1 Décomposition sans perte d information

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1 1 Décomposition sans perte d information La décomposition de schémas est pour but d éviter les redondances de données. Cependant, lors de la recherche d information, il est souvent nécessaire de recomposer les tables stockées pour retrouver les informations dans les tables d origine. Cette opération est non seulement coûteuse, mais peut avoir plusieurs problèmes, par exemple le problème de perte d information. Considérons l exemple suivant. EXEMPLE 1 Soit l univers U = ABC et une relation u sur U. Considérons la décomposition de u en deux relations r et s, respectivement sur AB et BC, par la projection. u: A B C r: A B s : B C a b c a b b c a b c a b b c a b c Figure 1: Relation u et sa décomposition en relations r et s La recomposition des deux relations sur AB et BC, par la jointure, resulte la relation u : u : A B C a b c a b c a b c a b c Figure 2: Relation u obtenue par la jointure de r et s Il est clair que u u: on n obtient pas l information de la relation d origine u. Définition 1 (Décomposition) Soit u une relation sur l univers U. Un schéma de base S = {R 1,..., R k } est une décomposition de U ssi U = R 1... R k. Bases de Données - V. Phan Luong 1

2 La décomposition de u en relations Π R1 (u),..., Π Rk (u) est sans perte d information (SPI) si Π R1 (u)..., Π Rk (u) = u. Soit F un ensemble de DFs définies sur U. Le schéma de base S est une décomposition SPI de U, par rapport à F, ssi u Sat(F ), Π R1 (u)..., Π Rk (u) = u. Nous considérons le problème de vérification si un schéma de base S = {R 1,..., R k } est une décomposition SPI de U, par rapport à un ensemble F de DFs. D après une propriété de la jointure, il est toujours vrai que u Π R1 (u)..., Π Rk (u). Donc, pour résoudre le problème, il suffit de vérifier si Π R1 (u)..., Π Rk (u) u. Supposons que U = A 1...A n. Soit t = (a 1,..., a n ) un n-uplet dans Π R1 (u)..., Π Rk (u). Alors t[r 1 ] Π R1 (u),..., t[r k ] Π Rk (u). Pour 1 i k, t[r i ] Π Ri (u) ssi il existe q u tel que t[r i ] = q[r i ]. En supposant que R i = A i1...a ij, où j est la cardinalité de R i. On doit avoir q(a i1 ) = t(a i1 ),..., q(a ij ) = t(a ij ). Bases de Données - V. Phan Luong 2

3 Pour tout A U, tel que A (A i1 ),..., A (A ij ), on ne sait pas si q(a) = t(a). Si l on peut montrer qu il existe un tel q tel que pour tout A U, q(a) = t(a), alors t = q, d où t u, et donc Π R1 (u)..., Π Rk (u) u. Méthode de poursuite La vérification de décomposition sans perte d information en présence de dépendances fonctionnelles peut être réalisée avec un tableau appelé un tableau de poursuite. Chaque colonne du tableau a pour entête un attribut de U. Pour chaque schéma R i S, une ligne q i est établit pour le tableau, telle que si R i = A i1...a ij alors, q(a i1 ) = t(a i1 ) = a i1,..., q(a ij ) = t(a ij ) = a ij, et Pour tout A U, tel que A (A i1 ),..., A (A ij ), q(a) = x h, où h est un indice n est jamais utilisé pour indexer x dans le tableau. Les a im, 1 m j, sont appelés les constantes, et les symboles x h sont appelés les variables. Dans ce tableau, on répète les actions suivantes, jusqu à ce qu une ligne soit remplie par des constantes ou le tableau ne change plus. Soient q 1 et q 2 deux lignes du tableau. Pour chaque DF X Y de F, si q 1 [X] et q 2 [X] sont identiques sur tous les attributs de X, alors pour chaque A Y, 1. Si q 1 (A) est une constante et q 2 (A) est une variable (ou inversement), alors remplacer la variable par la constante. 2. Si q 1 (A) = x g et q 2 (A) = x h sont des variables telles que g < h, alors remplacer x h par x g. Lorsque la répétition termine, si une ligne du tableau est remplie avec des constantes, ce qui veut dire que t = q u, alors la décomposition est SPI. Sinon, on n a pas de conclusion: La conclusion dépend d autres choses, par exemple d autres contraintes de données différentes de DFs, ou dépend de domaines des attributs. Bases de Données - V. Phan Luong 3

4 EXEMPLE 2 Soit l univers U = ABCDEF et F = {A B, B C, C D, E D, D A}. Soit S = {ABE, AD, BEF, CEF }. Le tableau de poursuite initial est dans la figure 3. Le résultat de la première répétition est dans la figure 4. Les constantes obtenues par les remplacements sont notées par les caractères du texte normal. La deuxième étape de répétition résulte le tableau dans la figure 5. Les constantes obtenues dans cette étape, par les remplacements sont noées par les caractères gras. La dernière ligne du tableau est remplie par les constantes. Donc, la poursuite s arrête et on conclut que la décomposition est SPI. A B C D E F ABE a b x 1 x 2 e x 3 AD a x 4 x 5 d x 6 x 7 BEF x 8 b x 9 x 10 e f CEF x 11 x 12 c x 13 e f Figure 3: Tableau de poursuite: état d initialisation A B C D E F ABE a b x 1 d e x 3 AD a b x 1 d x 6 x 7 BEF a b x 1 d e f CEF a x 12 c d e f Figure 4: Tableau de poursuite: première étape de répétition A B C D E F ABE a b c d e x 3 AD a b c d x 6 x 7 BEF a b c d e f CEF a b c d e f Figure 5: Tableau de poursuite: deuxième étape de répétition EXEMPLE 3 Soit l univers U = ABC et F = {}. Soit S = {AB, BC}. Le tableau de poursuite initial est dans la figure 6. Dès la première répétition il n y a pas de Bases de Données - V. Phan Luong 4

5 changement, car F est vide. Donc, la poursuite s arrête, et on n a pas de conclusion sur la propriété SPI de la décomposition. Maintenant, supposons que l on dispose d autres informations sur les contraintes de données. Par exemple, Si le domaine de A est un singleton A = {a}. Alors la variable x 2 ne peut pas prendre d autres valeurs que a, c est-à-dire, x 2 est forcément égale à a. Donc, La décomposition est SPI. Ou, si dom(a) = {a, a } et dom(c) = {c, c }, alors en choissant x 1 = c et x 2 = a on obtien une relation u = {(a, b, c ), (a, b, c)} qui satisfait F (évidemment), et Π AB (u) Π BC (u) u. Donc, la décomposition S = {AB, BC} n est pas SPI, par rapport à F. A B C ABE a b x 1 AD x 2 b c Figure 6: Tableau de poursuite de l exemple 3 Théorème 1 Soit S = {R 1, R 2 } une décomposition de U. Soit F un ensemble de DFs définies sur U. Si F R 1 R 2 R 1 R 2 ou F R 1 R 2 R 2 R 1, alors S est SPI. Théorème 2 Soit S = {R 1, R 2,..., R n } une décomposition SPI de U par rapport à F, un ensemble de DFs définies sur U. Si {S 1, Z 2 } est une décomposition SPI de R 1, par rapport à F, alors S = {Z 1, Z 2, R 2,..., R n } est une décomposition SPI de U par rapport à F. 2 Décomposition sans perte de dépendances Soit F un ensemble de DFs définies sur l univers U, et u une relation sur U. Supposons que pour des raisons de redondances de données, on décompose U en un ensemble de Bases de Données - V. Phan Luong 5

6 schémas S = {R 1, R 2,..., R n }, tel que S est une décomposition SPI de U par rapport à F. Ainsi u est décomposée en relations Π Ri (u), 1 i n, telle que u = Π R1 (u)..., Π Rn (u). Les données de la base seront stockées dans les relations Π R1 (u),..., Π Rn (u). Comment vérifier si ces données satisfont les DFs de F? Ces données sont théoriquement les données de u. Donc, une méthode de vérification est de recomposer u par la jointure Π R1 (u)..., Π Rn (u), et vérifier la satisfaction dans u. Cependant, la jointure est coûteuse. Peut-on éviter la recomposition, c est-à-dire, vérifier la satisfaction de DFs localement dans chaque relation Π Ri (u), 1 i n et conclure la satisfaction de DFs globalement dans u. Définition 2 (Décomposition SPD) Une décomposition S est sans perte de dépendances, par rapport à F, s il existe G F + tel que pour toute X Y G, R i S : XY R i, et G + = F +. Définition 3 Soit F un ensemble de DFs définies sur un univers U. Soit R U. Une DF X Y est applicable sur R si XY R. F R = {X Y F + XY R}. Soit S = {R 1,..., R n }. Alors F S = F R1... F Rn. EXEMPLE 4 Soit U = ABCDE, F = {A BC, C A, A D, D E, A E}, et S = {ABC, BCD, DE}. Les DFs de F ABC sont d abord toutes les DFs X Y de F telles que XY ABC, c est-à-dire, A BC, C A. Ensuite, on inclut dans F ABC les DFs X Y dérivées Bases de Données - V. Phan Luong 6

7 de F, telles que XY ABC. Par exemple, C B. Notons que C B peut aussi être dérivée de A BC et C A. Avec des remarques similaires, on peut montrer que F ABC = {A BC, C A} + F BCD = {C B, C D} + F DE = {D E} + Ainsi, F S = {A BC, C A, C B, C D, D E} +. On remarque que {A BC, C A}, {C B, C D}, et {D E} sont respectivement les couvertures minimales de F ABC, F BCD, et F DE. En général, le calcul de F S n est pas une tâche simple. Cependant, F S est un ensemble G à retrouver pour la définition 2. Théorème 3 Soit S = {R 1, R 2,..., R n } une décomposition de U, par rapport à F, un ensemble de DFs définies sur U. S est SPD par rapport à F, ssi F + S = F +. Preuve. Supposons que S est SPD par rapport à F. D après la définition 2, il existe G F + tel que pour toute X Y G, R i S : XY R i, et G + = F +. Donc, G F S, et donc G + F + S. Or F + S F + et G + = F +. Donc, F + F + S F + D où, F S + = F +. Maintenant, supposons que F S + = F +. Pour montrer que S est SPD par rapport à F, d après la définition 2, on peut prendre G = F S. Bases de Données - V. Phan Luong 7

8 D après la définition de F S, théoriquement son calcul demande le calcul de F +, dont la cardinalité peut être exponentiel par rapport au nombre d attributs figurés dans F. Cependant, nous pouvons remarquer, avec l exemple 4, que l on a besoin seulement de l essentiel de F S. Algorithme SPD Entrée: Un univers U, un ensemble F de DFs et une décomposition S = {R 1, R 2,..., R n }. Sortie: Vrai si S est SPD, faux sinon. Méthode: spd = vrai; Tant que spd et il existe X Y F non traitée faire Z = X; Répéter Pour i de 1 à n faire Z = Z ((Z R i ) + R i ); Jusquà ce que Y Z ou Z ne change pas. Si Y Z alors spd = faux; Fait; Retourne spd; Fin. Dans l algorithme, la fermeture (Z R i ) + est calculée par rapport à F. Cependant, dans la boucle calculant Z = Z ((Z R i ) + R i ), l algorithme calcule la fermeture de X par rapport F S. En effet, Z est initialisée à X. Dans une étape i de la boucle Pour, 1. Z R i R i, 2. (Z R i ) + = (Z R i ) + F, donc Z R i (Z R i ) + F +, 3. ((Z R i ) + R i ) R i, donc, Z R i (Z R i ) + R i F Ri, et Bases de Données - V. Phan Luong 8

9 4. Z ((Z R i ) + R i : Z est augmenté par (Z R i ) + R i. Par les deux derniers points, on retrouve l idée de l algorithme Ferme, où F est remplacé par F R1... F Rn. Théorème 4 L algorithme SPD retourne vrai ssi S est SPD. EXEMPLE 5 Soit U = ABCD, F = {A B, B C, C D, D A}, et S = {AB, BC, CD}. Le tableau 7 donne l exécution de l algorithme SPD pour ces données. X Y R i Z Z R i (Z R i ) + (Z R i ) + R i spd A B AB A A ABCD AB vrai BC AB B ABCD BC B C AB B B ABCD AB vrai BC AB B ABCD BC CD ABC C ABCD CD C D AB C vrai BC C C ABCD BC CD BC C ABCD CD BCD D A AB D vrai BC D CD D D ABCD CD AB CD BC CD C ABCD BC CD BCD CD ABCD CD AB BCD B ABCD AB BC ABCD BC ABCD BC Figure 7: Exécution de l algorithme SPD Donc, S = {AB, BC, CD} est une décomposition SPD de U, par rapport à F. Bases de Données - V. Phan Luong 9