Théorème de Pythagore

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1 Théorème de Pythagore I - Vocabulaire un triangle rectangle est caractérisé par 3 sommets 3 côtés 3 angles dont la somme est 180 aractéristiques un angle droit : un angle de 90 2 cotés adjacents à l'angle droit 1 côté opposé à l'angle droit ; l'hypoténuse Mots-clés du triangle rectangle angle droit côté adjacent côté opposé hypoténuse Remarque L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit. 'est aussi le côté le plus long des trois côtés II. Théorème de Pythagore 1) Énoncé Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrées des longueurs des deux autres côtés = 2 Le théorème de Pythagore est une propriété qui permet de calculer la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle. onditions d'application du théorème de Pythagore il faut connaître les longueurs des deux autres côtés du triangle rectangle il faut un angle droit pour avoir un triangle rectangle

2 Pour s'entraîner, appliquez le théorème de Pythagore. figures Triangle rectangle en? Hypoténuse? Écrire la formule de Pythagore alcul de la 3ème longueur

3 Exercice 2 Entraînement au calcul mental 1) Donner les racines carrées de : 36 ; 81 ; 4 ; 25 ; 144 ; 16 ; 25 ; 9 ; 121 ; 49 ; 169 ; 225 ; 100 ; 196 2) alculer : Exercice n 92 page 319 Exercice 3 Le triangle est rectangle en tel que = 7 cm et = 9 cm alculer la longueur. Justifie ta réponse. Exercice 4 Le triangle est rectangle en et isocèle. alculer et dans les cas suivants a) = 5cm ; b) = 7,5 cm 2) onseil pour la rédaction Le triangle.. est rectangle en.. L'hypoténuse est le segment [.] Je connais deux longueurs : les côtés [.] et [...] qui mesurent respectivement.. et... J'applique l'égalité de Pythagore =... 2 J'en déduis la troisième longueur au carré par le calcul. Je prend la racine carré du résultat. Phrase réponse : La longueur du côté [...] vaut... (avec les unités)

4 III. Réciproque théorème de Pythagore 1) Utilisation de la formule de Pythagore pour tracer un angle droit sans équerre a) Utilisation de la méthode ette méthode est basée sur le principe de la formule de Pythagore. Elle consiste à construire un triangle dont les trois côtés vérifient la formule de Pythagore. Pythagore nous dit : La somme des carrés des petits côtés est égale au carré du grand côté (l'hypoténuse). pplication au triangle 3 4 5: Soit un triangle dont les côtés font 3 ; 4 et 5 unité de longueur (cm, m etc..). e triangle vérifie la formule de Pythagore. En effet : = = 25 = 5 2 b) Remarque ette méthode permet de réaliser un triangle rectangle et former un angle droit parfait sans avoir d'équerre sous la main!!! Le triangle n'est pas le seul triangle rectangle dont les côtés sont entiers. Par exemple les triangles ; ; ; = 9 ; 4 = 16 ; 5 = 25 ; 6 = 36 ; 7 = 49 ; 8 = 64 ; 9 = 81 ; 10 = 100 ; 11 = 121 ; 12 = 144 ; 13 = 169 ; 14 = = = ) onséquence : Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré d'un des côtés est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Soit le triangle. Si les côtés de ce triangle vérifie l'égalité de Pythagore à savoir = 2 alors le triangle est rectangle en. Remarques : - il faut connaître les longueurs des trois côtés du triangle pour appliquer la réciproque - l'hypoténuse sera alors le plus long côté du triangle - la réciproque du th de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle (triangle avec un angle droit). 3) onseil pour la rédaction de la réciproque Les trois cotés [.], [.], [.] du triangle mesurent respectivement :... [..] est le côté le plus long. Je calcule le carré de ce côté. Le côté le plus long au carré =... Je calcule la somme des carrés des deux autres côtés. La somme vaut =... Si la somme... = carré de la longueur du côté le plus long lors le triangle est rectangle. Sinon le triangle n'est pas rectangle.

5 Exercice de révision Sur la figure codée ci-contre, le point H appartient au segment []. [H] = 7,2 cm ; H = 10,8 cm et H = 4,8 cm. Le triangle est-il rectangle? orrection H Méthode : on calcule le carré des 3 côtés du triangle on vérifie si la réciproque du théorème de Pythagore peut s'appliquer ou non 1) alcul du côté Le point H appartient au segment [], donc = H + H = 10,8 + 4,8 = 15,6 2 = 243,36 2) alcul du côté Les triangles H est rectangle en H. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore H 2 + H 2 = 2 10, ,2 2 = 2 116, ,84 = 2 On trouve : 2 = 168,48 3) alcul du côté Les triangles H est rectangle en H. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore H 2 + H 2 = 2 4, ,2 2 = 2 23, ,84 = 2 On trouve : 2 = 74,88 4) alcul de la somme des 2 petits côtés On calcule =168, ,88 = 243,36 5) onclusion / phrase réponse L'égalité = 2 est vérifiée D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en.