Résolution des systèmes d équations algébriques.

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1 UNIVERSITÉ PARIS 6 THÈSE (Spécialité : INFORMATIQUE) Résolution des systèmes d équations algébriques. Présentée par Jean-Charles Faugère pour l obtention du titre de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ PARIS 6 Soutenue le 25 Février 1994, devant le jury composé de Mesdames : Marie Françoise COSTE-ROY Dominique DUVAL Examinateur Examinateur et de Messieurs : Philippe FLAJOLET Daniel LAZARD Bernard LORHO Teo Mora Bruno SALVY Carlo TRAVERSO Rapporteur Directeur Président Examinateur Corapporteur Rapporteur

2

3 (3) 1 Remerciements Les personnes qui doivent être remerciées le sont ici. Je remercie chaleureusement Daniel Lazard qui a su me guider tout au long de ces années. Il a été la source de nombreuses idées tout en me laissant une grande liberté. Je remercie Carlo Traverso d avoir accepté d être rapporteur malgré toutes ces activités. Carlo a notamment étudié attentivement le chapitre I.3dont la lecture est difficile. Je lui exprime toute ma reconnaissance. Je remercie Philippe Flajolet et Bruno Salvy d avoir accepté la lourde tâche de rapporteur. Ils ont fait une lecture minutieuse des versions préliminaires de cette thèse qui a conduit à une restructuration de l ensemble. Je remercie Dominique Duval d être membre du jury et de m avoir permis d exposer une première version du nouvel algorithme (I.3) à Limoges. Je remercie Marie Françoise Coste-Roy et Bernard Lorho d être membres du jury et d avoir montré de l intérêt pour mon travail. Je remercie Joel Marchand qui a mis à ma disposition un grand nombre de machines et de logiciels. En particulier c est grâce à lui que j ai pu calculer cyclic-8 (III.2) il y a quelques années (le calcul avait duré un mois). Je remercie Renaud Rioboo grand maître d Axiom et des machines. En particulier c est grâce à lui que j ai été en mesure d utiliser Scraptchpad sur la redoutable machine IBM C est aussi grâce à son action quotidienne que les machines de l équipe sont ce quelles sont. Je remercie Marc Moreno Maza qui a utilisé et intégré GB dans ces packages Axiom. Il a également écrit la maquette Axiom de lextriangular pour GB. Nous avons souvent échangé au cours d intéressantes discussions de nombreuses idées. Je le remercie également pour l aide qu il m a apporté pendant la rédaction de ma thèse.en outre il m a fait découvrir la célèbre cucaracha (voir [Aug93]). Je remercie Daniel Augot : il a utilisé GB de façon intensive osant même calculer des bases de Gröbner de polynômes de degré 50000! C est avec Daniel que nous avons organisé le Séminaire Axiom. Daniel m a aussi aidé à écrire des packages de l interface d Axiom vers GB. Outre la légendaire jovialité de Daniel[Cha93] il est à noter qu il est le seul a posséder la parfaite maîtrise du moutabal! Je remercie Arnaud Moreno Maza d avoir développé un nouveau serveur pour GB. Grâce à Arnaud et à Marc on peut qualifier GB de solveur et pas seulement de calculateur de bases de Gröbner.

4 2 (4) Je remercie Richard Fröberg et Joachim Hollman de m avoir donné accès aux puissantes machines dont ils disposent en Suède. C est grâce à Joachim et T. Granlund que j ai pu obtenir la nouvelle version des bignums Gnu en avant première. Je remercie tous les gens qui ont pris part au développement du système de calcul formel Axiom. La structure d Axiom a fortement inspiré la conception de GB. On peut également dire qu Axiom m a aidé dans la découverte de I.3. Je remercie les autres membres de l équipe : Annick Valibouze, Marie-Pierre Quéré et François Rebufat. Enfin je tiens à remercier également tous ceux qui m ont apporté leur soutien pendant ces années de thèse. Bibliographie [Aug93] Daniel Augot. Étude algébrique des mots de poids minimum des codes cycliques, méthodes d algèbre linéaire sur les corps finis. PhD thesis, Université Paris 6, Déc. [Cha93] Hervé Chabanne. Décodage des codes abéliens semi-simples. PhD thesis, Université de Limoges, 1993.

5 Chapitre 1 Introduction générale. J.C. Faugère April 29, 1994 Résumé Après avoir décrit la nature et les difficultés de la résolution des systèmes d équations algébriques, nous décrivons les diverses manières par lesquelles nous avons tenté d en améliorer le traitement et qui seront exposées dans cette thèse. Nous donnons aussi un diagramme de lecture des autres parties de cette thèse dont la structure est à l image même de l architecture GB non linéaire et composée de plusieurs articles relativement indépendants entre eux. 1 Introduction générale Le sujet de cette thèse est la résolution des systèmes d équations algébriques. On verra plus bas plusieurs définitions de ce qu on entend par résolution d un système, mais nous pouvons tout de suite préciser que le problème difficile est de calculer une base de Gröbner 1 (plus exactement une base pour des polynômes à coefficients entiers et l ordre lexicographique). Notre objectif était d être capable de traiter le plus rapidement possible autre chose que des problèmes d école. Les systèmes généraux comme Mathematica, Maple, Reduce, MAS et dans une moindre mesure Axiom[JS92] se révèlent particulièrement inefficaces dans la résolution de tels problèmes; le logiciel spécialisé Macaulay est déjà beaucoup plus efficace mais traite seulement un cas très particulier : les polynômes homogènes à coefficients dans, cas peu utile dans la pratique. Dès lors il semblait nécessaire de gagner 1 Voir Chapitre I.1 pour les définitions. 1

6 2 (6) Chap 1 : Introduction générale. plusieurs ordres de grandeur. À cette fin nous avons développé un programme de recherche en trois grandes directions (détaillées ci-dessous) : étude de nouveaux algorithmes pour le calcul d une base de Gröbner l outil fondamental pour la résolution des systèmes ; écriture d un logiciel spécialisé GB écrit en C++, intégrant les concepts de l informatique moderne et les dernières avancées en matière de stratégie de calcul des bases de Gröbner; développement de nouveaux algorithmes de gestion dynamique de la mémoire rendus nécessaires par la taille des objets à manipuler (les entiers en particulier), introduction et implantation de méthodes originales de parallélisation des calculs. Le logiciel GB, diffusé dans plusieurs sites dans le monde est aujourd hui considéré comme le plus rapide logiciel de calcul de bases de Gröbner. Nous décrivons maintenant ces trois axes de recherche en commençant par les aspects les plus mathématiques pour finir par les améliorations apportées à caractères informatiques, chacun des points évoqués ci-dessous fera l objet d un chapitre de cette thèse. Algorithmes nouveaux (I). Le problème fondamental est de calculer une base de Gröbner pour l ordre lexicographique (dans ce type de calculs les monômes sont considérés comme ordonnés par un certain ordre) d une liste de polynômes à coefficients entiers. Au début de notre thèse nous avons proposé un algorithme inédit (dit FGLM voir Chapitre I.2) permettant de calculer une telle base à partir d une autre base de Gröbner pour un ordre moins fin (raffiné par le degré des monômes par exemple) et dont le calcul est plus rapide en général. Cet algorithme de changement de bases qui utilise des techniques d algèbre linéaire, est limité au cas particulier important des systèmes de dimension zéro (c est-à-dire n ayant qu un nombre fini de solutions). Il a permis un gain de temps important et la résolution d une nouvelle classe de systèmes. Au cours du développement de GB (voir plus bas), la partie la plus coûteuse a cessé d être le calcul de la première base pour devenir l algorithme de changement de bases lui même; une révision s imposait donc. Très récemment nous avons découvert un nouvel algorithme utilisant la structure d algèbre plutôt que celle d espace vectoriel permettant de faire le changement de bases en dimension quelconque (Chapitre I.3). Une première maquette rudimentaire en Axiom prouve que cette algorithme est beaucoup rapide en dimension zéro que la version antérieure de l algorithme FGLM pourtant écrite en C++ dans GB. En dimension strictement positive, les premiers tests montrent un gain important par rapport à un algorithme récent [GMRT] utilisant les fonctions de Hilbert.

7 Chap 1 : Introduction générale. (7) 3 Gestion mémoire et parallélisme. Notre objectif était de réduire l écart considérable qui existe entre résoudre un problème à coefficients dans et résoudre le même problème transposé sur. (Sur certains exemples tirés d un problème de robotique le calcul sur était fois plus lent que le calcul sur.) Cette différence est due à la croissance des coefficients : il est fréquent de manipuler lors de calculs intermédiaires des nombres de plus de chiffres. Un premier problème était la gestion de la mémoire dynamique permettant de manipuler des flots de données de plusieurs centaines de Méga octets pendant plusieurs heures de calculs; les systèmes généraux utilisent souvent le Garbage Collector des Lisp sur lesquels ils sont bâtis, GC peu efficace pour ce type de problèmes. Nous avons proposé un nouvel algorithme de gestion de la mémoire (Chapitre II.1) particulièrement bien adapté aux objets manipulés lors de ce type de calculs (entiers, polynômes, ), facilement programmable en C/C++, de coût négligeable devant les autres opérations et permettant de travailler efficacement avec une mémoire virtuelle largement supérieure à la taille mémoire physique de la machine. Cette méthode a été employée dans GB et s est révélée efficace pour d autres algorithmes. Une autre façon de réduire cette complexité inhérente aux calculs avec des entiers était d utiliser le calcul sur les entiers modulo comme une indication stratégique pour répartir la charge de calcul entre plusieurs processeurs. Le cas particulier de deux processeurs sans mémoire partagée a été d abord étudié et implanté de manière spécifique (Chapitre II.2). Le cas de processeurs a ensuite fait l objet d un nouvel algorithme. Ces méthodes de parallélisation sont implantés dans GB et ont grandement réduit les temps de calculs. (Les algorithmes décrits dans ce paragraphe ont permis le passage de à 100 sur l exemple précité.) GB et applications. Le logiciel GB représente environ lignes de C++ (pour une introduction à GB voir le Chapitre III.1et allie à une vitesse de calcul élevée (pratiquement optimale si on compare à un codage assembleur) une organisation modulaire souple basée sur une architecture client/serveur. GB est divisé en serveurs spécialisés dans un calcul précis (Bases de Gröbner sur les entiers, changement de bases, ) qui communiquent entre eux par un protocole de communication simple. GB dispose d un interprète de commandes imitant la syntaxe d Axiom rendant ainsi inutile l apprentissage d une nouvelle syntaxe et offrant une grande souplesse d utilisa-

8 4 (8) Chap 1 : Introduction générale. tion. GB peut aussi être utilisé depuis Axiom comme s il s agissait d un package standard de ce système; GB a été connecté au système Pari pour tirer parti de son algorithme de factorisation; afin de faciliter les communications avec les autres systèmes GB exporte les données qu il manipule sous plusieurs formats (Fortran, Axiom, Lisp, ). Pour chaque type de donnée il est possible d utiliser plusieurs implantations optimisées des types de base (, polynômes, ) ou plusieurs paquetages efficaces de grands entiers (GNU MP, entiers Dec/Inria); l usage d une interface X-window permet un contrôle simple de ces serveurs. Plusieurs algorithmes de calculs de bases de Gröbner (dont un algorithme nouveau de Daniel Lazard et la stratégie du sucre), un algorithme de calcul de la fonction de Hilbert ont été implantés dans GB 2. GB a été spécialement conçu pour les gros calculs, ainsi est-il possible de contrôler à tout moment un serveur en cours de calcul, de lui envoyer des ordres simples comme obtenir plus d informations, ou sauver le calcul et stopper; il également possible de lire sous l interprète des listes de polynômes représentant plusieurs centaines de méga octets en quelques secondes; un affichage constant de symboles ( et notamment) permet de suivre le calcul de manière concise. Tous ces détails assurent une utilisation ergonomique lors des gros calculs. La documentation de GB (120 pages voir Annexe A) est disponible sous forme papier ou sous forme hypertextuelle (hyperdoc d Axiom ou le standard Mosaic 3 ). L ensemble GB sources, binaires pour Sun et RS6000, librairies Axiom est régulièrement mis à jour et disponible par ftp. Sur un problème significatif moyen nécessitant quelques secondes en GB, celui-ci est cent fois plus rapide qu Axiom (Maple, MAS, Reduce et Mathematica ne finissent pas ce calcul; cf le Chapitre III.3 pour un tableau comparatif complet). Dans la plage réduite d utilisation de Macaulay, GB est environ deux fois plus rapide. Les applications de la résolution des systèmes d équations algébriques sont vastes : N est-ce pas la généralisation naturelle des systèmes linéaires? Nous citons trois applications qui ont explicitement utilisé GB (Chapitre III.2). Daniel Augot l a utilisé dans sa thèse sur l "Étude algébrique des mots de poids minimum des codes cycliques"[aug93], qui a nécessité l écriture d un serveur spécialisé pour 2 afin de résoudre des systèmes de taille exceptionnelle (par le nombre des variables et la valeur des exposants) à coefficients dans ce corps. GB a été utilisé dans un problème de robotique (Parallel Manipulators ou Robot à six pattes) 2 M. et A. Moreno ont développé un nouveau serveur dans GB permettant le passage d une base de Gröbner vers une liste de systèmes triangulaires équivalents. 3 //

9 Chap 1 : Introduction générale. (9) 5 par Daniel Lazard[FL94], et là encore de très gros calculs (coefficients dans ) ont été menés à bien. Marc Moreno a utilisé GB depuis Axiom et a développé de nouvelles interfaces avec GB pour ses calculs de Matroïdes. 2 Qu est ce que résoudre un système? Les définitions de bases de Gröbner, d ordre lexicographique, connues (on trouvera un résumé de ces notions au Chapitre I.1). sont supposées Dans la suite on appelle système d équations algébriques une liste 1 de polynômes de 1 (respectivement 1 ) où K (resp. A) est un corps quelconque (resp. un anneau euclidien). On écrira souvent ce système sous la forme 4 : Exemple : Les domaines des coefficients usuels sont les rationnels et les entiers naturels, les fractions de polynômes 1. On désigne par une extension algébriquement close de (resp. ). Par solution d un système 1 on peut entendre : La solution mathématique du problème, c est-à-dire trouver la variété algébrique ou l ensemble À un tel système on associe l idéal engendré par les polynômes 1 et on dit que l idéal ainsi obtenu est de dimension zéro si est fini. On suppose maintenant pour fixer les idées que l idéal est de dimension zéro. La solution numérique : Si (resp. ) est contenu dans le corps des complexes, il s agit, étant donné 0 de trouver un ensemble 0 (de même cardinal que si on veut garder les multiplicités) et vérifiant : 1 il existe 1 0 tel que 4 Parfois on omet les signes! 0.

10 6 (10) Chap 1 : Introduction générale. 1 La solution formelle du système est constituée d un autre système équivalent tel que 5 soit égal à l idéal engendré par 1. La solution formelle triangulaire du système est constituée d une réunion finie de systèmes s écrivant sous la forme : tel que radical Idéal et tout polynôme éventuellement irréductible dans est unitaire et L importance de ce cas vient de ce que, lorsqu on possède une solution sous cette dernière forme, on en déduit une solution numérique. Un cas 5 On peut toujours se ramener au cas 1! 1.

11 Chap 1 : Introduction générale. (11) 7 particulier important est celui du Shape lemma où les sont de la forme 1. Cette forme peut toujours être obtenue par changement de variables (voir plus bas). Dans la suite nous allons donner des algorithmes de calculs d une solution formelle et nous dirons que c est une solution du système, de la même manière qu on note indifféremment 2 et 2 2. Pour illustrer ces définitions nous donnons les différentes façons de voir une solution d un exemple très simple : Soit à résoudre l équation complexe suivante : 3 1 C est-à-dire en posant on a le système : L étude de ce système se fait dans le plan complexe et on élimine après le calcul les solutions non réelles. Plus généralement le calcul des solutions d une variété algébrique réelle est un problème difficile et fait l objet d algorithmes spécifiques. La solution mathématique est On pourrait encore dire que c est le dessin suivant : 1 Une solution numérique à 0 01 près est 1 0 et et et 0 87

12 8 (12) Chap 1 : Introduction générale. Une solution formelle est : C est aussi ce qu on nomme une base de Gröbner pour l ordre lexicographique avec. On remarque qu il n est pas très facile de calculer une solution numérique ou d éliminer les solutions non réelles à partir de ce système. En effet si on tirait simplement de la première équation on aurait alors deux équations en ; on pourrait utiliser un résultant. Une solution formelle irréductible est l ensemble des systèmes : Il est à noter que seuls les systèmes (I) et (III) donnent des solutions réelles. De plus si on trace l ensemble des solutions avec x en ordonnée et y en abscisse on constate que pour chaque x solution il y a un unique y solution. En revanche si on trace cet ensemble avec y en ordonnée (voir figure 1) on constate que pour 1 2 il y a deux solutions. C est un phénomène propre à ce système et qui n arrive jamais si on tire un système au hasard. Plus généralement, soit un système 1 de polynômes de 1 qui engendre un idéal de dimension finie. Alors il est clair que : Pour tout système d équations, pour presque tout système de coordonnées, on a pour chaque solution solution 2

13 Chap 1 : Introduction générale. (13) 9 y x 3 2 Figure 1: Représentation de l ensemble des solutions Cependant on ne cherche à résoudre dans la pratique que des systèmes particuliers et la situation représentée sur la figure 1 n est pas rare. Un changement de coordonnées générique qui fait disparaître ce genre de problèmes est désastreux pour le temps de calcul. Le passage d une solution formelle à une solution formelle triangulaire n est pas étudié ici mais est disponible dans GB (voir un exemple plus bas). Le but de cette thèse est donc de calculer une solution formelle pour tout système de polynômes. 3 Que doit on attendre d un bon solveur? 3.1 Temps du calcul fonction de la taille du résultat. Un solveur idéal voire utopique serait un système qui calculerait des bases de Gröbner en un temps fonction (connue à l avance et à croissance pas trop rapide) de la taille du résultat. En effet il est illusoire (et inutile?) d espérer faire un calcul dont l affichage nécessiterait un temps de calcul trop long. Pour le moment on

14 10 (14) Chap 1 : Introduction générale. n est pas capable à la lecture d un système de polynômes de prédire le temps de calcul pratique de sa base de Gröbner. Ce solveur est un rêve pour le moment car il n y a pas moyen de savoir s il y a des solutions au système autrement qu en calculant une base de Gröbner; autrement dit savoir s il y a des solutions ou les connaître toutes demande le même temps de calcul et ne peut être dissocié. En particulier, s il n y a pas de solutions la base de Gröbner est 1, donc très petite mais le temps de calcul peut être très long. Les algorithmes utilisés ont une complexité théorique au moins égale à, où est le nombre des variables et le produit des degrés; les calculs utiles vont donc souvent durer très longtemps : il est nécessaire d avoir un système robuste pouvant effectuer des heures de calculs avec beaucoup de mémoire de manière fiable. On a trop souvent l impression de boite noire lorsqu on lance un gros calcul avec un système généraliste de Calcul Formel : Si le calcul dure plusieurs heures est-on ou non proche de la fin? Tel n est pas le cas de GB qui a souvent été utilisé et testé pour des calculs de plusieurs dizaines d heures et donne des informations concises et régulières sur le déroulement du calcul. 3.2 Pour l utilisateur débutant Proposer à l utilisateur débutant une fonction de calcul des bases de Gröbner qui soit a peu près toujours optimale. Forêts des stratégies possibles : parmi les nombreuses méthodes de calcul des bases de Gröbner il n est pas possible de prévoir (même pour l utilisateur expert) quelle sera a priori la meilleure méthode. Toutefois pour rendre l utilisation simple d un tel système par un utilisateur non expert, on peut lancer plusieurs calculs simultanément; le premier calcul qui se termine stoppe les autres. 3.3 Syntaxe Simple À l exception de Macaulay tous les systèmes ont une interface relativement commode pour rentrer des polynômes et lancer un calcul de base de Gröbner. Il est à déplorer que chaque système implique l apprentissage d un nouveau langage de commandes. En GB nous avons pris le parti d imiter la syntaxe Axiom.

15 Chap 1 : Introduction générale. (15) Lextriangular Un bon solveur ne doit pas seulement fournir une base de Gröbner pour l ordre lexicographique, mais surtout (au moins en dimension zéro) une liste de systèmes triangulaires équivalents, forme la plus convenable pour une utilisation numérique. Seul GB, Reduce (?) et Axiom donnent ce résultat. Afin de montrer la simplicité d utilisation de GB nous donnons un exemple de session GB complète où on calcule les solutions du système classique 5 (voir le Chapitre III.2) : k:=int; l anneau de base vars:=[a,b,c,d,e]; les variables D:=DMP(vars,k); les polynômes pour l ordre du degré P:=SMP(k,vars); les polynômes Sparse Multivariate l:=dav(5,d) le système Cyclic 5 [ 1 ] ideal:=totolex(tgroebner(l)); g:=base(ideal) :: List(P); lextriang(g) Gröbner direct pour direct, puis changement d ordre avec FGLM convertir la base calcule la forme triangulaire

16 12 (16) Chap 1 : Introduction générale On remarquera la forme particulièrement simple et lisible d un tel résultat mais qui n est pas sous forme irréductible : ainsi le polynôme en du dernier sous système peut il encore s écrire : Plan de lecture À l image de GB conçu selon une architecture client/serveur, cette thèse est découpée en chapitres ou modules indépendants. La forme d un chapitre est celle d un article, les communications entre chapitres étant figurées par des références croisées. Nous donnons (voir figure) un plan de lecture possible de ce mémoire. Pour faciliter la lecture certains chapitres ont été regroupés pour former l une des trois grandes parties I, II ou III. Chaque chapitre est composé d un résumé,

17 Chap 1 : Introduction générale. (17) 13 et d une section bibliographique. Le numéro de la page relative à chaque chapitre est indiqué dans l en-tête des pages; entre parenthèses figure le numéro de page global. Les chapitres sont indépendants entre eux, mais il est préférable de lire le chapitre 1 d introduction en premier, consulter le chapitre I.1 pour fixer les notations usuelles et le cadre mathématique, puis de lire le début du chapitre III.2 afin de garder en mémoire quelques exemples typiques de systèmes. Le chapitre III.3 permet de garder à l esprit quelques ordres de grandeur qui pourront être utiles pour fixer les idées. Il est à noter que la forme originale de la documention GB étant hypertextuelle, sa transcription papier est de ce fait moins facile à lire et à été reportée en Annexe A; le Chapitre III.1 est une introduction facile à GB. Le chapitre I.1 donne les définitions de base en géométrie algébrique constructive. L Annexe B regroupe toutes les données bibliographiques de tous les chapitres. L Ann Ccomporte une table des matières et un index thématique. Bibliographie du chapitre [Aug93] Daniel Augot. Étude algébrique des mots de poids minimum des codes cycliques, méthodes d algèbre linéaire sur les corps finis. PhD thesis, Université Paris 6, Déc. [FL94] [JS92] J.C. Faugère and D. Lazard. The combinatorial classes of parallel manipulators. Mechanism and Machine Theory, February (submitted). Richard D. Jenks and Robert S. Sutor. Axiom, the Scientific Computation System. Springer-Verlag, 1992.

18 14 (18) Chap 1 : Introduction générale. Introduction générale I: Algorithmique I.1 Rappels Géométrie Algébrique Constructive I.2 Algorithme FGLM. I.3 Nouvel algorithme de changement de bases. II Problèmes Informatiques II.1 Gestion de la mémoire dynamique. II.2 Calculs distribués. III Le système GB III.1 Introduction à GB. III.2 À l intérieur de GB. III.3 Applications et exemples traités par GB. III.4 Comparaison de GB et des autres systèmes de Calcul Formel. Ann A Manuel de l utilisateur GB. Ann B Bibliographie générale. Ann C Table des matières et index.

19 Partie I Algorithmique I.1 Rappels sur la Géométrie Algébrique constructive. I.2 Algorithme FGLM. I.3 Algorithme de changement de bases de Gröbner. 1

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21 I.1 Rappels sur la Géométrie Algébrique constructive J.C. Faugère April 29, 1994 Résumé Cette section a pour but de faire une synthèse des éléments de base de la géométrie algébrique constructive c est-à-dire qu à chaque fois qu on énoncera un théorème nous exigerons un algorithme de construction. L outil fondamental est la base de Gröbner d un idéal. On suppose fixé dans tous les chapitres un corps (respectivement un anneau) ; On désigne par 1 0 l algèbre des polynômes. Dans toute la suite et dans le Chapitre I.3 0 désignera toujours la dernière variable. On reserve la lettre pour d autres notations. 1 Base de Gröbner Outre la possibilité de trouver explicitement les éléments d une variété algébrique (voir Chap 1), un problème clef est de pouvoir déterminer si un polynôme est dans un idéal dont on connaît une liste de générateurs 1. L outil de base est la base de Gröbner dont nous donnons d abord une définition non constructive mais très simple. Dans tout ce qui suit il est nécessaire d ordonner les monômes d un polynôme. Nous définissons d abord la notion d ordre admissible, c est-à-dire d ordre compatible avec la multiplication par un monôme. Définition 1 On dit que qu un ordre total sur est admissible si 1

22 2 (22) I.1 : Bases de Gröbner. (i) 1 0 pour tout (ii) implique pour tout. Définition 2 Un ordre admissible étant fixé, pout tout polynôme on définit : lt leading term ou terme de tête de est le plus grand des monômes de. (par convention lt 0 0) red reductum lt le reste de. degree deg est l exposant du monôme lt. lc pour leading coefficient est le coefficient de lt. Sur le monoïde 0 on pourra définir les opérations classiques avec des notations évidentes : La définition suivante est classique en algèbre commutative et sera utilisée au Chapitre I.3 : Définition 3 Si est un idéal de 1 0 et une partie de, on note : l ensemble des éléments tels que pour tout. On vérifie facilement que : est un idéal de si et que : si. On appelle : le conducteur de dans. Définition 4 Si est un idéal de 1 0 on porte sur un graphe les points x 2 Idéal I g 1 E I g 2 0 pour : x 3 g 3 g 4 x 1

23 I.1 : Bases de Gröbner. (23) 3 On montre que ceci définit un escalier c est-à-dire qu il existe un nombre fini de points 1 tels que implique l existence de tel que lt. Si on note encore les polynômes correspondants aux points du graphe (il y a a priori plusieurs polynômes de vérifiant lt lt ) on dit que 1 est une base de Gröbner de l idéal. Les éléments de sont de la forme : Par extension si 1 est ensemble fini de polynômes (on dit encore système de polynômes), on dira qu une base de Gröbner de l idéal engendré par est une base de Gröbner de. Remarque 1 Parfois on dit base standard à la place de base de Gröbner[Grö49]. Nous utiliserons toujours cette dernière appellation moins ambiguë. 2 Algorithme de Buchberger Afin de présenter une version constructive du calcul d une base de Gröbner nous donnons une version schématique de l algorithme de Buchberger[Buc65]. Auparavant nous devons définir les notions de réductions entre polynômes. Définition 5 Soient et deux polynômes. On dit que est réductible par s il existe un monôme tel que lt lt. Dans ce cas la réduction de par est le polynôme Si et sont deux polynômes quelconques, on peut toujours se ramener au cas où lt divise lt en multipliant par un monôme : Définition 6 Soient et deux polynômes. On dit que le S-polynôme de et est la réduction de par. On le note ou S-polynôme. On vérifie que. Nous pouvons maintenant donner un algorithme de réduction d un polynôme par une liste de polynômes. Algorithme 1

24 4 (24) I.1 : Bases de Gröbner. Input: polynôme et 1 liste de polynômes. Output: réduit. tant que 0 et tel que est réductible par faire Réduction de par. retourner De même la réduction totale d un polynôme ne réduit pas seulement le terme de tête d un polynôme. Algorithme 2 Input: polynôme et 1 liste de polynômes. Output: totalement réduit tant que 0 faire Réduction de par. 0 0 lt retourner 0 Nous donnons maintenant une version simplifiée de l algorithme de Buchberger : Algorithme 3 Input: 1 des générateurs de. Output: la base de Gröbner de. 1! est l ensemble des paires critiques. tant que " faire Sélectionner un couple # de $ # % 1 S-polynôme de et# Réduire % 1 par rapport à si % 1 0 alors retourner & & 1 ' 1 & (

25 I.1 : Bases de Gröbner. (25) 5 Théorème 1 L algorithme se termine et calcule bien une base de Gröbner de. Remarque 2 Remarquons que dans le cas d un idéal constitué de monômes le calcul de la base de Gröbner est indépendant de l ordre et qu il est particulièrement facile. Remarque 3 Buchberger[Buc79] a donné trois critères permettant d éliminer un grand nombre de paires critiques se réduisant à zéro. Toutefois même après applications de ces critères il reste un certain nombre très variable selon les systèmes de paires critiques se réduisant à zéro. Nous donnons seulement le critère des éléments étrangers qui nous sera utile par la suite. Si 1 et 2 sont deux monômes, on dit qu ils sont étrangers si les apparaissant dans 1 sont distincts des figurant dans 2. Autrement dit Proposition 1 Lorsqu un couple de l ensemble des paires critiques de l algorithme 3 est constitué d éléments étrangers on peut éviter de le considérer, car le S-polynôme de et se réduit à zéro. Remarque 4 Le problème difficile dans l algorithme 3 est de sélectionner une paire dans l ensemble des paires critiques. De nombreuses stratégies ont été proposées. La meilleure à ce jour est la stratégie du sucre[gmn 91]. Mais ces résultats sont de nature empirique et on ne sait pas vraiment dire pourquoi une stratégie est meilleure qu une autre. L algorithme 3 nous donne un algorithme pour tester si est dans : Algorithme 4 Input: et une base Gröbner de. Output: Vrai si, Faux sinon tant que 0 et " faire si lt divise lt alors

26 6 (26) I.1 : Bases de Gröbner. lt lt si 0 alors retourner Vrai retourner Faux Remarque 5 Si à la fin de l algorithme on retourne et pas Vrai, Faux on obtient la forme normale de par rapport à. On donne quelques propriétés de cette application dans le chapitre I.3, retenons simplement que c est une fonction linéaire dont le noyau est : : La base Gröbner et la forme normale dépent de l ordre, mais il est à remarquer que le résultat du test d appartenance à (algorithme 4) donne toujours le même résultat si on prend un autre ordre. 3 Dimension d une variété algébrique Lorsqu on a calculé une base de Gröbner il est immédiat de calculer l escalier de l idéal ou plus exactement les éléments situés sous l escalier. Ces éléments sont dans 1 0 et ils ont la propriété d être égaux à leur forme normale. Sur l escalier on peut lire en particulier la dimension 1 de l idéal : Définition 7 On définit le pavé comme étant l ensemble. Puis est le produit des ensembles (en particulier 2 ) et donc est défini pour n importe quel monôme comme l ensemble des monômes dont toutes les variables apparaissent dans. Alors la dimension de l idéal est donnée par : Voir [vdw91] chapitre 16.4 pour une définition classique de la dimension d une variété algébrique.

27 I.1 : Bases de Gröbner. (27) 7 Comme d habitude nous donnons une version algorithmique de cette défini- le produit tion en remarquant que lt on se ramène au cas des idéaux monomiaux. De plus ; si on note Π 0, on vérifie facilement que lt lt. Si 1 est une base de Gröbner de il existe donc une sous suite 1 de 1 telle que lt 1 lt soit une base de lt. Nous introduisons maintenant la notion d hypergraphe[ber87] 0 Définition 8 Soit 1 un ensemble fini. Un hypergraphe sur est une famille 1 2 de parties non vides de. Définition 9 On appelle arêtes les élément d un hypergraphe 1 2. Définition 10 Un hypergraphe simple sur est un hypergraphe 1 2 dont aucune arête n en contient une autre, c est-à-dire : (1). Un hypergraphe sera représenté en dessinant sur le plan des points représentant les sommets. L arête sera représentée par un trait continu joignant ses deux éléments si 2; par une boucle si 1; ou par un trait plein entourant ses éléments si 3. Définition 11 Si est un hypergraphe on définit min et On considère alors l hypergraphe ayant pour sommets 1 0 et dont les arêtes sont divise lt.

28 8 (28) I.1 : Bases de Gröbner. x1 x4 x5 x3 x6 x2 x8 x7 Hypergraphe Définition 12 min est l hypergraphe associé à, ou encore l hypergraphe associé à pour l ordre. Le dessin correspond à l idéal de 1 8. L hypergraphe associé strict est l hypergraphe associé duquel on a retiré les boucles. Définition 13 Le nombre de stabilité d un hypergraphe est 2 : ne contient aucune arête avec 1 Proposition 2 La dimension de est égale au nombre de stabilité de l hypergraphe strict. 2 [Ber87], Chapitre 4 Colorations.

29 I.1 : Bases de Gröbner. (29) 9 On remarque que la dimension de est encore égale à la somme des nombres de stabilité de chacune des composantes connexes de (si on compte 0 pour une boucle et 1 pour un point isolé). Ainsi sur l exemple, l hypergraphe 0 associé à 0 les points isolés 1 3; 3 la boucle 2 et 4 le reste. La dimension de 0 est donc (l ensemble est constitué de quatre composantes : 1 2 en pointillé sur le dessin est un exemple d ensemble maximal pour 4). La théorie des hypergraphes peut nous donner un moyen simple de calculer le nombre par exemple par la formule : Proposition 3 où est le nombre de transversalité, c est-à-dire le cardinal minimum d une partie des sommets qui rencontre toutes les arêtes. Exemple de 8 : Il est facile de calculer l idéal monomial lorsqu on possède une base de Gröbner (calculée seulement modulo ) puis de lui appliquer l operation flat : on trouve un hypergraphe à 383 arêtes, il suffit ensuite de trouver les arêtes minimales pour l inclusion des parties on trouve simplement alors l hypergraphe simple suivant : Soit encore le graphe complet à 5 éléments et trois boucles. e d f a b c h g Cyclic 8: un systeme de dimension 1

30 10 (30) I.1 : Bases de Gröbner. Il est clair que la dimension est 1 et que toute partie à un élément ne contenant pas une boucle convient. Proposition 4 Le rang de est par définition le, c est-à-dire le cardinal maximal d une arête. Si est de rang la dimension de l idéal associé est 1. Les deux propositions suivantes donnent un moyen de reconnaître si un idéal est de dimension 1 ou 0 à la simple lecture de sa base de groebner pour un ordre quelconque. Proposition 5 est de dimension zéro si et seulement si l hypergraphe associé à une base de Gröbner quelconque n est constitué que de boucles. Proposition 6 est de dimension 1 si et seulement si l hypergraphe srict associé à une base de Gröbner quelconque est un graphe complet (éventuellement réduit à un point). Preuve En effet d après la proposition 4 le rang de est au plus 2. Par construction n est jamais de rang 1. Le cas 0 correspond au graphe complet vide. On peut donc supposer de rang 2 mais, si n est pas une arête de, alors est dans pour tout entiers et la dimension est 1. Réciproquement si est un graphe complet non réduit à un point, 1. Il faut noter que ces deux caractérisations de la dimension sont indépendantes de l ordre choisi sur les monômes. 4 Propriétés diverses Enfin nous utiliserons le résultat suivant facile à démontrer en Géometrie Algébrique : Proposition 7 Une variété algébrique de 1 est de dimension zéro si et seulement si elle est bornée dans.

31 I.1 : Bases de Gröbner. (31) 11 Bibliographie du chapitre [Ber87] [Buc65] [Buc70] [Buc79] [BW93] Claude Berge. Hypergraphes. Gauthier-Villars, Combinatoire des ensembles finis. B. Buchberger. Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal. PhD thesis, Innsbruck, B. Buchberger. An algorithmical criterion for the solvability of algebraic systems. Aequationes Mathematicae, 4(3): , (German). B. Buchberger. A criterion for detecting unnecessary reductions in the construction of gröbner basis. In Proc. EUROSAM 79, volume 72 of Lect. Notes in Comp. Sci., pages Springer Verlag, T. Becker and V. Weispfenning. Groebner Bases, a Computationnal Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, [DST93] J. Davenport, Y. Siret, and E. Tournier. Calcul Formel. Masson, édition révisée. [GMN 91] A. Giovini, T. Mora, G. Niesi, L. Robbiano, and C. Traverso. One sugar cube, please, or selection strategies in the Buchberger algorithm. In S. M. Watt, editor, Proceedings of the 1991 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ISSAC, ACM Press, [Grö49] [vdw91] [ZS58] [ZS60] W. Gröbner. Moderne algebraische Geometrie : die idealtheoretischen Grundlagen. Springer-Verlag, Wien ; Innsbruck, B.L. van der Waerden. Algebra. Springer-Verlag, seventh edition. O. Zariski and P. Samuel. Commutative Algebra, volume I. van Nostrand, O. Zariski and P. Samuel. Commutative Algebra, volume II. van Nostrand, 1960.

32 I.2 Efficient Computation of Zero dimensional Gröbner Bases by Change of Ordering J.C. FAUGÈRE, P. GIANNI, D. LAZARD and T. MORA LITP, Université Paris VI, Case 168, 4 place Jussieu, F Paris Cedex 05 Dipartimento di Matematica, Università, via Buonarroti 2, I Pisa Dipartimento di Matematica, Università, via L.B. Alberti 4, I Genova February 22, 1994 Abstract We present an efficient algorithm for the transformation of a Gröbner basis of a zero dimensional ideal with respect to any given ordering into a Gröbner basis with respect to any other ordering. This algorithm is polynomial in the degree of the ideal. In particular the lexicographical Gröbner basis can be obtained by applying this algorithm after a total degree Gröbner basis computation: it is usually much faster to compute the basis this way than with a direct application of Buchberger s algorithm. 1 Introduction. One of the main tools for solving algebraic systems is the computation of Gröbner bases (also called standard bases); we refer to [Buc65, Buc70, Buc79, Buc85, DST93] and [BW93] for basic facts on this notion. The fact that the solutions come easily from the Gröbner basis for the lexicographical ordering appears in [Tri78]. That the solutions of an algebraic system may be computed from the Gröbner 1

33 2 (34) I.2: Algorithme FGLM. basis for an other ordering on the monomials appears in [Buc70, KMH88, Laz92], several algorithms are given for computing the solutions from a Gröbner basis (depending on the ordering), together with a discussion on the meaning of solving an algebraic system. The Gröbner basis of an algebraic system strongly depends on the choice of the ordering on the monomials. Different orderings have different advantages. From a complexity point of view, the best ordering is the degree reverse lexicographical one; for this ordering, the computation of the Gröbner basis of a system of polynomial equations of degree in variables is polynomial in 2 if the solutions are finite in number ([CGH88, CGH91]); this complexity decreases to if the solutions at infinity are also finite in number [Laz83]. In practice the computations are generally much faster and much more feasible than with other orderings. The pure lexicographical ordering leads to computations which are much longer than with degree orderings and even are often untractable; the corresponding complexity has been proved to be 3 when the number of solutions is finite ([CGH88]); our algorithm reduces this complexity to 2. For a practical point of view, the basis given by this ordering is better suited for computing the solutions ([Tri78, Laz92, GM87]). There are many other orderings between these extreme cases; especially there are the elimination ones which appear in Bayer Stillman s Macaulay system. Thus, an efficient algorithm for change of ordering is useful. We give such an algorithm in the zero-dimensional case (finite number of solutions). This algorithm is implemented in Axiom and in the experimental software Gb developed by one of us. Examples show that, for obtaining the basis for the lexicographical ordering, it is usually much faster to compute the basis for the degree ordering and to use our algorithm than a direct computation by Buchberger s algorithm. In several examples we get the basis for the lexicographical ordering where previous methods fail, even on supercomputers. Since the preliminary version of this paper (july 1989) the algorithms for computing Gröbner bases have made substantial progresses, especially owing to Sugar strategy ([GMN 91]). It follows that some Gröbner bases become easy to compute and our algorithm is no more useful for them. However, much more Gröbner bases may now be computed and our algorithm is, in many cases, the only way for computing the lexicographical one. It should be also quoted here that the matrices which are computed by our procedure Matphi appear now to be a fundamental tool for many aspects of solving

34 I.2: Algorithme FGLM. (35) 3 process, especially numerical solving ([AS88, Möller93]). The fact that, in our algorithm for changing the ordering, the old ordering may appear only throughout these matrices, has another important application: our algorithm may be used for computing the Gröbner base after a linear or polynomial change of variables ([GM87]). 2 Definitions. In this paper we will denote by a field, by 1 the ring of polynomials in variables with coefficients in. We will consider an ideal in given by its Gröbner basis with respect to some admissible ordering. We will say that an element is reduced by (or in normal form with respect to G) if no element has leading term that divides any term of ; we will call reduction algorithm the algorithm that computes the normal form of a given polynomial. A Gröbner basis is reduced if each of its elements is reduced by the others. We will consider a zero dimensional ideal, i.e. an ideal such that the set of common zeros of the polynomials in is finite in the algebraic closure of the field of coefficients; this is equivalent to the fact that, for each variable, there is a polynomial in the Gröbner basis for, with a power of as a leading monomial, ([GM87]). Definition 1 Given a zero dimensional ideal in and a reduced Gröbner basis for, we will call the natural basis determined by G of the vector space, the basis B whose elements are the reduced monomials with respect to. We will denote by D the dimension of the vector space (the degree of the ideal ). We will use the properties of the structure of vector space of ; for this reason we want to analize a little closer the structure of the quotient ring and of the monomials that generate it. Definition 2 Let B be the natural basis for, let M B 1 B be the bordering of.

35 4 (36) I.2: Algorithme FGLM. The following proposition characterizes the elements of M. Proposition 1 Let be a zero dimensional ideal, be the reduced Gröbner basis with respect to an admissible ordering, and B be the natural basis of, then for every element M exactly one of the following conditions holds: (i) For each dividing, we have B ; this is the case iff is the leading monomial of an element of. (ii) for some and some M. Proof (i): This follows immediatly from the definitions of reduced Gröbner basis and of B. (ii): Let such that divides and B ; then M. In fact from = we have and is in B, because B is closed under division, by definition; thus M. Corollary 1 Let be the number of generators of a reduced Gröbner basis for a zero dimensional ideal ; then D. 3 Computation of Normal Form When we work in the vector space and we consider the natural basis determined by a given Gröbner basis, in order to find the coordinates of an element, we have to compute its normal form with respect to. This operation, as we remarked, can be obtained by straight application of the Buchberger s algorithm, but in this way we can not estimate well the complexity of this step. For this reason we will take advantage of the structure of vector space in order to construct an algorithm that will find the coordinate of normal forms of elements of in polynomial time : we will consider the -linear maps defined on the basis B by : and we will study their properties. We remark that for every element B and for every, either B or M, the bordering of, defined in the previous section.

36 I.2: Algorithme FGLM. (37) 5 Definition 3 Let, (, ) and B be as in Proposition 1. We define T as the D tensor whose elements are: th coordinate w.r.t. B of the reduction by of the element ( B ). The first result we obtain is : Proposition 2 In order to compute T, D 3 arithmetic operations are sufficient. Proof Consider MB B M and order its elements with respect to. We will construct columns by following the order in which the appear in MB. Consider. If B then is not reducible by and so 0 for and 1. Otherwise M and so, by Proposition 1, either is the leading term of an element in, D 1, and in this case 1 D or with M and. In this latter case, the coordinates of w.r.t. B, have already been computed and are stored in ; so, in order to compute the, it is enough to add the coordinates (already computed) of the products, ( B ), multiplied by the corresponding coefficients, i.e.. In this way we have to perform D 2 operations in order to compute and the result follows, since this has to be done at most D times. Remark 1 In order to compute T it is necessary to order the monomials in MB. For this purpose we can define a function NextMonom that sequentially generates the following monomial to consider. We shall discuss later about such a function. In any case this function doesn t involve any arithmetic operation. Remark 2 For 1, the matrix associated to with respect to B is. We give now an algorithm that implements the construction described in the previous proposition. As we remarked the columns of the matrices can be used to compute the normal form of any element of the form for a reduced polynomial. Procedure 1 Matphi

37 6 (38) I.2: Algorithme FGLM. Input : an admissible ordering. Basis, a minimal reduced Gröbner basis for a zero dimensional ideal. Output : for 1 and for B, such that is the matrix of the application NormalForm for a reduced polynomial. Subfunctions : NextMonom removes the first element of ListOfNexts and returns it; returns nil if the list is empty. InsertNextsmonom adds to ListOfNexts the products of monom by all variables, sorts this list by increasing ordering for and remove duplicates. Local variables : Begin ListOfNexts, the list of next monomials to be considered sorted by increasing ordering for. monom : 1; ListOfNexts : ; while monom nil do if monom is a strict multiple of the leading term of some element of Basis then let monom with reducible w.r.t. Basis; the test being true we have monom and monom; thus NormalForm has been previously computed with B and NormalForm monom : NormalForm ;, thus NormalForm has been previously computed

38 I.2: Algorithme FGLM. (39) 7 end. for each such that monom with irreducible by Basis do : coefficient of in NormalForm monom else if monom is the leading term of some element of Basis then else NormalForm : rest ; (i.e. leadingterm for each such that monom do : coefficient of in NormalForm monom NormalForm monom : monom; InsertNexts(monom); for each such that monom do : 1 if monom 0 otherwise monom : NextMonom The correctness of this algorithm follows essentially from the proof of Proposition 2. The algorithm distinguishes the same three cases for the monomials to be considered: the elements of, that are irreducible, those which appear in the leading term of some element of the Gröbner basis, and the others. Only for the last group, the normal form is not immediate. It is computed using the fact that the monomial has the form, where the normal form of has been computed, and that the part of the matrix, needed to multiply it by has also been computed. Let us also remark that the first test (divisibility by some leading term) does not need any searching: for testing it suffices to count the number of insertions in ListOfNexts, the test returns true if this number is less than the number of variables explicitly appearing in it; for getting the decompositions, with irreducible or reducible it suffices to remember from which monomials monom was inserted. The second test (being the leading monomial) also does not need any searching: if Basis is sorted by increasing leading monomial, the only leading monomial which may be equal to monom is the first one which has not yet be equated to it.

39 8 (40) I.2: Algorithme FGLM. 4 Change of Ordering We analyze in this section the main algorithm of this paper, the algorithm for the change of ordering. Proposition 3 Let be a zero dimensional ideal and 1 1, the reduced Gröbner basis with respect to an admissible ordering 1. Given a different ordering 2, it is possible to construct the Gröbner basis 2 2 with respect to the ordering 2 with D 3 arithmetic operations. Proof From 1 1 we can construct B 1 1 D, M 1 and T 1 as in the previous section. We want to find the elements of B 2 and 2 2. For this reason we will construct a matrix that will contain in the th column the coordinates of each element B 2, with respect to B 1. We start with B 2 : 1 and M 2 : for constructing the new base iteratively (the polynomial 1 is certainly in B 2. We consider 2 1 B 2 B 2 M 2. Three cases can arise: 1. leading term, for some to be inserted in 2 2. has to be inserted in B 2 3. has to be inserted in M 2, but is a strict multiple of the leading term of some in 2. We can easily check if the third case holds: the leading term of is strictly less than for any admissible ordering and has already been inserted in M 2. So we are left to consider case 1 or 2. Since, by construction, we can compute its coordinates with respect to B 1 by using the table (so far computed) and T 1 : At this point, if the vector is independent from the vectors in, we are in the case 2 and we have found a new monomial B 2 ; otherwise the dependency relation furnishes a new element 2. It is easy to see that the whole construction needs D 3 operations. In fact the computation of involves only the product of a matrix by a vector

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