CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS. MEMOIRE présenté en vue d'obtenir. le DIPLOME d'ingenieur CNAM SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE

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1 CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS MEMOIRE présenté en vue d'obtenir le DIPLOME d'ingenieur CNAM SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE OPTION : TRAITEMENT DU SIGNAL Par ********* REGULATION

2 Identification des systèmes linéaires 1 Introduction Un système linéaire a une fonction de transfert qui peut se calculer en établissant les équations différentielles qui relient entrée et sortie. Ces équations théoriques sont parfois difficiles à écrire car on n a pas forcément toute la connaissance du système nécessaire : valeurs numériques, processus mis en jeu, non linéarité... Souvent, un modèle dont le comportement ressemble à celui du système à étudier est suffisant pour élaborer une loi de commande adaptée. Mes exemples présente différentes méthodes pour obtenir un modèle sous forme de fonction de transfert équivalente en termes de réponse à un système dont on ne sait pas modéliser le comportement. Ces méthodes NE donnent donc PAS LA fonction de transfert du système mais en donnent UNE dont la réponse ressemble à celle du système. 2 Identification en Boucle Ouverte On identifie la réponse indicielle en BO du système à celle d un modèle dont la forme est prédéfinie avec certains paramètres. La méthode consiste à calculer les meilleurs paramètres en fonction de la forme de la réponse réelle.

3 1 Méthode de Strejc Le modèle Cette méthode peut s appliquer aux systèmes dont la réponse indicielle ne présente pas de dépassement. On identifie à une fonction de la forme : Les paramètres à identifier sont donc : le gain statique K, le retard r, la constante de temps et l ordre n La méthode Pour identifier le système, la méthode peut se décomposer en : - Le gain statique est mesuré directement par la valeur finale de la sortie. Celle-ci vaut K.E0 où E0 est l amplitude de l echelon d entrée. - On trace la tangente au point d inflexion pour déterminer deux valeurs : T1 et T2. - Relever T1 et T2 en déduire l ordre n en utilisant le tableau 1. Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus petite. - Déterminer la constante de temps a partir de du tableau. - Déterminer le retard r quand il existe `a partir de la différence entre la valeur de T1 mesurée et celle donnée par la colonne du tableau. Tableau pour estimer l ordre, la constante de temps et le retard du modèle de Strejc

4 2.1.3 Exemple Pour tester cette méthode, nous partons d un système dont la fonction de transfert est : Schéma bloc : Sa réponse indicielle est sur la figure ci-dessous :

5 PARTIE MATHEMATIQUE TRAITEMENT DU SIGNAL Décompositions en éléments simples : Par identification : D où : Au final :

6 La transformée inverse de Laplace nous donne ainsi la fonction Vs(t) : Calcul du point d inflexion : => la dérivée seconde correspond au point d inflexion de la courbe lorsque. Par encadrement Soit : - La droite y(t) est du type Valeurs numériques :

7 T1 T2 Le gain statique est mesuré directement par la valeur finale de la sortie : La tangente au point d inflexion étant trouvé on peut déterminer les temps T1 et T2 On relève T1 et T2 et on déduit l ordre n en utilisant le tableau. Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus petite. On détermine la constante de temps a partir de du tableau. On détermine le retard r quand il existe à partir de la différence entre la valeur de T1 mesurée et celle donnée par la colonne du tableau.

8 TRAITEMENT DU SIGNAL OUTILS DE STREJC On peut vérifier avec l outil de Strejc et d après notre fonction de transfert : Cela donne bien une réponse qui ressemble à notre système calculé.

9 ASSERVISSEMENT D'UN SYSTÈME DU 1 ORDRE (Modification des caractéristiques du système) OBJECTIFS 1- Modéliser un système du 1 ordre de type "remplissage de réservoir". 2- vérifier par simulation la réponse indicielle en boucle ouverte. 3- vérifier par simulation la réponse indicielle en boucle fermée. 4- Faire le bilan des modifications des caractéristiques lors de l'asservissement du système (constante de temps et transmittance statique). I- MODÉLISATION DU SYSTÈME 1- Présentation q r (m 3.s -1 ) Il s'agit d'une cuve de surface S alimentée par une vanne de remplissage (débit q r ) et vidée par la vanne 2 (débit q v ). Le débit de vidage q v est lié à la hauteur h du liquide par la relation : q V = 0,1h h (m) q v (m 3.s -1 ) La vanne de remplissage peut être considérée comme un bloc de commande avec une entrée de type hauteur (consigne e) et une sortie de type débit de remplissage (débit q r ). La relation entrée sortie est du type q r = K.e avec K constante. Le réservoir (système) est considéré comme un bloc de type "1 ordre" avec une entrée débit (débit q r ) et une sortie hauteur (sortie h). L'ensemble " bloc de commande + système " est représenté ci-dessous : E(p) Q r (p) H(p) T K 0 1 p Hauteur Débit Hauteur 2- Modélisation du bloc de commande Une hauteur de consigne h = 2m donnera un débit q r = 0,16 m 3.s -1. la valeur de la constante K du bloc de commande est donc : On a q r = K.e q 0,16 K e 2 r soit K 2 1 0,08 m.s.

10 3- Modélisation du bloc système La relation générale entre un débit q et un volume V est : q = dv/dt La transmittance du bloc système peut se mettre sous la forme: H(p) T Q (p) 1 p r 0. On a qtotal dv dh dh dh q r _ qv S qr 0,1h S qr 0,1h S dt dt dt dt Laplace Q r (p) 0,1H(p) SpH(p) H(p) T0 Ce qui est conforme à. Q (p) 1 p r H(p) 1 10 Q (p) 0,1Sp 110Sp r. On a directement 2 0. T 10 m.s en exprimant en fonction de S on peut calculer (on donne S = 0,5m 2 ). 10S 10 0,5 soit 5s. II- ÉTUDE EN BOUCLE OUVERTE On désire remplir le réservoir avec une hauteur h = 10m. On va donc envoyer une commande e(t) de type échelon d'amplitude l'expression de la sortie h(t) T0 T0 E KT0 H(p) Q r (p) K.E(p) 1 p 1 p p 1 p soit 100, H(p) p(1 5p) p(1 5P) h(t) 81 e t /5 10 8,00 H 7,60 5,06 e (m) 5 63% 15 95% h (m) t(s) Courbe de sortie h(t) l'erreur statique ε BO () = e() h(). Erreur statique ε BO () = e() h() = 10-8 soit BO ( ) 2m.

11 simulation avec ISIS donne les mêmes résultats : ε B0 () 2m et B0 5s. III- ÉTUDE EN BOUCLE FERMÉE la transmittance du système en boucle fermée sous la forme d'un système du 1 ordre. La valeur du nouveau gain statique T 0BF ainsi que de la nouvelle constante de temps BF. T BF KT0 KT0 1p KT0 1 KT0 (p) KT0 1 KT0 p 1 1 p 1p 1 KT 0 donc T BF (p) T 0BF 0 avec T0BF 1 BFp 1 KT0 KT et BF. 1 KT 0 Les valeurs numériques donnent : 0, 0810 T0BF 0, , 0810 et 5 BF 2,78s 10, 0810

12 L expression de la sortie h(t). 10 0, 444 H(p) p 1 2,78p h(t) 4,44 1 e t / 2,78. Courbe de sortie h(t) La nouvelle erreur statique ε BF () = e() h(). Nouvelle erreur statique ε BF () = e() h() = 10-4,44 soit BF ( ) 5,56m. Simulation avec ISIS donne les mêmes résultats : ε BF () 5,56m et BF 2,78s.

13 Pour résumer : Pour un système du 1 ordre, l'action d'un asservissement sur la constante de temps et sur la transmittance statique c est : (cas général): L'asservissement d'un système du 1 ordre (schéma ci-dessous) a les conséquences suivantes : Le système bouclé est toujours du 1 ordre : T BF T0BF (p) 1.p BF Augmentation de la rapidité : BF 1 KT 0 T0 Diminution de la précision : T0BF. 1 KT 0