Exercices corrigés de physique, IUT génie biologique, première année. Serge Mora

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1 Exercices corrigés physique, IUT génie biologique, première année Serge Mora 4 août 0

2 Table s matières Analyse dimensionnelle 3. Ordres granur Systèmes d unités Décroissance exponentielle Chute d une bille Ressort Réfraction 8. Spectre s ons électromagétiques Loi la réfraction Prisme Utilisation la loi Descartes Reflexion totale Fibre optique Indice d un liqui Formation d images 6 3. Formule conjugaison et construction graphique Image virtuelle Lentille plan-convexe Utilisation s formules conjugaison et grandissement Doublet lentilles Microscope Radioactivité 4 4. Atomes Décroissance radioactive d une source plutonium Décroissance radioactive Production et désintégration du technetium 99m T c Pério physique et pério biologique Dispersion s photons dans l espace Hydrostatique 3 5. Pressions océaniques Poussée d Archimè Pression artérielle Ballon météorologique Ludion Barrage

3 TABLE DES MATIÈRES 6 Tension superficielle Traction d une barre rectiligne Loi Jurin Flottabilité Arrachement d un anneau : métho Wilhelmy mesure la tension surface Fluis parfaits Conservation du débit Flui dans une canalisation Etu d un siphon Vidange d un réservoir Ecoulements visqueux Ecoulement dans une seringue Transfusion sanguine Vidange d un réservoir Viscosimètre capillaire vertical Vases communiquants Gaz parfaits Masse volumique d un gaz Masse dioxygène dans une bouteille Bulle d oxygène Variation la masse d air sous une serre Evolution d un gaz parfait dans un cylindre Atmosphère isotherme Premier principe la thermodynamique Gaz parfait Paroi mobile entre gaz parfaits Mélange gaz parfaits Respiration Gaz van r Waals Détente gaz réels Compression d un gaz parfait A Formulaire (mathématiques) 7 A. Logarithme et exponentielle A. Trigonométrie A.3 Surfaces et volumes A.4 Dérivée A.5 Intégrales

4 Chapitre Analyse dimensionnelle. Ordres granur ) Le kilogramme étalon est réalisé en platine sous la forme d un cylindre droit, à base circulaire, ) Il faut environ 8 minutes à la lumière pour se propager du Soleil jusqu à la Terre. Quelle est la distance approximative Terre-Soleil? dont le diamètre est égal à la hauteur. Quelle est cette hauteur sachant que la masse volumique ρ P t du platine est, 4 g.cm 3? 3) Sachant que la Terre compte environ 6 milliards d habitants que son rayon est 6400 km et que les océans occupent les /3 la surface terrestre, calculer l aire disponible par habitant sur les continents. Quelle est la nsité moyenne population? 4) Calculer le volume moyen occupé par une molécule H O dans l eau, à 98 K et à la pression atmosphérique. En déduire la distance moyenne entre molécules (masse molaire l eau : M = 8 g.mol, nombre d Avogadro : N A = 6, mol ). ) distance = vitesse temps = (8 60) 3, 4 0 m ) La masse volumiqe du cuivre vaut, 4 g cm 3 =, 4 (0 3 kg) (0 m) 3 =, kg.m 3. V olume d un cylindre = (Surface la base) (hauteur) V olume = π Soit M la masse du cylindre (M = kg). On a : ( ) h h = πh3 4. ρ = Masse V olume ρ = M πh 3 4 h 3 = 4M πρ h = ( 4M πρ ) 3 = ( 4 π, ) /3 0, 039 m = 3, 9 cm. 3) La surface totale disponible est égale aux ux tiers la surface la sphère = 3 4πR = 4π 3 ( ) 3, m. La surface disponible par habitant est donc : s = surface totale disponible nombre d habitants La nsité est le nombre d habitant par m : = 3, m. d = nombre d habitants surface totale disponible, habitants m. 3

5 CHAPITRE. ANALYSE DIMENSIONNELLE 4 4) On considère un volume v d eau. Soit m sa masse. On note M H O la masse molaire l eau, et N A le nombre d Avogadro. Dans la masse m, il y a N = N A molécules d eau.on en déduit que le volume occupé par une m M H 0 molécule vaut : V H 0 = v N = vm H 0. mn A En prenant V = m 3, alors m = 0 3 kg. On trouve : V H 0 = m 3. a a a En supposant que les molécules d eau sont sur un réseau carré (ce qui n est pas la réalité, mais ce qui est une hypothèse raisonnable pour calculer un ordre granur), chaque molécule occupe un volume a 3, où a est la longueur l arrête d un carré. Donc : V H 0 a 3 a = V /3 H 0 = ( m 3) 3, 0 0 m.. Systèmes d unités On note [X] la dimension physique la granur X. On l exprime dans la base L, M, T, I, θ (longueur, masse, temps, intensité et température). Ainsi, pour une vitesse v : [v] = L.T. ) Quelles sont les unités dans le système international s granurs la base L, M, T, I, θ? Donner la dimension et l unité : d une force, d une puissance, d une pression, d une charge électrique. ) Montrer que les unités suivantes corresponnt à une seule dimension : N.m, kw.h, e.v, g.cm.s. Par quels facteurs numériques passe-t-on l un à l autre? 3) Quelle est la dimension d un angle α? Pourquoi dit-on que l unité naturelle d un angle est le radian? Comparer la dimension et l unité d une fréquence ν et la pulsation associée ω = πν. 4) A l ai d arguments dimensionnels, discuter la validité s égalités suivantes et proposer une La distance entre ux molécules d eau est donc l ordre 0, 3 nm. écriture correcte : x = (l d)/d, où les trois granurs sont s distances. x = x 0 exp( t/τ), où t et τ sont s temps. E = mv F, où E est une énergie, v une vitesse, m une masse et l une longueur et F une force. l v = g cos[ω(t + π )], où l est une longueur, g l accélération la pesanteur et ω une pulsation. l 4 ) Unité L : m (mètre) ; unité M : kg (kilogramme) ; unité T : s (secon) ; unité I : A (ampère) ; unité θ : K (Kelvin). [force] = [masse] [acceleration] = M L T [puissance] = [energie] [temps] = [masse] [vitesse] [temps] = M L T T = M L T 3

6 CHAPITRE. ANALYSE DIMENSIONNELLE 5 [pression] = [force]/[surface] = M L T L = M L T [charge] = [intensit] [temps] = I T. ) [N.m] = [force] [longueur] = (M L T ) L = M L T. [kw.h] = [puissance] [temps] = (M L T 3 ) T = M L T. puissance { }} { [e.v ] = [charge] [tension] = [charge] [ tension intensite] [intensite] = [charge] [puissance] [intensite] = (I T ) (M L T 3 ) I = M L T [g.cm.s ] = [masse] [longueur] [temps] = M L T. N.m = kg m s kw.h = W.s = 3, kg m s e.v =, C.V =, kg m s g.cm.s = kg m s = 0 7 kg m s 3) L angle α est le rapport entre la longueur l arc cercle correspondant à l angle α, et su rayon du cercle. DOnc : [α] = L L =. Un angle n a donc pas dimension. Le rapport entre la longueur l arc et le rayon n a donc pas d unité. Cependant, si la longueur l arc est égale au rayon, on appelle cette angle un radian. Si ce rapport vaut, par exemple /, l angle est ux fois plus petit qu un radian, on dit donc que l angle vaut 0, 5 radian. En conclusion, en faisant le rapport, on obtient directement le nombre d angle un radian contenu dans cet angle. [ω] = [πν] = [π] [ν]. π étant la valeur d un angle (en radian), π n a pas dimension. Donc : [ω] = [ν]. L unité ω est l untié ν multipliée par l unité π. 4) x = (l d)/d est faux car on ne peut pas ajouter une granur ayant s dimensions différentes ([l ] = L et [d] = L). Une écriture correcte serait plutôt : x = (l d )/d (le membre droite a alors la même dimension que le membre gauche). x = x 0 exp( t/τ) est possible : l argument l exponentielle est bien sans dimension, et le membre gauche a la même dimension que le membre droite. E = mv F est faux car [ mv ] = M L T et [ F ] = M T. Une écriture correcte serait plutôt : l l E = mv F l. Tous les termes ont alors la dimension d une énergie. v = g cos[ω(t + π )] est faux : on ajoute au temps une granur que n a pas la dimension d un temps, l 4 et la dimension du membre droite n est pas la même que celle du membre gauche. Une écriture correcte serait par exemple : v = g l cos[ωt + π 4 ].

7 CHAPITRE. ANALYSE DIMENSIONNELLE 6.3 Décroissance exponentielle La concentration d un médicament introduit dans le sang à l instant t = 0 varie suivant la loi : C(t) = C 0 e λt ) Vous disposez d un certain nombre mesures expérimentales, c est-à-dire couples valeurs (t i, C(t i )). Quelle est la meilleure façon représenter graphiquement les points pour montrer que vos points obéissent à cette loi et extraire du graphe la valeur λ? ) Si t est exprimé en heures, quelle est l unité λ? Calculer la constante temps du phénomène sachant que λ = h. ) C(t) = C 0 e λt ln (C(t)) = ln ( C 0 e λt) = ln(c 0 ) + ln ( e λt) = ln C 0 λt. Si on trace ln(c(t)) en fonction du temps, on obtient un droite d ordonnée à l origine ln C 0 et pente λ. ) L argument l exponentielle étant sans dimension, [λ] = T. Si t est exprimé en heure, il faut que λ soit exprimée en h. Si λ = h, le temps caractéristique du phénomène est /( h ) = 0, 5 h..4 Chute d une bille Dans un flui, une bille rayon r animée d une vitesse v est soumise à une force frottement donnée par F = 6πηrv, où η est la viscosité du flui. ) Quelle est la dimension η? ) Lorsque la bille est lâchée sans vitesse initiale à l instant t = 0, sa vitesse s écrit pour t > 0 : v = )), où a et b sont ux granurs qui dépennt s caractéristiques du flui. Quelles sont les dimensions a et b? 3) Si ρ désigne la masse volumique du flui, trouver une combinaison simple Re = ρ α v β r γ η δ qui soit sans dimension (parmi les différents choix possibles on prendra α = ). On obtient ainsi le nombre Reynolds qui permet caractériser le régime d écoulement d un flui (laminaire ou turbulent). a( exp( t b ) F = 6πηrv η = F 6πrv [η] = [F ] [r][v] = [masse] [acceleration] [r][v] = M (L T ) L (L T ) = M L T. ) L argument l exponentielle est sans dimension donc [b] = T. Le membre droite a la dimension d une vitesse donc [a] = L T. 3) Re = ρ α v β r γ η δ [Re] = [ρ] α [v] β [r] γ [η] δ = ( M L 3) α ( L T ) β L γ ( M L T ) δ [Re] = M α+δ L 3α+β+γ δ T β δ Re étant sans dimension (d après l énoncé), en prenant α =, on en déduit : + δ = β + γ δ = 0 β δ = 0 δ = β = γ = En conclusion : Re = ρvr/η.

8 CHAPITRE. ANALYSE DIMENSIONNELLE 7.5 Ressort Une masse m oscille à l extrémité d un ressort horizontal constante raiur k avec une amplitu X 0. En admettant que sa pério T ne dépen que m, k et X 0, déterminer l expression littérale T. On suppose que la pério T est la forme T = C m a k b X0 c où C est une constante sans dimension. On a donc : d où : [T ] = [m] a [k] b [X 0 ] c = M a ( [force] [longueur] ) b L c = M a M b L b T b L b L c a + b = 0 T = M a+b L c T b c = 0 b = b = a = c = 0 La pério s exprime donc sous la forme : T = C m / k / = C m/k.

9 Chapitre Réfraction données - vitesse la lumière dans le vi : c m.s, constante Planck : h 6, J.s, longueur d on du rouge : λ R 750 nm, longueur d on du violet : λ v 400 nm. Spectre s ons électromagétiques Compléter le tableau ci-ssous : λ 0 (nm) f (Hz) ω (rad.s ) On utilise les relations : Energie (J) Domaine Rayon x Ultra-violet λ 0 f = c = m s ω = πf et Energie = h f avec h = 6, J.s λ 0 (nm) f (Hz), 5 0 6, , , ω (rad.s ) 9, , , 4 0 5, 0 5, Energie (J) 9, , 6 0 9, 3 0 9, Domaine Rayon x Ultra-violet visible infra-rouge infra-rouge. Loi la réfraction Une particule passe du point M (coordonnées x, y ) situé dans le milieu au point M (coordonnées x, y ) situé dans le milieu. Sa trajectoire est une ligne droite dans chaque milieu. La vitesse la particule vaut v dans le milieu et v dans le milieu. On appelle M (coordonnées x, 0) le point passage la particule entre les milieux et (voir figure ci-ssous, à gauche). 8

10 CHAPITRE. RÉFRACTION 9 M y M i O M M x ) Calculer (en fonction x, y, x et v ) le temps t mis par la particule pour aller du point M au point M. ) Calculer (en fonction x, y, x et v ) le temps t mis par la particule pour aller du point M au point M. 3) En déduire (en fonction x, y, x, y, x, v et v ) le temps t mis par la particule pour aller du point M au point M. 4) Etablir (en fonction x, y, x, y, v et v ) une équation portant sur x telle que le temps t soit le plus petit possible. 5) On appelle i l angle entre M M et la verticale, et i l angle entre MM et la verticale (voir la figure ci-ssus, à droite). Exprimer sin(i ) en fonction x, y et x, puis sin(i ) en fonction x, y et x. 6) En déduire que sin i v = sin i v. 7) Faire le lien avec la loi Descartes (n sin i = n sin i ). ) M M = ) Rappel : si f(x) = Ceci est une èquation dont l inconnue est x. Pour la valeur x solution cette équation, le temps parcourt t est minimum. M (x x ) + y t = distance vitesse = i M (x x ) + y v (x x M M = (x x ) + y ) + y t = v 3) t = t + t donc : (x x ) + y (x x ) + y t = + v v 4) t vient infini lorsque x = ±. Il passe par un minimum pour une certaine valeur x. Cette valeur x est telle que dt/dx = 0. Donc, g(x) alors f (x) = g (x)/( g(x)). En utilisant cette formule : dt dx = (x x ) + (x x ) v (x x ) + y v (x x ) + y dt dx = 0 (x x ) = (x x) v (x x ) + y v (x x ) + y 5) côté opposé sinus = hypothénuse = x x v (x x ) + y = x x. v (x x ) + y

11 CHAPITRE. RÉFRACTION 0 x x vitesse v j M i M x x vitesse v x i i x x M sin(i ) = x x (x x ) + y 6) D aprés les résultats s question 4 et 5, on déduit que : et sin(i ) = x x (x x) + y sin(i ) v = sin(i ) v. 7) Si les particules sont s photons, alors leur vitesse est reliée à l indice réfraction : vitesse = c/n. Donc = n v c et = n v c. Donc : n sin i = sin i sin i v v c = sin i n c n sin i = n sin i Ceci montre que la loi Descartes est une conséquence ce que, pour aller d un point à un autre, la lumière choisit le chemin qui lui prend le moins temps possible..3 Prisme Le tableau ci-ssous donne les valeurs s indices réfraction, pour quelques substances, et pour les ux couleurs extrêmes du spectre visible. Ces valeurs montrent que l on peut en général négliger la variation l indice l air, vant celles du verre ou l eau. n Air Verre Eau Violet,00078,680,3435 Rouge,00076,596,33 Un rayon lumière blanche arrive sur la face d un prisme isocèle, avec un angle d incince i = 60 o. Le prisme est taillé dans du verre ordinaire. Reproduire le prisme avec une base 5 cm. Tracer soigneusement la marche ce rayon lumineux dans le prisme, avec l hypothèse qu il s agit lumière violette, puis lumière rouge. Les données nécessaires sont regroupées dans le tableau ci-ssus. Conclure quant au comportement d un faisceau lumière blanche, et retrouver les positions relatives s bans violettes et rouge sur l écran d observation, telles que constaté lors l expérience décomposition la lumière blanche par un prisme, dite expérience Newton.

12 CHAPITRE. RÉFRACTION On traite d abord le cas du rayon violet. Première réfraction à l entrée du prisme : sin i = n sin i sin i = ( ) sin(60) n sin i i = sin = 3, 03 o, 68 Pour calculer l angle d incince i la uxième refraction (sortie du prisme), on écrit que la somme s angles d un triangle vaut 80 o. L angle i sortie vérifie : 60 + (90 i ) + (90 i ) = 80 i = 60 i = 8, 97 o. n sin i = sin i i = sin (, 68 sin(8, 97)) 54, 46 o. Pour le rayon rouge, on trouve même : i = 3, 86 o, i = 7, 4 o, i = 46, 7 o i i 54,46.4 Utilisation la loi Descartes Une substance inconnue possè un angle critique α = 4 o lorsque le uxième milieu est l eau. Sachant qu un faisceau lumineux provenant cette substance possè un angle d incince i = 8 o, quel sera l angle réfraction dans l eau? On note n inc l indice réfraction la substance inconnue. L angle critique lorsque le uxième milieu est l eau étant α, on en déduit que : n inc sin(α) = n eau = { }} { sin(90) = n eau n inc = n eau sin(α). En appliquant la loi Descartes lorsque l angle d incince est i, on obtient, en notant i l angle réfraction : n inc sin(i ) = n eau sin(i ) sin(i ) = n inc sin(i ) = n eau n eau sin(α) ( ) ( ) i = sin sin(i ) sin(8) = sin 44, 6 o. sin(α) sin(4) sin(i ) = sin(i ) n eau sin(α).

13 CHAPITRE. RÉFRACTION.5 Reflexion totale On fixe une tige longueur L au centre d un disque en liège rayon R et perpendiculairement au disque (figure ci-ssous). On le place à l envers (tige en bas) à la surface l eau. Exprimer (en fonction R et n eau, l indice l eau) la longueur maximale la tige pour que cette rnière ne soit jamais visible l extérieur l eau. Application numérique : calculer le rapport L/R maximal en prenant n eau =, 33. Les rayons issus la tige qui ne sont pas arrétés par le disque sont s rayons faisant avec la vertical un angle supérieur à α = sin (R/ L + R ). L α R L rayon emergent reflexion totale R La tige ne sera pas visible puis la surface si pour tous ces rayons (ayant un angle d incince supérieur à α), il y a réflexion totale (donc pas rayon réfracté). Soit i l angle d incince d un rayon. Il y a réflexion totale lorsque : n eau sin i > sin i > Donc, pour que la tige ne soit pas visible, il faut que : sin α > n eau sin (sin ( )) R > L + R n eau Application numérique : n eau R L + R > n eau ( L R On en déduit que la longueur maximale L max la tige pour qu elle ne soit pas visible est : L max = R n eau. L max R =, 33 = 0, 88. La longueur la tige ne doit pas excér 88% du rayon du disque. ) ( ) L + < n eau < n R

14 CHAPITRE. RÉFRACTION 3.6 Fibre optique ) On considère une fibre optique constituée par un cylindre centrale (le cœur) d indice n et d une gaine cylindrique d indice n < n. Montrer que tout rayon situé dans un plan méridien la fibre et faisant un angle θ avec l axe reste prisonnier la fibre si θ < β où est β un angle que l on exprimera en fonction n et n. ) Soit L la longueur la fibre et c la vitesse la lumière dans le vi ; calculer la différence temps mis par le rayon mettant le moins temps pour parcourir la fibre et celui mettant le plus temps. 3) Application numérique : n =.6, n =, c = m/s et pour L prendre successivement L = m, 00 m et 0 km. ) D après la formule Descartes, l angle α que fait le rayon réfracté avec la perpendiculaire à la surface la fibre vérifie : : =cos θ { ( }} ){ π n sin θ = n sin(α) sin α = n cos θ n θ π/ θ α n n Pour que le faisceau reste prisonnier dans la fibre, il ne faut pas qu il y ait rayon réfracté. Le faisceau réfracé existe si sin α <. Donc, pour qu il n existe pas, il faut que : n n cos θ > cos θ > n n θ < =β { }} ){ cos ( n n (on a inversé le sens l inégalité car la fonction cos est décroissante). En conclusion, pour que le faisceau reste prisonnier dans la fibre, il faut que l angle θ soit inférieur à : ( ) β = cos n. ) θ L n θ θ θ θ d d d 3 d 4 d 5

15 CHAPITRE. RÉFRACTION 4 D après la figure ci-ssus, la distance D parcourue par le rayon est : D = d cos θ + d cos θ + d 3 cos θ + d 4 cos θ + d 5 cos θ + = cos θ (d + d + d 3 + d 4 + d 5 + ) = Le temps mis par ce rayon dans la fibre vaut donc t = D = c/n n L c cos θ. L cos θ. Le temps le plus court correspond à cos θ le plus grand. Puisque 0 < θ < β, cela correspond à cos θ = (θ = 0). Donc : t min = n L c. Le temps le plus long correspond à la valeur la plus petite pour cos θ, c est-à-dire à cos θ = cos β = n /n. Donc : La différence temps vaut donc : t max = n L c t max t min = n L c Remarque : si on envoie un flash durée δt dans la fibre, la durée du flash en sortie sera δt+t max t min. Ce flash s est donc étalé dans le temps. Pour que ux flash ne se superposent pas en sortie, il faut donc qu ils soit espacés d une durée supérieure à t max t min. Ce qui montre que le flux d information transmis par un fibre est nécessairement limité. 3) Application numérique : Un faisceau laser placé en S traverse une cuve transparente remplie d un liqui d indice n, avant frapper un écran en S. Dans cette cuve, on plonge une petite cuve faite d un verre d indice n > n, les faces cette petite cuve sont parallèles et très étroites. Elles délimitent un volume d air dont l indice sera pris égal à. Les faces la petite cuve étant primitivement perpendiculaires à l axe SS, on fait tourner cette petite cuve d un angle θ dans un sens ou dans l autre, autour d un axe perpendiculaire au plan la figure. On constate que l image S disparaît pour θ > θ 0. Expliquer ce phénomène, et montrer que la mesure θ 0 permet déterminer n. n n. ). n ( n Si L = m, t max t min =, 6 (, 6 ) 3, 0 9 s Si L = 00 m, t max t min = 00, 6 (, 6 ) 3, 0 7 s Si L = 0 4 m, t max t min = 04, 6 (, 6 ) 3, 0 5 s Indice d un liqui Cela vient l existence l angle critique réflexion totale : pour arriver dans le cube rempli d air, le rayon passe d un milieu d indice plus élevé vers un milieu d indice plus faible. indice n θ Laser S S θ Ecran indice n

16 CHAPITRE. RÉFRACTION 5 L angle d incince du faisceau sur la surface liqui/verre vaut θ. Il pénètre dans le verre avec l angle α (par rapport à la perpendiculaire à la surface). D après la loi Descartes : n sin θ = n sin α sin α = n sin θ. n Le faisceau pénètre ensuite dans l air, en faisant un angle β avec la perpendiculaire. D après la loi Descartes : {}}{ n air sin β = n sin α sin β = n n sin θ = n sin θ. n Puisque sin α doit être inférieur à, pour que le faisceau pénètre dans l air, il faut que n sin θ < θ < sin (n). Ensuite, le faisceau pénètre à nouveau dans le verre, puis dans le liqui. Il passe alors toujours vers un milieu d indice plus grand, ce qui fait que le rayon réfracté existe toujours. En conclusion : θ 0 < sin (n).

17 Chapitre 3 Formation d images 3. Formule conjugaison et construction graphique h =, 0 cm et situé à d = 6, 0 cm la lentille. ) Rappeler les conditions Gauss relatives à une lentille. ) A l ai d une lentille convergente vergence C = +5 δ, on observe un objet hauteur a) Par application la formule conjugaison, déterminer la position l image, sa taille et comparer son sens par rapport à celui l objet. b) Retrouver ces résultats à l ai d une construction graphique à l échelle. Comparer l image obtenue à l objet observé (grandissement et sens). L image est-elle réelle? Pourquoi? ) Condition Gauss : tous les rayons lumineux pénétrant dans les lentilles sont peu inclinés sur l axe principal et restent au voisinage cette axe. a) La vergence vaut C = 5 δ, la distance focale image la lentille vaut donc f = /5 = 0, 04 = 4 cm. Par application la formule conjugaison : OA OA = = OF OA OA + OF L objet étant situé à 6 cm à droite la lentille, OA = 6 cm. La distance focale vaut 4 cm donc OF = 4 cm. Donc : OA = = OA = cm. L image est donc située à cm à droite la lentille. Pour connaître la taille l image, utilise : A B AB = OA OA A B = AB OA OA On suppose AB > 0 (objet vers le haut) : AB = cm. On trouve : A B = 6 L image est donc inversée et taille cm. 6 = cm.

18 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES 7 b) Le schéma ci-ssous est fait à l échelle /. Pour trouver la position et la taille l image, on trace un premier rayon issu du point B et partant parallèlement à l axe optique. Le rayon émergeant coupe l axe optique en F. On trace ensuite le rayon issu B et pasant par le point 0 (centre optique). Ce rayon n est pas dévié par la lentille et coupe le premier au point B. B A A F O F 3. Image virtuelle A l ai d une lentille convergente vergence C = +0 δ, on observe un objet hauteur h =, 0 cm et situé à d = 3, 0 cm la lentille. ) Par application la formule conjugaison, déterminer la position l image, sa taille et son sens. ) Retrouver ce résultat à l ai d une construction graphique à l échelle. 3) L image est-elle réelle? Pourquoi? 4) Dans ces conditions, la lentille constitue une loupe : expliquer pourquoi. ) C = +0 δ f = /0 = 0, 05 m = 5 cm. OA OA = = OF OA OA + = OF = 5. Donc, OA = 7, 5 cm. L image est donc située à 7, 5 cm à gauche la lentille. A B AB = OA OA A B = AB OA OA = 7, 5 3 L image est donc orienté vers le haut et mesure, 5 cm. B =, 5 cm. ) Le schéma ci-ssous est fait à l échelle /. Pour trouver la position et la taille l image, on trace un premier rayon issu du point B et partant parallèlement à l axe optique. Le rayon émergeant coupe l axe optique en F. On trace ensuite le rayon issu B et pasant par le point 0 (centre optique). Ce rayon n est pas dévié par la lentille. Il ne coupe pas le premier rayon ssiné. Cependant, en prolongeant le premier vers la gauche, on trouve, à l intersection, le point B.

19 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES 8 B F A 3) Les rayons émergeants la lentille ne se coupent pas. Il n y a pas moyen d observer l image sur un écran (un écran est éclairé par les photons qui arrivent et convergent pour former l image. Ici, il n y a pa photons qui convergent pour former une image). Par contre, un œil situé à droite la lentille et obervant du côté la lentille va recevoir s rayons lumineux. Ces rniers sont (pour l œil) intiques à s rayons qui viendraient du point B : l œil a donc l impression voir s rayons venant d un objet situé en B. Alors que cet objet n existe pas. C est la raison pour laquelle A B est une image virtuelle. 4) L image A B est agrandie : la lentille fonctionne comme une loupe. 3.3 Lentille plan-convexe Une lentille plan-convexe est un bloc verre d indice n (placé dans l air d indice ), limité par une face plane et une face sphérique rayon R et centre C. Elle reçoit sur sa face plane un rayon lumineux parallèle à une distance h l axe optique (figure ci-ssous). ) Rappeler la loi Descartes sur la réfraction. ) Pourquoi le rayon n est-il pas dévié à la traversée la surface plane? 3) On suppose que les angle i et r sont suffisamment faible pour que leurs sinus et tangente soient C F B A O peu différents l angle exrimé en radian. Montrer que i = h/r. En déduire l expression r en fonction h, R et n. rayon R h i a O F 4) Calculer l angle a en fonction h, R et n. 5) En supposant que la lentille est mince, déduire la question 4) l expression la distance focale f la lentille, en fonction R et n. 6) Que vaut f lorsque n? Est-ce normal? 7) Déduire la question 5) que la lentille est d autant plus convergente que le rayon est petit et que l indice n est grand. r

20 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES 9 ) n sin i = n sin i, où i est l angle que fait le rayon lumineux incint (milieu d indice n ) avec la normale du plan se séparation, et i l angle que fait le rayon refracté (milieu d indice n ) avec cette même normale. ) L angle d incince est i = 0, donc sin i = 0 et donc, d aprés la loi Descartes, sin i = 0, ce qui implique i = 0. i = i = 0 : le rayon n est pas dévié. 3) sinus = (côté opposé) / (Hypoténuse) sin i = h/r. i étant petit, sin i i et donc i = h/r. Loi Descartes n sin i = sin r n i = r. En conclusion : r = nh R. 4) Il apparaît, d après la figure ci-ssous, que a = r i. C i O i r r i a Or, r = nh R nh et i = h/r donc a = h/r. En conclusion : R a = h R (n ). 5) Le foyer image est le point où convergent les rayons incints parallèles à l axe optique. En considérant le triangle formé par O,F et le point où le rayon émergent sort la lentille, on obtient h = tan(a) a, car vu que la lentille est mince, on peut assimiler le point 0 à l intersection la OF verticale du point où le rayon émerge avec l axe optique. Donc : OF = h a = h R h (n ) = R n. OF est indépendant h, donc tous les rayons incints parallèles à l axe optique (quelle que soit leur hauteur h) convergent en F. La distance focale vaut donc : f = R n. 6) n = f = R =. Cela était prévisible : si n =, la lentille n existe pas, et donc les rayons incints parallèles entre eux se coupent... à l infini. 7) Une lentille est d autant plus convergente que sa distance focale est petite (ou que sa vergence, C = /f, est gran). D après la relation f = R, on constate que plus R est petit, plus f est petit (plus C n est grand). De même, plus n est grand, plus f est petit (plus C est grand).

21 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES Utilisation s formules conjugaison et grandissement On observe sur un écran l image d un objet perpendiculaire à l axe optique, dimension cm. L objet est situé à 5 cm vant la lentille et l écran est placé à 30 cm celle-ci. ) En utilisant la formule conjugaison, calculer la distance focale la lentille. En déduire sa vergence. ) Calculer la taille l image. 3) On rapproche l objet précént la lentille : l image est maintenant droite et trois fois plus gran que l objet. Donner la valeur du grandissement transversal du montage, et en déduire une relation entre les granurs algébriques OA et OA. 4) En utilisant la formule conjugaison s lentilles minces, exprimer OA en fonction la distance focale la lentille. Faire l application numérique. 5) Où est placé l objet par rapport à la lentille? ) = OF OA OA = 30 5 = 0. La distance focale la lentille vaut f = 0 cm. ) A B AB = OA OA A B = AB OA OA = ) La valeur du grandissement transversal est A B /AB = 3 = cm OA OA = A B AB = +3 OA = 3 OA. 4) = OF OA OA = 3OA OA = 3 OA On en déduit que f = 3 OA et donc que OA = 3 f 6, 7 cm. 5) L objet est donc situé entre le foyer objet et la lentille (6, 7 cm avant la lentille). Il est à noter que l image est dans ce cas une image virtuelle. 3.5 Doublet lentilles ) Soit A B l image AB par la lentille L. Calculer O A puis O A. Deux lentilles L et L distances focales images f et f sont placées sur le même axe, respectivement aux points O et O. La lentillel est située avant L. On appelle e la distance entre O et O. On place un objet AB à la distance d vant la lentille O. ) Soit A B l image A B par la lentille L. Calculer O A. 3) Soit d 0 la valeur la distance d telle que l image A B soit à l infini. Calculer d 0 en fonction e, f et f. 4) On suppose que la distance d est infinie (c est-à-dire qu elle est beaucoup plus gran que e, f et f ). Que vient O A? 5) Toujours dans le cas où d est infinie, montrer qu il existe une certaine valeur e telle que O A est aussi infinie. Calculer cette valeur. 6) Que vaut alors d 0 (calculée à la question 3)?

22 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES ) O A O A = O F O A = d + f O A = /d + /f O A = d = e { }} { O 0 +O A = e e. /d + /f B A A A F O F F O F B B ) De même qu à la question, on trouve : O A = /O A + /O F =. /O A + /f En remplaçant O A par son expression calculée à la question, on trouve : O A = /d+/f e + f 3) O A = /d 0 +/f e + f d 0 + f = 0 = e f d 0 = f 4) d = /d = 0. D après la question, on obtient : /d 0 +/f e = f + f e d 0 = /d 0 + /f f +. f e e = f O A = 5) 0+/f e + f = f e + f O A = f e + = 0 f f = e f e = f + f. 6) En prenant e = f + f dans la formule donnant d 0, trouvée à la question 3, on obtient : d 0 = f = + f (f +f ) f + f = 0 =. Il est logique trouver d 0 = car le cas où e = f + f correspond (d après la question 5) au cas où (objet à l infini) (image à l infini)

23 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES 3.6 Microscope Un microscope possè un objectif L (O, f = 0, 5 cm) et un oculaire L (O, f = cm). Un objet lumineux AB est observé. On définit la distance par = F F =, 3 cm. ) A quelle position placer AB, par rapport à l instrument, pour obtenir une vision à l infini. Déterminer la puissance intrinsèque P i du microscope (rapport entre l angle sous lequel on voit l objet en sortie et la taille l objet). ) On observe désormais les globules du sang humain dimension 7 µm. Quel est l angle sous lequel on voit un globule à travers l instrument, pour une visée à l infini? 3) Du fait la structure granulaire la rétine, l œil ne peut distinguer ux points que si l angle sous lequel il les voit est au moins égal à ɛ =, 5. Trouver en fonction ɛ, f et f, la taille l du plus petit objet dont les points A et B sont vus distinctement à travers le microscope. Calculer l et comparer cette valeur à la longueur d on moyenne du rayonnement utilisé. Conclure. ) Pour obtenir une vision à l infini, il faut que l image donnée par l oculaire L soit située à l infini. Or une lentille donne une image à l infini lorsque l objet est situé dans son plan focal objet. Il faut donc que l image intermédiaire A B se trouve dans le plan focal objet L. Donc 0 A = f +. B A F objectif 0 F F 0 F (L ) A oculaire α B (L ) En appliquant la formule conjugaison : O A O A = O F O A = = O A O F f + O f A = Par ailleurs A B f f + f Pour calculer l angle α sous lequel on voit l objet en sortie, on calcule d abord la taille (algébrique) A B l image intermédiaire : A B AB = O A 0 A A B = AB O A = tan(α ) α d où : La puissance P i = α /AB vaut donc : ( O A = AB (f + ) f + ) f α = AB f = AB. f f f = AB. f. P i = f f =, , 5 0 = 30 m. ) α = AB P i = = 8, rad. 3) α = ɛ AB = ɛ/p i = ɛf f.

24 CHAPITRE 3. FORMATION D IMAGES 3 On en déduit que la taille minimale visible avec le microscope vaut : l = ɛf f. Application numérique : ɛ =, 5 =, 5/60 gres =, 5/60 π/80 0, rad. Donc : l = 0, , 5 0 3, m = 0, 36 µm., 3 0 La longueur d on moyenne est l ordre λ 600 nm = 0, m. Cette longueur d on fixe l ordre granur la taille du plus petit objet visible, en raison du phénomène du diffraction. Puisque λ > l, on en déduit que ce qui est limitant pour voir petits objet n est pas la valeur ɛ, mais la diffraction. Il serait donc vain chercher à améliorer la résolution en prenant par exemple s lentille plus convergentes ( plus faibles distances focales).

25 Chapitre 4 Radioactivité données : masse d un électron : m e = 9,.0 3 kg, masse d un proton : m p =, kg, masse d un neutron : m n =, kg 4. Atomes Indiquer le nombre protons, neutrons et d électrons présents dans chacun s atomes suivants : 40 0Ca 5 4Cr 3 54 Xe Un noyau comportant Z protons et N neutrons est noté sous la forme : A ZX N. A est le nombre nucléons, c est-à-dire le nombre protons et neutrons : A = Z + N. 40 0Ca : Z = 0 protons et N = 40 0 = 0 neutrons. L atome étant neutre, il y a autant d électrons que protons, soit 0 électrons. 4Cr : Z = 4 protons et N = 5 4 = 8 neutrons. Il y a donc aussi 4 électrons Xe : Z = 54 protons et N = 3 54 = 78 neutrons. Il y a donc aussi 54 électrons. 4. Décroissance radioactive d une source plutonium Une masse m d élément radioactif contenu dans une source scellée diminue au cours du temps selon la loi exponentielle suivante : m(t) = m 0 exp( λt) où m 0 est la masse initiale d élément radioactif, λ est la constante radioactive reliée à la pério T l élément. ) La pério T décroissance radioactive se définissant comme l intervalle temps au cours, montrer duquel statistiquement la moitié s noyaux subiront une désintégration, N(t + T ) = N(t) que la constante radioactive λ est reliée à la pério l élément par l expression : λ = ln ) Un container renferme une source radioactive constituée par m 0 = 50 mg plutonium 39 P u provenant d un réacteur nucléaire. La pério radioactive T du plutonium est ans. Tracer dans un graphe ln m(t) en fonction t sur ans. 3) Combien d années faut-il attendre pour que la masse plutonium radioactif ne soit plus que % la masse initiale? 4) Combien noyaux y a-t-il dans un échantillon cet isotope à l instant t = 0? 5) En déduire l activité l échantillon. 6) Combien noyaux reste-t-il ans plus tard? Quelle est alors l activité l échantillon? 4 T.

26 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 5 ) N(t + T ) = N(t) m(t + T ) = m(t) exp ( λ(t + T )) = exp( λt) exp( λt) exp( λt ) = exp( λt) exp( λt ) = λt = ln = ln. λ est donc reliée à T par la relation : λt = ln ) La constante radiactive vaut λ = ln /4000, an. m(t) = m 0 exp( λt) ln(m(t)) = ln(m 0 ) λt = ln(m 0 ) ln() t : il faut donc tracer une droite T d ordonnée à l origine ln(m 0 ) = 3, 9 et passant au point coordonnées : (00000, ln(m 0 ) ln() 00000)=(00000;, 04) 4000 ln (m(t)) temps (an) ) m(t) = 0, 0 m 0 0, 0 = exp( λt) ln(0, 0) = λt t = ln(00) λ, ans. = 4000 ln(00) ln() 4) Pour 39 P u, le nombre nucléons vaut A = 39. En négligeant la différence entre la masse d un proton et d un neutron, et en négligeant la masse s électrons vant celle s protons, on trouve que la masse d un atome plutonium 39 vaut m pu 39 m p. Le nombre noyaux (à l instant t = 0) vaut donc : N P u = m 0 = m P u , 67 0 =, ) L activité est le nombre désintégration par unité temps, c est-à-dire λ N pu =,89 0 5,5 0 0, Bq. 6) Au bout ans, il reste :, exp (, ) 9, noyaux. L activité vaut donc, , , Bq Décroissance radioactive Un échantillon l isotope 3 53 I a eu son activité divisée par 6 en 3 jours. ) Tracer qualitativement sur un graphe à ux échelles linéaires la décroissance l activité en fonction du temps : l unité temps sera la pério T l isotope ; on indiquera a(t = 0) = a 0 ; ainsi que les valeurs a(t = nt ) pour n =,, 3 et 4, en fonction a 0, n et s puissances. ) En déduire la pério T 3 53 I 3) Quelle est la masse du radio-isotope 3 53 I correspondant à une activité, Bq? ) L activité est divisée par chaque fois que la durée s est écoulée : a 0 T T a 0 a 0 a 0 a T T

27 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 6 activite a o 0 a / o a o/4 a o/8 a /6 o T T 3T 4T 5T temps ) L activité est divisée par 6 au bout la durée 4T. On en déduit que 4T = 3 jours et donc que T = 8 jours. 3) L activité est le nombre désintégration par unité temps : a = λn = ln()/t n où n est le nombre noyaux. Donc : n = a T ln(). La masse d un atome 3 53 I est égale à : m I = (nombre protons) m p +(nombre neutrons) m n +(nombre d électrons) m e (nombre nucléons) où l on a négligé la masse s électrons, et la différence masse entre un proton et un neutron. On en déduit que la masse l échantillon vaut : a T m = 3 m p ln() = 3, 67, , 04 0 kg ln() 4.4 Production et désintégration du technetium 99m T c Le technétium 99m T c (état excité 99 T c), est émetteur rayons γ utilisés en mécine nucléaire pour détecter les tumeurs cervicales (γ caméra) : 99m 43 T c T c + γ La pério désintégration T 99m T c est 6 heures. Le 99m T c est lui-même produit par la désintégration β du molybdène 99 Mo, dont la pério T est 66,5 heures : 99 4Mo 99m 43 T c + e + ν. On désignera avec l indice les paramètres radioactifs (pério, constante radioactive, activité) relatifs à l élément 99 Mo, qui subit la réaction désintégration à l origine la production du 99m T c, et ceux relatifs au technétium 99m T c seront désignés avec l indice. Les réactions nucléaires filiation peuvent alors se schématiser : 99 Mo 99m T c 99 T c () () (3) λ λ

28 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 7. Variation en fonction du temps du nombre noyaux N (t) 99 Mo et activité a (t) a) Exprimer la variation dn du nombre N noyaux () pendant l intervalle temps dt (expression littérale en fonction N, λ ). b) En déduire l expression littérale la variation da l activité a en fonction a, λ. c) Résoudre l équation différentielle la question b) pour retrouver la loi variation a en fonction du temps (on posera a 0 = activité du radioélément () au temps initial). a) Le nombre noyaux qui se désintègrent pendant la durée dt est proportionnel au nombre noyaux présents (N ) et à la durée dt. Le facteur proportionalité est la constante radioactive λ. La variation du nombre noyau est égale à moins le nombre noyaux qui se sont désintégrés, donc : b) L activité vaut a = λ N donc dn = λ N dt. da = λ dn = λ ( λ N dt) = λ a dt. c) t 0 dt = [t]t 0 = t 0 = t da = λ a dt da. Variation en fonction du temps du nombre noyaux N (t) 99m T c et activité a (t) a) Exprimer la variation dn du nombre N noyaux () pendant l intervalle temps dt en fonction N, λ, N, λ ). dt, donc il apparaît λ N dt noyaux pendant dt, a = λ dt a a 0 da a = [ln(a )] a a 0 = ln(a ) ln(a 0 ) = ln a a 0. On en déduit que : b) L activité s noyaux est le nombre noyaux qui se désintègrent par unité temps : a = λ N. On en déduit que da = λ dn et donc : a da = a 0 a t 0 t λ dt = λ dt. ln a a 0 = λt a a 0 = exp ( λ t) a = a 0 exp ( λ t). b) Trouver l expression da l activité a en fonction a, a, λ, que l on arrangera sous la forme d une équation différentielle : da K dt + K a = f(t) où K et K s constantes. c) Vérifier que la solution l équation différentielle (question b) est : a (t) = a 0 λ λ λ ( e λ t e λ t ). a) Il y a ux contributions pour la variation N : les noyaux qui se désintègrent viennent s noyaux. Il se désintègre λ N dt noyaux pendant les noyaux se désintègrent (et donc disparaissent). La variation du nombre noyaux pendant la durée dt ; dûe à leur désintégration, vaut λ N dt. La variation totale du nombre noyau pendant la durée dt vaut donc : dn = λ N dt λ N dt. da = a dt a dt da = λ (a a ) dt. λ 0

29 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 8 En divisant par dt on obtient : da dt + λ a = λ a = λ a 0 exp ( λ t). En conclusion : da dt + λ a = λ a 0 exp ( λ t). c) On dérive la soultion proposée dans l énoncé : da dt = a ( 0 λ e λt + λ e ) λ t. λ λ On y ajoute λ a, toujours en utilisant la solution proposée dans l énoncé : ce qui correspond à la condition initiale. et tracer sur un même graphe les variations a et a. d) Si, pour que cette source soit utilisable en Mécine nucléaire, il faut que l activité a l échantillon soit supérieure ou égale à 5 Ci, estimer à l ai la courbe dans quel intervalle temps cette source peut être utilisée. c) λ da dt + λ a = a 0 λ λ λ ( λ e λ t + λ e λ t ) + a 0 λ λ λ ( λ e λ t λ e λ t ) = a 0 λ λ λ ( λ e λ t + λ e λ t ) = a 0 λ e λ t. On constate donc que l expression proposée par l énoncée est bien une solution l équation différentielle da dt + λ a = λ a 0 exp ( λ t). Par ailleurs, en prenant t = 0 dans cette expression, on trouve a = 0, 3. Tracés s variations a (t) et a (t) A l instant initial on dispose d une source 99 Mo dont l activité vaut a 0 = 8, 5 Ci. Cette source ne contient pas technétium : a (t = 0) = 0. a) Calculer l activité a du 99 Mo et l activité a du 99m T c au temps t = 0 h. b) L activité a du 99m T c passe par un maximum. Déterminer le temps t max pour lequel le maximum est atteint et les valeurs a (t max ) et a (t max ). On rappelle qu une fonction admet un extremum quand sa dérivée s annule (Sachant qu au départ l activité est nulle, l activité va commencer par croître, donc le premier extremum sera un maximum) c) Compléter le tableau valeurs : t (h) a (t) (Ci) 8,5 a (t) (Ci) 0 a) a (t = 0 h) = 8, 5 exp( 0 a (t = 0 h) = 8, 5 66,5 /6 /6 /66,5 b) La dérivée a (t) a déjà été calculée : ln()) 7, 66 Ci. 0 (exp( ln()) exp( 0 ln())) = 5, 48 Ci 66,5 6 da dt = a λ ( 0 λ e λt + λ e ) λ t. λ λ Elle s annule lorsque λ exp( λ t) = λ exp( λ t), c est-à-dire lorsque : λ λ = exp ((λ λ )t) t max = ln(λ /λ ) λ λ = 6/66, 5 ln()/66, 5 ln()/6, 9 h

30 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 9 t (h) a (t) (Ci) 8,5 7,66 6,90 6, 5,60 5,05 4,55 4,0 3,69 3,33 3,00 a (t) (Ci) 0 5,48 6,66 6,54 6,07 5,5 4,99 4,50 4,06 3,66 3,9 a (t) activite (Ci) temps (h) 0 40 La totalité l io la source précénte est en fait injectée dans la thyroï d un patient. La ) L activié est divisée par chaque fois d une durée égale à la pério radioactive T p s écoule : elle passe 60 d) l activité a (t) est supérieure à 5 Ci pour 8, h < t < 60 h. L examen vra donc survenir entre 8, h et 60 h aprés l injection. ) dn = λn N(t) = N dt 0 exp( λ p t). L activité est le nombre désintégrations par unité temps : a = λ p N. On en déduit que a(t) = a 0 exp( λ p t). Puisque λ = ln()/t p, il vient : a (t) 4.5 Pério physique et pério biologique L io 3 53 I a une pério décroissance radioactive T p = 8 jours. L activité initiale d une source radioactive constituée 3 53 I est a 0 = 400 µci. ) Pour que l activité la source s abaisse à 00 µci, combien temps faut-il attendre? ) Donner l expression (en fonction T p et a 0 ) l évolution l activité la source en fonction du temps. diminution l activité l io contenu dans la thyroï résulte alors à la fois la décroissance radioactive et l élimination biologique (qui satisfait elle aussi à une loi exponentielle caractérisée par une pério décroissance T b ). La pério effective décroissance l io dans la thyroï est alors T. 3) La pério effective T est-elle supérieure ou inférieure à T p? Justifier votre réponse. 4) Donner l expression la variation du nombre noyaux pendant dt. 5) Donner l expression (en fonction du temps, T b, T p et a 0 ), l évolution l activité l io contenu dans la thyroï. 6) L activité l io dans la thyroï mesurée 6 jours après l injection est 00 µci. Calculer la pério T b d élimination biologique. donc a 0 = 400 µci à a 0 / = 00 µci au bout la durée T p = 8jours, puis a 0 / = 00 µci à a 0 /4 = 00 µci au bout d une autre durée T p. En conclusion, il faut attendre la durée T p = 6 jours pour que l activité s abaisse à 00 µci. ( a(t) = a 0 exp ln()t ). T p 0 40.

31 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ 30 3) La pério effective est le temps au bout duquel la moitié l io radiactif a disparu. Il y a ux origines à cette disparition : la désintégration et l élimination biologique. L io radiactif disparît plus vite que s il n y avait pas d élimination biologique. Donc : T < T p. 4) L élimination biologique satisfait à une décroissance exponentielle donc le nombre noyaux dn b éliminés par le processus biologique est proportionnel au nombre total noyaux (N), la constante proportionnalité étant λ b = ln()/t b : dn b = λ b N = ln() N dt. De même, le nombre noyaux qui se désintègrent vaut dn p = ln() T p N dt. La variation totale du nombre noyaux est donc dn b dn p. Et donc : dn = ln() T b N ln() T p 5) L équation différentielle précénte (question 4) est la même forme que celle la question, à condition prendre comme constante λ eff = ln()(/t b + /T p ). Donc : En conclusion : T b λ eff { ( }} { N = ln() + ) N dt. T b T p ( N(t) = N 0 exp( λ eff t) = N 0 exp( ln() + ) t). T b T p l activité est le nombre désintégration par unité temps : a(t) = λ p N(t) = ln()/t p N(t) = a 0 ( ( { }} { λ p N 0 exp ln() + ) ) t T b T p ( ( a(t) = a 0 exp ln() + ) ) t. T b T p 6) L activité passe 400 Ci à 00 Ci en 6 jours : elle est donc divisée par ux en six jours. On en conclut que T eff = ln()/λ eff = 6 jours, ln() λ eff = ln() ln() ( ) = T b + T p T b + T p = 6 jours, T b + T p = 6 T b = 6 T p = 6 8 = 4. La pério d élimination biologique vaut donc T b = 4 jours.

32 CHAPITRE 4. RADIOACTIVITÉ Dispersion s photons dans l espace On considère une source ponctuelle émettant façon isotrope N particules par secon. Imaginons que cette source soit placée au centre d une sphère rayon r. ) Combien particules sortent par la surface totale la sphère par secon? ) Combien particules sortent d une surface δs la sphère par secon? (on rappelle que la surface d une sphère rayon r vaut 4πr.) 3) Si δs représente la surface d entrée d un détecteur, en déduire la loi théorique donnant le taux comptage en fonction la distance r (distance source-détecteur). 4) Une source radioactive ponctuelle, localisée à cm profonur dans le tissu musculaire, émet façon isotrope s photons. Combien photons sortiraient par secon d une sphère muscle centrée sur la source cm rayon sachant que la moitié s photons est absorbés par le muscle et que l activité la source correspond à l émission N 0 = photons par secon. 5) Un détecteur fenêtre surface 5 cm, est placé à 0 cm la source précénte. Calculer le nombre photons qui arrivent chaque secon sur la fenêtre du détecteur (on négligera l atténuation s photons dans l air). ) N photons sont émis la source chaque secon. Tous ces photons vont traverser la sphère. Il y a donc N photons qui traversent la surface chaque secon. ) Le nombre n photons traversant une surface δs est proportionnel à cette surface : si cette surface est ux fois plus gran, ux fois plus photons vont la traverser. On a donc : n = kδs où k est une constante. Pour déterminer k, on prend δs = 4πr (la surface totale d une sphère rayon r). D après la question, n vaut alors N. Donc : n = kδs N = k 4πr k = N 4πr. En conclusion : le nombre particules sortant la surface par secon vaut : n = N 4πr δs. 3) Si le détecteur est suffisamment loin, on peut l assimiler à une portion spère rayon r centrée sur la source ponctuelle. D après la question, le taux comptage vaut donc : n = N 4πr δs. 4) La moitié s photons est absorbée. Il sort donc cette sphère N = N 0 / photons par secon. 5) n = N δs = N 4πr 0 δs = πr 8 π 0, détecteur. 8, 4. 8,4 photons arrivent chaque secon sur la fenêtre du

33 Chapitre 5 Hydrostatique Valeurs numériques : On donne : ρ Hg = 3.6 g/cm 3, ρ air =.6 kg/m 3, ρ He = 0.60 kg/m 3 et ρ eau = 0 3 kg/m Pressions océaniques Quelle est la pression dans l océan à une profonur h? Vérifier l homogénéïté cette formule. Application numérique : pour h = 0 m, h = 000 m, h = 035 m (fosse s Mariannes, Pacifique Est). On prendra g = 0 m.s et P 0 = 0 5 P a pour la pression atmosphérique. On utilise la formule P = ρg h entre la surface l eau (hauteur h 0 = 0 et pression P = P 0 ). On obtient P P 0 + ρg(h h 0 ) P = P 0 + ρgh. [pression] = [force]/[surface] = [masse][acceleration]/[surface] = M.LT.L = M.L.T. [ρgh] = [ρ][g][h] = [masse]/[volume].[acceleration].[longueur] = M.L 3.L.T.L = M.L.T. L équation est donc bien homogène. Pour h = 0 m : P = = 0 5 P a. Pour h = 000 m : P = =, P a. Pour h = 035 m : P = , 0 8 P a. 5. Poussée d Archimè présence sel dans les océans modifie la masse volumique l eau mer : l eau s océans a une Un iceberg est constitué d eau douce provenant s glaciers (contrairement à la banquise qui est constituée d eau salée congelée). Sa masse volumique est donc intique à celle d un glaçon. La masse volumique plus importante que l eau du robinet. En prenant ρ glace = 0.9 kg/l et ρ ocean =.05 kg/l, calculer le rapport entre le volume émergé (V e ) et le volume immergé (V i ) d un iceberg dans l océan. La masse totale l iceberg est : m totale = ρ glace (V e + V i ). Le poids l iceberge est donc : P oids = ρ glace (V e + V i ) g La poussée d archimè est égale au poids l eau mer déplacée par le glaçon = ρ ocean V i g. 3