Exercices d Analyse (suite)

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1 Uiversité de Poitiers Aée M EFM Eercices d Aalyse (suite) Eercice Soiet (u ) 2 défiie par u =. Motrer que (u ) 2 est covergete. cos( π 2 k) et v = u si( π 2 ). 2. Motrer que (v ) 2 est ue suite géométrique. E déduire la limite de (u ) 2. Eercice 2 O défiit par récurrece les suites (u ) N et (v ) N par : k=2 u 0 =,v 0 = 2,u + = (u ) 2 u +v,v + = (v ) 2 u +v.. Motrer par récurrece que l o a u > 0 et v > Motrer que les suites (u ) N et (v ) N décroisset. E déduire qu elles coverget vers l et l respectivemet. Motrer que l o a ll = Motrer que la suite (v u ) N est costate. E déduire l et l. Eercice 3 Soiet (u ) N et (v ) N deu suites de ombres réels telles que 0 < u < v et u + = u v et v + = u +v. Motrer qu elles coverget vers la même limite. 2 Eercice 4. Soit (u ) N ue suite de ombres réels telle que les suites etraites (u 2 ) N et (u 2+ ) N coverget vers ue même limite l. Motrer que (u ) N coverge égalemet vers l. ( ) k 2. E déduire que la suite (u ) N de terme gééral u = coverge. (2k)! Eercice 5 Soit (u ) N ue suite de ombres réels et v = u +u 2 + +u où N.. Motrer que si (u ) coverge vers l, alors (v ) coverge vers l. La réciproque est elle vraie? k + 2. Calculer lim + 2k +k. k= 3. Soit (a ) 0 ue suite telle que lim + (a + a ) = l. Prouver que lim + 4. Soit (u ) ue suite strictemet positive telle que lim + lim (u ) / = l. + k=0 a = l. u + u = l. Démotrer que Eercice 6 Pourtout N ooteu = k= k! etv = u +.Orapellequee = lim! u.

2 . Motrerquelessuites(u ) et(v ) sotadjacetes.edéduireuevaleurapprochée de e à Démotrer que e est irratioel. Eercice 7 Ue suite (u ) N est dite de Cauchy lorsque, pour tout ε > 0 il eiste N N tel que, si m, N alors u u m < ε.. Motrer que toute suite covergete est de Cauchy. Motrer que toute suite de Cauchy est borée. 2. Soit u = Motrer que, pour tout p N, u p+2 2p. E déduire que 2 (u ) N ted vers l ifii. 3. Ue suite (u ) N satisfait au critère C lorsque, pour tout ε > 0 il eiste N N tel que, si N alors u u + < ε. Ue suite satisfaisat au critère C est-elle de Cauchy? 4. Motrer que les trois assertios qui suivet sot équivaletes : (a) Toute partie majorée de R admet ue bore supérieure et toute partie miorée de R admet ue bore iférieure. (b) Toute suite de Cauchy est covergete. (c) Deu suites adjacetes sot covergetes. Eercice 8 Soit (u ) défiie par u 0 et u strictemet positifs et u + = u +u pour.. Motrer que lim( u + u ) eiste et la détermier. Que remarquez-vous? 2. Soit a = u +. Eprimer a + e foctio de a. u 3. Motrer que a 2 et a 2+ sot adjacetes. 4. Détermier u ratioel r tel que r + 5 < 0 3. Eercice 9 Détermier (u ) telle que. u 0 =, u = 3, u +2 = 4u + 4u. 2. u 0 =, u = i, u +2 = 4u + 5u. Eercice 0 Détermier les suites borées qui vérifiet u +2 = 3u + 2u. Eercice Détermier les suites covergetes qui vérifiet 2u +2 = 7u + 3u. { { u 0 = 2 u + = u +v Eercice 2 Détermierlessuites(u )et(v )quivérifiet et v 0 = 2 v + = 3u v Eercice 3 Motrer que la suite ( si 2 ) N est de Cauchy et que la suite ( ) ( ) + l est pas. Eercice 4 Motrer que la suite défiie par u = + cos! 2 + cos2 2! est ue suite de Cauchy. E déduire sa covergece cos! N e

3 Eercice 5 Motrer que toute sous-suite etraite d ue suite de Cauchy est aussi ue suite de Cauchy. Motrer que si (u ) est ue suite de Cauchy, o peut trouver ue sous-suite (u k ) de (u ) telle que : p N, q p, u p u q 2 p. Eercice 6 Ue suite ( ) est défiie par ue relatio de récurrece + = asi +b où a est u ombre réel de ]0,[ et b u ombre réel quelcoque. Motrer que pour tout p N, p+ p a p 0. E déduire que la suite ( ) est ue suite de Cauchy. Combie de termes faut-il calculer pour obteir ue valeur approchée de lim à 0 0 près si o suppose a = /2, b = 5, 0 =? Eercice 7 Soit f ue foctio cotiue de [0,] das lui-même telle que f(0) = 0 et pour tout couple (,y) de [0,] [0,] o ait f() f(y) y.. Soit u élémet de [0,]. O pose 0 = et + = f( ). Motrer que la suite ( ) N est covergete. 2. E déduire que f() = pour tout [0,]. 3. Le résultat reste-t-il vrai sas l hypothèse f(0) = 0? Eercice 8 Soiet f et g équivaletes au voisiage de a et strictemet positives. Motrer que si f admet e a ue limite das R différete de alors lf a lg. Eercice 9 Étudier e + et la foctio f() = Eercice 20 Calculer les limites de sil(+ 2 ). e 0. ta l(+si) 2. e 0. ta(6) 3. (l(e+)) e (l(+e )) e +. Eercice 2 Trouver u équivalet simple e + de ( l(+) ). l Eercice 22 Limite e + de Équivalet e + de Limite e 0 de ta(a) si(a) ta(b) si(b) Limite e π ( 4 de π ) ta(+ π 4 4 ) Limite e π 4 de cos() si() (4 π)ta() 3

4 Équivalet e 0 de ta( cos()) si()+cos() Équivalet e π 4 de ( ta(2)+ta(+ π 4 ) )( cos(+ π 4 ) ) 2 Limite e 0 de +2 l() Limite e 2 de ( ) ta(π) Limite e 0 de (si())si() (ta()) ta() + 2 Équivalet e + de si( ) l( + ) Eercice 23 Soit (f ) N ue suite de foctios réelles. Motrer qu il eiste f : R R telle que N,f (t) = o(f(t)) si t. Eercice 24 Motrer que pour tout R +,si(). Eercice 25 Pour tout ],+ [ o pose f() = l(). Motrer que f est ue bijectio de ],+ [ sur ],+ [. O pose g = f l applicatio réciproque de f. Calculer g(0) et g (0). Eercice 26 Étudier la cotiuité, la dérivabilité, la cotiuité de la dérivée pour les applicatios suivates :. f : si ( ) si 0 et f(0) = g : si ( ) si 0 et f(0) = h : 2 si ( ) si 0 et f(0) = 0. Eercice 27 Soit g ue foctio 2 fois dérivable sur [a,b] telle que g(a) = g(b) = 0 et g () 0 pour tout ]a,b[. Motrer que pour tout ]a,b[,g() 0. Eercice 28 Soit f ue applicatio cotiue de [a,b] à valeurs das R dérivable sur ]a,b]. Motrer que si lim a f () eiste, f est dérivable e a. Eercice 29 Soit f : R + R + ue foctio borée deu fois dérivable et telle qu il eiste α > 0 tel que, pour tout R +, o ait αf() f ().. (a) Motrer que f a ue limite e +. Quelle est la valeur de cette limite? (b) Motrer que f est décroissate et que lim + f() = (a) Soit g : αf 2 () (f ()) 2. Motrer que g est croissate et a pour limite 0 e. (b) E posat f() = h()ep( α), motrer que, pour tout R + : f() f(0)ep( α). 4

5 Eercice 30 Pour tout etier supérieur où égal à 2, o cosidère le polyôme de degré à coefficiets réels : P (X) = X +X +X 2 +X. Soit 2. Motrer que P a ue uique racie réelle positive que l o ommera λ. (O pourra étudier l applicatio X P (X).) 2. Motrer que la suite (λ ) 2 est croissate puis qu elle coverge vers ue limite que l o otera l. 3. Motrer que l est racie du polyôme X 2 +X. E déduire sa valeur. Eercice 3 Soit f ue foctio d u itervalle I à valeurs das R dérivable sur I. Motrer que les propriétés suivates sot équivaletes :. f est strictemet croissate sur I. 2. f est positive ou ulle sur I et { I;f () > 0} est dese das I. Eercice 32. Soit f ue applicatio de R das R dérivable e 0. Motrer qu il eiste ue applicatio ε de R das lui-même telle que R : f() = f(0) + f (0) + ε() et limε() = 0. 0 Doer ue iterprtatio géométrique de ce résultat. 2. E déduire les limites des suites (u ) et (v ) défiies e posat, pour tout N : u = ( 3 +) 3 et v = (+ α ). 3. Costruire u eemple de suite (w ) avec, u < pour tout et telle que lim w =. (O pourra s ipirer de l eemple de (v ) ci-dessus.) Eercice 33. Motrer que pour tout > 0 o a : + < log(+) log() <. 2. E déduire que pour tout etier : log(+) < < +log(). 3. Posos u = log() Motrer que la suite (u ) N est décroisate et covergete. Eercice 34 Soit P(X) u polyôme à coefficiets complees de degré 3 ayat trois racies distictes. Motrer que les racies de P sot das le triagle ayat pour sommet les racies de P Eercice 35 Détermier la limite e 0 de arcta si ta arcsi. Eercice 36 Développemets limités e 0 de :. cos.l(+) à l ordre à l ordre 4. cos 3. arcsi(l(+ 2 )) à l ordre 6. sih 4. à l ordre (+) + à l ordre 3. 5

6 Eercice 37 Pour chacue des foctios suivates, doer les coditios sur ε() pour que ces foctios soiet des développemets limités au voisiage d u poit et à u ordre que vous préciserez.. f () = ε() 2. f 2 () = ε() 3. f 3 () = ( 2)+ ( 2) f 4 () = ε() +( 2) 3 ε() 5. f 5 () = ( ) 2 ε() 6. f 6 () = ( 2) 2 +( 2) 2+( 2)ε() 7. f 7 () = { ε()}{ ε()} Eercice 38. Développemets limités e à l ordre 3 de f() = et de g() = e 2. Développemet limité à l ordre 3 e 0 ]0;π[ de h() = l(si). E déduire u développemet limité e π 2. Eercice 39. f() = 2 arcta( 2. g() = Étudier les braches ifiies des foctios : ). Eercice 40 Détermier : lim 0 2ta sh2 ( cos3)arcta. Eercice 4 Soit g la foctio arcta (si) Doer le domaie de défiitio de g. 2. Motrer qu elle se prologe par cotiuité e 0 e ue foctio dérivable. 3. Détermier la tagete e 0 au graphe de cette foctio et la positio de ce graphe par rapport à celle-ci. Eercice 42 Soiet f : et g : (+)ep( ) deu foctios. Détermier si leurs graphes respectifs ot des asymptotes puis la positio de ces graphes par rapport à celles-ci. Eercice 43 Motrer que, pour tout réel vérifiat : +si Eercice 44 Soit f l applicatio de R das R défiie par f() = Calculer f() (0) pour tout N. 6

7 Eercice 45 Soit a u ombre réel et f ue applicatio de classe C 2 de ]a,+ [ à valeurs das R. O suppose f et f borées; o pose M 0 = sup f() et M 2 = sup f (). a a. E appliquat la formule de Taylor e et +2h, motrer que, pour tout > a et tout h > 0, o a : f (+h) hm 2 + h M E déduire que f est borée sur ]a,+ [. 3. Établir le résultat suivat : soit g :]0,+ [ R ue applicatio de classe C 2 à dérivée secode borée et telle que lim g() = 0. Alors lim g () = 0. Eercice 46 Soit P R [X] tel que P 0. O pose Q = P + P P (). Motrer que Q 0. Eercice 47 Soiet a et b deu réels tels que a < b et f C 3 ([a,b],r). Motrer qu il eiste c ]a,b[ tel que f(b) = f(a) + (b a)f ( a+b 2 ) + (b a)3 f (c) (o pourra utiliser Taylor- 24 Lagrage etre a, a+b 2,b). Eercice 48 Soitf : [0,] RuefoctiodeclasseC.Motrerque lim 0 cos(t)f(t)dt = 0. Eercice 49 Soit f : [a,b] R ue foctio de classe C telle que f(a) = f(b) = 0. Posos M = sup [a,b] f (). Motrer que f(t)dt M (b a)2. (Idicatio : faire des dévelop- 4 pemets limités de a b a f(t)dt et b f(t)dt). Eercice 50 Soit f cotiue sur [0,] avec f() 0, motrer : E déduire : 0 lim O posera u = puis v = ue2(u ). f(t)dt f(). 0 e 2t ( t ) dt Eercice 5 Soit f ue applicatio C 2 de R das R telle que f +f 0. Motrer que : R,f()+f(+π) 0. Eercice 52 Étudier la foctio : h : 2 dt logt. Domaie de défiitio, cotiuité et dérivabilité, variatios, limites au bores de ce domaie, h() et lim,lim h(), évetuellemet coveité. 0 7

8 Eercice 53 Soit f ue applicatio cotiue par morceau de R + das R possédat ue limite l e +, telle que f eiste; motrer que l = 0. 0 Soit f ue applicatio uiformémet cotiue de R + das R telle que f eiste. Motrer 0 que : lim f() = 0. Eercice 54 Soiet N et,..., ]0,+ [.. E utilisat la cocavité du log, motrer que (... ) Motrer que (... ) E déduire que! ( + 2 ). Eercice 55 Soit f ue foctio C 2 sur R covee croissate et o costate. Motrer que lim + f = tûûûûûût. Eercice 56 Soiet p et q ]0,+ [ tels que p + q =.. Motrer que,y > 0 y p p + yq q. 2. Soiet,...,,y,...,y > 0 tels que p i = y q i =. Motrer que i y i. 3. Soiet,...,,y,...,y > 0. Motrer l iégalité de Hölder : i= i= i= i y i ( p i ) p ( i= 4. Soit p >. E écrivat ( i +y i ) p = i ( i +y i ) p +y i ( i +y i ) p, motrer l iégalité de Mikowski : ( ( i +y i ) p ) p ( p i ) p +( y p i ) p i= i= i= y q i ) q 5. Soit (a ) ue suite strictemet positive, u = a 2 k et v = coverge alors (v ) aussi. Eercice 57 Soit f C 2 (R) covee.. Motrer que f admet ue limite das R e +. k= i= k= i= a k k. Motrer que si (u ) 2. E déduire que f() admet ue limite e + (o pourra utiliser des ε et ue formule de Taylor à l ordre ). Eercice 58 Soit f : R R covee majorée. Que dire de f? Et si f : R + R? Eercice 59 Soit (a ) N (R + ) N,u = a 2 k,v = alors (v ) aussi. Eercice 60 Motrer que : k= N, (,..., ) ( R + ),+ ( 8 k= k= k ) a k k. Motrer que si (u ) coverge ( + k= k ).

9 Eercice 6 Soit f : I R covee ou I est u itervalle ouvert de R, dérivable e 0 I et telle que f ( 0 ) = 0. Motrer que 0 miimise f sur I. Eercice 62 Etudier l eistece des limites suivates :. lim (,y) (0,0) 2 y +y ; 2. lim (,y,z) (0,0,0) yz+z yz lim (,y) (0,0) + y 2 +y 2 4. lim (,y) (0,0) 4 y 2 y 2 5. lim (,y,z) (0,0,0) y+yz 2 +2y 2 +3z 2 Eercice 63 Soit f : R 2 R, f(,y) = Démotrer que les deu limites itérées lim lim 0y 0 { (+y)si si y si y 0 0 si y = 0 f(,y) et lim y 0 lim 0 f(,y) eistet pas, et que eiste et est égale à 0. lim f(,y) (,y) (0,0) Eercice 64 Étudier la cotiuité des foctios défiies sur R2 par f (,y) = y 2 +y 2 si (,y) (0,0), f (0,0) = 0. f 2 (,y) = 3 +y 3 2 +y 2 si (,y) (0,0), f 2 (0,0) = 0. Eercice 65 Etudier la cotiuité sur R 2 de la foctio suivate : { f(,y) = { f(,y) = { f(,y) = { f(,y) = 2 y 2 2 +y 2 si (,y) (0,0) 0 sio. 2 y 2 +y 2 si (,y) (0,0) 0 sio. 4 y 4 +y 6 si (,y) (0,0) 0 sio. y 4 4 +y 6 si (,y) (0,0) 0 sio. 9

10 5. 6. f(,y) = f(,y) = { y 2 si y si y 0 0 sio. { e arcta y si 0 0 sio. R 2 R Eercice 66 Soit f : (,y) y 2 y 2 si (,y) (0,0) 2 +y2 (0,0) 0 Étudier la cotiuité de f. Motrer que f est C. Calculer les dérivées partielles secodes e (0, 0). Que remarque-t-o? Eercice 67 Soit f : R R dérivable. Calculer les dérivées partielles de : g(,y) = f(+y) h(,y) = f( 2 +y 2 ) k(,y) = f(y) Eercice 68 Ecriver la formule de Taylor de secod ordre pour chacue des foctios suivates au poit ( 0,y 0 ) doé.. f(,y) = si(+2y), ( 0,y 0 ) = (0,0); 2. f(,y) = 2 +y 2 +, ( 0,y 0 ) = (0,0); 3. f(,y) = e 2 y 2 cosy, ( 0,y 0 ) = (0,0); 4. f(,y) = si(y)+cos(y), ( 0,y 0 ) = (0,0); 5. f(,y) = e ( )2 cosy, ( 0,y 0 ) = (,0). Eercice 69 Pour chacue des foctios suivates etudiez la ature du poit critique doé :. f(,y) = 2 y +y 2 au poit critique (0,0); 2. f(,y) = 2 +2y +y 2 +6 au poit critique (0,0); 3. f(,y,z) = 2 +y 2 +2z 2 +yz au poit critique (0,0,0); 4. f(,y) = 3 +2y 2 y y +y 2 +0 au poit critique (0,0). Eercice 70 Calculer I = (+y)e e y ddy où D = {(,y) R 2 /,y 0,+y }. D Calculer I 2 = ( 2 +y 2 )ddy où D = {(,y) R 2 / 2 +y 2 <, 2 +y 2 > y}. D Calculer I 3 = y ddy où D = {(,y) [0,] 2 / 2 +y 2 } y 2 D Calculer I 4 = ddy où D = [0, π] [0, ]. ycos()+ 2 2 D Calculer I 5 = zddydz où D = {(,y,z) (R + ) 3 /y 2 +z, 2 +z }. D Calculer I 5 = { } yddy où D = (,y) R 2 /,y > 0, 2 + y2 avec a,b > 0. a 2 b 2 D Eercice 7 Représeteretcalculerlevolumede{(,y,z) R 3 / z, 2 +y 2 z 2 +}.. Eercice 72 Soiet, pour > 0, u =!e + 2 et v = lu. 0

11 . Etudier la serie de terme gééral w où, pour 2, w = v v et w = v. 2. E déduire, e utilisat la covergece de la suite des sommes partielles de w, que la suite u coverge vers λ > Détermier λ e utilisat la formule de Wallis : lim (!) 2 (2)! = π. E déduire u équivalet de!. Idicatio : Eprimer! (respectivemet (2)!) e foctio de u (resp. de u 2 ) et remplacer-les das la formule de Wallis. Eercice 73 Soit S = ( ). Doer ue valeur approchée de S e garatissat ue = 3 erreur iférieure ou égale à 0 3. Eercice 74 Etudier la série de terme gééral u = a 2 2 où a > 0, b > 0. +b Idicatio : Chercher u équivalet suivat les valeurs de b. Eercice 75 (Utilisatio des règles de Cauchy et d Alembert) Etudier les séries de termes géérau. u =!sisi 2 si avec > v = e a2 ( a )3 Eercice 76 (Comparaiso à des séries de Riema et équivalet) Etudier les séries de termes géérau π 2 u = cos( 2 2 +a+ ) avec a > 0 v = e w = ( 2) Eercice 77 Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs, o suppose que lim( u + ) = u et que u + = α u +O( β), où α > 0 β >. O pose v = α u. Etudier v + et motrer que (v ) a ue limite fiie. Applicatio : Etudier v la série de terme gééral u =!sisi si. 2

12 Eercice 78 Détermier la ature de la série de terme gééral :!., (ch l) 2, (+(/)) 2. l(+ l ), l(e ), l e Eercice 79 Etudier, suivat les valeurs de p N, la ature de la série de terme gééral : u =!+2!+ +!. (+p)! Eercice 80 Calculer les sommes des séries suivates, e motrat leur covergece :. 0 (+) Eercice 8 Soit u ue suite décroissate à termes positifs. O suppose ( u ) coverge. Motrer que lim (u ) = 0. Idicatio : Ecadrer p+ u k pour > p. Puis reveir au défiitios des limites avec les epsilos. Eercice 82 (Eame 2000) Ejustifiatvotrerépose,classerlesdiséries u suivates e 4 catégories GD : celles telles que u e ted pas vers 0; ZD : celles qui diverget et telles que limu = 0; AC : celles qui coverget absolumet; SC : celles qui coverget, mais o absolumet. (Attetio : pour pouvoir répodre, certaies séries demadet deu démostratios : par eemple pour motrer que u est SC, il faut motrer que u coverge et que u diverge. ( ( ) = = + 2 ) ; = [ log(+ ] ) ( + ) ; ; = = ( + ) 2;! ( ( ) ; ) ; = ; ( cos π ); si(π)si( π ( ); = = Eercice 83 (Eame 2000) a pour somme = =0 k=0 ). 2 k 3 k. O rappelle que la série harmoique alterée coverge et ( ) = log2. = Motrer la covergece des deu séries ( k= 2k 2k) et ( k= 2k+ 2k) et calculer leur somme à l aide du rappel ci dessus. 2

13 2. Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle Motrer la covergece de la série k= précède. 4. L itégrale impropre d 4 3 4k 3 k et calculer sa somme à l aide de ce qui coverge t-elle? Si oui, la calculer. 3