Multiplication. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.

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1 Multiplication C H A P I T R E 14 Énigme du chapitre. Après une épreuve de gymnastique, on distribue 180 bonbons aux dix participants. Naturellement, c est le premier qui en recoit le plus ; le deuxième en reçoit 2 de moins que le premier ; le troisième 2 de moins que le troisième et ainsi jusqu au dernier. Combien de bonbons donne-t-on au cinquième? Objectifs du chapitre. Connaître les tables de multiplications et les résultats qui en dérivent. Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, *Multiplier un nombre par 0;1 ; 0;01 ; 0;001. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de clacul : mental, à la main ou instrumenté. Connaître la signification du vocabulaire associé : produit, terme, facteur. Établir un ordre de grandeur d un produit.

2 I/ Multiplication par un nombre décimal 1) Table de Pythagore Activité A. Utilisation des tables de multiplication 1. Compléter la table de multiplication (ou de Pythagore) suivante : 2. Sur cette table de Pythagore, tracer une diagonale qui part du coin en haut à gauche et qui va vers le coin en bas à droite. Que remarquez-vous? 3. En utilisant la table de multiplication par 3, justifier que le nombre 24 est un multiple de En utilisant les tables de multiplication, justifier que le nombre 24 est aussi un multiple : (a) de 4 (b) de 6 (c) de 8 5. Justifier que le nombre 24 est un multiple de Justifier que le nombre 24 est un multiple de 1. Faire les exercices 1

3 2) Produit de deux nombres Activité B. Donner un sens au produit de deux nombres 1. Produit d un nombre décimal par un nombre entier À la boulangerie, Marc achète 6 pains au chocolat à 1;25 e à l unité. Pour trouver le prix payé, Marc calcul cette opération : 1;25 + 1;25 + 1;25 + 1;25 + 1;25 + 1;25: (a) Effectuer le calcul proposé par Marc. (b) Trouver et effectuer une autre opération permettant de calculer le prix des 6 pains au chocolat. (c) Des deux opérations effectués, laquelle est la plus rapide? 2. Produit de deux nombres décimaux Sofia et Hassan veulent calculer le prix de 3;4 kg de pommes. Un kilogramme de ces pommes coûte 2;80 e. Sofia : Prix (en euros) : o de 3 kg de pommes : 3 * 2,80 =... o de 0,1 kg de pommes : 0,28 o de 0,4 kg de pommes : 4 * 0,28 =... o de 3,4 kg de pommes : =... Hassan : Prix (en euros) de 3,4 kg de pomems : 3,4 * 2,80 =... (a) i. Recopier et compléter le travail de Sofia. ii. En utilisant la calculatrice, recopier et compléter le travail de Hassan. (b) Quel élève a calculé le plus simplement le prix de 3;4 kg de pomems? Définition Une multiplication est une opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Les nombres qsue l on multiplie sont les facteurs du produit. Exemple 6;3 1;2 = 7;56. 6;3 1;2 est le produit de 6;3 par 1;2. Les facteurs du produit sont 6;3 et 1;2. Le calcul du produit de 6;3 par 1;2 donne 7;56.

4 Propriété a désigne un nombre décimal. a 0 = 0 et 0 a = 0: Autrement dit, lorsque l on multiplie un nombre par 0, on obtient 0. Exemples 27;4 0 = ;43 = 0 Propriété a désigne un nombre décimal. a 1 = a et 1 a = a: Autrement dit, lorsque l on multiplie un nombre par 1, on obtient ce même nombre. Exemples 27;4 1 = 27; ;43 = 6234;43

5 3) Poser et effectuer une multiplication Activité C. Poser et effectuer une multiplication Voici la même opération posée et effectuée par trois élèves de Sixième : 3; 7 4 2; 8 Samira : Mélanie : Clément : ; ; 7 4 2; ; 7 2 3; 7 4 2; ; Chacun de ces élèves a commis une seule erreur. 1. Expliquer l erreur commise par chaque élève. 2. Poser et effectuer correctement cette multiplication. Méthode (Poser et effectuer la multiplication) 1. (a) On pose la multiplication. (b) On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules. 2. (a) On compte le nombre de chiffres après la virgule de chaque facteur. (b) On calcule la somme de ces deux nombres. 3. (a) Cette somme correspond au nombre de chiffres après la virgule du résultat. (b) On place la virgule dans le résultat. Exemple On veut calculer le produit de 37;8 par 2; ; 8 2; ; 9 8 8

6 Dans le nombre 37;8, il y a un chiffre après la virgule. Dans le nombre 2;46, il y a deux chiffres après la virgule. Donc : le résultat de la multiplication est un nombre avec trois chiffres après la virgule. Faire les exercices F 5 6 F 7 F

7 II/ Propriétés de la multiplication 1) Multiplication par 10 ; par 100 ; par 1000 Activité D. Multiplier un nombre décimal par On veut multiplier le nombre 2;753 par 100. Pour cela : (a) Quel est le chiffre des unités dans le nombre 2;753? (b) Quel est le rang du chiffre 2 dans le nombre 2;753 centaines? (c) En déduire le résultat de 2; (d) Recopier et compléter les phrases suivantes : «Quand on multiplie un nombre décimal par 100, le chiffre des unités devient le chiffre des : : :. Ce qui revient à décaler la virgule de : : : rangs vers la : : :.». 2. On veut convertir 2;753 hectomètres (hm). (a) Le mot hectomètre se décompose en deux parties : hecto et mètre. Que signifie le préfixe hecto? (b) Recopier et compléter : «1 hm = : : : m». (c) Recopier et compléter : «2;753 hm = 2;753 : : : m = : : : m». Propriété Pour multiplier un nombre décimal par : on décale la virgule de ce nombre de : 1 rang vers la droite 2 rangs vers la droite 3 rangs vers la droite Exemples 2;43 10 = 24; = 562; = ; = 37; = Faire les exercices 8 9

8 2) Multiplication par 0;1 ; par 0;01 ; par 0;001 Activité E. Multiplier un nombre décimal par 0;01 1. On veut donner l écriture décimale du nombre 328;7 centièmes. Pour cela : (a) Quel est le chiffre des unités dans le nombre 328;7? (b) Quel est le rang du chiffre 8 dans le nombre 328;7 centièmes? (c) En déduire l écriture décimal du nombre 328;7 centièmes. 2. (a) Donner l écriture décimale du nombre 1 centième. (b) Recopier et compléter ces égalités : «328;7 centièmes = 328;7 1 centième = 328;7 : : : (c) En utilisant la question 1(c), donner le résultat 328;7 0;01. (d) Recopier et compléter les phrases suivantes : «Quand on multiplie un nombre décimal par 0;01, le chiffre des unités devient le chiffre des : : :. Ce qui revient à décaler la virgule de : : : rangs vers la : : :». 3. On veut convertir en mètres la longueur 328;7 centimètres (cm). (a) Le mot centimètre se décompose en deux parties : centi et mètre. Que signifie le préfixe centi? (b) Recopier et compléter : «1 cm = : : : m». (c) Recopier et compléter : «328;7 cm = 328;7 : : : m = : : : m». Propriété Pour multiplier un nombre décimal par : 0;1 0;01 0;001 on décale la virgule de ce nombre de : 1 rang vers la gauche 2 rangs vers la gauche 3 rangs vers la gauche Exemples 243 0;1 = 2; ;01 = 5;62 37;26 0;001 = 0037; = 0;03726 Faire les exercices F

9 3) Produit de plusieurs facteurs Propriété On peut modifier l ordre des facteurs d un produit et les regrouper, sans que cela ne change le résultat. Exemple On veut calculer astucieusement A = 4 0;27 2;5. A = 4 0;27 2;5 = 4 2;5 0;27 = (4 2;5) 0;27 = 10 0;27 = 2;7: Faire les exercices F 16 F 17 F

10 III/ Ordre de grandeur Activité F. Ordre de grandeur Marc et Julia discutent. Voici leur échange : Marc : «Je pense que 4;03 2;9 est égal à 8;27.» Julia : «C est faux! Un ordre de grandeur du résultat est 12.» 1. Expliquer comment Julia a trouvé cet ordre de grandeur. 2. Poser et effectuer correctement la multiplication 4;03 2;9. Méthode (Ordre de grandeur) Pour trouver un ordre de grandeur d un produit : 1. On remplace chaque facteur par un nombre proche qui permet d effectuer le calcul mentalement. 2. On effectue la multiplication avec les nombres choisis. 3. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur du produit. Exemple On cherche un ordre de grandeur de ce produit : 58;92 32;4. 1. On remplace par exemple : 58;92 par 60 et 32;4 par On calcule mentalement : = = = 1800: 3. Donc 1800 est un ordre de grandeur du produit 58;92 32;4. Faire les exercices F 22 F Problèmes : Faire les exercices 23 F 24 F 25 F