Module 3: Corrigé des Cas Pratiques Exercices Intérêts Composés

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1 Module 3: Corrigé des Cas Pratiques Exercices Intérêts Composés Exercice 1 : Calculer la valeur acquise par un capital de placé à intérêts composés durant 13 années entières au taux de 2,8% annuel Exercice 2 : n 13 C = C 1+i = ,028 = 9 665,28 Calculer la valeur actuelle d un capital de ,70 placé à intérêts composés durant 8 années entières (taux d actualisation annuel : 4,1%) Exercice 3 : n 8 C = C 1+i = 11365,70 1 0,041 = 8 241,20 0 n Calculer l intérêt acquis par un capital de placé pendant 6ans et 4 mois à intérêts composés au taux d'intérêt annuel de 1,5%. Calculons tout d abord la valeur acquise par le capital : 4 n 6 12 C = C 1+i = ,015 = ,42 L intérêt est obtenu par différence entre valeur acquise et valeur initiale : I = C - C = , = ,42 n Exercice 4 : En combien de temps un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 7% quintuple-t-il? n n C = C. 1+i 5 = 1 0,07 5 = 1,07 Cette équation est résolue grâce aux logarithmes : ln 5 = ln 1,07 n Page 1 sur 7 ln 5 n = 23, ln 1,07 Un capital quintuple au bout de 23, années. Soit : 23 ans, 9 mois et 14 jours. n

2 Exercice 5 : Un capital de placé à intérêts composés pendant 9 années entières a acquis la valeur de ,32. A quel taux d intérêt annuel était-il placé? i i C = C. 1+i ,32= , = 1 n 9 9 Cette équation est résolue grâce à la racine neuvième : 9 i = 1, = 0,05 Le taux recherché est de 5% Exercice 6 : Soit un taux annuel de 3,00%. Calculer le taux, bimestriel, trimestriel et semestriel proportionnels i = = 0,0025 0,25% 12 i = = 0,005 0,5% bimestriel 6 i = = 0,0075 = 0,75% trimestriel 4 i = = 0,015 = 1,5% semestriel 2 Calculer le taux, bimestriel, trimestriel et semestriel équivalents i = 1,03-1 = 1,03-1 0, ,246627% i = 1,03-1 = 1,03-1 0, , % bimestriel i = 1,03-1 = 1,03-1 0, , % trimestriel semestriel 1 2 i = 1,03-1 = 1,03-1 0, , % Page 2 sur 7

3 Exercice 7 : Soit un taux de 1,5 %. Calculer le taux annuel équivalent et le taux annuel proportionnel. L énoncé nous fournit : i = 0,015 le taux annuel équivalent est : i = 1 + 0,015-1 = 1,015-1 = 0, , % le taux annuel proportionnel est : i' = 0, = 0,18 = 18,00% Exercice 8 : Soit T, le taux d'intérêt trimestriel de 2,4% : i = T = 0,024 trimestriel Calculer le taux annuel équivalent à T et le taux annuel proportionnel à T le taux annuel équivalent est : 4 4 i = 1 + T - 1 = 1,024-1 = 0, = 9, % le taux annuel proportionnel est : i' = 0,024 4 = 0,096 = 9,60% Calculer le taux équivalent à T et le taux proportionnel à T le taux équivalent est : i = 1,024 1= 1, , ,793684% le taux proportionnel est : 0,024 i = = 0,008 = 0,8% 3 Page 3 sur 7

4 Exercice 9 : Deux capitaux dont la somme s'élève à sont placés dans les conditions suivantes : - Le premier (C1) est placé à intérêts simples pendant 120 jours au taux d'intérêt annuel de 6%. Il rapporte un intérêt I1. - Le second (C2) est placé à intérêts composés pendant 2 ans au taux d'intérêt annuel de 5%. Il rapporte un intérêt I2 A la fin des périodes respectives de placement, la différence entre les intérêts (I1 moins I2) rapportés s élève à 415. Déterminer la valeur de C1 et C2. Nous devons mettre en place un système de deux équations à deux inconnues (C1 et C2); La somme s'élève à : C1 + C2 = Le premier (C1) est placé à intérêts simples pendant 120 jours au taux d'intérêt annuel de 6%. Il rapporte un intérêt I1. C t n C1 0, I1 = = = 0,02 C Le second (C2) est placé à intérêts composés pendant 2 ans au taux d'intérêt annuel de 5%. Il rapporte un intérêt I La valeur acquise par C 2 est : C ,05 = C2 1,05 = 1,1025 C2 Donc l'intérêt I2 est : I2 = 1,1025 C2 - C2 = C2 (1, ) = 0,1025 C2 A la fin des périodes respectives de placement, la différence entre les intérêts (I1 moins I2) rapportés s élève à 415. Ce qui nous permet d écrire : I1 - I2 = 0,02 C1-0,1025 C2 = 415 On peut donc formaliser le système : C1 + C2 = ,02 C1-0,1025 C2 = 415 Résoudre ce système de deux équations à deux inconnues ne pose aucun problème particulier. On utilise la méthode de son choix. Page 4 sur 7

5 On peut par exemple, utiliser la méthode de substitution. L'équation (1) nous permet d'écrire : C2 = C1 Portons la valeur de C2 dans l'équation (2) : 0,02C1-0, C1 = 415 C'est une équation du premier degré qui, une fois résolue nous donne la valeur de C1 : La valeur C2 est obtenue par soustraction : C2 = = C1 = et C2 = Page 5 sur 7

6 Exercice 10 : Un capital de est placé à intérêts composés durant deux années entières sur un compte rémunéré au taux d intérêt annuel i. A l issue de ces deux années de placement, on verse sur ce même compte une somme supplémentaire de Le nouveau capital obtenu est maintenant placé durant deux années entières au même taux i. A l issue de cette nouvelle période de placement, la valeur acquise finale s élève à Déterminer la valeur de i. A l'issue de la première période, la valeur acquise est : i 2 On verse sur ce même compte une somme supplémentaire de 2900, le nouveau capital obtenu est : i Cette somme est placée deux années entières au même taux i : i i i i A l issue de cette nouvelle période de placement, la valeur acquise finale s élève à i i = On obtient donc l'équation finale : i i = 0 Si nous posons le changement de variable suivant : 1+i 2 = x, nous nous trouvons devant la résolution d'une équation du deuxième degré en x : x x = 0 Le discriminantδ vaut : 2 2 Δ = = = Le discriminant Δ est positif, l'équation en X admet deux solutions réelles distinctes : x 1= = = - 1,5 2 (10 000) x 2= = = 1,21 2 (10 000) Page 6 sur 7

7 La première solution étant négative, elle n'est pas acceptable. La solution unique est donc : x 2 = 1,21 On obtient donc : 1+i 2 = 1,21 i = 1,21-1 = 1,1-1 = 0,1 = 10% Il est facile de vérifier que ce placement a été réalisé avec un taux d'intérêt annuel de 10 %. Page 7 sur 7