Statistique multivariate - M1 Miage

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Carole Bourget
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1 Statistique multivariate - M1 Miage Matthieu Barrandon, Marco Dozzi Septembre 2006 Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

2 I. Lois déduites de la loi normale I.1. Rappels sur la loi normale I.2. La loi du χ 2 (khi-deux) I.3. La loi de Student I.4. La loi de Fisher-Snedecor Annexe. Tests statistiques classiques, en particulier pour échantillons normales Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

3 I.1. Rappels sur la loi normale (1) N(µ, σ) loi normale de moyenne µ et d écart type σ Fonction de densité : f (x) = 1 p 2πσ exp( 1 2 Fonction de répartition : F (x) = R x f (u)du x µ 2), σ - < x < + X variable aléatoire de loi N(µ, σ) =) Z = X µ σ variable aléatoire de loi N(0, 1) Z variable aléatoire de loi N(0, 1) =) X = σz + µ variable aléatoire de loi N(µ, σ) On écrit f X, f Z, F X, F Z,... pour distinguer les fonctions de densité et les fonctions de répartition de X, Z... Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

4 I.1. Rappels sur la loi normale (2) (1) Soit X de loi N(µ X, σ X ), soit Y de loi N(µ Y, σ Y ), et soit a, b 2 R. Alors ax + by est de loi normale de moyenne aµ X + bµ Y et de variance a 2 σ 2 X + b2 σ 2 Y + 2abcov(X, Y ). (2) Soit X 1, X 2,..., X n des variables aléatoires indépendantes de loi N(µ, σ), et soit X n = 1 n n i=1 X i. Alors X n suit la loi N(µ, σ pn ). Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

5 I.2. La loi khi-deux (1) Exercice : Soit Z une variable aléatoire normale centrée réduite. Calculer la fonction de densité de Z 2. (3) Soit Z 1, Z 2,..., Z m des variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, et soit Y = m i=1 Zi 2. La fonction de densité de Y est alors donnée par f Y (y) = f Y (y) = 0 si y m/2 Γ( m 2 )y m/2 1 exp( y ) si y > 0, 2 On dit que Y suit la loi khi-deux avec m degrés de liberté. Notation : χ 2 (m). EY = m, VarY = 2m. Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

6 I.2. La loi khi-deux (2) (4) Soit Y 1 et Y 2 des variables aléatoires indépendantes de lois χ 2 (m 1 ) et χ 2 (m 2 ). Alors Y 1 + Y 2 est une variable aléatoire de loi χ 2 (m 1 + m 2 ). (5) Soit X 1, X 2,..., X n des variables aléatoires indépendantes de loi N(µ, σ) (on dit que X 1, X 2,..., X n est un échantillon de taille n), et soit S 2 n = 1 n 1 n i=1 (X i X n ) 2 la variance (empirique) de l échantillon. La variable aléatoire n 1 S 2 σ 2 n suit alors la loi χ 2 (n 1). Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

7 I.3. La loi de Student (1) Soit X 1, X 2,..., X n un échantillon de taille n de la loi N(µ, σ). D après (2) Z n = (X n µ)/ p σ n suit la loi normale centrée réduite. On pose T n = (X n µ)/ p S n n. q Sn Exercice : Démontrer que T n = Z n / 2. σ 2 (6) Soit Z une variable aléatoire de loi N(0, 1), soit U une variable aléatoire de loi q χ 2 (m), et supposons que Z et U sont indépendantes. Alors V := Z / suit la loi de Student avec m degrés de liberté U m (notation t(m)). Sa fonction de densité est donnée par f V (x) = ET = 0, VarT = ET 2 = m+1 Γ( 2 ) p πmγ( m 2 ) (1 + x 2 m ) m+1 2, - < x < +. m m 2 (m > 2). Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

8 I.3. La loi de Student (2) (7) Soit X 1, X 2,..., X n un échantillon de taille n de la loi N(µ, σ). La variable aléatoire T n = (X n µ)/ p S n n suit la loi t(n 1). ET n = 0, VarT n = ETn 2 = n 1 n 3. VarT n! 1 quand n! +. Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

9 I.4. La loi de Fisher-Snedecor (1) Soit X 1, X 2,..., X n1 un échantillon de taille n 1 de la loi N(µ X, σ X ), et soit Y 1, Y 2,..., Y n2 un échantillon de taille n 2 de la loi N(µ Y, σ Y ), et supposons que les deux échantillons sont indépendants. Pour tester l égalité de σ X et σ Y, on étudie la loi du quotient des variances empiriques des deux échantillons. D après (5) n 1 1 S σ 2 n 2 1 et n 2 1 S X σ 2 n 2 2 suivent de lois χ 2 (n 1 1) et χ 2 (n 2 1) Y degrés de liberté. Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

10 I.4. La loi de Fisher-Snedecor (2) (8) Soient U et V des variables aléatoires indépendantes de lois χ 2 (m) et χ 2 (n). Le Quotient F := U /m V /n suit alors la loi de Fisher-Snedecor avec m degrés de liberté au numérateur et n degrés de liberté au dénominateur (notation : F (m, n)). Sa fonction de densité est donnée par f F (x) = m+n Γ( 2 ) m m/2 Γ( m 2 )Γ( n 2 ) 1 + mx n n f F (x) = 0 si x 5 0. (m+n)/2 si x > 0, (9) Supposons que σ X = σ Y. Alors F = S 2 n 1 /S 2 n 2 et F suit la loi F (n 1 1, n 2 1). Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

11 I.4. La loi de Fisher-Snedecor (3) Liens de la loi de Fisher -Snedecor avec les lois de khi-deux ou de Student si t suit la loi t(n), t 2 suit la loi F (1, n) Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

12 I.4. La loi de Fisher-Snedecor (3) Liens de la loi de Fisher -Snedecor avec les lois de khi-deux ou de Student si t suit la loi t(n), t 2 suit la loi F (1, n) si F suit la loi F (m, n), 1 F suit la loi F (n, m) Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

13 I.4. La loi de Fisher-Snedecor (3) Liens de la loi de Fisher -Snedecor avec les lois de khi-deux ou de Student si t suit la loi t(n), t 2 suit la loi F (1, n) si F suit la loi F (m, n), 1 F suit la loi F (n, m) si χ 2 suit la loi χ 2 (m), χ 2 /m suit la loi qu on obtient à la limite de F (m, n) si on fait tendre n! + Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

14 Annexe. Tests classiques pour des échantillons de loi normale a) Un seul échantillon et une valeur de référence (valeur conjecturée d un paramètre) Deux échantillons indépendants Deux échantillons liés b) Test unilatéral / test bilatéral c) Erreur de première et erreur de seconde espèce d) Taille nécessaire de l échantillon qui permet de respecter les probabilités données des erreurs de première et de seconde espèce Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre / 12

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