Examen. 1 Première partie. Nom : Prénom : Section : BAC 3 phys. Introduction à l Analyse Numérique. (session de janvier) Question 1.

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1 Lisez ces quelques consignes avant de commencer l examen. Chacune des questions ci-dessous exige des explications mathématiques et algorithmiques. Veillez à faire une rédaction soignée de vos réponses (sur les feuilles qui suivent et qui doivent être rendues à la fin de chaque partie de l examen) en veillant tout particulièrement à la qualité de vos justifications. Justifier le choix d un algorithme, les raisons pour lesquelles il doit fonctionner sur les données de la question,... est très important. Si vous hésitez quant à la nécessité de justifier un point précis, n hésitez pas à demander. La qualité du code influencera votre note. Veillez à respecter les conseils donnés durant l année : bonne factorisation, emploi de structures de données adaptées, interfaces cohérentes et documentées,... L examen se déroule en deux parties. À la fin de chaque partie, vous devez remettre l ensemble du code qui vous a permis de répondre aux questions (nous devons pouvoir reproduire votre démarche) ainsi que les fichiers additionnels demandés dans le corps des questions. Si une librairie utilisée n a pas été écrite par vous, le(s) fichier(s) la contenant doi(ven)t mentionner explicitement son origine. Un système de gestion de compilation sera présent tel qu exigé aux TPs durant l année (ant pour JAVA, make ou omake pour C, C++, FORTRAN, OCAML,...). Si vous faites cet examen sur votre propre ordinateur, vous consentez implicitement aux règles suivantes : Toute émission sans fil émanant de votre ordinateur ou de votre téléphone portable a pour conséquence votre exclusion immédiate et votre échec ; En cas de suspicion de fraude, vous autorisez (et fournissez) un accès illimité à votre machine. Les informations qui seront rendues publiques seront uniquement celles qui seront utiles dans le cadre de la preuve de la fraude (si avérée) ; Vous êtes responsables de votre ordinateur et êtes sensés savoir effectuer les manœuvres nécessaires pour réaliser le travail. Le prétexte de la défaillance de votre machine ou de votre incapacité à realiser certaines manipulations pour «excuser» votre échec n est pas recevable. 1 Première partie Question 1. Soit r 0. Considérons le système suivant { x 2 + y 2 r 2 = r 2, y = log(x). (1) (a) Sur un même graphique (qui doit être présent dans l archive que vous remettez), représentez les deux courbes du système pour r = 0, r = 0.5 et r = 2. (b) Montrez que, pour r = 0, le système ne possède pas de solution. 1/5

2 (c) Montrez qu il existe un réel r 0 > 0 tel que, pour tout r r 0, le système possède une unique 1 solution (x,y) vérifiant x 1. Justifiez en détail, en identifiant clairement les théorèmes utilisés. La qualité de vos explications mathématiques est importante. (d) Calculez (si possible exactement, sinon donnez une approximation numérique avec 6 chiffres après la virgule) une valeur de r 0 (au plus r 0 est petit, au mieux c est!). (e) Pour r r 0, ce système possède-t-il d autres solutions (x,y) R 2 (donc pour lesquelles on a éventuellement x < 1)? Si oui, combien? Seule l existence des solutions doit être justifiée ; en ce qui concerne le fait qu il n y en a pas d autres, vous devez expliquer la démarche vous amenant à cette conclusion. (f) Pour r r 0, écrivez une routine retournant l ensemble les solutions du système (1). Justifiez le choix de la structure de donnée utilisée pour représenter cet ensemble. (g) Donnez (et écrivez ci-dessous) toutes les solutions (si elles existent) du système pour r = 2 et r = 3. Nous désirons que les nombres soient en écriture scientifique avec une précision relative d au moins Autrement dit, r 0, r r 0, { (x,y) (x,y) est solution de (1) x 1 } est un singleton. 2/5

3 Question 1 (suite). Poursuivez, si nécessaire, votre réponse sur cette page. 3/5

4 Question 2. Considérons les 4 points p 1 = (0,3.528), p 2 = (1,0.768), p 3 = (1.5, 0.087) et p 4 = (2,0.408). (a) Donnez (et écrivez ci-dessous) les différences divisées calculées sur les 4 points. (b) Écrivez une routine permettant d évaluer le polynôme d interpolation P en n importe quel point x R. Cette évaluation doit utiliser une méthode similaire à Horner. (c) Faites un graphe (qui doit figurer dans l archive) du polynôme P sur l intervalle ] 2,7[. (d) Combien de racines possède P? Justifiez en détail votre réponse (par des arguments et théorèmes mathématiques) et donnez (en écrivant ci-dessous les valeurs) une approximation de chacune de celles-ci. 4/5

5 Question 3. Pour un nuage de points (x i,y i ) i=1,...,n, où N N 1, nous considérons un deuxième nuage de points ( x i,ỹ i ) i=1,...,n donné par une petite perturbation du nuage (x i,y i ) i=1,...,n. Nous voulons déterminer si les droites de régression des deux nuages de points sont «proches» l une de l autre. Dans cette question, nous considérons l exemple de x i = x i + t i ε (resp. ỹ i = y i + t i ε) où ε et t i [ 1,1[. (a) Pour chaque nuage de points donné (un par fichier transmis par clef USB, sous le même format qu au TP2), utilisez la méthode des moindres carrés pour trouver la droite de régression y = ax + b. Donnez (et écrivez ci-dessous) les valeurs de a et b. (b) Pour ε > 0 et une famille (t i ) i=1,...,n, écrivez une routine utilisant la méthode des moindres carrés sur le nuage ( x i,ỹ i ) i=1,...,n pour trouver la droite de régression y = ãx + b. Pour ε = 0.05 et t i = ( 0.5) i, donnez (et écrivez ci-dessous) les valeurs de ã et b trouvées. (c) Donnez (et écrivez ci-dessous) les erreurs relatives ã a a et b b b. 5/5

6 Lisez ces quelques consignes avant de commencer l examen. Chacune des questions ci-dessous exige des explications mathématiques et algorithmiques. Veillez à faire une rédaction soignée de vos réponses (sur les feuilles qui suivent et qui doivent être rendues à la fin de chaque partie de l examen) en veillant tout particulièrement à la qualité de vos justifications. Justifier le choix d un algorithme, les raisons pour lesquelles il doit fonctionner sur les données de la question,... est très important. Si vous hésitez quant à la nécessité de justifier un point précis, n hésitez pas à demander. La qualité du code influencera votre note. Veillez à respecter les conseils donnés durant l année : bonne factorisation, emploi de structures de données adaptées, interfaces cohérentes et documentées,... L examen se déroule en deux parties. À la fin de chaque partie, vous devez remettre l ensemble du code qui vous a permis de répondre aux questions (nous devons pouvoir reproduire votre démarche) ainsi que les fichiers additionnels demandés dans le corps des questions. Si une librairie utilisée n a pas été écrite par vous, le(s) fichier(s) la contenant doi(ven)t mentionner explicitement son origine. Un système de gestion de compilation sera présent tel qu exigé aux TPs durant l année (ant pour JAVA, make ou omake pour C, C++, FORTRAN, OCAML,...). Si vous faites cet examen sur votre propre ordinateur, vous consentez implicitement aux règles suivantes : Toute émission sans fil émanant de votre ordinateur ou de votre téléphone portable a pour conséquence votre exclusion immédiate et votre échec ; En cas de suspicion de fraude, vous autorisez (et fournissez) un accès illimité à votre machine. Les informations qui seront rendues publiques seront uniquement celles qui seront utiles dans le cadre de la preuve de la fraude (si avérée) ; Vous êtes responsables de votre ordinateur et êtes sensés savoir effectuer les manœuvres nécessaires pour réaliser le travail. Le prétexte de la défaillance de votre machine ou de votre incapacité à realiser certaines manipulations pour «excuser» votre échec n est pas recevable. 2 Deuxième partie Question 1. Dans cette question, nous allons étudier les mouvements d un mobile de masse m = 50 kg soumise à l attraction terrestre (dont nous rappelons que la constante de gravitation g vaut approximativement 9.81m s 2 ) et contrainte de se déplacer sur une courbe fixe sans frottement. Tout d abord, nous considérons que le mobile se déplace sur un plan incliné déterminé par les points (x 1,y 1 ) et (x 2,y 2 ) (voir Fig 1). Ensuite, nous considérons que le mobile se déplace le long de la cycloïde γ : R R 2 : s (s sins,coss 1). Dans tous les cas expliqués ci-dessous, le mobile est lâché avec une vitesse nulle. Notez que la cycloïde a différentes applications dans le sport, et plus particulièrement les sports dits extrêmes. 1/5

7 (x 1,y 1 ) m y x α (x 2,y 2 ) FIGURE 1 Plan incliné En effet, les half-pipes (sorte de demi-lune sur laquelle les skateboards, rollers, snowboards ou skis peuvent glisser afin de réaliser des figures dans l air) ont une forme en règle générale très proche de celle des cycloïdes. Pour le cas du plan incliné : (a) Considérons deux points du plan p 1 = (x 1,y 1 ) et p 2 = (x 2,y 2 ) tels que x 1 < x 2 et y 1 > y 2. Donnez une formule permettant de déterminer l angle α formé par le segment de droite reliant p 1 à p 2 et l horizontale. (b) Considérons que notre mobile est lâché au point p 1 et glisse sans frottement le long du segment de droite sous l effet de la gravitation. Établissez la liste des forces en présence. Ensuite, donnez l équation différentielle qui est vérifiée par le mobile (libre à vous de choisir le repère qui vous convient le mieux pour écrire cette équation, en le précisant). Expliquez votre démarche. (c) Résolvez explicitement l équation différentielle trouvée (dans le repère choisi). (d) Donnez explicitement la trajectoire t ( x(t),y(t) ) (où x et y font référence au repère initial dessiné sur la figure 1). Considérons maintenant que notre mobile se déplace le long de la cycloïde γ : (e) Donnez le graphe (qui doit figurer dans l archive) de la cycloïde γ pour s [0,2π]. (f) Considérons deux valeurs s 1 et s 2 telles que 0 < s 1 s 2 < 2π s 1. Lâchant le mobile du point γ(s 1 ) = (x 1,y 1 ), nous sommes intéressés par déterminer le temps de parcours le long de la cycloïde du mobile jusqu au point γ(s 2 ) = (x 2,y 2 ). (i) Établissez le graphe et la résultante des forces. (ii) Afin de répondre à la question (f), nous allons déterminer la position ( x(t),y(t) ) du mobile en fonction du temps t. Pour cela, il suffit de déterminer s en fonction du temps, c est-à-dire la fonction σ : R R : t s = σ(t). On a alors ( x(t),y(t) ) = γ(σ(t)). En considérant (sans perte de généralité) que le temps où on lâche le mobile est t = 0, la situation physique demande que σ(0) = s 1 et t σ(0) = 0. Le temps de parcours recherché est le plus petit T 0 tel que σ(t ) = s 2. Dans le cas de la cycloïde, la fonction σ recherchée est solution de l équation différentielle : t σ = ( g ( t σ) 2) sinσ 2(1 cosσ). 2 2/5

8 Grâce à une méthode de Runge-Kutta d ordre 4, écrivez une routine déterminant σ en fonction de s 1. Ensuite, écrivez une autre routine retournant T en fonction de s 1 et s 2 (cette routine doit marcher pour tout les s 1, s 2 vérifiant 0 < s 1 s 2 < 2π s 1 ). (g) Fixons s 1 = π 4 et s 2 = 5π 4. D une part, donnez (et écrivez ci-dessous) le temps de parcours du mobile le long de la cycloïde pour passer du point γ(s 1 ) au point γ(s 2 ). D autre part, en utilisant le point (c), donnez (et écrivez ci-dessous) le temps de parcours si le mobile se déplace le long de la droite joignant γ(s 1 ) à γ(s 2 ). Que constatez-vous? (h) Fixons s 1 = π 4 et s 2 = π. Donnez le graphe (qui doit figurer dans l archive) de la fonction qui à s [s 1,s 2 [ associe le temps de parcours du mobile le long de la cycloïde pour passer du point γ(s) au point γ(s 2 ). Sur ce même graphique, en utilisant le point (c), ajoutez le graphe donnant le temps de déplacement dans le cas où le mobile glisse le long de la droite joignant γ(s) à γ(s 2 ). Que constatez-vous? (i) Pour finir, nous lâchons le mobile le long de la cycloïde au départ du point γ( π 4 ), donnez le graphe (qui doit figurer dans l archive) des fonctions t x(t) et t t x(t) pour t [0,10]. Expliquez votre démarche et donnez (en écrivant ci-dessous) les valeurs numériques de x(1) et t x(1). 3/5

9 Question 1 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page. 4/5

10 Question 1 (suite). Poursuivez, si nécessaire, votre réponse sur cette page. 5/5