Calcul numérique. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 Clcul numérique EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 8 AOÛT 008 Connissnces Cpcités Commentires. Nombres et clculs. Nombres entiers et rtionnels Frctions irréductibles. Opértions sur les nombres reltifs en écriture frctionnire. (Reprises du progrmme du cycle centrl). Écritures littérles Puissnces. [Thèmes de convergence] Simplifier une frction donnée pour l rendre irréductible. Utiliser sur des exemples les églités : m n m n m / n mn ( m ) n mn (b) n n b n ( / b) n n / b n où et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers reltifs. Dns le cdre du socle commun, les élèves utilisent leur clcultrice pour rendre irréductible une frction donnée. Dns le cdre du socle commun, l ddition, l soustrction et l multipliction «à l min» de deux nombres reltifs en écriture frctionnire, sont exigibles seulement dns des cs simples ; pour l ddition et l soustrction, il s git uniquement des cs où un clcul mentl est possible. Dns les utres cs, l clcultrice est utilisée. Comme en clsse de qutrième, ces résultts sont construits et retrouvés, si besoin est, en s ppuynt sur l significtion de l nottion puissnce qui reste l objectif priritire. L mémoristion de ces églités est fvorisée pr l entrînement à leur utilistion en clcul mentl. Note : les points du progrmme (connissnces et cpcités) qui ne sont ps exigibles pour le socle commun des connissnces et des compétences sont en itliques. Certins commentires ou exemples d ctivités, liés à des connissnces et des cpcités qui ne font ps prtie du socle, sont écrits en itlique dns l troisième colonne mis correspondent à des situtions que doivent trviller tous les élèves cr ces connissnces et ces cpcités restent des objectifs d enseignement du progrmme. Ouverture L nottion scientifique de 8 millions est :, L nottion scientifique de millions est :, 0 8. L nottion scientifique de 9,7 millions est :, L nottion scientifique de,3 millions est :, L nottion scientifique de,7 millions est :,7 0 6., ,6 0,, 3 09 soit 36 internutes pour 000 hbitnts en Chine., , , soit 783 internutes pour 000 hbitnts ux Étts-Unis., ,033 0, soit 33 internutes pour 000 hbitnts en Russie., ,0696 0, 6, 06 soit 696 internutes pour 000 hbitnts en Frnce., ,89 0 3,,3 06 soit 89 internutes pour 000 hbitnts u Dnemrk. Je prends un bon déprt QCM A B 3 A B A 6 C 7 B 8 B 9 A 0 C 6 3 A B C 3 3 D : 9 A B C () 8 8 D 3 ( 0 ) 3 ( ) , b. 9, ,09 3 c. 7, ,07 6 d. 0, Les nombres C et E sont écrits en nottion scientifique.. A, B 9, 0 3 D 8,7 0 F, 0 Chpitre Clcul numérique 9 Éditions Belin, 0.

2 A 3, Un ordre de grndeur de A est donc : 0. B 7, Un ordre de grndeur de B est donc : A est supérieur à B. 6 A B () Activités Objectifs SC3 Conjecturer les propriétés sur le produit et le quotient de deux puissnces d un même nombre et sur l puissnce de l puissnce d un nombre. Svoir ppliquer ces propriétés... 3 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) b. On peut conjecturer que le produit n p peut s écrire sous l forme : n p. c (36). d. On peut encore ppliquer cette règle pour clculer le produit 0 : En effet : 0 et 0. e. 9 7,8 7,8 0 7,8 (0) 7, ,3 0,3,3 0,3 f. () 3 () () 7. est un nombre négtif et 7 est un nombre impir, donc le produit () 3 () est négtif b. On peut conjecturer que le quotient n p peut s écrire sous l forme : n p. 00 c d. On peut encore ppliquer cette règle pour clculer les quotients 0 et 0 : En effet : et et 0. e ,,7, 7, (8) ,87,83,87 (3), () 6, 9, 9, 8, (,) 3 f. (,) (,), est un nombre négtif et est un nombre pir, ( donc le quotient,) 3 est positif. (,) 3.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) ( ) 3 6 ( 3 ) ( ) 0 ( ) 0 ( 3 ) 3 3 b. On peut conjecturer que le quotient ( n ) p peut s écrire sous l forme : n p. c. ( ) 0 (0) 600. d. On peut encore ppliquer cette règle pour clculer ( n ) 0 et ( 0 ) n : En effet : ( n ) 0 et n 0 0. ( 0 ) n n et 0 n 0. e. (7 ) (,3 ) 0,3 0,3 0 ( 9 ) (6 ) 6 () 6 00 (,8 0 ),8 0 (),8 0 (() 7 ) 0 () 7 0 () 0 f. ((7) 3 ) 6 (7) 8. 7 est un nombre négtif et 8 est un nombre pir, donc le nombre ((7) 3 ) 6 est positif. Objectifs SC3 Conjecturer les propriétés sur le produit et le quotient de puissnces de deux nombres ynt le même exposnt. Svoir ppliquer ces propriétés... Le risonnement de Mrie est correct. Elle utilisé : le fit que 70 peut s écrire 7 0 ; l définition d une puissnce ; l propriété qui indique que l on peut chnger l ordre des fcteurs d un produit ; et encore une fois, l définition d une puissnce. Éditions Belin, 0.

3 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) 3 b 3 ( ) (b b b) ( b) ( b) ( b) ( b) 3 b b b ( b) ( b) ( b) ( b) On peut conjecturer que le produit n b n peut s écrire sous l forme : ( b) n. b. 3 ( 3) 6 7, 0 0 (7, ) ( ) , (6 0,) 3 c. (7) 3 3 (7 ) 3 (8) 3 8 est un nombre négtif et 3 est un nombre impir, donc (7) 3 3 est un nombre négtif... n n b b b bn bn 9 A x x 3 x 7 x (3) (7) x 6 x8 x x39 B ( x) 7 x7 x3 x9 x x0 C x x8 x3 x7 ( x) ( x) x x x D x 6 n fois b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3) n n n n n n bn bn b b b. c. 7,6 6, 0, , 7 0, ( d. ) 7 7 (,) 7 7, est un nombre négtif et 7 est un nombre impir, donc ( ) 7 est négtif. 7 Svoir-fire 7 SC3 A B : C : 3 : : SC3 A ( ) ( ) 3 3 B C 0, (0,00 000) D 3 ( 3 ) ( ),. On conjecture que : Aire (ABCD) Aire (A nbncnd n ) n. Exercices À l orl 8 SC b c d. 7 3 e. 3 f SC b c d e f. 8 0 Chpitre Clcul numérique Éditions Belin, 0.

4 : b. : c. : 0 d. : e. : f. : x. Vri. En effet : x (vec x 0). x. Vri. En effet : l inverse d un nombre x non nul est x. 3. Fux. En effet : l opposé de est.. Vri. En effet : si x y, lors x et y sont non nuls et y x.. Fux. En effet : l inverse de est. 3 SC3 3. Alexndr dépensé un qurt de son rgent de poche. 3. Il reste à Alexndr les trois qurts de son rgent de poche. 6 SC L pelouse occupe l moitié du jrdin. 7 SC Chrles obtient un tiers des bonbons Aline obtient l moitié des bonbons. 8 SC b. 3 9 c d e f. (,) (,) (,) 0 g. 7 6 h. () 0 () () 9 SC b. 6 6 c. ( 3) 60 (3) d ( 3) 00 e f. 7, 7, 7,7 g. ( 9) 3 (9) 7 h. 3 ( 9) SC3. ( ) 3 6 b. ( 3 ) () c. ((,6) ) (,6) 8 d. (,3 ),3 0 e. ( 6 ) 0 () f g h. i SC3. 0, 0 (0, 0) b. () 9 9 ( ) 9 (0) 9 c d. e f., 8 3 SC3. Vri. En effet : ( 3 ) 6 et ( ) 3 6. Vri. En effet : n p n p ; n et p étnt deux entiers reltifs. 3. Fux. En effet : si est non nul, 0.. Vri. En effet : si est non nul, 0.. Fux. En effet : ( 0) Les nombres A, D, E et F sont écrits en nottion scientifique , 0 b. 36,7 3,67 0 c.,93, d. 0, Je m entrîne 3 SC3 A B C D E F Éditions Belin, 0.

5 36 SC3 A B C D E F A : B : C : A 3 : 7 3 : 7 7 B : C 6 6 : : D : Thème de convergence L prt des trnsports routiers étit de SC3. est négtif et est pir, donc : () est positif. b. 3 est positif, donc : 3 est positif. c. 7 est négtif et 7 est impir, donc : (7) 7 est négtif. d. est positif, donc : 0 est positif. e. est négtif et est impir, donc : () est négtif. f. 0 est négtif et est pir, donc : (0) est positif, et pr conséquent : (0) est négtif. SC3. est positif, donc n et n sont positifs. Pr conséquent : 3, 6, et sont positifs et 3 est négtif. est positif, donc est négtif. D utre prt, est impir, donc () est négtif... est négtif et 3 est impir, donc 3 est négtif. b. est négtif et 6 est impir, donc 6 est positif. c. est négtif et est pir, donc est positif. d. est négtif et est impir, donc est négtif. e. est négtif et 3 est impir, donc 3 est négtif, d où : 3 est positif. f. est négtif, donc est positif. Pr conséquent () est positif b. 3 7 c d e f b c d e. 0 3 f SC3 A (9 ) (8 ) 7 B 9 6 C 9 0 (9 ) 3 0 D SC3 A (0 9) 7 3 B 0 (3 7 3 ) 0 C (00 ) D ( ) E F A 0 3 ( ) 0 (0 ) Un ordre de grndeur de A est Un ordre de grndeur de A ser ussi Un ordre de grndeur de 0 est : 0 3. b. Un ordre de grndeur de 7 6 est : 0. c. Un ordre de grndeur de 3 est : 0 0. d. Un ordre de grndeur de est : 0. e. Un ordre de grndeur de 3 0 est : 0 0. f. Un ordre de grndeur de 3 est : L éleveur pourr voir 9 petits tenrecs u mximum. Thème de convergence 9 L 0 3 ml Dns un litre d eu de mer, il y environ 0 9 bctéries, soit un millird de bctéries. Chpitre Clcul numérique 3 Éditions Belin, 0.

6 ,6 0 b. 0, 0 c. 0,6 0 7,6 0 6 d. 0, e.,89 0 8, f ,6 0 0 g , 0 h. 0,0 0, 0 6 i.,6 0,6 0 0 x ; y 0, 0 ; z A x y z 3 6 3,6 0 3 B z(x y) 9 00,9 0 C x(y z) ,3 0 D xyz , A B 0 0 C 0 0 D E 0 0 F SC3 A 3 B C 9 6 SC3 A B 6 3 ( 3) 3 6 C SC3 A B C 3 6 D DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ). 3. Vri. Vri 3. Fux. Fux, , , Un proton est 000 fois plus lourd qu un électron. SC3 A 0 8 B 0 8 C 0 6 D 0 E 0 0 F SC3 A B 0 C D 3 7 SC3 A 7 B 0 C D 0 E 0 F 8 SC3 A,9 B () 0 C () D (7) E F 7 9 SC3. b. 3 c. d. 30 e. 7 f SC3 A 0 0 B, 8 C 9 0 D 79 0 E () 00 F () G 6 9 H 8 I SC3 A 30 B 0 C 0 D 0 E F 00 6 SC3 A B C 3 8. On conjecture que : ire (Q ) n ire (Q ) et n. ire (Q n) ire (Q n) 67 SC3. () b. () c. 8 3 () 3 d. 7 3 (3) 3 68 SC3 A 0, (0,00 000) B (0, ) , (0, 7) 6,7 6 C 3, D (7 3) SC3 A ( 0,) B (0,00 0) 6 0,0 6 (0 ) 6 0 C 3 (3 ) D (3 ) SC3 A (b) 7 B b (b) C b (b) D b (b) Éditions Belin, 0.

7 7 SC3 A 3 3 B C D SC3 A 0 b B 9 b 8 3 b C b b b D b 3 6 b 73 A 9 ( ) 9 B 3 0 ( 3) 3 0 C ( ) 6 D 7 9 (7 ) A x (x ) B x (3x 3 ) C x 7 ( x) x 6 (x ) D 8x 3 9x x (8x 9) 7 A 0 (3 0 00) , 0 B 0 9 (3,6 0 6) 0 9, 0 7 C 0 0 ( ) , (0 0) A (3, 0,0 0 ), 0 B 0 0, Je m entrîne u 77 A B C brevet 78. C b. C c. C Il lui reste, soit l moitié de s propriété L superficie ctuelle de s propriété est de 0 hectres. 80. A , 0,0 0,. A, A 0 0. A A b. A c. C 8 SC3 D 6 E ( 3) F A 7. B , 0 0 L nottion scientifique de B est 3, L écriture décimle de B est A b. C c. A 8. A B 3 0 (0 3) 0, L écriture décimle de B est 70. L nottion scientifique de B est 7, B b. C c. C J pprofondis 00.. Si un nombre est pir lors l moitié de ce nombre est un nombre entier et donc un nombre déciml. Si un nombre est impir lors il est l somme d un nombre pir et de. Alors s moitié est l somme de l moitié d un nombre pir et de 0,. On en déduit que c est un nombre déciml. b. Si est un nombre entier lors, d près l question précédente, est un nombre déciml. L moitié d un nombre déciml est un nombre déciml. Ainsi l moitié de est ussi un nombre déciml et insi de suite. Donc est un nombre déciml. n.. Le reste de l division euclidienne d un nombre entier pr est 0 ou ou ou 3 ou. Quel que soit un nombre entier n, il peut s écrire sous l forme : k ou k ou k ou k 3 ou k, où k est un entier représentnt le quotient de l division euclidienne du nombre entier n pr. D où : n s écrit : k ou k 0, ou k 0, ou k 0,6 ou k 0,8. On, dns tous les cs, l somme d un nombre entier et d un nombre déciml. n est donc toujours un nombre déciml. Chpitre Clcul numérique Éditions Belin, 0.

8 b. Si est un nombre entier lors, d près l question précédente, est un nombre déciml. Le cinquième d un nombre déciml est un nombre déciml. Ainsi le cinquième de est ussi un nombre déciml et insi de suite. Donc est un nombre déciml. p 3. n p n p Or, d près les questions et, n et p sont des nombres décimux. On sit que le produit de deux nombres décimux est un nombre déciml. Donc est un nombre déciml. n p Donc, d près l question 3, A est un nombre déciml Donc, d près l question 3, B est un nombre déciml A B IJK est rectngle en K, donc d près le théorème de Pythgore : IJ IK JK 3 (3 ) On en déduit que : IJ 03. Les points B, A et M d une prt, et les points C, A et N d utre prt, sont lignés dns le même ordre. AB 37 3 et AC (3 ) 3 AM 3 AN 3 D où : AB AC AM AN Donc, d près l réciproque du théorème de Thlès, les droites (BC) et (MN) sont prllèles. 3. On peut lors dns ce cs ppliquer le théorème de Thlès : AB AC AM BC AN MN. Or : AB AM 3 et MN Donc : 3 BC 3 3, soit : 0 BC A B 9 3 C 6. On peut conjecturer que D. 3. D n 3 n n (n ). Si on prend n 7, on obtient 7 (7 ) soit : Un nombre pir est un multiple de, donc on peut l écrire sous l forme : n vec n entier nturel. b. (n) n n (n ) Donc (n) est un nombre pir. (n) 3 3 n 3 n (n ) Donc (n) 3 est un nombre pir... Un nombre impir est un nombre qui s écrit sous l forme de l somme d un nombre pir et de soit : n. b. (n ) (n ) (n ) n n (n n) On peut écrire (n ) sous l forme de l somme d un nombre pir et de donc (n ) est un nombre impir. (n ) 3 (n ) (n ) (n n ) (n ) 8n 3 n 8n n n (n 3 6n 3n) On peut écrire (n ) 3 sous l forme de l somme d un nombre pir et de donc (n ) 3 est un nombre impir A B A B A (b) 3 (b) (b) 0, B 7 b 3, (b) 3, 3, 87, 0 A (b ) 8 ( b) 8 () B 3 b3 b 3 b ( b) () 7, 3 0, ; (3 ) 3 ; 0,03 ; (3 ) Donc : (3 ) (3 ) 3 (3) 9 ; ; 3 3 ; 3 6 ;. Le plus grnd nombre est (3). Éditions Belin, 0.

9 ( ) ( ) On en déduit que 3 s écrit vec 3 chiffres. On considère les deux rectngles d ire. L ire de ces deux rectngles superposés comme sur l figure est égle à : 7. L ire des rectngles superposés comporte l ire colorée et deux ires chcune égle à. L ire verte est donc égle à : 7 3. L ire de l surfce colorée est donc égle à 3.. On grin de riz sur l re cse, soit grins de riz sur l e cse, soit grins de riz sur l 3 e cse, soit 3 grins de riz sur l e cse, 3 soit grins de riz sur l e cse,, et 6 soit 63 grins de riz sur l 6 e cse.. Un ordre de grndeur de 63 est 0 9. L demnde de Sess n est donc ps rélisble Pour tout entier n, on : n n n n n ( ) n. S ( 0 ) ( ) ( 3 ) ( 0 9 ) ( 0 ) 3. S Le progrmme de clcul de Rémi pour trouver 6 est le suivnt : Il tout d bord effectué :, soit. Puis il clculé 3 soit 6. Il ensuite jouté. b. Le progrmme de Jenne pour trouver 7 est le suivnt : Elle tout d bord effectué : 3, soit 8. Puis elle clculé 8, soit 6. Elle ensuite jouté. c. Il est difficile de svoir qui rison cr, sns prenthèses, il est difficile de connître le clcul prioritire. Pr convention, on considère que l priorité de clcul est n, soit le progrmme de Jenne... Pour n : ( ) Pour n : ( ) b. Pour n : B ( ) 6 7 Pour n : B ( ) 0 0 On obtient des résultts inférieurs. 9. n n n (n ) n (n n ). Si on prend n, on obtient : ( ) x x,, 08. Or : 00x x 99x. Donc : 99x 08, soit : x Argumenter et débttre Le risonnement de Mxime est correct. Il utilisé l définition d une puissnce, puis il chngé l ordre des fcteurs d un produit. Ensuite, il, à nouveu, utilisé l définition d une puissnce. Le dernier chiffre d une puissnce de 3 peut être, 3, 9 ou 7, mis jmis 0. Puisque 0 7 s écrit vec un suivi de 7 zéros, il pu conclure que 30 7 se termine pr 7 zéros. Pour n, il y de multiples possibilités. Pr exemple : 3. Pour n, on pr exemple : 3 ou On peut fire le lien vec le théorème de Pythgore ( ) ( ) 0 80 On en déduit que : ( ) ( 3 ) 8 ( 8 ) 3 ( ) 3 Il fut élever à l puissnce 3 pour obtenir et 0 ( 0 ) Comme 0 est supérieur à 000 lors 0 est supérieur à 000. On en déduit que : m dm 3 On obtient 000 cubes de volume dm 3. Chque cube de dm 3 des rêtes de dm donc si on empile tous ces cubes, on obtient une tour de huteur 000 dm soit de 00 m. Atelier découverte 7. 0 ; ; ; 3 8 ; 6.. Écriture binire de 0 : 0 Écriture binire de : Écriture binire de : 0 Écriture binire de 3 : Écriture binire de : 00 Écriture binire de : 0 Écriture binire de 6 : 0 Écriture binire de 7 : Écriture binire de 8 : 000 Écriture binire de 9 : 00 Chpitre Clcul numérique 7 Éditions Belin, 0.

10 3. L écriture binire de est : L écriture binire de est : 0 L écriture binire de est : 00 L écriture binire de 8 est : 000 L écriture binire de 6 est : 0000 On remrque que l écriture binire des puissnces de est formée d un suivi de plusieurs 0.. On remrque que n s écrit en binire pr un suivi de n zéros.. L écriture décimle de 0 est : 7 L écriture décimle de 00 est : L écriture décimle de 0 est : 3 L écriture décimle de est : tér : 0 ; gig : 0 9 ; még : 0 6 b. 0,0 To 0,0 0 o 0 0 o bits 0 0 Mb 0 Mb 7 Mb. 6 ko o bits Mb Mb. 00 Go o 0 8 bits 8 0 Mb 0 Mb... Mio 0 Kio 0 0 o 0 o. Gio 0 Mio 0 0 o 30 o. Tio 0 Gio 0 30 o 0 o. b. kilo : 0 3 ; még : 0 6 (0 3 ) ; gig : 0 9 (0 3 ) 3 ; tér : 0 (0 3 ) ; etc. kibi : 0 ; mébi : 0 ( 0 ) ; gibi : 30 ( 0 ) 3 ; tébi : 0 ( 0 ) ; etc. 8 Éditions Belin, 0.