Daniel ALIBERT. Séries numériques. Séries de fonctions. Séries entières. Séries de Fourier.

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1 Daiel ALIBERT Séries umériques Séries de foctios Séries etières Séries de Fourier Objectifs : Savoir détermier la covergece d'ue série umérique Calculer ue valeur approchée ou détermier l'expressio exacte de la somme d'ue série Coaître les otios de covergece poctuelle, covergece uiforme, covergece ormale, d'ue série de foctios Etudier la covergece d'ue série etière ou d'ue série de Fourier, et les propriétés de sa somme Utiliser les séries etières ou de Fourier pour résoudre divers problèmes : calcul d'itégrale, sommatio d'expressios, résolutio d'équatios différetielles, développemet d'ue foctio

2 Orgaisatio, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été coçu e vue d'u usage pratique simple Il s'agit d'u livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours Il e se substitue e aucue faço à u cours de mathématiques complet, il doit au cotraire l'accompager e fourissat des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilatio du cours Ce livre a été écrit pour des étudiats de première et secode aées des Liceces de scieces, das les parcours où les mathématiques tieet ue place importate Il est le fruit de ombreuses aées d'eseigemet auprès de ces étudiats, et de l'observatio des difficultés qu'ils recotret das l'abord des mathématiques au iveau du premier cycle des uiversités : - difficulté à valoriser les ombreuses coaissaces mathématiques dot ils disposet lorsqu'ils quittet le lycée, - difficulté pour compredre u éocé, ue défiitio, dès lors qu'ils mettet e jeu des objets abstraits, alors que c'est la ature même des mathématiques de le faire, - difficulté de coceptio et de rédactio de raisoemets même simples, - maque de méthodes de base de résolutio des problèmes L'ambitio de cet ouvrage est de cotribuer à la résolutio de ces difficultés aux côtés des eseigats Ce livre comporte quatre parties La première, ititulée "A Savoir", rassemble les défiitios et résultats qui sot utilisés das les exercices qui suivet Elle e cotiet i démostratio, i exemple La secode est ititulée "Pour Voir" : so rôle est de préseter des exemples de toutes les défiitios, et de tous les résultats de la partie

3 précédete, e e faisat référece qu'aux coaissaces qu'u étudiat abordat le chapitre cosidéré a écessairemet déjà recotré (souvet des objets et résultats abordés avat le baccalauréat) La moitié eviro de ces exemples sot développés complètemet, pour éclairer la défiitio ou l'éocé correspodat L'autre moitié est formée d'éocés ititulés "exemple à traiter" : il s'agit de questios permettat au lecteur de réfléchir de maière active à d'autres exemples très proches des précédets Ils sot suivis immédiatemet d'explicatios détaillées La troisième partie est ititulée "Pour Compredre et Utiliser" : des éocés d'exercices y sot rassemblés, e référece à des objectifs Ces éocés comportet des revois de trois sortes : ( ) pour obteir des idicatios pour résoudre la questio, () lorsqu'ue méthode plus géérale est décrite, () revoie à ue etrée du lexique Tous les exercices sot corrigés de maière très détaillée das la partie 3 - Au cours de la rédactio, o a souvet proposé au lecteur qui souhaiterait approfodir, ou élargir, sa réflexio, des questios complémetaires (QC), égalemet corrigées de faço détaillée La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les idicatios, les méthodes, et le lexique Certais livres d'exercices comportet u grad ombre d'exercices assez voisis, privilégiat u aspect "etraîemet" das le travail de l'étudiat e mathématiques Ce 'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questios complémetaires proposés abordet des aspects variés d'ue questio du iveau du L L de scieces pour l'éclairer de diverses maières et aisi aider à sa compréhesio Le lecteur est ivité, à propos de chacu d'etre eux, à s'iterroger sur ce qu'il a de gééral (o l'y aide par quelques commetaires) 3

4 Table des matières A Savoir 9 - Séries umériques 9 - Suites et séries de foctios 5-3 Séries etières 9-4 Séries de Fourier 3 Pour Voir 33 - Séries umériques 33 - Suites et séries de foctios 63-3 Séries etières 73-4 Séries de Fourier 79 3 Pour Compredre et Utiliser Éocés des exercices Corrigés des exercices Corrigés des questios complémetaires 45 4 Pour Chercher 5 4- Idicatios pour les exercices 5 4- Méthodes Lexique 57

5 A savoir 5 A Savoir Das cette partie, o rappelle rapidemet les pricipales défiitios et les pricipaux éocés utilisés Vous devrez vous référer à votre cours pour les démostratios Vous trouverez des exemples das la partie *Pour Voir Défiitio - Séries umériques Soit (u ) ue suite réelle ou complexe Pour chaque, soit : S = u 0 + u + + u O dit que la série de terme gééral u, ou la série u, coverge si la suite (S ) coverge Das ce cas, la limite S est appelée la somme de la série de terme gééral u O écrit : S = u =0 Etudier ue série, c'est doc étudier la covergece d'ue suite particulière, (S ), à partir d'hypothèses portat sur (u ) La suite, et la série, peuvet 'être défiies que pour 0 O e chage pas la covergece d'ue série e modifiat u ombre fii de termes Par cotre, e gééral, o modifie la valeur de sa somme si elle existe Si la série coverge, alors (u ) ted vers 0

6 6 A savoir L'esemble des suites termes gééraux de séries covergetes est u sous-espace vectoriel de l'espace des suites L'applicatio qui à ue telle suite associe la somme de la série est ue applicatio liéaire Das le cas d'ue série dot le terme gééral u est complexe, o voit qu'elle coverge si et seulemet si la série de terme gééral Re(u ) et la série de terme gééral Im(u ) coverget toutes deux O étudie doc das la suite seulemet les séries réelles Défiitio Soit (u ) ue suite réelle O dit que la série covergete si la série u est covergete u est absolumet Théorème Toute série réelle absolumet covergete est covergete La réciproque 'est pas vraie Les séries covergetes mais o absolumet covergetes sot appelées semi-covergetes Le théorème justifie l'importace particulière accordée aux séries réelles à termes positifs Ue série de terme gééral u positif est covergete si et seulemet si la suite : S = u u est majorée Das ce cas, la somme de la série est la bore supérieure de l'esemble des valeurs de S Prpositio Soiet (u ) et (v ) des suites réelles positives tedat vers 0 Si ces suites sot équivaletes lorsque ted vers l'ifii, alors la série coverge si et seulemet si la série v coverge u

7 A savoir 7 Das la pratique, pour étudier la covergece d'ue série positive, o peut remplacer so terme gééral par ue suite équivalete Propositio La série, où α est u réel, coverge si et seulemet si α > α Pour qu'ue série positive tel que la suite ( α u ) soit majorée Règles usuelles de covergece Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes u coverge, il suffit qu'il existe α > Règle de Cauchy : Si la suite u / a ue limite L, alors si L < la série u est absolumet covergete et si L >, la série est divergete Règle de D'Alembert : si la suite u + u a ue limite L, alors si L < la série divergete Défiitio u est absolumet covergete et si L > la série est O appelle série alterée ue série réelle dot le terme gééral est de la forme : ( ) u la suite (u ) état décroissate, et tedat vers 0 Théorème Toute série alterée u est covergete

8 8 A savoir Posos pour tout : S = u u, la somme S de la série alterée vérifie pour tout m : S m + S S m Propositio Soit f ue foctio réelle, défiie sur [a, [, décroissate et telle que : lim(f(x)) = 0 quad x ted vers l'ifii Alors l'itégrale : et la série Défiitio f () Soit (u ) ue suite telle que la série a f (x)dx coverget ou diverget simultaémet Pour tout etier aturel, posos S = u u O appelle reste d'ordre de la série le ombre : R = S S Majoratio de restes u coverge, et soit S sa somme Das le cas d'ue série alterée, la valeur absolue du reste est iférieure à la valeur absolue du premier terme égligé (u + ) Das le cas d'ue série vérifiat le critère de Cauchy, avec : (u ) / k <, pour > N la valeur absolue du reste d'ordre vérifie : k + R k Das le cas d'ue série vérifiat le critère de d'alembert, avec :

9 A savoir 9 u + u k <, pour > N, la valeur absolue du reste d'ordre vérifie : R k u + Das le cas où o a comparé la série f (x)dx, le reste vérifie les iégalités : a f (x)dx R f (x)dx + f () avec l'itégrale Groupemet de termes Soit φ : N N ue applicatio strictemet croissate Soit u ue série O lui associe la série de terme gééral : v 0 = u u φ(0), v = u φ(-)+ + + u φ() obteue e sommat "par paquets" Si φ( + ) φ() est boré et si u ted vers 0, alors si v coverge, la série u coverge égalemet, et les sommes sot égales Le cas s'applique souvet lorsqu'o regroupe par paquets de même logueur (sauf peut-être le premier)

10 0 A savoir Défiitio - Suites et séries de foctios Soit E u esemble O appelle suite de foctios sur E à valeurs complexes toute applicatio de N das F(E, C) Ue suite de foctios défiit doc pour chaque etier ue foctio, otée par exemple f, de E das C Si, pour tout et tout x de E, f (x) est u ombre réel, o dira que la suite de foctios est réelle Ue suite de foctios peut être défiie à partir d'u etier 0 seulemet, et o à partir de 0 Défiitio Soit E u esemble, et (u ) ue suite de foctios sur E à valeurs complexes O appelle série de foctios de terme gééral u la suite de foctios sur E défiie pour tout par : s = u 0 + u + + u Il se peut que la suite (u ) soit défiie seulemet à partir de 0 Das ce cas, il e est de même pour la série O parle souvet, par abus, de : "la série u " Défiitio Soit F ue partie de E, et (u ) ue suite de foctios sur E O dit que cette suite coverge simplemet (ou poctuellemet) sur F, si pour tout x de F la suite (u (x)) est covergete L'esemble de covergece simple (ou poctuelle) de la suite est : P = {x E (u (x)) est covergete}

11 A savoir La foctio limite de la suite (u ) est la foctio u défiie sur P par : Défiitio u(x) = lim(u (x)) Soit A ue partie de E, et (u ) ue suite de foctios sur E O dit que cette suite coverge uiformémet sur A vers la foctio u, si : ε > 0, N, N IN, x A N u (x) u(x) ε Ici, z désige la orme du complexe z O voit que A est ue partie de l'esemble de covergece poctuelle, et que sur A, u est la limite de la suite Ue série coverge simplemet (ou uiformémet) si la suite otée plus haut (s ) coverge simplemet (ou uiformémet) Pour x apparteat à l'esemble de covergece poctuelle de la série, o peut parler du reste d'ordre, ce qui défiit doc ue suite de foctios sur l'esemble de covergece poctuelle de la série Ue série de foctios s'il existe ue série umérique covergete uls telle que pour tout x de A : u (x) a u coverge ormalemet sur ue partie A a à termes positifs ou Lorsqu'ue série coverge, la limite de (s ) est la somme de la série Cette foctio est otée : u 0 Si ue série coverge simplemet (resp uiformémet), alors so terme gééral coverge simplemet (resp uiformémet) vers 0

12 A savoir Si ue série coverge simplemet sur A, alors elle coverge uiformémet sur A si et seulemet si la suite de ses restes ted vers 0 uiformémet sur A Propositio Avec les otatios utilisées ci-dessus, les éocés suivats sot équivalets : La suite de foctios (u ) coverge uiformémet vers u sur A, La suite réelle positive : sup( u (x) u(x), x A) coverge vers 0, Il existe ue suite de ombres réels positifs, (a ), qui coverge vers 0, u etier N, tels que pour N, et x A, o ait : u (x) u(x) a Théorème Si ue série coverge ormalemet sur ue partie A, alors elle coverge uiformémet sur A La somme et le produit de suites de foctios qui coverget simplemet sot des suites de foctios covergetes, et : lim(u + v ) = lim(u ) + lim(v ) lim(u v ) = lim(u ) lim(v ) Ces éocés sot ecore vrais pour la covergece uiforme si de plus les foctios limites sot borées sur la partie cosidérée Théorème Soit I ue partie de R Soit (u ) ue suite de foctios réelles sur I Soit A ue partie de I O suppose que les propriétés suivates sot vérifiées : Pour tout, la foctio u est cotiue sur A, La suite coverge uiformémet sur A Alors la foctio limite est cotiue sur A

13 A savoir 3 La somme d'ue série uiformémet covergete de foctios cotiues est ue foctio cotiue Théorème Soit I = [a, b] u itervalle de R Soit (u ) ue suite de foctios cotiues sur I, uiformémet covergete sur I, de limite u O a : b b lim u (x)dx a = u(x)dx a Si u est ue série uiformémet covergete de foctios cotiues sur I = [a, b], alors : b b u (x)dx = u a ( ) dx a Théorème Soit I u itervalle de R Soit (u ) ue suite de foctios de classe C sur I, covergete e au mois u poit de I, de limite u O suppose que la suite des dérivées (u' ) coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré coteu das I, et que sa limite est v Alors la suite (u ) coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré coteu das I Sa limite u est dérivable, et : u' = v Ue série u de foctios de classe C qui coverge simplemet e au mois u poit, et dot la série des dérivées u' coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré, coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré, vers ue foctio dérivable, et : u ( ) = u'

14 4 A savoir Défiitio -3 Séries etières O appelle série etière ue série de foctios dot le terme gééral est de la forme : u (x) = a x Les ombres (réels ou complexes) a sot appelés les coefficiets de la série etière O étudie les séries etières das le cadre d'ue variable complexe Propositio Soit z 0 u complexe tel que la suite (a z 0 ) soit borée Alors pour tout complexe z tel que z < z 0, la série a z est absolumet covergete Pour tout réel k vérifiat 0 k <, la série est ormalemet covergete sur l'esemble (disque fermé) des complexes z vérifiat : z k z 0 Le ombre z 0 peut être tel que a z coverge 0 Défiitio Le rayo de covergece de la série etière a z est la bore supérieure de l'esemble des réels positifs r tels que la suite (a r ) soit borée Si l'esemble des réels r 'est pas majoré, o dit que le rayo de covergece est

15 A savoir 5 Théorème Soit R (fii ou ifii) le rayo de covergece de la série etière a z Si R = 0, la série e coverge que pour z = 0 Si R 0 est u réel, la série est absolumet covergete pour z < R, divergete pour z > R, et elle coverge ormalemet sur tout disque fermé z r < R Si R est ifii, la série est absolumet covergete pour tout z, et coverge ormalemet sur toute partie borée de C Si R 0, le disque ouvert défii par z < R est appelé le disque de covergece de la série etière L'itervalle ouvert de IR, ] R, R[ est appelé l'itervalle de covergece O détermie souvet le rayo de covergece e remarquat que si le quotiet : a + a a pour limite L, alors le rayo de covergece est, avec la covetio L que si L = 0, le rayo est ifii, et si L est ifiie, le rayo est 0 Attetio, la réciproque de cet éocé 'est pas vraie Propositio La somme d'ue série etière est cotiue sur so itervalle (ou so disque) de covergece La somme d'ue série etière a z est dérivable sur so disque de covergece, et sa dérivée est la somme de la série a z Les séries a z et a z ot le même rayo de covergece

16 6 A savoir Das le cas complexe, o dit qu'ue foctio f est dérivable e z 0 si le quotiet : f (z) f (z 0 ) z z 0 a ue limite quad z ted vers z 0 E gééralisat, o voit que la somme d'ue série etière est idéfiimet dérivable, et que toutes les dérivées ot le même rayo de covergece que la série Défiitio Soit I u itervalle ouvert coteat l'origie, et f ue foctio défiie sur I, à valeurs das R O dit que f est développable e série etière sur I s'il existe ue suite réelle (a ) telle que pour tout x de I o ait : f (x) = a x = 0 S'ils existet, les coefficiets a sot doés par : E particulier, ils sot uiques a =! f () (0)

17 A savoir 7 Défiitio -4 Séries de Fourier O appelle série trigoométrique ue série de foctios dot le terme gééral est de la forme : u (x) = a cos(x) + b si(x), si > 0, u 0 (x) = a 0 /, b 0 = 0, où (a ) et (b ) désiget des suites de ombres réels (ou complexes) défiies pour 0 Lorsqu'ue série trigoométrique coverge, sa somme s'écrit : a 0 + ( a cos(x) + b si(x) ) = O utilise égalemet ue écriture complexe des séries trigoométriques E posat : o obtiet : a 0 c = a ib, c = a + ib, 0 N N + ( a cos(x) + b si(x) ) = c e ix = = N Notos que si la série trigoométrique est réelle, alors : c = c L'esemble de covergece poctuelle d'ue série trigoométrique est ivariat par ue traslatio de π, et sa somme est π-périodique La somme d'ue série trigoométrique est cotiue sur tout itervalle où la série coverge uiformémet

18 8 A savoir Si a et b sot covergetes, la série trigoométrique est uiformémet covergete sur R La somme de cette série est ue foctio cotiue sur R Si a x est ue série etière de rayo de covergece o ul R, de somme u(x), alors pour tout r vérifiat 0 < r < R, la série trigoométrique : a r e ix est ormalemet covergete sur R, et sa somme est u(re ix ) Propositio Si les suites (a ) et (b ) sot des suites réelles décroissates tedat vers 0, alors la série trigoométrique coverge e tout poit x tel que x kπ, k etier relatif, et coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré coteu das IR πz Théorème Si la série trigoométrique a 0 + ( a cos(x) + b si(x) ) coverge uiformémet sur R et si o ote s sa somme, alors les coefficiets vérifiet les relatios suivates pour tout réel x 0 : a = x π s(x)cos(x)dx 0 +π, x 0 b = x π s(x)si(x)dx 0 + π, x 0 c = x 0 + π s(x)e ix dx π x 0

19 A savoir 9 Défiitio Soit f ue foctio π-périodique, cotiue par morceaux sur R (à valeurs réelles ou complexes) O appelle coefficiets de Fourier de f les ombres suivats (réels ou complexes selo les valeurs de f), idépedats de x 0 : a = x π s(x)cos(x)dx 0 +π, La série trigoométrique : a 0 + x 0 b = x π s(x)si(x)dx 0 + π, x 0 c = x 0 + π s(x)e ix dx π x 0 ( a cos(x) + b si(x) ) s'appelle la série de Fourier de f O peut choisir x 0 pour redre le calcul plus facile pour ue foctio particulière : o voit aisi que si f est paire, alors b = 0 pour tout, et si f est impaire alors a = 0 pour tout Théorème Soit f ue foctio π-périodique, et C par morceaux La série de Fourier de f a les propriétés suivates : Elle coverge poctuellemet sur R, vers : f (x + 0) + f (x 0) Elle coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré coteu das u itervalle ouvert où f est cotiue

20 0 A savoir

21 Pour voir Pour Voir Das cette partie, o présete des exemples simples des otios ou résultats abordés das la partie précédete Ils sot suivis de questios très élémetaires pour vérifier votre compréhesio - Séries umériques "Soit (u ) ue suite réelle ou complexe O dit que la série de terme gééral u, ou la série u, coverge si la suite (S ) coverge " exemple Posos u = (0,) La série de terme gééral u coverge, e effet : S = + 0, + + (0,) ( )+ S = 0, 0, doc S a bie ue limite fiie quad ted vers l'ifii, qui vaut,5 exemple (à traiter) La série de terme gééral u = coverge-t-elle? # répose No, bie etedu, S ted vers l'ifii : = ( +)

22 Pour voir Etudier ue série, c'est doc étudier la covergece d'ue suite particulière, (S ), à partir d'hypothèses portat sur (u ) exemple 3 E effet, gééralemet, o e sait pas expliciter la valeur de S e foctio de comme das les deux premiers exemples Ces exemples peuvet cepedat servir de séries de comparaiso Aisi la série de terme gééral : v = ( + cos()) diverge car v, doc la somme S correspodate est supérieure à celle de l'exemple, qui ted vers l'ifii exemple 4 (à traiter) La série de terme gééral : est-elle covergete? w = (0, ) + # répose Oui, car o a les iégalités pour tout : (0, ) w = + (0,) w w + + (0,),5 doc la somme w w est ue suite croissate majorée par,5 La suite, et la série, peuvet 'être défiies que pour 0 exemple 5 La série de terme gééral :

23 Pour voir 3 ( ) 'est défiie qu'à partir de = exemple 6 (à traiter) A partir de quelle valeur de est défiie la série de terme gééral : # répose Il faut chercher si l'expressio au déomiateur s'aule O trouve facilemet que les racies sot et 5 La série est défiie pour 6 O e chage pas la covergece d'ue série e modifiat u ombre fii de termes Par cotre, e gééral, o modifie la valeur de sa somme si elle existe exemple 7 La série de terme gééral x doé par : x 0 = 0, x = (0,) coverge d'après l'exemple exemple 8 (à traiter) Quelle est la somme de cette série? # répose Seul le premier terme est modifié, la somme est doc dimiuée de Sa valeur est doc 0,5

24 4 Pour voir Si la série coverge, alors (u ) ted vers 0 exemple 9 C'est effectivemet ce qu'o costate pour l'exemple Ce résultat permet de motrer, par cotrapositio, qu'ue série e coverge pas exemple 0 (à traiter) Repredre l'exemple 3 pour vérifier que la série e coverge pas # répose O voit facilemet que le terme gééral : v = ( + cos()) e ted pas vers 0, doc la série diverge L'esemble des suites termes gééraux de séries covergetes est u sous-espace vectoriel de l'espace des suites exemple Pour motrer qu'ue série, somme de plusieurs séries, coverge, il suffit de motrer que chacue est covergete La série de terme gééral : u = + 3 coverge pour cette raiso exemple (à traiter) La somme de deux séries divergetes est-elle toujours divergete? # répose

25 Pour voir 5 Evidemmet, o O peut predre comme exemple ue série divergete et so opposé, dot la somme, costate égale à 0, coverge L'applicatio qui à ue telle suite associe la somme de la série est ue applicatio liéaire exemple 3 Pour calculer la somme de la série de l'exemple, o ajoute les sommes des séries de termes gééraux respectifs, et O obtiet doc : 3 + = +,5 = 3,5 3 exemple 4 (à traiter) Quelle est la somme de la série de terme gééral : u = + # répose Cette série est le produit par 0,5 de la série de terme gééral La somme de cette derière série est, doc : = 0 +

26 6 Pour voir Das le cas d'ue série dot le terme gééral u est complexe, o voit qu'elle coverge si et seulemet si la série de terme gééral Re(u ) et la série de terme gééral Im(u ) coverget toutes deux exemple 5 La série de terme gééral ( ) : + i z = 3 coverge E effet sa partie réelle est d'ue série covergete, et sa partie imagiaire est 3 3, iférieure à, terme gééral 3 exemple 6 (à traiter) La série de terme gééral : coverge-t-elle? w = + i 3 # répose La partie réelle est 3, et la partie imagiaire est 3 Das les deux cas, le raisoemet utilisé pour l'exemple s'applique puisque le ombre élevé à la puissace est iférieur à Cette série coverge bie

27 Pour voir 7 Soit (u ) ue suite réelle O dit que la série série u est covergete u est absolumet covergete si la exemple 7 Aisi la série de terme gééral : ( ) k est absolumet covergete pour tout réel k de [0, [ exemple 8 (à traiter) Vérifier que la série de terme gééral : cos( ) 3 est absolumet covergete # répose E effet, o peut écrire : cos() 3 3 La série majorate état covergete, la série de terme gééral cos() 3 est bie absolumet covergete Toute série réelle absolumet covergete est covergete exemple 9 Par exemple la série de l'exemple précédet est covergete O otera que ce résultat s'obtiet sas savoir écrire l'expressio des sommes partielles de cette série e foctio de

28 8 Pour voir exemple 0 (à traiter) Motrer que la série de terme gééral : si() + est covergete # répose Cette série 'est pas positive Cherchos si elle est absolumet covergete O peut écrire : si() + + = La série de terme gééral valeur absolue de la précédete est doc covergete Soiet (u ) et (v ) des suites réelles positives tedat vers 0 Si ces suites sot équivaletes lorsque ted vers l'ifii, alors la série u coverge si et seulemet si la série v coverge exemple Soit u ue série positive divergete, et v = u Cette série est + u divergete E effet, si v e ted pas vers 0, la série v ted vers 0, alors u = v v ted vers 0, et le quotiet : v u = + u ted vers, doc les séries sot équivaletes et v v diverge, et si diverge ecore

29 Pour voir 9 exemple (à traiter) E cherchat u équivalet, étudier la covergece de la série de terme gééral : # répose Le calcul est le suivat : Log + + = Log + = Log + Log = + Log + = + = + + ε + + = e + +ε = e e D'où u équivalet du terme gééral de la suite : + ~ e e Comme e >, cette série coverge + ε e ε ε

30 30 Pour voir Das la pratique, pour étudier la covergece d'ue série positive, o peut remplacer so terme gééral par ue suite équivalete exemple 3 La série de terme gééral : u = cos est positive Cherchos u équivalet de so terme gééral Les calculs doet : Log ( u ) = Log cos = Log + ε Log ( u ) = + ε = + ε O obtiet doc u équivalet de u : u ~ e ce qui motre que le terme gééral de la série e ted pas vers 0, doc la série diverge exemple 4 (à traiter) Par la même méthode, étudier la covergece de la série dot le terme gééral est : u = ch 3 # répose Les calculs sot les suivats :

31 Pour voir 3 Log u ( ) = 3 Log + + ε = 3 Log + 4 Log u ( ) = Log u ( ) = + + ε + ε 4 4 D'où u équivalet pour u : u ~ e O e déduit que la série coverge, puisque e > + ε 4 La série, où α est u ombre réel quelcoque, coverge si et seulemet si α > exemple 5 α Si P et Q sot des polyômes, la série de terme gééral : P() Q() coverge si et seulemet si deg(q) deg(p) + E effet, P(), comme Q(), est, pour assez grad, du sige de so terme domiat, et équivalet à celui-ci Le terme gééral de la série est doc de sige fixe pour assez grad, et o peut examier sa covergece par comparaiso avec u équivalet Si ax k (resp bx p ) est le terme domiat de P(x) (resp Q(x)) alors o a : P() Q() ~ a b p k

32 3 Pour voir La série coverge doc si et seulemet si p k >, soit, puisque ce sot des etiers, p k exemple 6 (à traiter) Examier la covergece de la série de terme gééral : w = # répose C'est ue série positive, o peut e chercher u développemet limité pour obteir u équivalet Les calculs sot les suivats : = = ε = + ε O voit que le terme gééral de la série est équivalet à Cette série est doc divergete Pour qu'ue série positive suite (αu ) soit majorée u coverge, il suffit qu'il existe u réel α > tel que la exemple 7 O cherchera doc à exprimer ue telle expressio e foctio de Aisi, soit la série de terme gééral : a = Log() 3 /

33 Pour voir 33 O écrit α a : α a = Log() 3/ α il suffit doc de choisir α strictemet compris etre et,5 pour que α a tede vers 0 Par exemple pour α =,5 Cette série coverge exemple 8 (à traiter) Vérifier que la série de terme gééral : v = cos() α coverge pour α > # répose E effet, o a : α v = cos() doc cette série est absolumet covergete, doc covergete ( u ) a ue limite (fiie ou ifiie) L, alors si L < la Règle de Cauchy : Si la suite série u est absolumet covergete et si L >, la série est divergete exemple 9 La série de terme gééral : coverge puisque : u = ( Log() ) ( u ) / = ( Log() )

34 34 Pour voir ted vers 0 exemple 30 (à traiter) La série de terme gééral : est-elle covergete? # répose π w = cos 4 + Le critère de Cauchy coduit aux calculs suivats : ( ) / = cos w lim w ( ) / = cos π 4 doc la série est bie covergete Règle de D'Alembert : si la suite π 4 + = est absolumet covergete et si L > la série est divergete u + a ue limite L, alors si L < la série u u exemple 3 La série de terme gééral u = ( + + )e vérifie : u + = ( )e = u ( + +)e + + doc la limite est e - La série est covergete ( ) ( ) e

35 Pour voir 35 exemple 3 (à traiter) Etudier par le critère de D'Alembert la covergece de la série de terme gééral : v =! # répose Les calculs sot les suivats : v + ( + )! = ( )!( + ) = + + doc : La série v v Log + est covergete = Log + = Log + ~ + lim v + = e v O appelle série alterée ue série réelle dot le terme gééral est de la forme ( )u, la suite (u ) état décroissate, et tedat vers 0 exemple 33 U exemple simple est la série ( )

36 36 Pour voir exemple 34 (à traiter) La série de terme gééral : est-elle ue série alterée? x = si π + + # répose O écrit : + + = + +, si π + π = si π( ) = ( ) si π + Pour assez grad, si π est ue foctio positive et décroissate, + doc o peut coclure que la série x est bie ue série alterée Toute série alterée est covergete exemple 35 O déduit de cet éocé que la série de l'exemple 33 est ue série semicovergete

37 Pour voir 37 exemple 36 (à traiter) E calculat sa différece avec la série de la série de terme gééral : # répose a = ( ) + ( ) Calculos la différece idiquée : ( ) + ( ) ( ) = ( ) = ( ), étudier la covergece + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = + ( ) ( ) O voit que cette série différece est de sige costat (égatif), et équivalete à, terme gééral d'ue série covergete La série étudiée est doc la somme de deux séries covergetes Elle coverge

38 38 Pour voir Posos pour tout, S = u u, la somme S de la série alterée vérifie pour tout m, S m + S S m exemple 37 Cherchos à partir de quel rag les sommes partielles de la série de l'exemple 34 : x = si π + + doet ue valeur approchée de la somme de la série avec ue erreur de mois de 0,00 Il suffit de voir quad le terme gééral deviet iférieur à cette valeur, e valeur absolue : si π + < 0,00 O trouve : + > 000π 644 o voit que cette série coverge assez letemet vers sa somme exemple 38 (à traiter) Après avoir vérifié que la série de terme gééral : ( ) y = si π + est alterée, calculer ue valeur approchée de sa somme à 0 - près

39 Pour voir 39 # répose O peut écrire : si( π +)= si π + = si π + = si π + π + π ε = ( ) si π + π ε + ε Pour assez grad, l'argumet de si est compris etre 0, et π, ce qui motre bie que les termes chaget de sige avec la parité de Pour étudier le ses de variatio de la valeur absolue de y, o remarque que d'après les calculs précédets, elle est égale à : si( π + π) La dérivée de la foctio : xa si( π x + xπ) est égative, doc la foctio est bie décroissate Les valeurs de y sot : y S 0 0-0, , , , , , , , , , , , ,4585-0,

40 40 Pour voir 8 0, , ,7309-0, , , ,404-0, , , , , ,865-0, ,0443-0, , ,594 Le premier terme dot la valeur absolue est iférieure à 0, est y 6 Ue valeur approchée à 0, près de la somme est doc 0,6 Soit f ue foctio réelle, défiie sur [a, [, décroissate et telle que lim(f(x)) = 0 quad x ted vers l'ifii Alors l'itégrale f (x)dx et la série f () coverget a ou diverget simultaémet exemple 39 Aisi, o voit que la série de terme gééral :, coverge, puisque l'éocé précédet s'applique avec a = : exemple 40 (à traiter), dx = x 0, x 0, = 0 Etudier la covergece de la série de terme gééral : u = Log()

41 Pour voir 4 # répose Posos : pour x La dérivée de f est : f (x) = f ' (x) = xlog(x) Log(x) + xlog(x) ( ), elle est doc égative pour x, doc f décroit, et ted évidemmet vers 0 si x ted vers Or, o a : xlog(x) dx = [ Log(Log(x)) ] = doc l'itégrale, et, par coséquet, la série, diverget Das le cas d'ue série alterée, la valeur absolue du reste est iférieure à la valeur absolue du premier terme égligé (u + ) exemple 4 Revoir l'exemple 38 Le reste doe la valeur de l'erreur faite e remplaçat la somme de la série (gééralemet icoue) par ue somme partielle U majorat du reste doe doc u majorat de l'erreur exemple 4 (à traiter) Doer ue valeur de la somme de la série de terme gééral : ( ) à mois de 0-5 près # répose

42 4 Pour voir La série est clairemet alterée Pour que le reste R soit iférieur à la précisio souhaitée, il suffit que le terme d'ordre + soit e valeur absolue iférieur à cette précisio : u S 0,5,5 3 0, , , , ,0003,9639 6,4335E-05,9847 7,47E-06,98593 doc + = 7, et la valeur cherchée est celle de S 6, soit,98 O otera la différece de "vitesse de covergece" avec l'exemple 37 Das le cas d'ue série vérifiat le critère de Cauchy, avec : (u )/ k <, pour > N la valeur absolue du reste d'ordre vérifie : k + R k exemple 43 Repreos l'exemple 30 : pour lequel o a vu que w Le reste d'ordre est majoré par : π w = cos 4 + ( ) / est au plus égal à k = cos π 5

43 Pour voir 43 Avec les valeurs : O voit par exemple que : cos π 5 si π 5 cos π 5 si π 5 + 0,655 0,345 R 5 0,005 Ue valeur approchée de la somme S est doc doée par :,353 S 5 < S <,358 exemple 44 (à traiter) Doer u majorat de R 0 das le cas de la série de l'exemple 9 # répose O doit doer u majorat de : ( u ) / = ( Log() ) pour > 0 Numériquemet :,30 < Log(0) <,303 doc : Log() ( ) < 0,435 pour > 0 U majorat de R 0 est doc :

44 44 Pour voir 0, 435 R 0 < ( ) 0,435 0,000 Das le cas d'ue série vérifiat le critère de d'alembert, avec : u + u k <, pour > N, la valeur absolue du reste d'ordre vérifie : R k u + exemple 45 Appliquos ce résultat à l'exemple 3 : v + = v + La limite est e Cherchos à partir de quelle valeur de la majoratio : v + < v,5 = 0,4 est vérifiée O remarque que la foctio : a Log + est décroissate (calcul de dérivée) Il suffit doc de trouver ue valeur de pour laquelle la majoratio est vérifiée Quelques essais umériques coduiset à > 5 exemple 46 (à traiter) Doer ue valeur approchée à 0-0 près de la somme de la série de l'exemple 3 :

45 Pour voir 45 # répose u = ( + + )e La limite obteue e appliquat le critère de D'Alembert est e - D'après : u + ( = ) u + + ( ) e cette limite est obteue e décroissat Cherchos à partir de quelle valeur de le quotiet est iférieur à 0,4 : + < 0,4 e < 0, soit : 0,0874( + +) > 0 ce qui est vrai à partir de = 3 Pour 3, o a doc la majoratio du reste : ( )+ R < 0, 4 0,6 Il suffit doc de redre le secod membre iférieur à la précisio souhaitée, soit ici 0-0 : ( 0,4) + <0 0 0,6 O voit qu'il suffit de predre 5 La valeur approchée de la somme de la série est alors : 3,

46 46 Pour voir Das le cas où o a comparé la série avec vérifie les iégalités f () f (x)dx R f (x)dx + l'itégrale f (x)dx, le reste a exemple 47 Cherchos à quelle vitesse coverge la série de terme gééral reste d'ordre vérifie l'ecadremet : x dx R + x dx Le R x + x + R Il faut doc de l'ordre de 000 termes pour que la valeur d'ue somme partielle approche la valeur de la somme de la série à 0-3 près : c'est ue covergece lete exemple 48 (à traiter) Doer ue valeur approchée à 0 - près de la somme de la série de terme gééral : v = ( +)e # répose O peut étudier la covergece de cette série e comparat avec ue itégrale : (x +)e x dx 0 E effet, o peut calculer cette itégrale et vérifier qu'elle coverge :

47 Pour voir 47 (x +)e x dx = (x + )e x 0 0 [ ] + e x dx 0 = + = Le reste d'ordre vérifie doc : (x +)e x dx R (x +)e x dx + [ (x +)e x x ] + + [ e ] + R (x +)e x ( + 3)e R ( + )e x [ ] + [ e ] U simple calcul umérique motre que R 7 est iférieur à la précisio demadée La valeur approchée de la somme correspodate est :,49 Soit φ : N -- N ue applicatio strictemet croissate Soit u ue série O lui associe la série de terme gééral : v 0 = u u φ(0), v = u φ(- )+ + + u φ() obteue e sommat "par paquets" Si φ( + ) φ() est boré et si u ted vers 0, alors si v coverge, la série u coverge égalemet, et les sommes sot égales exemple 49 Etudios la série de terme gééral : ( ) v = ( ) Ce 'est pas ue série alterée puisque la parité de l'exposat du umérateur K() est la suivate : = 4p, K() = p(4p ) est pair = 4p +, K() = (4p + )(p), pair

48 48 Pour voir = 4p +, K() = (p + )(4p + ), impair = 4p + 3, K() = (4p + 3) ( p + ), impair Regroupos les termes deux par deux : v p = u 4p + u 4p+ v p+ = u 4p+ + u 4p+3 Il est clair que c'est ue série alterée, doc covergete : la série coverge égalemet exemple 50 (à traiter) Etablir la covergece de la série de terme gééral : a = ( ) + ( ) # répose u Cette série 'est pas absolumet covergete Ce 'est pas o plus ue série alterée car la différece a + a 'est pas de sige costat Groupos les termes par deux O obtiet la série de terme gééral : p + p = p + ( )( p ) dot le sige est fixe, et qui coverge, puisqu'elle est équivalete à p Comme a ted vers 0, o coclut que a coverge égalemet

49 Pour voir 49 - Suites et séries de foctios Soit E u esemble, et (u ) ue suite de foctios sur E à valeurs complexes O appelle série de foctios de terme gééral u la suite de foctios sur E défiie pour tout par : s = u 0 + u + + u exemple 5 Ue suite de foctios 'est rie d'autre que la doée, pour chaque, d'ue foctio défiie sur E, par exemple si(x), ou x O peut lui associer ue série, comme par exemple : x exemple 5 (à traiter) Expliciter la suite s das le cas précédet # répose O écrit : s (x) = + x + + x + x = x+ x Soit F ue partie de E, et (u ) ue suite de foctios sur E O dit que la série coverge simplemet (ou poctuellemet) sur F, si pour tout x de F la suite (s (x)) est covergete exemple 53 La série de l'exemple 5 coverge poctuellemet sur ], [

50 50 Pour voir exemple 54 (à traiter) Quel est l'esemble de covergece poctuelle de la série de foctios de terme gééral : a (x) = + x # répose Il s'agit d'ue série de Riema, doc elle coverge si et seulemet si o a l'iégalité : + x <, doc l'esemble de covergece poctuelle est ], [ La foctio somme de la série de terme gééral (u ) est la foctio s défiie sur l'esemble de covergece poctuelle par s(x) = lim(s (x)) exemple 55 Pour l'exemple 53, la somme est doée par : s(x) = x exemple 56 (à traiter) Soit la suite de foctios : u p (x) = x p u p+ (x) = 0 Défiir l'esemble de covergece poctuelle de la série associée, et sa somme

51 Pour voir 5 # répose Il suffit de remarquer que cette série 'est autre que celle de l'exemple 53, composée avec la foctio x x Autremet dit l'esemble de covergece poctuelle est ], [, et la somme : s(x) = x Soit A ue partie de E, et (u ) ue suite de foctios sur E O dit que cette suite coverge uiformémet sur A vers la foctio u, si ε > 0, N, N IN, x A, N u (x) u(x) ε exemple 57 Aisi, la suite de foctios sur [0, ] défiie par u (x) = x, coverge poctuellemet vers la foctio u défiie par : u(x) = 0, si x < u() = Toutefois cette covergece 'est pas uiforme Il suffit par exemple de remarquer que : u = e exemple 58 (à traiter) Motrer que la suite de foctios défiie par : f (x) = ( + x) est uiformémet covergete, de limite 0, sur [, [ # répose O remarque :

52 5 Pour voir ( + x) pour tout x de l'itervalle cosidéré Comme ted vers 0 il e résulte que f (x) ted vers 0 pour tout x La limite poctuelle est doc la foctio ulle De plus : doc : ε > 0, N, N ε ε > 0, N, N, x f (x) ε la covergece est doc bie uiforme Ue série de foctios u coverge ormalemet sur ue partie A s'il existe ue série umérique covergete a à termes positifs ou uls telle que pour tout x de A u (x) a exemple 59 si(x) La série coverge ormalemet sur R puisque pour tout x :! si(x)!! et que! coverge exemple 60 (à traiter) Vérifier que la série de terme gééral :

53 Pour voir 53 ( + x) coverge ormalemet sur [, [ # répose E effet, o a remarqué la majoratio : ( + x) et o sait que la série coverge Si ue série coverge ormalemet sur ue partie A, alors elle coverge uiformémet sur A exemple 6 C'est le raisoemet utilisé das l'exemple 58 exemple 6 (à traiter) E cherchat le maximum de la foctio u, motrer que la série de terme gééral : u (x) = Log + x coverge uiformémet sur [, [ # répose Cette foctio est clairemet décroissate (o peut aussi vérifier par u calcul de dérivée), doc le maximum est u () : u () = Log +

54 54 Pour voir et o a : Log + ~ doc la série des maximum est covergete Il e résulte que Log + x est ormalemet covergete Soit (u ) ue suite de foctios réelles sur I Soit A ue partie de I telle que pour tout, la foctio u soit cotiue sur A, et que la suite coverge uiformémet sur A Alors la foctio limite est cotiue sur A exemple 63 La foctio zéta de Riema est la somme (quad elle existe) de la série de terme gééral u (x) = -x Cette foctio est cotiue sur ], [ E effet, soit a >, et ε tel que < a ε < a Sur l'itervalle [a ε, [, la foctio u a pour maximum u (a ε) Or la série umérique : a ε coverge, puisque < a ε La série est doc ormalemet x covergete sur [a ε, [, doc sa somme y est cotiue, e particulier e a exemple 64 (à traiter) Utiliser ce résultat pour motrer que das l'exemple 57 la covergece 'est pas uiforme # répose E effet la limite de cette suite de foctios cotiues 'est pas cotiue

55 Pour voir 55 Soit I = [a, b] u itervalle de R Soit (u ) ue suite de foctios cotiues sur I, uiformémet covergete sur I, de limite u O a lim a b b u (x)dx = u(x)dx a exemple 65 Repreos l'exemple 57 L'itégrale de u est, doc sa limite est 0 + De même l'itégrale de la foctio u, limite de la suite, est 0 Pourtat cette suite e coverge pas uiformémet Reteir que l'éocé précédet 'admet pas de réciproque exemple 66 (à traiter) Soit la suite de foctios : g (x) = x si 0 x g (x) = si < x < g () = 0 Etudier la covergece de cette suite et la validité de l'égalité de l'éocé # répose Pour tout x de [0, [, pour assez grad, o a : x < doc la limite poctuelle de la suite est la foctio 0, d'itégrale ulle, bie etedu L'itégrale de g s'écrit :

56 56 Pour voir g (x)dx = x dx = + et cette suite d'itégrales ted vers La covergece 'est doc pas uiforme u de Ue série foctios de classe C qui coverge simplemet e au mois u poit, et dot la série des dérivées u' coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré, coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré, vers ue foctio u dérivable, et ( )' = u' exemple 67 dx Cosidéros la série de foctios de terme gééral : u (x) = cos(x) 3 qui coverge poctuellemet e 0 O ote s la somme de cette série La dérivée est : u si(x) (x) = terme gééral d'ue série absolumet covergete sur R O peut doc dériver s terme à terme : si(x) s' (x) = + +

57 Pour voir 57 exemple 68 (à traiter) Das l'exemple précédet, la dérivée secode est : cos(x) Peut-o e déduire s"(0)? # répose La série des dérivées secodes e coverge pas e 0 Le résultat e s'applique doc pas ici

58 58 Pour voir -3 Séries etières O appelle série etière ue série de foctios dot le terme gééral est de la forme u (x) = a x exemple 69 O coaît la série expoetielle : dot la somme est (par défiitio) e x exemple 70 (à traiter) La série de foctios sur [0, [, de terme gééral : v (x) = + x x est-elle ue série covergete? est-elle ue série etière? # répose x! Par le critère de D'Alembert, o voit que : v + (x) v (x) = x + x + + x x doc cette série coverge pour x < Elle diverge pour x Ce 'est pas ue série etière Le rayo de covergece de la série etière a z est la bore supérieure de l'esemble des réels positifs r tels que la suite (a r) soit borée exemple 7 Pour la série etière suivate :

59 Pour voir 59 x + + r le rayo de covergece est E effet, si 0 r, la suite + + coverge vers 0, doc est borée Par cotre si r >, cette suite ted vers l'ifii, elle 'est pas borée exemple 7 (à traiter) Quel est le rayo de covergece pour : x!+ + # répose Pour r positif, le terme gééral est équivalet à r! Or cette expressio ted vers 0 quad ted vers l'ifii, quel que soit r Rappelos pourquoi : soit r > 0, et N = E(r) + Pour > N : u = r u < r N u < r N u N N r Comme N <, o voit que u x ted vers 0 L'expressio!+ + est doc borée pour tout r : le rayo de covergece est ifii Si R 0, la série est absolumet covergete pour z < R, divergete pour z > R, et elle coverge ormalemet sur tout disque fermé z r < R exemple 73 Das l'exemple précédet, la série est absolumet covergete pour tout x, et ormalemet covergete sur tout itervalle fermé et boré de R

60 60 Pour voir exemple 74 (à traiter) Vérifier que la série etière : a pour rayo de covergece Est-elle ormalemet covergete sur l'itervalle fermé boré [, ]? # répose O voit facilemet que r ted vers 0 si r, et vers si r > Le rayo de covergece est O e déduit que la série est ormalemet covergete sur tout itervalle fermé boré coteu das l'itervalle ouvert ], [ Mais la série 'est pas ormalemet covergete sur l'itervalle fermé [, ], puisqu'elle 'est pas covergete e x Si le quotiet a + a a pour limite L, alors le rayo de covergece est, avec la L covetio que si L = 0, le rayo est ifii, et si L est ifiie, le rayo est 0 exemple 75 O le vérifie sur l'exemple 74 : exemple 76 (à traiter) + Retrouver le rayo de covergece de l'exemple 7 # répose O écrit :

61 Pour voir 6!+ + ( +)!+ + ~! ( +)! = + 0 doc le rayo de covergece est ifii Soit I u itervalle ouvert coteat l'origie, et f ue foctio défiie sur I, à valeurs das R O dit que f est développable e série etière sur I s'il existe ue suite réelle (a ) telle que pour tout x de I o ait exemple 77 f (x) = a x = 0 Soit I = ], [, et f défiie par : f (x) = x Cette foctio est développable e série etière : f (x) = x exemple 78 (à traiter) La foctio défiie sur ], [ par : g(x) = est-elle développable e série etière sur I? # répose No, car cette foctio 'est pas dérivable e 0 Or la somme d'ue série etière le serait 0 x

62 6 Pour voir S'ils existet, les coefficiets a sot doés par a =! f () (0) E particulier, ils sot uiques exemple 79 Il faut doc pouvoir calculer f () (0) pour tout Si f est la foctio défiie par : f (x) = e x, pour x 0 f (0) = 0, o voit (par récurrece) que, pour tout, f () (0) = 0 Il suffit de voir que quel que soit l'etier k : quad x ted vers 0 e x x k 0 exemple 80 (à traiter) Mais il e suffit pas de calculer ces dérivées Il faut égalemet que la série coverge, et que sa somme soit bie f Est-ce le cas das l'exemple précédet? # répose No, bie etedu, puisque la série est ulle et la foctio o ulle

63 Pour voir 63-4 Séries de Fourier O appelle série trigoométrique ue série de foctios dot le terme gééral est de la forme : u (x) = a cos(x) + b si(x), si > 0, u 0 (x) = a 0 /, b 0 = 0; exemple 8 La série : est ue série trigoométrique si(x) exemple 8 (à traiter) La série de terme gééral : si(x + a)! où a est u réel, est-elle ue série trigoométrique? Si c'est le cas, expliciter les coefficiets # répose Effectivemet, c'est ue série trigoométrique, puisque : si(x + a) = si(x)cos(a) + cos(x)si(a) Les coefficiets sot : a 0 = si(a), et pour p > 0 a p = si(a) p! b p = cos(a) p!

64 64 Pour voir O utilise égalemet ue écriture complexe des séries trigoométriques E posat c = a ib, c = a + ib, 0 o obtiet N N + ( a cos(x) + b si(x) ) = c e ix a 0 = = N exemple 83 Ci-dessus : avec les coefficiets : si(x + a) = c e ix c = c = si(a) i cos(a), si(a) + i cos(a) exemple 84 (à traiter) Ecrire sous forme complexe la série trigoométrique de l'exemple 8 # répose O obtiet : c = i, c = i, > 0 Notos que si la série trigoométrique est réelle, alors c = c exemple 85 C'est ce qu'o vérifie das les deux cas précédets

65 Pour voir 65 exemple 86 (à traiter) Mettre sous forme ormale la série : e ix + i # répose Z O écrit : e ix + i = cos(x) + i + + isi(x) + i + i + i Z doc : e ix + i = i cos(x) Z + + si(x) + Si a et b sot covergetes, la série trigoométrique est uiformémet covergete sur R La somme de cette série est ue foctio cotiue sur R exemple 87 Ce sera le cas par exemple pour : cos(x) exemple 88 (à traiter) Doer des cas où la série : k si(x) coverge uiformémet sur R

66 66 Pour voir # répose D'après l'éocé rappelé, il suffit que k < Si les suites (a ) et (b ) sot des suites réelles décroissates tedat vers 0, alors la série trigoométrique coverge e tout poit x tel que x kπ, k etier relatif, et coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré coteu das R πz exemple 89 La série : cos(x) + + si(x) coverge d'après l'éocé Remarquer que la coditio de covergece de l'éocé précédet e s'applique pas exemple 90 (à traiter) Sous les hypothèses de cet éocé, la série trigoométrique peut-elle coverger e x = kπ? # répose Bie etedu, c'est possible, e particulier si les séries coverget, comme o l'a vu plus haut a, et b Soit f ue foctio π-périodique, cotiue par morceaux sur R (à valeurs réelles ou complexes) O appelle coefficiets de Fourier de f les ombres suivats exemple 9 Supposos que f soit défiie par : f(x) = 0 si π x < 0, f(x) = si 0 x < π Les coefficiets de Fourier sot :

67 Pour voir 67 doc : exemple 9 (à traiter) a 0 = π f (x)dx = π π π π dx = π 0 π = a = π f (x) cos(x)dx = π π π π cos(x)dx = 0 π [ si(x) ] π = 0 0 b = π f (x)si(x)dx = π π π π si(x)dx = 0 π [ cos(x) ] π 0 = ( ) π b p = 0, b p + = ( p +)π Calculer les coefficiets de Fourier de la foctio π périodique défiie sur l'itervalle [ π, π[ par f(x) = x # répose Les calculs sot les suivats : a 0 = π xdx π = x π π a = π b = π π π = 0 x cos(x)dx = x π π π π x si(x)dx = π x π si(x) + cos(x) cos(x) + si(x) π π π π = 0 = ( )

68 68 Pour voir O peut choisir x 0 pour redre le calcul plus facile pour ue foctio particulière : o voit aisi que si f est paire, alors b = 0 pour tout, et si f est impaire alors a = 0 pour tout exemple 93 C'est ce qu'o a costaté das l'exemple 9 exemple 94 (à traiter) Vérifier ce résultat pour la foctio défiie par f(x) = x sur [ π, π[ # répose Les coefficiets b sot doés par : b = π π x si(x)dx = π π = x π cos(x) si(x) = π π cos(π) 0 π 0 xsi(x)dx + π π π cos(π) + π x = 0 π 0 x si(x)dx cos(x) + si(x) π 0

69 Pour compredre et utiliser - éocés des exercices 69 3 Pour Compredre et Utiliser 3- Éocés des exercices Savoir détermier la covergece d'ue série umérique Calculer ue valeur approchée ou détermier l'expressio exacte de la somme d'ue série exercice Sur le quotiet u + u ) Soiet u et O suppose que : v des séries à termes () positifs à partir d'u certai rag v u + u v + v Démotrer que si coverge, alors u coverge ( )()() ) Soit u ue série à termes positifs O suppose que u + a pour limite, et qu'il existe u réel α et ue foctio tedat vers 0 à l'ifii ε, tels que : u + = + α u + ε() u idicatios pour résoudre - méthode - lexique

70 70 Pour compredre et utiliser - éocés des exercices Discuter, selo la valeur de α, la covergece de u ( )() 3) Das le cas précédet, o suppose que α =, et qu'il existe u réel β tel que : u + u = + β + ε() Etudier la covergece de u ( ) 4) Soit u ue série à termes positifs O suppose que u + limite, et o écrit : u + =, u + v u a pour (v ) état ue suite de réels tedat vers 0 Démotrer que s'il existe u réel k tel que pour assez grad : v k >, alors la série alors la série u coverge, et que si pour assez grad : u diverge ( ) v 5) Soit u ue série telle que u u + < 0 O écrit : u + u = + v, démotrer que si, pour assez grad : < v 0 la série u diverge, et que si il existe u réel k tel que : 0 < k v

71 Pour compredre et utiliser - éocés des exercices 7 pour assez grad, alors u coverge ( ) exercice Autour de u Soit u ue série à termes positifs ) O suppose qu'il existe u réel α, de ]0, [, tel que : u α Démotrer que la série u est covergete ( ) ) Plus gééralemet, supposos que u ted vers par valeurs iférieures Soit f ue applicatio telle que, pour assez grad : u f (), avec lim f () = 0 Démotrer que pour que u coverge, il suffit qu'il existe u réel k f () positif k < tel que e coverge exercice 3 Echelles de Riema et de Bertrad ) Soit u ue série à termes positifs O suppose qu'il existe u réel α tel que le produit : α u idicatios pour résoudre - méthode - lexique

72 7 Pour compredre et utiliser - éocés des exercices ait ue limite fiie L Discuter selo la valeur de α la covergece de la série u ( ) ) Etudier, selo la valeur de β, la covergece de la série ( ) : ( Log() ) β Soit u ue série à termes () positifs O suppose qu'il existe β tel que le produit : ait ue limite fiie () ( Log() ) β u Discuter selo la valeur de β la covergece () de exercice 4 u ( ) Développemets limités, équivalets ()() ) Soit f ue foctio tedat vers à l'ifii O suppose qu'elle admet u développemet limité de la forme : f () = + a + b + c + ε() 3 3 Discuter, selo les valeurs de α, la covergece de la série de terme gééral ( ) : ( f ()) α O examiera successivemet les cas : a 0, a = 0 et b 0, a = b = 0 et c 0 Applicatio à la covergece des séries :