t l faut dabd tdu u aac classqu d la écaqu : s ultl scalat a R ls dux bs d la lat d chagt d ôl u l t ésultat tu édatt qu

45 hat R M R M 0 c qu us dt qu la jct su R du t ésultat st dédat du ôl O a u qu s fat a at à u t A l t st aallèl à R cst à d qul a as ds csats thgals à A Mas s chag d ôl t csdè u t qulcqu qu aatt as à A M aua gééal ds csats aallèls t thgals à R Als tu d la dè aac éct qu établ qu la csat du t aallèl à R st aat l ésult qu l t fat a at aux ts d A st l lus tt ssbl Dc A st l lu géétqu ds ôls qu st l t ésultat Su lax ctal ut d c qulqu chs atcul u ls systès u lsquls M R 0 E; cst tat l cas d systès d ctus claas u ds systès d ctus aallèls sdés dabd u systè d ctus claas t st q u ôl qu aatt au la ds ctus t u ôl qulcqu st édat d qu M q R 0; fat chaqu ctu as qu chaqu q aatt au ê la c qu sgf qu l t d chaqu ctu st thgal au la ê; dc auss l t ésultat st dcula à c la R au cta aatt au dt la t dc t t ésultat st thgaux Pa la ful d chagt d ôl M R M R q R R q t caît édatt qu ctt quatté st ull c qu us dt qu M R 0 E Vs atat à u systè d ctus aallèls; s st u ctu uta auqul tus ls ctus st aallèls ut éc α Als s st u t qulcqu d E a qu R M α α Dc R st aallèl t M thgal à c qu d M R 0 E Als u u systè d ctus claas u u u systè d ctus aallèls s A l faut qul st au ê t M R 0 M R La sul ssblté st dc qul st M A E f d cts u u systè d ctus claas u u u systè d ctus aallèls A st l lu ds ôls a at auxquls l t ésultat st ul

46 hat 3 SYSTEMES EQUVALENTS Dux systès d ctus alqués st dts équalts sls t la ê ésultat t l ê t ésultat M latf à u ôl qulcqu Dc dux systès st équalts sls t l ê tsu La lat déqualc déd as du ôl chs; fat M M R ; cst cla als qu s dux systès t ês R t M M sa l ê Su la bas d ctt tat déft a l Théè d éduct ds systès: u systè d ctus alqués st équalt au systè csé a la ésultat alqué u t t a u cul d t M M t ésultat du systè a at à E fat R st a hythès la ê t u l systè équalt ésultat lus cul a M M R t dc état s l cul a t M léqualc st assué théè us dt dc qu tut systè ut êt édut à u ctu alqué t u cul t dc à dux ctus s a l s d chs u cul ac u ds dux ctus qu st alqué au ê t d la ésultat O ut déb qulqus cas atculs: R l systè équaut à u cul; systè d ctus qu asst tus a : l st équalt à R alqué ; M l systè st équalt à R alqué cst l cas tès tat ds systès las u ds systès d ctus aallèls s A l faut f aqu qu léqualc d dux systès st as altéé a l tast du ctu l lg d sa dt dact; fat R M chagt à caus d ça 4 SYSTEMES EQULBRES U systè d ctus alqués st dt équlbé sl a R t M E l faut aqu qu u u systè équlbé c R l ôl a at auqul calcul l t ésultat as as dtac cst-à-d qu s M als l st auss M q q E q Ls affats suats st ds cséqucs d ctt déft : u systè st équlbé s t sult s tut systè équalt lst auss; dux ctus alqués ut séqulb s t sult s ls ft u cul d bas d l ul cst-à-d sls st égaux t sés; u systè la st équlbé s ls ctus asst a u ê t t s R

47 hat 3 NEMATQUE DU PONT 3 TRAJETORE VTESSE ET AELERATON S l csdè u cub d class ² t ll ut êt csdéé c la tajct su a u t duat s ut s l aaèt t st l ts sué à at d l stat ù l ut cc La ê tajct qu st dc l sbl ds ts d E succsst ccués a ut êt ésté a la fct qs ù s st st l abscss culg : t q[st] L ctu tss st déf c la déé tll d la tajct : d ; dt l s agt dc d u ctu tujus té c la tagt à la tajct à chaqu t S t q[st] a a la ègl d déat ds fcts csés d dq ds s τ dt ds dt E s suat qu l ctu τ a uta a qu la d st s alé auss tss scala ; hysqut ll ést la lguu d tajct acuu das l uté d ts L ctu accéléat a st déf c la déé tll d : a sdés c u l xss s τ ; s la dé a at au ts tu dτ ds a s τ s τ sτ s ds dt t a la è ful d Ft t St a s a s τ ν ρ ù ρ st l ay d cubu ; s s s ut ééc la dè ful c a τ ν ρ

48 hat 3 L ctu accéléat st dc tujus ctu das l la sculatu; atcul a a jaas d csats su l ctu bal O aqu qu a st csé d dux ts : τ dt accéléat tagtll c st u ctu tujus tagt à la tajct ; s fft st clu d fa a la tss scala t l st ul s cll-c st cstat ; ν dt accéléat al c st u ctu tujus thgal à la tajct ; s fft ρ st clu d a la dct d la tajct t l st ul s la cubu c/ρ st ull c su u tajct ctlg l faut aqu qu ²/ρ st tujus stf t dc l accéléat al st tujus té c ν dc du côté du la ctfat qu ctt la cub u ls cubs las s la ccaté d la cub E lus ²/ρ st la jct d a su ν t dc a la stté d ²/ρ a f tujus u agl agu ac ν 3 VTESSE SALARE ET ABSSSE URVLGNE O aat u qu l abscss culg s st dé a t s t t dt ; 0 s l aaèt t st l ts st d la dstac acuu su la cub t t t t La das l tégal c-dssus st als la tss scala t dc t 0 s t t dt c qu sgf qu la dstac acuu à at d l stat tal st l tégal d la tss scala 33 OURBURE VTESSE ET AELERATON O aat u qu la cubu d u cub st dé a la ful gééal c 3 Als s t st l ts t t t t t t a t ; dc a c 3 tt ful t lat la cubu ac la tss t l accéléat au ê t

49 hat 3 34 MOUVEMENT EN OORDONNEES SPHERQUES Pafs l st utl d éc l équat d la tajct cdés shéqus: s t t t 3 t 3 st l équat d la tajct cdés catéss a ls lats gééals t cllsc t ls cdés shéqus fgu 3 a t t csϕ t s t t t sϕ t s t t t cs t 3 0 ϕ t < π t 0 0 t π t t [csϕ t s t sϕ t s t cs t ] 3 3 ϕ ϕ Fgu 3 Tutfs sut l aut ux éc ls ctus das u aut bas la bas lcal shéqu: { t ϕ t t} Ls ts ctus d ctt bas qu l sulg st lcal t dc s tasf ac l chagt d st du t st détés d la faç suat t la dédac du ts u slf l éctu as ctt dédac st tujus sustdu: ϕ csϕ s d dϕ d dϕ sϕ ϕ sϕ s csϕ d csϕ cs d ; cs 3 ; sϕ cs s O ut asét éf qu ls ts ctus as défs ft ffctt u bas thé té stt; ut l ctu ϕ st tujus thgal à 3 L tsu tat qu tasf la bas { 3 } das la bas lcal { ϕ } st dc csϕ s sϕ csϕ cs Q sϕ s csϕ sϕ cs cs 0 s Das la bas lcal la st du t st dé à chaqu stat a 3

50 hat t t t ; calculs dc ls ctus tss t accéléat das la bas lcal: D allus s s s s cs cs s s 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c s c t dc ϕ ϕ s ; la tss scala sa dc s ϕ Pu l accéléat a ; s cs s s ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a d allus s cs cs cs s cs s s s cs 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c s t dc l xss d a dt ; cs s cs s s s ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a Das l cas atcul ù u t s délac su u shè d ay 0 ls xsss d tss t accéléat s slft t dt s 0 ϕ ϕ ; s 0 ϕ ; ] cs s cs s s [ 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a O aqu qu das c cas tss t accéléat st tlls au ay 0 d la shè 35 MOUVEMENT PLAN EN OORDONNEES POLARES sdés à ést l cas ù l t s délac su u la st l la z 0 Ls équats du ut cdés shéqus s slft ac qu das c cas atcul l st cstat π/ t dc sult cs 0 t s as auss

51 hat Ls cdés shéqus t als l d cdés las L équat d la tajct cdés las st dc [ csϕ t sϕ t ] t t als qu l équat d la ê cub das la bas lcal bl chag édt as L xss d la tss cdés las dt as ϕ ϕ cll d la tss scala ϕ t cll d l accéléat a ϕ ϕ ϕ Ls csats d t d a su t ϕ st alés sctt csat adal t tassal d t a à as cfd ac ls csats al t tagtll Das u ut l accéléat st dgé tujus s l t fx g du è s sa csat tassal st cstat ull dc sult s ϕ ϕ 0 Das u tl cas l ut st dt ctal; aqu qu la cdt c-dssus st dtqu à la suat d dϕ dϕ ϕ ϕ 0 cstat dt dt dt tt cdt a u sgfcat hysqu b écs qu a das l chat 7 ls d l étud dyaqu ds uts ctaux ϕ 36 MOUVEMENT EN OORDONNEES YLNDRQUES a fat u l cas ds cdés shéqus ut éc l équat d la tajct cdés cyldqus: s t t t 3 t 3 st l équat d la tajct cdés catéss a ls lats gééals t cllsc t ls cdés cyldqus fgu 3 a t ρ t cs t t ρ t s t t z t 3 ρ t 0 t 0 0 t < π [ cs t s t ] z t 3 t ρ t u l cas shéqu sut l aut ux éc ls ctus das la bas lcal

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