2 Définition des systèmes linéaires continus et invariants(slci)

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1 1 Présentation 11 Cf exemple du reservoir 12 Définitions Un système est dit asservi si il n est plus piloté uniquement par la consigne mais par la comparaison entre la consigne et la réponse Un système asservi doit donc présenter une boucle de retour et un comparateur a boucle de retour permet : - D agir sur le système tant que l écart entre la consigne et la réponse n est pas nulle étude de l asservissement en réponse à l évolution de la consigne est appelée poursuite - de prendre en compte d éventuelles perturbations, même si celles ci interviennent après que le système ait atteint un régime stationnaire étude de l asservissement en réponse à une perturbation est appelée régulation Il existe deux manières de modéliser le comportement d un système asservi : - Si le système est bien connu et qu il n est pas trop complexe, on peut établir les équations élémentaires de chaque composant afin de déterminer les équations qui régissent les relations entre l entrée et la sortie - Si le système est trop complexe, une autre approche consiste à observer la réponse du système à une entrée connue On utilise alors les signaux tests a réponse permet alors l identification du système Cette méhode sera abordée en travaux pratiques 2 Définition des systèmes linéaires continus et invariants(sci) On s intéresse dans ce chapitre aux systèmes monovariables à une seule entrée (la cause) et une seule sortie (effet) Un système est dit causal si la cause précède l effet, c est le cas des systèmes physiques que nous étudierons On représentera le système par un schéma bloc faisant apparaître clairement la nature de l entrée e(t) et de la sortie s(t) (position, vitesse, température, tension):

2 21 Système linéaire Un système est dit linéaire si la fonction qui le décrit est elle-même linéaire effet s(t) est proportionnel à la cause e(t): a propriété mathématique de linéarité permet d écrire le théorème de superposition: e 1 (t) e 2 (t) e(t) SCI SCI SCI s 1 (t) s 2 (t) s(t) e 1 (t) + e2(t) SCI s 1 (t) + s 2 (t) En pratique, très peu de systèmes ont véritablement un comportement linéaire sur toute leur plage d utilisation On peut toutefois la plupart du temps linéariser le comportement (la fonction entrée-sortie) du système autour d un point de fonctionnement sans commettre trop d erreur Cela signifie que la loi entrée sortie au voisinage du point étudié peut être représentée par une droite: e(t) SCI s(t) s zone d'étude e Certains systèmes peuvent être linéaires sur une grande plage de fonctionnement tout en présentant une non linéarité Voici quelques cas de non linéarité couramment observés:

3 22 Système continu Un système est dit continu, par opposition, à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions du type f(t), t étant une variable continue (généralement le temps) a fonction f(t) est donc définie en toute valeur de t e système continu est également souvent appelé système analogique A l inverse, les données traitées par informatique sont toujours discontinues, on parle alors de système échantillonné (pas au programme cette année) 23 Système invariant Si x 1( t ) induit y ( t) 1 alors pour tout décalage temporel, x ( t 1 ) induit y ( t ) 1 Un système est invariant si les relations entrée-sortie ne se modifient pas au cours du temps En d autres termes, c est un système qui ne vieillit pas, ses caractéristiques ne varient pas au cours du temps Exemples de systèmes pouvant être modélisés par une loi de comportement linéaires: tension moteur électrique vitesse (t) effort ressort allongement x(t) tension four électrique température 3 odélisation des SCI Comme nous l avons évoqué, la plupart des systèmes ne sont ni continus, ni invariants, ni linéaires On se ramènera aux SCI en faisant des hypothèses simplificatrice Nous aurons l occasion lors des activités de TP de confronter les modèles établis aux systèmes réels et d en tirer des conclusions quant à leur validité C est le coeur du travail de l ingénieur que d établir des modèles pertinents collant au mieux à la réalité tout en connaissant leurs limites

4 es systèmes que nous allons étudier ont des relations entrées-sorties modélisables par des équations différentielles linéaires à coefficients constants Premier exemple: système du premier ordre On s intéresse aux circuits R (résistance + bobines) fréquemment rencontrés dans les circuits électriques e(t) i(t) R i(t) Hypothèses: a tension e(t) est prise comme variable d entrée et la tension comme variable de sortie es équations électriques nous donnent : e (t) di(t) dt Ri(t) u (t) Ri(t) Nous obtenons donc : premier ordre: e (t) di(t) dt R d R dt e(t) Soit l équation différentielle du On peut mettre cette équation sous sa forme canonique: s (t) s(t) Ke(t) où : est la constante de temps du système K est le gain du système

5 31 Deuxième exemple: système du second ordre On s intéresse au système masse ressort et amortisseur qui correspond par exemple aux suspension d un véhicule Hypothèses: a force x(t) est prise comme variable d entrée et la position par rapport à l équilibre y(t) comme variable de sortie Isolons la masse : f y(t) u ky(t) u x(t) u u En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique à la masse, nous obtenons : x(t) ky(t) f y(t) y(t) D où : y(t) f y(t) k y(t) x(t) C est une équation classique de la mécanique vibratoire, où l on pose : k 2, avec pulsation propre des oscillations libres ou pulsation propre 1 non amortie unité de est le rad s f 2, avec coefficient d amortissement Ce coefficient est sans unité Il est aussi souvent noté z ou, plus rarement m Nous pouvons aussi écrire : f 2 k On peut ré-écrire l équation du second ordre sous la forme canonique : s(t) s(t) s(t) K e(t)

6 32 Généralisation D une manière générale, on représente un système linéaire, continu et invariant par une équation différentielle linéaire à coefficients constants liant les grandeurs d entrée x(t) et celles de sortie y(t) : n n 1 m m 1 d y(t) d y(t) d x(t) d x(t) a n a a y(t) b b bx(t) n n 1 n 1 m m m 1 m 1 dt dt dt dt a solution d une telle équation s obtient en ajoutant une solution particulière à la solution générale sans second membre Pour des systèmes complexes, la solution y(t) est difficile à obtenir de manière analytique idée consiste à utiliser la transformation de aplace qui permet d obtenir une relation algébrique entre la sortie et l entrée, sans avoir à résoudre l équation différentielle