Exercices sur les probabilités conditionnelles

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1 TS Exercices sur les probabilités coditioelles O lace ue fois u dé truqué. O ote le uméro de la face supérieure. L expériece est modélisée par la loi de probabilité doée das le tableau ci-dessous : ésultats possibles 6 robabilités 0, 0, 0, 0, 0, 0, Calculer la probabilité d obteir u uméro pair sachat que c est u multiple de. Doer le résultat sous la forme d ue fractio irréductible. O ommera deux évéemets. Soit et deux évéemets d u espace probabilisé (, ) tels que 0,, / 0,0. Calculer et /. Doer les résultats sous forme décimale. 0, et U échatillo de persoes compred % d hommes et % de femmes. our cet échatillo, % des hommes et 0 % des femmes pratiquet u sport. O iterroge au hasard ue persoe de cet échatillo. ) O cosidère les évéemets S : «la persoe pratique u sport» et F : «la persoe est ue femme». O adopte le modèle d équiprobabilité. Faire u arbre de probabilité avec ces évéemets et leurs cotraires ; compléter e mettat les probabilités correspodates e utilisat les idicatios de l éocé au-dessus des braches. ) Calculer la probabilité que la persoe iterrogée pratique u sport. Doer le résultat sous forme décimale. O dispose d ue pièce truquée telle que la probabilité d apparitio de «pile» e u lacer soit égale à. O dispose égalemet de deux ures U et U. L ure U cotiet boules rouges et boules oires. L ure U cotiet boules rouges et boules oires. O lace la pièce ue fois. Si elle tombe sur «pile», o choisit ue boule au hasard das l ure U ; si elle tombe «face», o choisit ue boule au hasard das l ure U. ) Faire u arbre de probabilités e ommat deux évéemets. ) Calculer la probabilité d obteir ue boule rouge. Doer le résultat e fractio irréductible. Das ue populatio doée, % des idividus sot atteits par ue maladie M. armi ces deriers, 0 % ot aussi la maladie M. armi les idividus o atteits par M, % ot la maladie M. O choisit u idividu au hasard. ) Faire u arbre de probabilités. ) Calculer la probabilité que cet idividu soit atteit par la maladie M. Doer le résultat e écriture décimale. * 6 Ue ure U cotiet boules blaches et 0 boules oires. Ue ure U cotiet ue boule blache et ue boule oire. O tire au hasard ue boule das l ure U que l o place das l ure U. O tire esuite ue boule das l ure U. ) Faire u arbre de probabilités. our trouver les valeurs des probabilités coditioelles, o raisoera sur la compositio de l ure U après le tirage das l ure U. ) Calculer la probabilité p pour que la deuxième boule soit blache. ) Détermier lim p. Iterpréter ce résultat. 7 Test médical O suppose qu u sujet, veat cosulter das u service hospitalier doé, a la probabilité 0, d être atteit d ue certaie maladie. Chaque sujet subit u test. O sait que : si u sujet est pas malade, 9 fois sur 0 la répose au test est égative ; s il est malade, 8 fois sur 0 la répose est positive. ) Faire u arbre de probabilité avec les évéemets M : «le sujet est malade» ; T : «le test est positif». ) Quelle est la probabilité pour u sujet d avoir ue répose positive au test? Doer le résultat sous forme décimale. ) Si le test est positif, quelle est la probabilité que le sujet soit malade? Doer le résultat sous forme d ue fractio irréductible. 8 U artisa est cotacté à domicile par ses cliets sur appel téléphoique. Il dispose d u répodeur. Lorsque l artisa est abset, il brache systématiquemet le répodeur ; lorsqu il est préset, il le brache ue fois sur trois (o suppose que, lorsque l artisa a braché so répodeur, il e répod pas). Lorsqu u cliet téléphoe, il tombe quatre fois sur ciq sur le répodeur. U cliet téléphoe à l artisa. O défiit les évéemets : «l artisa est préset» et : «le cliet obtiet le répodeur». Doer les résultats sous forme de fractios irréductibles. ) Faire u arbre de probabilités. Calculer la probabilité de. ) Sachat que le cliet obtiet le répodeur, détermier la probabilité que l artisa soit préset. 9 Ue étude statistique sur u groupe de sportifs a permis d estimer qu e période de compétitio, pour u sportif pris au hasard das ce groupe, la probabilité d être déclaré positif au cotrôle ati-dopage est 0,0. La prise d u médicamet peut ifluecer le résultat du cotrôle. Ce médicamet est pris par % des sportifs du groupe. our u sportif qui utilise ce médicamet, la probabilité d être déclaré positif est 0,0. O cosidère les évéemets M : «le sportif utilise le médicamet» et T : «le sportif est déclaré positif». T M T / M (sas faire de calcul). ) Doer, et ) Calculer (M T). ) Calculer M T ; e déduire T M /. O doera tous les résultats sous forme décimale. La valeur 0,0 doée das l éocé peut sembler très faible. Elle est éamois e accord avec la réalité. E gééral, les produits dopats sot fabriqués de telle sorte que la cocetratio restate das le sag das le sag soit très faible.

2 0 La proportio de pièces défectueuses das u lot est égale à 0,0. Le cotrôle de fabricatio des pièces est tel que : si la pièce est boe, elle est acceptée avec la probabilité de 0,97 ; si elle est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98. O pred au hasard ue pièce et o la cotrôle. ) Calculer la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. Doer le résultat sous forme décimale. ) Calculer la probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise. Doer le résultat sous la forme d ue fractio irréductible. O lace ue fois u dé o truqué. O cosidère les évéemets : «obteir u uméro pair» et : «obteir u uméro iférieur ou égal à». Les évéemets sot-ils idépedats? Soit et deux évéemets idépedats d u espace probabilisé (, ) tels que 0, et 0,. Calculer ( ). Doer le résultat sous forme décimale. Deux chasseurs tiret simultaémet sur ue cible. Le premier a 80 % de chaces de l atteidre ; le deuxième a 70 % de chaces de l atteidre. Quelle est la probabilité ) que la cible soit atteite par au mois l u des deux chasseurs? ) qu aucu chasseur atteige la cible? Idicatio : Cosidérer les évéemets : «le premier chasseur atteit la cible» et : «le deuxième chasseur atteit la cible». O otera que les évéemets et sot idépedats. Doer chaque résultat sous forme décimale. Das u pays imagiaire, à la suite d u dérèglemet climatique, le temps évolue de la maière suivate. O admet qu u jour doé soit il fait beau, soit il pleut. S il fait beau u jour, alors il fera beau le jour suivat avec la probabilité. S il pleut u jour, alors il pleuvra ecore le ledemai avec ue probabilité. ujourd hui, il pleut. O s itéresse à la probabilité qu il fasse beau demai, das jours, das jours das jours. our tout etier aturel, o désige par l évéemet «il fera beau le -ième jour». ) Doer, pour, les valeurs de / et /. ecopier et compléter l arbre ci-dessous e écrivat les valeurs des probabilités à la place des poitillés (o e mettra rie sur les deux braches qui partet du œud de base).... ) Établir que, pour ) O pose désormais, pour. 6 et u p., o a :, p a) Détermier la ature de la suite u. b) E déduire l expressio de p e foctio de pour. c) Détermier lim p. Commet peut-o iterpréter ce résultat? Ue ure cotiet trois boules blaches et deux boules oires. O tire ue boule au hasard das l ure puis, sas la remettre das l ure, o e tire ue deuxième au hasard. Calculer la probabilité des évéemets suivats e utilisat les probabilités coditioelles (faire u arbre de probabilité) : : «les deux boules sot blaches» ; : «les deux boules sot oires» ; C : «les deux boules sot de la même couleur» ; D : «les deux boules sot de couleurs différetes». Doer les résultats sous forme de fractios irréductibles. 6 Ue ure cotiet deux boules rouges et deux boules oires. O tire successivemet deux boules avec remise. Calculer la probabilité des évéemets suivats e utilisat les probabilités coditioelles (faire u arbre de probabilité) : : «obteir deux boules de la même couleur» et : «obteir au mois ue boule rouge». 7 U sac cotiet jetos marqués avec les lettres M,,, I, E. O tire deux jetos au hasard successivemet sas remise. Calculer la probabilité des évéemets suivats e utilisat les probabilités coditioelles (faire u arbre de probabilité) : E : «obteir deux voyelles» ; E : «obteir deux cosoes» ; E : «obteir ue voyelle et ue cosoe (das importe quel ordre)». Doer les résultats sous forme de fractios irréductibles. 8 Modèle élémetaire de diffusio d ue épidémie : l ure à la olya a, b, sot des etiers aturels supérieurs ou égaux à. Ue ure cotiet a boules blaches et b boules oires (virus de deux types). O tire ue boule au hasard. O ote sa couleur (o est cotamié par le virus correspodat). O la remet das l ure avec boules de la même couleur. O tire à ouveau ue boule au hasard das l ure. ) Faire u arbre de probabilité avec les évéemets suivats : : «la boule obteue au premier tirage est blache» ; N : «la boule obteue au premier tirage est oire» ; : «la boule obteue au deuxième tirage est blache» ; N : «la boule obteue au deuxième tirage est oire». ) Calculer (e pas développer mais factoriser) ; comparer avec Idicatio : raisoer sur la compositio de l ure au deuxième tirage...

3 Corrigé N.. O e peut pas trouver cette probabilité coditioelle de maière ituitive car o est pas das ue situatio d équiprobabilité. O utilise la défiitio : /. (O applique la formule sas se poser de questio sur le «sachat que» das cette situatio). Solutio détaillée : Calculos la probabilité d obteir u uméro pair sachat que c est u multiple de. O utilise la formule des probabilités composées. Solutio détaillée : 0, 0, Calculos ( ) et ( / ). / 0, 0,0 0, 0 / 0,0 (formule des probabilités composées) O défiit les évéemets : «le uméro obteu est pair» et : «le uméro obteu est u multiple de». O cherche /. our décrypter la questio, il faut faire ue aalyse grammaticale de la phrase. Calculer la probabilité d obteir u uméro pair sachat que c est u multiple de. / 0,0 / 0, / 0, (formule de défiitio de la probabilité coditioelle) ) rbre de probabilités O va doc appliquer la formule / Il faut doc calculer et 6 0,.. our calculer la probabilité de, il y a pas de formule. O va d abord défiir puis o cherche les résultats qui correspodet à cet évéemet. : «obteir u uméro pair et multiple de» U seul résultat correspod à : , 0, / 0, O peut aussi écrire :. Iutile de défiir les évéemets F et S cotraires de F et S. S : «la persoe pratique u sport» F : «la persoe est ue femme» F F S S S S Compléter avec les probabilités écrites sous forme décimale (lorsque les probabilités sot calculées à partir de pourcetages, o doe les résultats sous forme décimale). F 0, 00 F 0, S/ F 0, S / F 0,

4 probabilités probabilités simples coditioelles (S /F) = 0, S ) rbre de probabilités : «la pièce tombe sur pile» : «la boule tirée est rouge» O effectue u arbre das lequel o met les probabilités sous forme fractioaire. (F) = 0, F 0,9 0, S S 9 9 ( F ) = 0, F ( S / F) = 0,7 ttetio à la lecture de l éocé : L éocé dit : «U échatillo de persoes compred % d hommes et % de femmes.» Ces deux iformatios fourisset des probabilités simples. L éocé dit : «our cet échatillo, % des hommes et 0 % des femmes pratiquet u sport.» Ces deux iformatios fourisset des probabilités coditioelles. ) Calculos la probabilité que la persoe iterrogée pratique u sport. O écrit que les évéemets F et F costituet u système complet d évéemets et l o applique la formule des probabilités totales : S S F S F = (F) (S / F) + ( F) (S / F) S 0, 0, 0, 0, S 0, 8 La probabilité que la persoe iterrogée pratique u sport est égale à 0,8. S ) Calculos la probabilité d obteir ue boule rouge. Les évéemets et costituet u système complet d évéemets doc d après la formule des probabilités totales, o a : / / 9 77 La probabilité que la boule tirée soit rouge est égale à 77. Si la pièce était o truquée, o obtiedrait 0, Cette probabilité est beaucoup plus faible que das le cas de la pièce triquée cosidérée das l éocé. L évéemet «la persoe pratique u sport» est la réuio des évéemets «la persoe pratique u sport et est ue femme» et «la persoe pratique u sport et est u homme».

5 6 ) O défiit les évéemets : «l idividu est atteit par la maladie M» ; : «l idividu est atteit par la maladie M» Thème de l exercice : ure de compositio variable ou ure à compositio évolutive () = 0, ( /) = 0, ) Défiir les évéemets - : «la boule tirée au premier tirage das l ure U est blache» - N : «la boule tirée au premier tirage das l ure U est oire» - : «la boule tirée au deuxième tirage das l ure U est blache» - N : «la boule tirée au deuxième tirage das l ure U est oire» O adopte le modèle d équiprobabilité ; réfléchir pour les probabilités coditioelles que l o doit mettre das l arbre. ( /) = 0,8 robabilités simples robabilités coditioelles ( ) = 0,8 ( / ) = 0,0 / N / 0 ( / ) = 0,96 N ) Les évéemets et costituet u système complet d évéemets doc d après la formule des probabilités totales, o a : = () ( / ) + ( ) ( / ) = 0, 0, + 0,8 0,0 0,06 Coclusio : 0,06 N 0 / N 0 emarque : ourquoi o «fait» évéemets? O pourrait e «faire» que (avec les cotraires). C est bo avec. Mais c est plus parlat avec, N,, N. N N / N N

6 Si o a tiré ue boule blache das l ure U, alors cette boule est placée das l ure U. Doc l ure U cotiet boules blaches et boule oire. Si o a tiré ue boule oire das l ure U, alors cette boule est placée das l ure U. Doc l ure U cotiet boule blache et boules oires. O otera que das les deux cas, l ure U cotiet toujours boules. ) Calculos la probabilité p pour que la deuxième boule soit blache. O doit calculer p. Les évéemets et N costituet u système complet d évéemets. Doc d après la formule des probabilités totales, o a : N / N /N p ) Détermios lim p. ère méthode : Lorsque le ombre de boules blaches ted vers +, la probabilité de tirer ue boule blache au e tirage ted vers. Commet peut-o expliquer le résultat? Lorsque le ombre de boules blaches das l ure U ted vers +, o est quasimet sûr de tirer ue boule blache das l ure U et aisi, o est quasimet sûr de tirer ue boule blache das ue ure qui cotiet boules blache et ue probabilité de tirer ue boule blache au e tirage ted vers. Versio plus simple du 6 : * Ue ure U cotiet boules blaches et 0 boules oires ( ). Ue ure U cotiet ue boule blache et ue boule oire. O tire au hasard ue boule das U que l o place das l ure U. O tire esuite ue boule das l ure U. ) Faire u arbre de probabilités à l aide des évéemets - : «la boule tirée au premier tirage das l ure U est blache» - N : «la boule tirée au premier tirage das l ure U est oire» - : «la boule tirée au deuxième tirage das l ure U est blache» - N : «la boule tirée au deuxième tirage das l ure U est oire» Si o a tiré ue boule blache das l ure U, alors cette boule est placée das l ure U. Doc l ure U cotiet.. boules blaches et.. boule oire. Si o a tiré ue boule oire das l ure U, alors cette boule est placée das l ure U. Doc l ure U cotiet.. boule blache et.. boules oires. 0 lim p lim lim 0 e méthode : (règle de la limite d ue foctio ratioelle e + ) ) Calculer la probabilité p pour que cette derière boule soit blache. ) Détermier lim p. Iterpréter ce résultat. * 0 p 0 * p 0 0 lim 0 doc lim 0 0 ar suite, lim p.

7 7 ) Faire u arbre e faisat figurer les probabilités sous forme décimale. ) T 0, ) M / T Solutio détaillée : ) rbre podéré M : «Le sujet est malade» T : «Le test est positif» Coclusio : La probabilité pour u sujet d avoir ue répose positive au test est égal à 0,. ) Calculos la probabilité que le sujet est malade sachat que le test est positif. D après la défiitio du cours, doc M / T M T T 0,0,8 0, (T / M) = 0,8 T 8 Il faut bie lire l éocé pour le traduire e probabilités : derières probabilités sot des probabilités coditioelles). ; / ; / (les deux (M) = 0, M ( T / M) = 0, T ) Calculos. O pose x. O a alors x (formule ). O dresse u arbre de probabilités. M 0,7 T / M 0, M T x ( T / M ) = 0,9 ) Calculos la probabilité pour u sujet d avoir ue répose positive au test. T x 0 Les évéemets M et M costituet u système complet d évéemets doc d après la formule des probabilités totales, o a : T T M T M = (M) (T / M) + ( M ) (T / M ) = 0, 0,8 + 0,7 0, = 0, Comme la probabilité coditioelle de sachat est ulle, il est possible d omettre la brache -. O utilise la formule des probabilités totales. / /

8 x x Cette derière égalité doe doc : x x x x x x 0. 0 Doc ) Détermios la probabilité que l artisa soit préset sachat que le cliet obtiet le répodeur. O cherche /. O utilise la formule de défiitio d ue probabilité coditioelle. / / 0 / 0 / (simplificatio du et du 0) / 8 9 O e fait pas d arbre das cet exercice (o peut faire u arbre, ça permet de compredre mais il y a des braches pour lesquelles o e peut rie mettre). ttetio, ce est pas le médicamet qui sert au dopage du sportif mais c est la prise du médicamet qui iflue sur le résultat du test. ) Doos (T), (M) et (T/M). Il s agit d ue simple traductio d éocé ; il y a aucu calcul à faire. L éocé de cette ère questio dit bie «doer» et o «calculer». T 0,0 M 0, T/M 0,0 (N.. : il peut sembler surpreat d avoir u test pour lequel la ; ; probabilité qu ue persoe preat le médicamet ait u test positif soit si faible.) ) Calculos (M T). O fait cette fois u calcul. D après la formule des probabilités composées : M T M T/M ) 0, 0,0 0, 0 Calculos M T Les évéemets M et M costituet u système complet d évéemets doc d après la formule des probabilités totales, o a : M T M T T. M et T sot deux évéemets. M et M formet ue partitio de l uivers. T et T formet ue partitio de l uivers mais o e l utilise pas doc o e le dit pas. D où M T T M T 0,0 0,0 = 0,007 Déduisos-e T M /. D après la défiitio d ue probabilité coditioelle, o a : T/M T M 0,007 0,7 0,0 M.

9 0 O cosidère les évéemets : «la pièce est acceptée» ; : «la pièce est boe». E E / / E 0,00,0 0,0 0,96 E 0, 096 ( / ) = 0,97 La probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle est égale à 0,096. O remarquera que cette probabilité est assez faible. ) Calculos la probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise. () = 0,96 Le texte demade : «calculer la probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise». O regarde parmi les pièces acceptées celles qui sot mauvaises. O doit calculer la probabilité qu ue pièce soit mauvaise sachat qu elle a été acceptée (et pas le cotraire!). ( / ) = 0,0 Il s agit de calculer ue probabilité coditioelle : ( ) = 0,0 ( / ) = 0,0 ( / ) = 0,98 / / / / ) Calculos la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. O ote E l évéemet : «Il y a ue erreur de cotrôle». Il y a ue erreur de cotrôle das les deux cas suivats : - la pièce est défectueuse et a été acceptée ; - la pièce est pas défectueuse et a pas été acceptée. La probabilité de E est égale à la probabilité que la pièce soit boe et refusée plus la probabilité que la pièce soit mauvaise et acceptée (attetio à la formulatio, il s agit bie de «et» qui se traduiset par des itersectios et o de «sachat»). E Les évéemets et sot icompatibles (car et sot icompatibles ou et sot icompatibles). Ue pièce e peut être à la fois - défectueuse et acceptée et - o défectueuse et rejetée 0,00,0 0,9 0,0008 0, La probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise est égale à 6. O calcule à part 0,96 0,97 0,0 0,0 0,9 grâce à la formule des probabilités totales (pricipe de séparatio des calculs). (C est du simple bo ses).

10 : «obteir u uméro pair» : «obteir u uméro iférieur ou égal à» Cherchos si les évéemets et sot idépedats. Il faut dire que l o est das u cas d équiprobabilité. O modélise l expériece aléatoire par la loi d équiprobabilité. ère méthode : ; ; 6 6 ; ; ; 6 : «obteir u uméro pair iférieur ou égal à.» ; (accolades d esembles) (l évéemet est costitué de deux issues) 6 doc et sot idépedats pour la loi. Ce résultat e découle pas du bo ses, il y a que le calcul qui ous le motre. e méthode : / (parmi les uméros iférieurs ou égaux à, il y e a qui sot pairs) et O costate que / Même raisoemet avec / et. ar suite, et sot idépedats pour la loi et sot deux évéemets idépedats d u espace probabilisé (, ) 0, 0, Calculos ( ). O a :. Or et sot idépedats pour la probabilité par hypothèse (o est obligé de le réécrire das la solutio au. momet où o l utilise) doc ar suite, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,0 = 0, : «le premier chasseur atteit la cible» : «le deuxième chasseur atteit la cible» D après les iformatios de l éocé : 0,8 0,7 et sot idépedats ) Calculos la probabilité que la cible soit atteite par au mois l u des deux chasseurs. O cosidère l évéemet E : «la cible est atteite par au mois l u des deux chasseurs». L évéemet E est réalisé lorsque : - le er chasseur atteit la cible et le e chasseur atteit pas la cible ; - le er chasseur atteit pas la cible et le e chasseur atteit la cible ; - le er chasseur atteit la cible et le e chasseur atteit la cible. Das les deux premiers cas, la cible est atteite par u seul des deux chasseurs ; das le e cas, la cible est atteite par les deux chasseurs. Das tous les cas, la cible est atteite soit par soit par chasseurs doc par au mois u chasseur. L évéemet E est la réuio des évéemets et. E

11 Doc E (formule toujours valable). Or et sot des évéemets idépedats.. Doc E 0,8 0,7 0,8 0,7 = 0,9 ) Calculos la probabilité que la cible e soit atteite par aucu chasseur. F : «aucu chasseur atteit la cible» F est l évéemet cotraire de E. F E F E E 0,06 Commetaire : La difficulté das ce type d exercice est d exprimer les évéemets E et F e foctio des évéemets et. F Comme et sot idépedats, et sot idépedats. Doc F 0, 0, 0,06 O peut alors retrouver le résultat de la questio ) (probabilité de l évéemet cotraire). : «Il fait beau le -ième jour» ) rbre de probabilités / / utre méthode pour la questio ) : idépedace des évéemets cotraires. 0,7 / 0, / 0,8 / 0, 0,7 / 0,

12 . 6 ) Démotros que et costituet u système complet d évéemets doc, d après la formule des probabilités totales, o a :. (e effet, pour tout évéemet, o a : / / ; o choisit ici ) (e effet, d après la règle doat la probabilité d u évéemet cotraire, pour tout évéemet, o a : ; o choisit ici ) 6 ) Étude de la suite p au moye d ue suite auxiliaire O a : p et Doc p * p 6 p. p ) (relatio de récurrece pour la suite u p a) Détermios la ature de la suite u. * u p p 6 p 6 p 6 u 6 u est ue suite géométrique de raiso q. 6 Calculos le premier terme : p 0 car l éocé ous dit qu il pleut le er jour doc l évéemet («il fait beau le er jour») est l évéemet impossible. p ). (S il avait fait beau le er jour, o aurait eu : Doc u 0 Coclusio : u est ue suite géométrique de premier terme u et de raiso q. 6 b) Exprimos p e foctio de pour. * Or u u u q p doc p 6 * u doc p 6 c) Détermios lim p e foctio de pour. 6 doc Variate : lim 6 O peut aussi écrire : * p 6. Or doc lim 0 (o peut appliquer la règle même sur l exposat est alors que la règle 6 6 est éocée pour u exposat égal à ). O e déduit que : Coclusio : lim p. La probabilité qu il fasse beau le -ième jour ted vers lorsque ted vers +.

13 Iterprétatio : u bout d u très grad ombre de jours, il y aura quasimet chaces sur qu il fasse beau. Les exercices, 6, 7 sot des exercices que l o a déjà fait mais que l o revoit avec les probabilités coditioelles. Das tous les cas, il s agit de tirages successifs sas remise. Il s agit de l applicatio des probabilités coditioelles à des tirages successifs. Il faut metioer à chaque fois qu il y a équiprobabilité. Tirages successifs sas remise das ue ure O omme E, F, E, F les évéemets défiis par : E : «la première boule est blache» ; F : «la première boule est oire» ; E : «la deuxième boule est blache» ; F : «la deuxième boule est oire». O peut aussi utiliser les évéemets cotraires. : «les deux boules sot blaches» E E Doc E E E E / E Le aphaëlle Lage le --0 E E E E / E La formule E E E E / E (E / E ) = E La formule E E / E est valable tout le temps. Das le cas d évéemets idépedats E / E E d où E E. : «les deux boules sot oires» (E ) = E (F / E ) = F F F F F Doc 0 E / F E C : «les deux boules sot de la même couleur» O peut écrire C = et et sot icompatibles. (F ) = F (F / F ) = Doc C 0 0 F D : «les deux boules sot de couleurs différetes»

14 D C Doc D C 6 C Il s agit e fait d u schéma de eroulli. O pourrait doc peser qu il y a pas besoi d arbre. Nous allos cepedat e faire u et traiter l exercice avec les probabilités coditioelles. O omme, N,, N les évéemets défiis par : : «obteir ue boule rouge au premier tirage» N : «obteir ue boule oire au premier tirage» : «obteir ue boule rouge au deuxième tirage» N : «obteir ue boule oire au deuxième tirage» Das l arbre, il faut bie distiguer probabilités simples et probabilités coditioelles. Ici, comme il y a remise, les probabilités coditioelles sot égales aux probabilités simples. Ue autre méthode cosisterait à se raccrocher au cours sur les expérieces aléatoires répétées vues da,s le cours de ère. Il s agit e fait ici d u schéma de eroulli. Questio d ue élève à propos de l arbre de probabilités (aée scolaire 0-06) : probas simples? probas coditioelles? : «obteir deux boules de la même couleur» O a : N N. Il s agit d ue réuio de deux évéemets disjoits ou icompatibles. N N / N N / N / : «obteir au mois ue boule rouge» [O peut écrire.] O peut aussi utiliser l évéemet cotraire. N N / N / N N Il est iutile de cosidérer l évéemet cotraire (c est vrai aussi, mais ça viet tout seul avec l arbre). N N N / N N

15 7 Les valeurs sot les mêmes qu à l exercice. Cet exercice peut se faire avec u arbre de possibilités (c est log à faire!) ou avec la méthode des cases. Mais la méthode par les probabilités coditioelles est meilleure (elle est très efficace). jetos marqués M,,, I, E O tire successivemet deux jetos sas remise. O omme V, C, V, C les évéemets aisi défiis : V : «tirer ue voyelle au premier tirage» E : «obteir deux voyelles» 0 E V V E : «obteir deux cosoes» 0 E C C E : «obteir ue voyelle et ue cosoe» ère méthode : C : «tirer ue cosoe au premier tirage» V : «tirer ue voyelle au deuxième tirage» 6 E e méthode : C : «tirer ue cosoe au deuxième tirage» E E E V V C E E E E E E E E (car E et E sot icompatibles) E E 0 0 E O retrouve bie le même résultat qu avec la première méthode) utre versio (Vicet Jacob, aée scolaire 0-0) : C V O défiit les évéemets : V : «obteir ue voyelle au premier tirage» V : «obteir ue voyelle au deuxième tirage» C

16 V E : «obteir ue voyelle et ue cosoe» V V E V V V V V V V V V / V V V / V V 0 0 V 8 Modèle élémetaire de diffusio d ue épidémie : l ure à la olya O défiit les évéemets : V V : «la boule obteue au premier tirage est blache» ; N : «la boule obteue au premier tirage est oire» ; : «la boule obteue au deuxième tirage est blache» ; N : «la boule obteue au deuxième tirage est oire». E : «obteir deux voyelles» O otera que : ombre de boules à rajouter. E V V V / V V 0 E : «obteir deux cosoes» E V V V / V V 0

17 ) a a b Compéteces des exercices a a b b a b N - Savoir lire (décrypter, iterpréter) u texte e termes de probabilités. Formuler les idicatios de l éocé e probabilités simples et e probabilités coditioelles. - Savoir traduire ue questio e termes de probabilités : faut-il calculer u probabilité simple? ue probabilité coditioelle? Ne pas mélager probabilité coditioelle de sachat et probabilité de. - Savoir calculer ue probabilité coditioelle soit e utilisat la défiitio soit «par logique». b a b a a b - Savoir calculer la probabilité d ue itersectio e utilisat la formule des probabilités composées pour deux évéemets. - Savoir faire u arbre de probabilité. - Savoir appliquer la formule des probabilités totales pour calculer ue probabilité. N - Savoir démotrer que deux évéemets sot idépedats. b a b N - Savoir utiliser l idépedace de deux évéemets pour calculer ue probabilité. La frotière est pas facile à distiguer etre probabilité coditioelle et probabilité simple. ) et N formet u système complet d évéemets. Doc d après la formule des probabilités totales, o a : N / N / N a a b a a b a b a b a b a a b (o e développe pas le déomiateur) a b a b a a b O observe que.