Eléments de théorie des distributions

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1 Annexe A Eléments de théorie des distributions Lors de la description des transferts dans les systèmes physiques multiphasiques on manipule des variables et des propriétés physiques qui ne sont pas de vraies fonctions sur le domaine considéré mais peuvent présenter des sauts aux interfaces entre les phases conductivité thermique, pression, etc...). La théorie des distributions Schwartz, 1983[7]) permets de manipuler de tels objets physiques. On acceptera toutefois dans le reste du cours d écrire des formules de physiciens identifiant d un point de vue formel les distributions, qui sont des applications comme on le verra ci-dessous, avec des fonctions. Cette annexe n a que la prétention de rappeler des définitions et formules utiles pour la théorie des systèmes multiphasiques. A.1 Définition D est l espace des fonctions complexes sur R n, indéfiniment dérivables, à support borné. On appelle distribution T une fonctionnelle linéaire continue sur D, telle que ϕ D T T, ϕ) C A.1) Exemple 3 Soit f une fonction localement sommable, elle définit une distribution T f par l application suivante : T f, ϕ) = fx) ϕx) dx A.2) R n Exemple 4 La distribution de Dirac δ est définie par : δ, ϕ) = ϕ0) A.3) Exemple 5 La distribution de Dirac δ a au point a de R n est définie par : δ a, ϕ) = ϕa) A.4) 29

2 30 ANNEXE A. ELÉMENTS DE THÉORIE DES DISTRIBUTIONS A.2 Propriétés On démontre les propriétés suivantes : T, ϕ 1 + ϕ 2 ) = T, ϕ 1 ) + T, ϕ 2 ) A.5) T, λϕ) = λ T, ϕ) A.6) T 1 + T 2, ϕ) = T 1, ϕ) + T 2, ϕ) A.7) Si ϕ j converge vers ϕ, alors : λt, ϕ) = λ T, ϕ) T, ϕ j ) j T, ϕ) A.8) A.9) A.3 Dérivation des distributions Soit f une fonction continûment différentiable, on a, en suivant la définition A.2 : ), ϕ = ϕ dx = dx 2...dx n ϕ dx 1 x 1 x 1 x 1 R n En intégrant par parties on obtient : x 2..x n x 1 A.10) + x 1 ϕ dx 1 = [fϕ] + + f ϕ x 1 dx 1 A.11) Le premier terme dans le second membre de cette équation est nul car ϕ est à support borné, on a finalement : ), ϕ = f, ϕ ) A.12) x 1 x 1 Par la suite, nous définirons la dérivée T x d une distribution quelconque T par ) T x, ϕ = T, ϕ ) x A.13) Exemple 6 Soit Y la distribution de Heaviside correspondant à la fonction égale à 0 pour x < 0 et à +1 pour x > 0. On a Y, ϕ) = Y, ϕ) = + 0 Y x) ϕx) dx = Y x) ϕx) dx 0 + Y x) ϕx) dx = ϕ0) = δ, ϕ) A.14) d où Y = δ A.15)

3 A.3. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS 31 On peut démontrer la formule suivante : ) δ m), ϕ = 1) m ϕ0) Exemple 7 Soit f une fonction indéfiniment dérivable pour x < 0 et x > 0, telle que chaque dérivée ait une limite à droite et à gauche pour x = 0. On notera [ f m)] = f m) 0+ f m) 0 A.16) le saut de la dérivée m-ième pour x = 0, et f m)) u = { f m) x < 0 f m) x > 0 A.17) la distribution représentée par les fonctions dérivées usuelles pour x < 0 et x > 0. La distribution dérivée de f, notée f, est, par application de la définition A.13 : f, ϕ) = f, ϕ ) = + 0 fx) ϕ x) dx 0 fx) ϕ x) dx = + fx) ϕ x) dx A.18) En intégrant par parties, on trouve : f, ϕ) = f0+) f0 ) ϕ0) + 0 f x) ϕx) dx f x) ϕx) dx A.19) soit encore, en utilisant la définition de la distribution de Dirac, et de la distribution dérivée, on a : soit encore f, ϕ) = f ) u + [f] δ, ϕ ) A.20) f = f ) u + [f] δ A.21) Exemple 8 Dérivées dans R n Soit f une fonction indéfiniment dérivable dans R n d équation sauf sur une hypersurface régulière Σ F x 1,,...x n ) = 0 A.22) et telle que chaque dérivée partielle ait une limite de part et d autre de Σ en chaque point de cette surface. On notera [f] Σ le saut de f suivant la normale n à la surface Σ au point considéré et ) u x i

4 32 ANNEXE A. ELÉMENTS DE THÉORIE DES DISTRIBUTIONS la distribution représentée par la dérivée usuelle de f hors de S. La distribution dérivée de f donnée par la définition A.13 : ), ϕ = f, ϕ ) = x 1 x 1 R n ϕ f dx x 1 A.23) ou encore ), ϕ = x 1 x 2..x n En utilisant l équation A.21 on peut écrire : où a est défini par + f ϕ x 1 dx 1 = dx 2..dx n + f ϕ x 1 dx 1 ) ) u, ϕ = + [f] x 1 x 1 x a δ a, ϕ) 1 x 1 A.24) A.25) F a, x 2,..., x n ) = 0 A.26) Ici a est l abscisse sur x 1 du point d intersection de Σ avec la parallèle à Ox 1 de coordonnées x 2,..., x n. En introduisant ce résultat dans A.24 on obtient : ) ) u, ϕ = + [f] x 1 x a δ a, ϕ) dx 2..dx n A.27) 1 x 2..x n que l on peut écrire ) ) u, ϕ =, ϕ) + x 1 x 1 [f] a δ a ϕa, x 2..x n ) dx 2..dx n A.28) x 2..x n On peut transformer l intégrale du second membre en intégrale de surface, en remarquant que dx 2..dx n = e 1.n da A.29) et l intégrale dans le second membre de l équation A.28 s écrit x 2..x n [f] a δ a ϕa, x 2..x n ) dx 2..dx n = [f] a ϕ e 1.n da A.30) On introduit la notation intrinsèque, i.e. indépendante de l orientation choisie pour la surface Σ : Σ [f] a e 1.n = [f] Σ e 1.n A.31) L équation A.28 s écrit alors ) ) u, ϕ =, ϕ) + x 1 x 1 Σ En introduisant la distribution δ Σ définie par δ Σ, ϕ) = Σ ϕ da [f] Σ e 1.n ϕ da A.32) A.33)

5 A.4. PRODUIT DE CONVOLUTION 33 L équation A.32 permet d écrire alors le résultat final suivant : ) u = + [f] x 1 x Σ e 1.n δ Σ A.34) 1 A l aide de cette équation on peut démontrer simplement les formules suivantes : f = f) u + [f] Σ nδ Σ.f =.f) u + n. [f] Σ δ Σ A.35) A.36) A.4 Produit de convolution On commence par définir le produit tensoriel de deux distributions. Soit S et T deux distributions à support sur X et Y, le produit tensoriel S T à support sur X Y est défini par : S x T y, ϕ) = S x, T y, ϕx, y))) A.37) Soit deux distributions S et T sur R n, on appelle produit de convolution S T une nouvelle distribution sur R n définie par : S T, ϕ) = S x T y, ϕx + y)) A.38) Exemple 9 Dans le cas de distributions associées aux fonctions f et g on a f g, ϕ) = R n R n dt ft) gy) ϕt + y) dy = R n dt ft) gt x) ϕx) dx A.39) R n soit f g) x = ft) gx t) dt A.40) R n On peut démontrer les propriétés suivantes. 1. Le produit de convolution est commutatif 2. δ T = T 3. δ a T = T x a 4. δ T = T A partir de cette dernière propriété on peut démontrer que En effet, on a ou bien S T ) = S T ) = S T ) A.41) S T ) = δ S T ) = δ S) T = S T ) A.42) S T ) = S T ) δ = S T δ ) = S T ) A.43) On retiendra que pour dériver un produit de convolution il suffit de dériver l une quelconque des distributions dans le produit lui-même.

6 34 ANNEXE A. ELÉMENTS DE THÉORIE DES DISTRIBUTIONS Exercice 10 Application au calcul de la dérivée temporelle de fx, t) Soit une fonction fx, t) indéfiniment dérivable dans R 3 R sauf sur une hypersurface Σ t d équation F x, y, z, t) = 0 dans R 3 R et en utilisant l équation A.34 on peut écrire : A.44) t = t ) u + [f] Σt e t.n t δ Σt A.45) Le dernier terme du second membre de cette équation correspond à ou encore [f]σt e t.n t δ Σt, ϕ ) = [f]σt e t.n t δ Σt, ϕ ) = [f] Σt e t.n t ϕ da t = A.46) Σ t 1 [f] Σt e t.n t ϕ e 3.n t dxdydt x,y,t Σ t t Σ t dt x,y Σ t [f] Σt e t.n t ϕ 1 e 3.n t dxdy On transforme cette intégrale multiple en intégrale de surface en utilisant : A.47) dxdy = e 3.n da où da et n correspondent à la surface Σ dans R 3 d équation F x, y, z, t) = 0 où t est un paramètre. On peut alors écrire l équation A.47 comme [f]σt e t.n t δ Σt, ϕ ) = dt t Σ t L équation A.45 est réécrite sous la forme : δ t t = δ t t Σ [f] Σ e t.n t ϕ e 3.n e 3.n t da ) u + δ t [f] Σ e t.n t et dans R 3 on obtient l équation suivante : ) u t = e 3.n + [f] t Σ e t.n t e 3.n t δ Σ On calcule maintenant les normales n t et n, elles sont définies par n t = tf t F = n = F F = F t e t + i=3 F x i e i i=1 t F i=3 i=1 F x i e i F ) e 3.n e 3.n t δ Σ A.48) A.49) A.50) A.51) A.52) A.53) A.54)

7 A.4. PRODUIT DE CONVOLUTION 35 où t et sont respectivement les opérateurs nabla dans R 3 R et R 3. On a : De l équation A.44 on déduit : e t.n t = 1 F t F t 1 F e 3.n t = t F x 3 e 3.n = 1 F F x 3 A.55) A.56) A.57) df = 0 F t + w. F = 0 où w est la vitesse de la surface Σ. En utilisant les équations A.55 à A.58, on obtient e t.n t L équation A.52 s écrit finalement : F e 3.n e 3.n t = t F = w.n A.58) A.59) t = Exercice 11 Démontrer les formules suivantes : 1. δ T = T 2. δ a T = T x a 3. δ T = T ) u [f] t Σ w.n δ Σ A.60)

8 36 ANNEXE A. ELÉMENTS DE THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

9 Annexe B Formulaire de théorie des surfaces On présente dans cette annexe un formulaire permettant de calculer les propriétés des surfaces[5] utiles à la description mécanique des systèmes multiphasiques. B.1 Introduction Soit une surface Σ dans Ω Figure B.1), on introduit un paramétrage u I, u II ) de cette surface par la donnée de trois fonctions p i telles que : x = p i u I, u II ) e i Mx) Σ B.1) où on a adopté la convention de sommation sur les indices de Einstein, et i varie de 1 à 3. Le plan tangent à la surface Σ au point M peut être défini par les deux vecteurs suivants u α = pi u α e i = t i αe i α = I, II B.2) Nous supposerons la surface localement orientable 1, le vecteur unitaire normal à la surface Σ au point M peut être défini par N = u I u II u I u II B.3) B.2 Formes fondamentales, équations de Gauss-Weigarten On introduit les deux formes fondamentales suivantes : Π I = dx.dx = g αβ du α du β α, β = I, II B.4) Π II = dx.dn = b αβ du α du β α, β = I, II B.5) où g le tenseur métrique fondamental de la surface Σ) et b sont des tenseurs d ordre deux sur la surface Σ. Les dérivées dans Ω des vecteurs u I, u II, et N par rapport aux variables u I et u II sont calculées au moyen des formules de Gauss-Weigarten suivantes : u α u β = Γγ αβ u γ + b αβ N α, β, γ = I, II B.6) N u α = βγ αu γ α, γ = I, II B.7) 1 On se reportera à la bibliographie pour une discussion sur les problèmes de surface orientable. 37

10 38 ANNEXE B. FORMULAIRE DE THÉORIE DES SURFACES Fig. B.1 Surface Σ où Γ γ αβ sont les coefficients de Christoffel sur la surface Σ. On peut les calculer à partir de g à l aide des formules suivantes : Γ γ αβ = 1 [ gβκ 2 gγκ u α + g κα u β g ] αβ u κ α, β, γ, κ = I, II B.8) On peut montrer que les coefficients β γ α sont reliés au tenseur b par les relations : B.3 Courbures normales β γ α = b γ α α, γ = I, II B.9) Soit une courbe C sur la surface Σ, t son vecteur tangent au point M, on a : dt ds = n B.10) R où s est l abcisse curviligne sur la courbe C, n la normale à C, et R le rayon de courbure. On définit la courbure normale, k n, associée à cette courbe C et la surface Σ par k n = n R.N B.11) On se propose de regarder comment évolue cette courbure normale en faisant varier continûment la courbe C de sorte que l on balaye complètement la surface Σ au point M. Soit t un paramétrage de la courbe C tel que La tangente t à la courbe C est définie par x = p i u I t), u II t)) e i B.12) La relation B.10 s écrit : t = dx ds = dx dt dt ds n R = dt dt dt ds B.13) B.14)

11 B.4. COURBURE MOYENNE, COURBURE DE GAUSS 39 De la relation évidente on déduit t.n = 0 B.15) dt dt.n + t.dn dt = 0 On obtient finalement en utilisant l équation B.11 k n = n dt dt.n = R dt ds.n Equation que l on transforme en utilisant B.16 en k n = dt ds t.dn dt En utilisant cette équation, et l équation B.13 on obtient En utilisant B.16 et B.5, on peut écrire ds dt 2 dx k n = dt. dn dt ds 2 dt = dx dt.dx dt = g du α du β αβ dt dt B.16) B.17) B.18) B.19) α, β = I, II B.20) dx dt.dn dt = b du α du β αβ α, β = I, II B.21) dt dt En combinant ces deux équations avec B.19 on obtient la courbure normale relative à la surface Σ et à la courbe C sous la forme k n = b αβ du α du β dt dt g αβ du α dt du β dt α, β = I, II B.22) B.4 Courbure moyenne, courbure de Gauss La courbure normale k n dépend de la direction du vecteur tangent à la courbe C, on étudie ici les variations de cette courbure en fonction de la direction de t dans le plan tangent à Σ au point M. On cherche d abord à voir si cette famille de k n peut avoir des valeurs extrémales pour des directions que nous appellerons directions principales. Localement au point M, les fonctions u I t) et u II t) définissant les courbes C peuvent être paramétrées sous la forme L équation B.22 s écrit alors u I = cosθ) t ; u II = sinθ) t B.23) avec k n π I = π II a = cosθ)/ sinθ) B.24) B.25) π I = g 11 a 2 + 2g 13 a + g 22 B.26)

12 40 ANNEXE B. FORMULAIRE DE THÉORIE DES SURFACES π II = b 11 a 2 + 2b 13 a + b 22 B.27) La courbure normale sera extremum si k n θ = 0 Cette condition peut s exprimer à l aide de la relation B.24 sous la forme B.28) soit π II a π I π I a π II = 0 g k 2 n + 2b 12 g 12 b 11 g 22 b 22 g 11 ) k n + b = 0 B.29) B.30) Dans cette équation g et b sont les déterminants des matrices [g ab ] et [b ab ], soit : g = g 11 g 22 g 2 12 B.31) b = b 11 b 22 b 2 12 B.32) On peut ainsi déterminer les valeurs extrémales de k n, et les directions principales associées. On peut définir localement plusieurs types de surfaces à partir de ces valeurs extrémales Figure B.2). Soit k n1 et k n2 les racines de l équation B.30, on a 1. point méplat La forme quadratique π II est dégénérée, les b ab sont nuls. En conséquence les deux courbures extrémales sont nulles k n1 = k n2 = 0). 2. point parabolique Le tenseur métrique fondamental associé à Σ a son déterminant nul g = 0), il y a une seule racine non nulle k n1 = 0, k n2 0). 3. point elliptique Le déterminant g est différent de zéro, il y a deux racines distinctes de même signe car on a b > point hyperbolique Le déterminant g est différent de zéro, il y a deux racines distinctes de signe contraire car on a b < point ombilic C est le cas particulier où les deux racines sont égales k n1 = k n2 0). A partir des racines de l équation B.30, on peut définir les courbures suivantes. La courbure moyenne, H, est définie par : 2H = k n1 + k n2 = 2b 12 g 12 b 11 g 22 b 22 g 11 ) g 1 B.33) La courbure de Gauss, K, est définie par : K = k n1 k n2 = b g 1 B.34) On peut trouver une expression plus compacte de H. Les composantes covariantes et contravariantes du tenseur g sont telles que g αβ g βγ = δ α γ B.35) où δ α γ est le symbole de Kronecker. On a

13 B.4. COURBURE MOYENNE, COURBURE DE GAUSS 41 Fig. B.2 Classification locale des surfaces g 11 = g 22 g 1 ; g 22 = g 11 g 1 ; g 12 = g 12 g 1 B.36) L équation B.33 s écrit alors 2H = b αβ g βα = b α α B.37)

14 42 ANNEXE B. FORMULAIRE DE THÉORIE DES SURFACES

15 Annexe C Rappels de thermodynamique On se limite ici à quelques rappels permettant de fixer les notations, et les concepts de base nécessaires. On se reportera à la bibliographie pour une introduction complète [3][10][4]) L énergie interne U d un système ouvert dépend des variables suivantes : U = US, V, m 1,..., m Nc ) où S est l entropie du système, V son volume, et m i sont les masses des constituants a. L équation fondamentale de Gibbs s écrit alors : C.1) où on a du = T ds pdv + µ a dm a C.2) ) U T = S ) U p = V ) U µ a = m a V,m S,m S,V,m b a C.3) C.4) C.5) Cette dernière équation définissant le potentiel chimique. On notera que le potentiel chimique n est pas défini à partir de propriétés spécifiques! Les quantités U, S, V, m 1, m 2,... sont des propriétés extensives. La fonction U est une fonction homogène de degré 1. Le théorème d Euler permet d écrire λ fx, y, z)) = fλx, λy, λz)) = λ λ C.6) f = x x + y y + z z U = U S S + U c V V + U m a m a L utilisation des équations C.7 permet d écrire C.7) U = T S pv + µ a m a C.8) 43

16 44 ANNEXE C. RAPPELS DE THERMODYNAMIQUE La différentiation de cette équation permet d écrire du = T ds + SdT pdv V dp + µ a dm a + m a dµ a ) C.9) En combinant cette équation avec l équation de Gibbs, C.2,on obtient l équation de Gibbs- Duhem Les autres fonctions thermodynamiques usuelles sont : enthalpie H = U + pv énergie libre de Helmholtz fonction de Gibbs 0 = SdT V dp + m a dµ a ) C.10) F = U T S G = U T S + pv A partir de C.2 et de ces équations on peut écrire C.11) C.12) C.13) dh = T ds + V dp + µ a dm a C.14) df = SdT pdv + µ a dm a C.15) dg = SdT + V dp + µ a dm a C.16) Dans ces équations, toutes les différentielles sont des différentielles exactes, ce qui permet de démontrer les relations de Maxwell suivantes : ) ) ) S p T T,m p,m V m a = µa p )T,p,m b a = V ) T,m S m a = )T,p,m b a µa m b = )T,p,m b a µa T ) µb m a p,m T,p,m a b On rappelle ci-dessous, les expressions classiques déduites des relations de Maxwell. C.17) ds = 1 T C pdt V αdp + s a dm a dv = V αdt V κ T dp + v a dm a C.18) C.19) b=n dµ a = s a dt + v a dp + µ ab dm b C.20) b=1 où on a adopté les notations suivantes ) S C p = T T p,m ; α = 1 V ) V T p,m C.21)

17 C.1. QUANTITÉS THERMODYNAMIQUES SPÉCIFIQUES 45 κ T = 1 ) ) V S ; s a = V p T,m m a ) ) S µa v a = V ; µ ab = m a T,p,m b a m b T,p,m b a T,p,m b a C.22) C.23) C.1 Quantités thermodynamiques spécifiques On définit les quantités spécifiques suivantes : où u = U m ; s = S m ; v = V m ; ω a = m a m C.24) L équation C.10 permet d écrire m = m a C.25) udm + mdu = T s pv + µ a ω a ) dm + D autre part l équation d Euler C.8 divisée par m s écrit T ds pdv + µ a dω a ) m C.26) u = T s pv + µ a ω a C.27) En combinant les équations C.26 et C.27 on obtient la forme spécifique de l équation de Gibbs suivante : du = T ds pdv + µ a dω a C.28) De la même façon on peut obtenir la formulation suivante de l équation de Gibbs-Duhem 0 = sdt vdp + ω a dµ a Les potentiels chimiques spécifiques sont obtenus à partir des équations C.11 à C.13, on a C.29) h = u + pv C.30) f = u T s C.31) Sous forme différentielle on a : g = h T s C.32) dh = T ds + vdp + µ a dω α C.33)

18 46 ANNEXE C. RAPPELS DE THERMODYNAMIQUE df = sdt pdv + µ a dω α C.34) dg = sdt + vdp + µ a dω α C.35) C.2 Quantités partielles spécifiques Soit Φ une quantité thermodynamique extensive, la propriété partielle spécifique associée est par définition : ) Φ φ α = C.36) m a T,p,m b a dans une représentation avec les variables indépendantes T, p, m a. La quantité Φ est homogène de degré 1 par rapport aux variables m a. Le théorème d Euler permet d écrire La différentielle de Φ s écrit ou encore dφ = Φ = ) Φ dt + T p,m φ a m a ; φ = φ a ω a ) Φ dp + p T,m φ a dm a C.37) C.38) φdm + mdφ = m En utilisant C.37 on obtient [ ) φ dt + T p,ω dφ = ) φ dt + T p,ω ) ] φ dp + p T,ω ) φ dp + p T,ω φ a mdω a + φ a ω a dm) C.39) φ a dω a C.40) On insistera encore une fois sur le fait que les grandeurs partielles φ a ne sont pas obtenues à partir de φ mais de Φ, contrairement aux deux premiers termes dans le second membre de C.40. Sans détailler, on obtient les expressions suivantes : où dg = ) g dt + T p,ω ) g dp + p T,ω g a dω a C.41) ) G g α = = µ a C.42) m a T,p,m b a Enfin, l application de C.41 à l enthalpie spécifique permet d écrire dh = c p dt + v1 α)dp + h a dω a C.43)

19 C.3. ACTIVITÉS 47 C.3 Activités Le potentiel chimique µ a joue un rôle clé dans l étude des mélanges, on l exprime en général à l aide de l activité α a ou du coefficient d activité : γ a ). On écrit µ a = µ id a + RT ln α a ) = µ id a + RT lnγ a ) M a x a M a dans laquelle le potentiel chimique pour un mélange idéal s écrit : µ id a Dans le cas d un mélange idéal de gaz, on a = µt, p) + RT M a lnx a ) C.44) C.45) µt, p) = µ 0 T ) + RT M a ln Mp RT ) C.46) De nombreux modèles sont proposés pour décrire le coefficient d activité dans un système réel, par exemple pour des systèmes binaires : Van Laar : ) 2 A ba x b lnγ a ) = A ab C.47) A ab x a + A ba x b Margules : lnγ a ) = A ab + 2 A ba A ab ) x a ) x 2 b C.48) De telles expressions sont très utiles pour décrire les équilibres entre phases, et pour estimer des propriétés comme les coefficients de diffusion, etc..

20 48 ANNEXE C. RAPPELS DE THERMODYNAMIQUE