B. Formes indéterminées Il existe deux formes indéterminées de limites de fonctions :

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1 I. Les limites A. Définition Trouver la limite est éterminer où une fonction ou une suite s approche lorsqu une variable (habituellement ten vers une valeur quelconque. Pour trouver la limite une fonction nous n avons qu à remplacer la valeur ont x ten ans la fonction. Si nous obtenons une constante ou, nous avons trouvé la limite. lim x x1 () 1 1 x Si la fonction ne contient pas la variable ont nous recherchons ou la fonction est une constante, il n y a aucun changement à celle-ci. lim5 5 x4 lim 6y 5h 6y 5h x B. Formes inéterminées Il existe eux formes inéterminées e limites e fonctions : et. Pour trouver la limite e fonctions comme ceci, il suffit e changer la forme e la fonction soit en factorisant et simplifiant ou en trouvant une fonction équivalente. 1. La forme inéterminée e Il y a plusieurs façons e changer la forme e ces fonctions afin e les simplifier : a. factoriser une variable x x x( x 1) lim lim lim x 1 1 x x x x x b. factoriser un trinôme quaratique x 5x 6 ( x )( x 3) lim lim lim x 3 1 x x x x x c. factoriser une ifférence e eux carrés x 16 ( x 4)( x 4) lim lim lim x 4 8 x 4 x4 x 4 x4 x

2 . multiplier un raical par son conjugué (rationnaliser) x x x lim lim lim x4 x 4 x x4 ( x 4)( x ) x4 x 4 e. multiplier par 1 (on multiplie le numérateur et le énominateur par le même terme) 1 lim x 1 x x x x = lim x x x(x ) = lim 1 x x = 1 4 Dans ce ernier exemple, il est plus facile e multiplier par le énominateur commun es fractions u numérateur.. La forme inéterminée e Dans cet instant, nous n avons qu à multiplier par l inverse e la variable ayant le plus gran exposant x 3x x lim x lim x x x x x x 3x x 4x 1 x x x x x x II. Les érivées Une érivée est la pente une fonction à n importe quel point sur celle-ci. A. Définition utilisant la limite f ( x h) f ( f ( lim h h B. Règles pour les érivées 1. Dérivée une puissance n Si f ( ax, alors f ( anx. Dérivée une constante Si f ( k, alors f ( n1 3. Dérivée une somme Si f ( U ( V (, alors f ( U ( V ( 4. Dérivée une prouit Si f ( U ( V (, alors f ( U ( V ( U( V (

3 5. Dérivée un quotient U ( U ( V ( U ( V ( Si f (, alors f ( V ( ( V ( ) 6. Dérivation en chaîne Pour les fonctions ayant un exposant : f U ( f ( n U ( n1 Si ( n, alors U ( La formule générale est : Si f ( U ( V ( ), alors f '( V '( U '( V ( ) 7. Dérivée e fonctions trigonométriques sin x cos x cos x sinx tan x sec x 8. Dérivée e logarithmes 1 ln x x e x e x C. Application es érivées 1. Racines Une racine est retrouvée au point où f(=. Pour vérifier si une racine existe on peut prenre es valeurs et vérifier s il y a un changement e signe. Si f( x1 ) et f( x) alors il y a au moins une racine. a. fonctions quaratiques Pour trouver les racines nous pouvons factoriser le trinôme ou si on ne peut utiliser cette méthoe nous pouvons utiliser la formule quaratique. b. fonctions cubiques Pour trouver les racines une fonction cubique, il faut premièrement trouver une première racine. En vérifiant tous les facteurs e a ans 3 ax bx cx nous pouvons habituellement trouver une racine. On procèe ensuite à iviser la fonction cubique par la racine.

4 . Maximum et minimum Le maximum ou le minimum une fonction est retrouvé au point où. Nous résolvons comme nous ferions pour les racines. f '( 3. Point inflexion et étermination u maximum ou minimum Le point inflexion (le point où la pente est à son maximum et commence à iminuer) est retrouvé au point où f "(. Nous pouvons aussi, avec la euxième érivée, éterminer si le point où est un maximum ou un minimum. Si f "(max/ min), il s agit un point maximum. Si f "(max/ min), il s agit un point minimum. f '( 4. Les limites et le test e l Hôpital Si la limite que nous trouvons est une forme inéterminée, nous pouvons prenre la érivée u numérateur et celle u énominateur ensuite vérifier la limite; c est le test e l Hôpital. Si la forme est encore inéterminée il faut continuer e prenre la érivée u numérateur et u énominateur jusqu à ce qu on trouve la limite. 5. La cinématique En physique, nous pouvons écrire es objets en mouvement par es formules. Nous pouvons écrire trois aspects u mouvement : la position, la vitesse et l accélération. Lorsque Newton a écrit le livre Principia Mathematica, il a utilisé le calcul (qu il avait inventé) pour éterminer les ifférentes formules. Si nous érivons l équation écrivant la position, nous obtenons l équation pour éterminer la vitesse. Si nous érivons celle e la vitesse nous obtenons l accélération. La pente u graphique e la position écrit la vitesse à ce point et la pente u graphique e la vitesse écrit l accélération. Il est possible utiliser es équations paramétriques (eux variables qui sont fonctions une troisième) pour établir une seule équation écrivant la trajectoire un projectile. Utilisant cette méthoe, l équation trouvée écrira la position u projectile. Il suffit e premièrement écrire la fonction e la position horizontale ( en fonction u temps où on connaît la vitesse horizontale. x() t vt Ensuite on fait la même chose pour la position verticale où nous connaissons la vitesse initiale et, bien sûr, l accélération. Si nous avons la hauteur e projection, notre équation evient encore plus complète.

5 at y() t vit Pour avoir une seule équation, prenez la fonction horizontale, isolez t et substituez ans la fonction verticale. Cette nouvelle fonction écrira la position e l objet tout le long e la trajectoire. III. Les intégrales A. Définition e l intégrale n1 n n ax ax a x c n 1 B. Intégration e polynômes 1. Intégrales inéfinies. Intégrales éfinies C. Application es intégrales D. L aire sous la courbe E. L aire entre eux courbes F. L intégrale par substitution