TD Physique des composants partie 1

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1 TD Physique des composants partie 1 A) Semiconducteurs à l équilibre 1-Densités volumiques a. A quelle classe de matériaux appartient le silicium? b. Donner la structure cristallographique du silicium utilisé en microélectronique. c. Quelle est la nature des liaisons entre les atomes de Si? d. Calculer le nombre d atomes dans une maille élémentaire de Si. En déduire la densité volumique d'atomes dans un semiconducteur. A.N. 2-Concentrations en électrons et en trous a. Décrire la structure des bandes d énergie dans les cristaux semiconducteurs. Par quelle méthode peut-on l obtenir à partir des états électroniques d atomes isolés? b. Indiquer comment la densité de trous dans un semiconducteur homogène peut être évaluée à partir du nombre d états disponibles dans la bande de valence et de la probabilité qu ils soient inoccupés. c. Préciser la loi donnant la probabilité pour qu un état énergétique E soit occupé par les électrons du semiconducteur. d. Rappeler ce qu on appelle un semiconducteur non-dégénéré. e. La densité d'états pour un électron d'énergie E dans la bande de valence est donnée par : * 3/ 2 ( t ) n ( E) m 2( E E), E E v 3 2 v v En déduire la densité de trous dans la bande de valence d'un semiconducteur non dégénéré. f. Donner par analogie la concentration en électrons dans la bande de conduction. g. Définir les densités "effectives" dans les bandes de conduction et de valence, N C et N V. Application numérique pour le silicium à 300 K avec m t * = 0,56 m 0, m e * = 1,08 m 0 où m 0 = 9, kg. h. Exprimer les concentrations «limites» en trous et en électrons pour un semiconducteur nondégénéré en fonction de ces densités effectives. A.N. pour le Si. i. Exprimer le produit des densités en électrons et en trous. En déduire la concentration n i de porteurs dans un semiconducteur intrinsèque puis la position du niveau de Fermi E i dans ce cas. j. Applications numériques : calculer n i et positionner E i sur le diagramme en énergie pour le silicium et l arséniure de gallium à T = 300 K. Dans Si, on prendra pour la largeur de bande interdite E g = 1,12 ev. Pour GaAs, on considérera E g = 1,43 ev, m e * = 0,07 m 0 et m t * = 0,43 m 0. 3-Dopage maximal pour un semiconducteur non-dégénéré et le rapport dopants/atomes de Si Comparer a) la densité volumique de Si (1.d), b) la concentration maximale d électrons dans la bande de conduction ou de trous dans la bande de valence pour un semiconducteur non-dégénéré (2.h) et c) la densité intrinsèque de porteurs à T=300 K (2.j). En supposant que tous les dopants soient ionisés, quel est le rapport entre la concentration de dopants et la concentration d atomes de Si pour un dopage n maximal? Et pour un dopage p maximal? Quel est le rapport entre la concentration d électrons dans la bande de conduction pour un semiconducteur dopé au maximum (en restant toujours non-dégénéré) et la densité intrinsèque à T=300 K? Discuter. 4- Relation de neutralité a. Dans les conditions suivantes a) équilibre thermique, b) dopage uniforme, c) semiconducteur nondégénéré, d) ionisation complète des atomes dopants, trouver une expression pour n et p en fonction de N D, N A et n i. b. Un semiconducteur est dit «compensé» quand N D ~ N A. Que vaut n et p dans ce cas? 1

2 5- Questions rapides de concentration n i ~10 10 cm -3 à T=300 K pour Si. a. Un wafer de silicium de type p est dopé uniformément avec N A =10 15 /cm 3. A T=0K, quelles sont des concentrations à équilibre des trous et des électrons? b. Un semiconducteur est dopé avec une concentration d impuretés de N telle que N>>n i et toutes les impuretés sont ionisées. Aussi, n=n et p=n i 2 /N. L impureté est-elle un donneur ou un accepteur? Expliquer. c. La concentration en électrons dans un échantillon de Si à T=300 K sous des conditions d équilibre thermique est 10 5 /cm 3. S agit-il d un matériau dopé n ou p? Quelle est la concentration en trous? d. Pour un échantillon de Si à T=300 K, le niveau de Fermi est localisé 259 mev au dessus du niveau intrinsèque de Fermi. S agit-il d un matériau dopé n ou p? Quelles sont les concentrations en trous et en électrons? e. Dans un échantillon de germanium à l équilibre à T=300 K, n i =10 13 /cm 3, n=2p et N A =0. Déterminer n et N D. 6-Diagrammes de Shockley 6.1-Silicium de type P On considère un cristal de silicium de type p avec une densité N A d'atomes d'impuretés introduisant un niveau accepteur en E A. a. Déterminer graphiquement les évolutions de la position du niveau de Fermi E F et de la densité de trous p en fonction de la température. b. En déduire la plage de température sur laquelle on peut considérer que la relation p = N A est vérifiée. A.N. Pour B dans Si, E A - E V = 45 mev et N A =10 17 cm Arséniure de gallium de type N Soit un cristal de GaAs de type n avec une densité N D d'atomes d'impuretés introduisant un niveau donneur en E D. a. Déterminer graphiquement les évolutions de la position du niveau de Fermi E F et de la densité d'électrons n en fonction de la température. b. En déduire la plage de température sur laquelle on peut considérer que la relation n = N D est vérifiée. A.N. Pour Si en substitution à Ga dans GaAs, E C - E D = 6 mev et N D = cm -3. B) Phénomènes de transport, dérive et diffusion 1-Courant total a. Déterminer une expression générale de la densité de courant en fonction de la vitesse moyenne des trous dans un semiconducteur. b. Exprimer la vitesse moyenne des trous en fonction des forces appliquées. c. Calculer la force s exerçant sur les trous d une tranche de semiconducteur comprise entre x et x+dx et de surface S. On prendra en compte le champ électrique E ainsi que la pression induite par les autres trous. On assimilera les porteurs aux molécules d'un gaz parfait. d. En déduire l expression de la densité totale de courant de trous en fonction notamment de E et de la densité volumique de trous p. 2

3 2-Tranche homogène Soit une plaquette de silicium de type n, de résistivité 5.cm et d'épaisseur 250 µm. a. Déterminer la mobilité des porteurs majoritaires à l'aide des courbes ci-dessous (téléchargées de b. Calculer la tension à appliquer entre les deux faces pour faire circuler un courant de 10 A/cm 2. c. Tracer les variations du potentiel électrostatique, ainsi que de E C, E V, et E F. 3-Tranche inhomogène non polarisée On considère une tranche de silicium de type n et d'épaisseur 250µm avec un gradient de dopage : ND(x)= ND0 exp(- x) non polarisée. ND0 = cm -3, = 400 cm -1. a. Calculer le champ électrostatique et la différence de potentiel électrostatique. b. Tracer les variations du potentiel électrostatique, ainsi que de E C, E V, et E F. 4- Interprétation des diagrammes de bandes (énergie d un électron en fonction de la position) extrait du partiel de 2013 Un dispositif en silicium à 300 K est caractérisé par le diagramme de bande ci-dessous. E C est l énergie du bas de la bande de conduction, E V est l énergie du haut de la bande de valence. E G est l énergie du gap ou de la bande interdite et E F est l énergie de Fermi. L est la longueur du dispositif selon la direction x. Utilisez le diagramme de bande ci-dessous afin de répondre aux questions suivantes : 3

4 Temps de relaxation diélectrique (ps) Longueur de Debye (nm) a. Faites un schéma montrant la variation du potentiel électrostatique ( ) en fonction de x dans le dispositif. b. Faites un schéma montrant la variation du champ électrique (E) en fonction de x dans le dispositif. c. Le dispositif est-il à l équilibre? Expliquez. d. Y a-t-il une région où le semiconducteur est dégénéré? Si oui, donnez les valeurs approximatives de x dans cette région. e. Le dispositif est-il dopé uniformément? Expliquez. f. Quel est le type de dopant (dominant) à x= x 2? Justifiez votre réponse. g. Quelle est la densité des trous dans la bande de valence p à x=x 2? h. Faisons l hypothèse qu il n existe qu un seul type de dopant présent en x=x 2. Quelle est la densité des impuretés en x=x 2? i. Quelle est la valeur de J n (x 1 ), c est-à-dire combien vaut la densité de courant électronique total en x=x 1? Evaluez-la pour L=1 µm. j. Quelle est la valeur de J p,dérive (x 1 ) c est-à-dire la densité de courant de dérive des trous en x=x 1? Evaluez-la pour L=1 µm. C) Equations de continuité 1-Temps de relaxation diélectrique On considère un semiconducteur de type n dans lequel on crée une perturbation temporelle homogène dans tout le matériau n(t=0) homogène telle que n(t)<<n0 (et p(t)~0). En négligeant toute recombinaison, déterminer la loi du retour à l'équilibre. Le temps caractéristique correspondant et la longueur de Debye définie dans l'exercice suivant sont tracés ci-dessous en fonction de la densité d'électrons imposée par le dopage (en prenant comme permittivité diélectrique relative celle de Si soit 11,7). 2-Longueur de Debye On considère un semiconducteur de type n dans lequel on crée une perturbation spatiale constante en x = 0 n(x=0) telle que n(x)<<n0 (et p(x)~0). En négligeant toute recombinaison, déterminer la loi du retour à l'équilibre , µ = 300 cm 2.V -1.s Densité électronique (cm -3 ) 0, Densité électronique (cm -3 ) 4

5 3-Photoconduction On éclaire une tranche de silicium n de résistivité 0 = 2.cm et d'épaisseur e p = 250 µm avec une lumière monochromatique = 1 µm sous un flux de 10 W.cm -2. a. Calculer le flux de photons incidents (cm -2 s -1 ) et le nombre de photons absorbés par unité de surface par unité de temps dans l'épaisseur de la tranche ( = 0 e - x avec = 1 cm -1 et en cm -2 s -1 ). b. Sachant que chaque photon absorbé crée une paire électron-trou, calculer la vitesse de création G supposée uniforme dans toute l'épaisseur de la tranche. Justifier l hypothèse d uniformité. c. La durée de vie étant de = 10 µs et les mobilités des électrons et des trous étant respectivement µn = 1500 cm 2.V -1.s -1 et µp = 400 cm 2.V -1.s -1, quelle est la résistivité de la tranche éclairée? 4-Tranche éclairée : effet Dember On éclaire la surface d'une tranche de silicium de type n (épaisseur e p et dopage N D = cm -3 ) avec un rayonnement très absorbant. Aucun porteur n est généré dans le volume du semiconducteur mais l'intensité lumineuse de l'excitation est telle que l'on génère n(0) = p(0) =10 16 cm -3 paires électron-trou en surface. a. Avant éclairage, quelles sont les densités en électrons n 0 et en trous p 0 en fonction de la densité intrinsèque n i et de la concentration en dopants N D? b. Que doit vérifier la longueur d onde du flux excitateur pour que le rayonnement soit effectivement absorbé? Faire l application numérique sur la valeur limite. c. Décrire la diffusion des porteurs dans l épaisseur de Si, sachant que les trous sont moins mobiles que les électrons. En déduire l apparition d un champ électrique. L excès de porteurs générés par les photons disparaît ensuite en partie par recombinaison indirecte de type Shockley-Read-Hall (SRH). d. Rappeler l expression de la vitesse nette de génération-recombinaison GR SRH puis démontrer que GR SRH -p/ si p >> n i et compte tenu des densités de porteurs photogénérés. e. A partir de l équation de continuité pour les trous, établir en régime stationnaire l'expression donnant la densité de trous dans la zone où p >> n i. On négligera la composante de dérive du courant et on supposera que D p p << e p 2. D) Caractérisations par effet Hall L effet Hall est fréquemment utilisé dans l industrie comme dans la recherche pour caractériser un matériau semiconducteur. Il est utilisé aussi dans un certain nombre de capteurs de de position, de déplacement, en particulier dans le secteur automobile (compte-tours), ainsi que dans les propulseurs à plasma pour véhicules spatiaux. Pour faire apparaître cet effet, on applique une tension V P entre les deux extrémités d un barreau de semiconducteur dopé afin qu un courant I parcoure la structure suivant l axe x. Un champ magnétique B constant est appliqué perpendiculairement à la direction du transport (suivant l axe z, voir figure cidessous). VP = 5 V et B = 0,5 T. 1. Quelle est la force à laquelle sont soumis les porteurs du matériau dans la direction perpendiculaire au courant? 2. Expliquer les conséquences de cette force. Tracer un schéma montrant le résultat pour les 2 types de dopage. 3. Déterminer une expression de la tension de Hall V H (voir schéma ci-dessous) et définir le coefficient de Hall, R H. 4. En faisant varier la température, on relève les valeurs reportées dans le tableau ci-dessous. 5

6 Mobilité µ p (cm 2.V -1.s -1 ) T C I ma ,25 0,7 1 0,9 0,74 0,56 0,4 0,3 0,23 0,16 V H mv , ,3 6,7 4,9 3,6 2,6 R H cm 3 /C 9,3E9 1,68E4 3,05E3 1,2E3 8,9E2 7,0E2 6,6E2 6,7E2 6,3E2 6,5E2 Conc cm -3 6,7E8 3,7E14 2,1E15 5,0E15 7,0E15 8,9E15 9,4E15 9,3E15 1,0E16 9,6E Température ( C) a. Déterminer le type du semiconducteur (type n ou type p). b. Remplir les valeurs manquantes dans le tableau ci-dessus (Conc.=concentation des porteurs). c. Estimer le niveau d'énergie introduit par le dopant. d. Quelle autre mesure faut-il faire simultanément afin de déterminer la mobilité en fonction de la température? Commenter la courbe ci-dessus. e. Décrire brièvement comment fonctionne un compte-tours. 6