Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

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1 Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n ) n et (u n+ ) n convergent vers l. Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, il en est de même de (u n ) n. Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, de même limite l, il en est de même de (u n ) n. Exercice Montrer que toute suite convergente est bornée. Exercice 3 Montrer que la suite (u n ) n N définie par n est pas convergente. u n = ( ) n + n Exercice 4 Montrer qu une suite d entiers qui converge est stationnaire à partir d un certain rang. Exercice 5 Soit H n = n.. En utilisant une intégrale, montrer que n > 0 n + ln(n + ) ln(n) n.. En déduire que ln(n + ) H n ln(n) Déterminer la limite de H n. 4. Montrer que u n = H n ln(n) est décroissante et positive. 5. Conclusion? Exercice 6 Soit q un entier au moins égal à. Pour tout n N, on pose u n = cos nπ q.. montrer que u n+q = u n, n N.. Calculer u nq et u nq+. En déduire que la suite u n n a pas de limite. Exercice 7 (Examen 000) On considère la fonction f : R R définie par f(x) = x3 9 + x et on définit la suite (x n ) n 0 en posant x 0 = 0 et x n+ = f(x n ) pour n N.. Montrer que l équation x 3 3x + = 0 possède une solution unique α ]0, /[.. Montrer que l équation f(x) = x est équivalente à l équation x 3 3x+ = 0 et en déduire que α est l unique solution de l équation f(x) = x dans l intervalle [0, /]. 3. Montrer que f(r + ) R + et que la fonction f est croissante sur R +. En déduire que la suite (x n ) est croissante. 4. Montrer que f(/) < / et en déduire que 0 x n < / pour tout n Montrer que la suite (x n ) n 0 converge vers α.

2 Limites Exercice 8 Posons u = et pour tout entier n 3, u n = ( )( 3 ) ( n ). Calculer u n. En déduire que l on a lim u n =. Exercice 9 Déterminer les limites lorsque n tend vers l infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.. ; ; 3 ;... ; ( ) n ;... n. / ; 4/3 ; 6/5 ;... ; n/(n ) ; ,3 ; 0,33 ;... ; 0,33 3 ; n + n + + n n (n + )(n + )(n + 3) 5. [ n (n ) 6. n + ] n + n + ( ) n 7. n ( ) n 8. n+ + 3 n+ n + 3 n 9. ( / + /4 + /8 + + / n) puis ) 3 9 ( )n 0. ( n. ( n + n ). n sin(n!) n + ; ; ; Démontrer la formule n = 6 n(n+)(n+) ; en déduire lim n n n 3. Exercice 0 (Méthode d Héron) Soit a > 0. On définit la suite (u n ) n 0 par u 0 un réel vérifiant u 0 > 0 et par la relation u n+ = ) (u n + aun. On se propose de montrer que (u n ) tend vers a.. Montrer que u n+ a = (u n a) 4u n.. Montrer que si n alors u n a puis que la suite (u n ) n est décroissante. 3. En déduire que la suite (u n ) converge vers a.

3 4. En utilisant la relation u n+ a = (u n+ a)(u n+ + a) donner une majoration de u n+ a en fonction de u n a. 5. Si u a k et pour n montrer que u n a ( ) n k a. a 6. Application : Calculer 0 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant u 0 = 3. Exercice On considère les deux suites : u n = +! n! ; n N, v n = u n + n! ; n N. Montrer que (u n ) n et (v n ) n convergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de R\Q. Exercice Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a, b] [a, b], supposée continue et monotone, et une suite récurrente (u n ) n définie par : u 0 [a, b] et n N, u n+ = f(u n ).. On suppose que f est croissante. Montrer que (u n ) n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l équation f(x) = x.. Application : u 0 = 4 et n N, u n+ = 4u n + 5 u n On suppose que f est décroissante. Montrer que les suites (u n ) n et (u n+ ) n sont monotones et convergentes. 4. Application : u 0 = et n N, u n+ = ( u n ). Calculer les limites des suites (u n ) n et (u n+ ) n. Exercice 3. Soient a, b > 0. Montrer que ab a+b.. Montrer les inégalités suivantes (b a > 0) : a a + b b et a ab b. 3. Soient u 0 et v 0 des réels strictement positifs avec u 0 < v 0. On définit deux suites (u n ) et (v n ) de la façon suivante : u n+ = u n v n et v n+ = u n + v n. (a) Montrer que u n v n quel que soit n N. (b) Montrer que (v n ) est une suite décroissante. 3

4 (c) Montrer que (u n ) est croissante En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et quelles ont même limite. Exercice 4 Soit n.. Montrer que l équation n k= x k = admet une unique solution a n dans [0, ].. Montrer que (a n ) n N est décroissante minorée par. 3. Montrer que (a n ) converge vers. 4

5 Bibliothèque d exercices Indications L Feuille n 0 Suites Indication Dans l ordre c est vrai, faux et vrai. Lorsque c est faux chercher un contreexemple, lorsque c est vrai il faut le prouver. Indication Écrire la définition de la convergence d une suite (u n) avec les ε. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout ε > 0, c est en particulier vrai pour ε =. Cela nous donne un N. Ensuite séparez la suite en deux : regardez les n < N (il n y a qu un nombre fini de termes) et les n N (pour lequel on utilise notre ε = ). Indication 3 On prendra garde à ne pas parler de limite d une suite sans savoir au préalable qu elle converge! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit (u n ) une suite convergeant vers la limite l alors toute sous-suite (v n ) de (u n ) a pour limite l. Indication 4 Écrire la convergence de la suite et fixer ε =. Indication 5. En se rappellant que l intégrale calcule une aire montrer : n+ n + dt n t n.. Pour chacune des majoration il s agit de faire la somme de l inégalité précédente et de s apercevoir que d un coté on calcule H n et de l autre les termes s éliminent presque tous deux à deux. 3. La limite est Calculer u n+ u n. 5. C est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Indication 6 Pour la deuxième question, raisonner par l absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Indication 7 Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α! L existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d une part montrer que (x n ) converge et on note l sa limite et d autre part il faut montrer que l = α. Indication 8 Remarquer que k Indication 0 = (k )(k+) k.k. Puis simplifier l écriture de u n.. C est un calcul de réduction au même dénominateur.. Pour montrer la décroisance, montrer u n+ u n. 3. Montrer d abord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est a.

6 4. Penser à écrire u n+ a = (u n+ a)(u n+ + a). 5. Raisonner par récurrence. 6. Pour u 0 = 3 on a u = 3, 66..., donc 3 0 u et on peut prendre k = 0.7 par exemple et n = 4 suffit pour la précision demandée. Indication. Montrer que (u n ) est croissante et (v n ) décroissante.. Montrer que (u n ) est majorée et (v n ) minorée. Montrer que ces suites ont la même limite. 3. Raisonner par l absurde : si la limite l = p q alors multiplier l inégalité u q p q v q par q! et raisonner avec des entiers. Indication Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence. Pour la troisième question, remarquer que si f est décroissante alors f f est croissante et appliquer la première question. Indication 4 On notera f n : [0, ] R la fonction définie par f n (x) = n k= xk.. C est une étude de la fonction f n.. On sait que f n (a n ) = 0. Montrer par un calcul que f n (a n ) > 0, en déduire la décroissance de (a n ). En calculant f n ( ) montrer que la suite (a n) est minorée par. 3. Une fois établie la convergence de (a n ) vers une limite l composée l inégalité l < a n par f n. Conclure.

7 Bibliothèque d exercices Corrections L Feuille n 0 Suites Correction. Vraie. Toute sous-suite d une suite convergente est convergente et admet la même limite.. Faux. Un contre-exemple est la suite (u n ) n définie par u n = ( ) n. Alors (u n ) n est la suite constante (donc convergente) de valeur, et (u n+ ) n est constante de valeur. Cependant la suite (u n ) n n est pas convergente. 3. Vraie. La convergence de la suite (u n ) n vers l, que nous souhaitons démontrer, s écrit : ε > 0 N N tel que (n N u n l < ε. Fixons ε > 0. Comme, par hypothèse, la suite (u p ) p converge vers l alors il existe N tel p N u p l < ε. Et de même, pour la suite (u p+ ) p il existe N tel que Soit N = max(n, N ), alors p + N u p+ l < ε. n N u n l < ε. Ce qui prouve la convergence de (u n ) n vers l. Correction Soit (u n ) une suite convergeant vers l R. Par définition ε > 0 N N n N u n l < ε. Choisissons ε =, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n N, nous avons u n l <, soit l < u n < l +. Notons M = max n=,...,n {u n } et puis M = max(m, l + ). Alors pour tout n N u n M. De même en posant m = min n=,...,n {u n } et m = min(m, l ) nous obtenons pour tout n N, u n m. Correction 3 Beaucoup d entre vous ont compris que u n n avait pas de limite, mais peu sont arrivé à en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu on ne sait pas qu une suite (u n ) converge, on ne peut pas écrire lim u n, c est un nombre qui n est pas défini. Par exemple l égalité lim n ( )n + /n = lim ( ) n n n a pas de sens. Par contre voilà ce qu on peut dire : Comme la suite /n tend vers 0 quand n, la suite u n est convergente si et seulement si la suite ( ) n l est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème : Soient u n et v n deux suites convergeant vers deux limites l et l. Alors la suite w n = u n + v n est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim w n = l + l.

8 De plus, il n est pas vrai que toute suite convergente doitforcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple, ( ) n /n est une suite qui converge vers 0 mais qui n est ni croissante, ni décroissante. A ce propos d ailleurs, on ne dit pas d une suite qu elle est croissante pour n pair et décroissante pour n impair même si je comprends ce que cela signifie. On dit qu une telle suite n est ni croissante ni décroissante (et c est tout). Voici maintenant un exemple de rédaction de l exercice. On veut montrer que la suite u n n est pas convergente. Supposons donc par l absurde qu elle soit convergente et notons l = lim n u n. (Cette expression a un sens puisqu on suppose que u n converge). Rappel. Une sous-suite de u n (on dit aussi suite extraite de u n ) est une suite v n de la forme v n = u φ(n) où φ est une application strictement croissante de N dans N. Cette fonction φ correspond au choix des indices qu on veut garder dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite u n que les termes pour lesquels n est un multiple de trois, on pourra poser φ(n) = 3n, c est à dire v n = u 3n. Considérons maintenant les sous-suites v n = u n et w n = u n+ de (u n ). On a que v n = + /n et que w n = + /(n + ). Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d une suite convergente : Théorème : Soit u n une suite convergeant vers la limite l (le théorème est encore vrai si l = + ou l = ). Alors, toute sous suite v n de u n a pour limite l. Par conséquent, ici, on a que lim v n = l et lim w n = l donc l = et l = ce qui est une contradiction. L hypothèse disant que (u n ) était convergente est donc fausse. Donc u n ne converge pas. Montrons que u n est bornée. On a que ( ) n donc donc u n est bornée. 0 /n u n Rappel. Le théorème de Bolzano-Weïerstrass dit ceci : Soit (u n ) une suite de réels bornée. Alors, il existe une sous-suite de (u n ) qui est convergente. (C est un théorème très puissant). Ici, on nous demande d exhiber une sous-suite de u n qui soit convergente. Mais on a déjà vu que v n = u n. v n = u n est donc une suite extraite convergente. Remarque : Il y a d autres sous-suites convergentes : (u 4n ) (u n), (u n! ) et (u 3 n) sont des sous-suites convergentes de u n. Correction 4 Soit (u n ) n une suite d entiers qui converge vers l R. Dans l intervalle I =]l, l + [ de longueur, il existe au plus un élément de N. Donc I N est soit vide soit un singleton {a}. La convergence de (u n ) n s écrit : ε > 0 N N tel que (n N u n l < ε). Fixons ε =, nous obtenons le N correspondant. Et pour n N, u n I. Mais de plus u n est un entier, donc n N u n I N.

9 En conséquent, I N n est pas vide (par exemple u N en est un élément) donc I N = {a}. L implication précédente s écrit maintenant : n N u n = a. Donc la suite (u n ) n est stationnaire (au moins) à partir de N. En prime, elle est bien évidemment convergente vers l = a N. Correction 5. La fonction t t est décroissante sur [n, n + ] donc n+ n + dt n t n (C est un encadrement de l aire de l ensemble des points (x, y) du plan tels que x [n, n + ] et 0 y /x par l aire de deux rectangles.) Nous obtenons l inégalité : n + ln(n + ) ln(n) n.. H n = , nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant n n l inégalité ln(k) ln(k ) obtenue précédemment : nous obtenons H k n ln(n) ln(n ) + ln(n ) ln(n ) + + ln ln +. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s éliminent et en plus ln = 0) et donne H n ln n +. L autre inégalité s obtient de la façon similaire en utilisant l inégalité ln(k +) ln(k) k. 3. Comme H n ln(n + ) et que ln(n + ) + quand n + alors H n + quand n u n+ u n = H n+ H n ln(n+)+ln(n) = (ln n+ ln n) 0 d après la première n+ question. Donc u n+ u n = f( ) 0. Donc u n+ n+ u n et la suite (u n ) est décroissante. Enfin comme H n ln(n + ) alors H n ln n et donc u n La suite (u n ) est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réel γ. Ce réel γ est la constante d Euler (Leonhard Euler, , mathématicien d origine suisse). Cette constante vaut environ 0, mais on ne sait pas si γ est rationnel ou irrationnel. Correction 6. u n+q = cos (n+q)π q = cos (n)π q + π = cos (n+q)π q = u n.. u nq = cos (nq)π = cos nπ = = u q 0 et u nq+ = cos (nq+)π = cos π = u q q. Supposons, par l absurde que (u n ) converge vers l. Alors la sous-suite (u nq ) n converge vers l comme u nq = u 0 = pout tout n alors l =. D autre part la sous-suite (u nq+ ) n converge aussi vers l, mais u nq+ = u = cos π, donc l = cos π. Nous obtenons une contradiction car q q pour q, nous avons cos π. Donc la suite (u q n) ne converge pas. Correction 7. La fonction polynomiale P (x) := x 3 3x + est continue et dérivable sur R et sa dérivée est P (x) = 3x 3, qui est strictement négative sur ], +[. Par conséquent P est strictement décroissante sur ], +[. Comme P (0) = > 0 et P (/ ) = 3/8 < 0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu il existe un réel unique α ]0, /[ tel que P (α) = 0.. Comme f(x) x = (x 3 3x + )/9 il en résulte que α est l unique solution de l équation f(x) = x dans ]0, /[. 3

10 3. Comme f (x) = (x + )/3 > 0 pour tout x R, on en déduit que f est strictement croissante sur R. Comme f(0) = /9 et lim x + f(x) = +, on en déduit que f(r + ) = [/9, + [. Comme x = f(x 0 ) = /9 > 0 = x 0, et que f est strictement croissante sur R +, on en déduit par récurrence que x n+ > x n pour tout n N ce qui prouve que la suite (x n ) est croissante. 4. Un calcul simple montre que f(/) < /. Comme 0 = x 0 < / et que f est croissante on en déduit par récurrence que x n < / pour tout n N. 5. D après les questions précédentes, la suite (x n ) est croissante et majorée elle converge donc vers un nombre réel l ]0, /]. De plus comme x n+ = f(x n ) pour tout n N, on en déduit par continuité de f que l = f(l). Comme f(/) < /, On en déduit que l ]0, /[ et vérifie l équation f(l) = l. D après la question, on en déduit que l = α et donc (x n ) converge vers α. = k = (k )(k+) Correction 8 Remarquons d abord que k k k.k de u n sous la cette forme, l écriture va se simplifier radicalement : u n = ( )( + ) (3 )(3 + ). 3.3 (k )(k + ) k.k (k)(k + ) (k + ).(k + ). En écrivant les fractions (n )(n + ) n.n Tous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D où : u n = n + n. Donc (u n ) tends vers lorsque n tend vers +. Correction / / / ;. 0. 3/ /3. Correction 0. ( ) u n + a a u n+ a = 4 = 4u n u n (u 4 n au n + a ) = (u n a) 4 u n 4

11 . Il est clair que pour n 0 on a u n 0. D après l égalité précédente pour n 0, u n+ a et comme u n+ est positif alors u n+ a. ( ) Soit n. Calculons le quotient de u n+ par u n : u n+ u n = + a or a car u n u n u n a. Donc u n+ u n et donc u n+ u n. La suite (u n ) n est donc décroissante. 3. La suite (u n ) n est décroissante et minorée par a donc elle converge vers une limite l > 0. D après la relation u n+ = ) (u n + aun quand n + alors u n l et u n+ l. À la limite nous obtenons la relation l = ( l + a ). l La seule solution positive est l = a. Conclusion (u n ) converge vers a. 4. La relation s écrit aussi Donc u n+ a = (u n a) 4u n (u n+ a)(u n+ + a) = (u n a) (u n + a). 4u n u n+ a = (u n ( a) 4(u n+ + un + a a) u n (u n ( ) a) a 4( + a) u n (u n a) a ) 5. Par récurrence pour n =, u a. Si la proposition est vraie rang n, alors u n+ a a (u n a) a ( a) a ( ) n k a ( ( ) ) n k a 6. Soit u 0 = 3, alors u = ( ) = 3, Comme 3 0 u donc u Nous pouvons choisir k = 0, 7. Pour que l erreur u n a soit inférieure à 0 8 il suffit de calculer le terme u 4 car alors l erreur (calculée par la formule de la question précédente) est inférieure à, Nous obtenons u 4 = 3,

12 Correction. La suite (u n ) est strictement croissante, en effet u n+ u n = (n+)! > 0. La suite (v n ) est strictement décroissante : v n+ v n = u n+ u n + (n + )! n! = (n + )! + (n + )! n! = n! ( n ). Donc pour à partir de n, la suite (v n ) est strictement décroissante.. Comme u n v n v, alors (u n ) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers l R. De même v n u n u 0, donc (v n ) est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers l R. De plus v n u n = n!. Et donc (v n u n ) tend vers 0 ce qui prouve que l = l. 3. Supposons que l Q, nous écrivons alors l = p q u n p q v n. avec p, q N. Nous obtenons pour n : Ecrivons cette égalité pour n = q : u q p q v q et multiplions par q! : q!u q q! p q q!v q. Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers! De plus v q = u q + q! donc : q!u q q! p q q!u q +. Donc l entier q! p est égal à l entier q!u q q ou à q!u q + = q!v q. Nous obtenons que l = p q est égal à u q ou à v q. Supposons par exemple que l = u q, comme la suite (u n ) est strictement croissante alors u q < u q+ < < l, ce qui aboutit à une contradiction. Le même raisonnement s applique en supposant l = v q car la suite (v n ) est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montrer que l n est pas un nombre rationnel. En fait l est le nombre e = exp(). Correction. Si u 0 u alors comme f est croissante f(u 0 ) f(u ) donc u u, ensuite f(u ) f(u ) soit u u 3... Par récurrence on montre que (u n ) est décroissante. Comme elle est minorée par a alors elle converge. Si u 0 u alors la suite (u n ) est croissante et majorée par b donc converge. Notons l la limite de (u n ) n. Comme f est continue alors (f(u n )) tend vers f(l). De plus la limite de (u n+ ) n est aussi l. En passant à la limite dans l expression u n+ = f(u n ) nous obtenons l égalité l = f(l).. La fonction f est continue et dérivable sur l intervalle [0, 4] et f([0, 4]) [0, 4]. La fonction f est croissante (calculez sa dérivée). Comme u 0 = 4 et u = 3 alors (u n ) est décroissante. Calculons la valeur de sa limite l. l est solution de l équation f(x) = x soit 4x+5 = x(x+ 3). Comme u n 0 pour tout n alors l 0. La seule solution positive de 4x + 5 = x(x + 3) est l = + =, Si f est décroissante alors f f est croissante (car x y f(x) f(y) f f(x) f f(y)). Nous appliquons la première question avec la fonction f f. La suite (u 0, u = f f(u 0 ), u 4 = f f(u ),...) est monotone et convergente. De même pour la suite (u, u 3 = f f(u ), u 5 = f f(u 3 ),...). 4. La fonction f(x) = ( x) est continue et dérivable de [0, ] dans [0, ]. Elle est décroissante sur cette intervalle. Nous avons u 0 =, u =, u 4 = 9, u 6 3 = 0, 9...,... Donc la suite (u n ) est croissante, nous savons qu elle converge et notons l p sa limite. La suite (u n+ ) et décroissante, notons l i sa limite. Les limites l p et l i sont des solutions de 6

13 l équation f f(x) = x. Cette équation s écrit ( f(x)) = x, ou encore ( ( x) ) = x soit x ( x) = x. Il y a deux solutions évidentes 0 et. Nous factorisons le polynôme x ( x) x en x(x )(x λ)(x µ) avec λ et µ les solutions de l équation x 3x+ : λ = 3 5 = 0, et µ = 3+ 5 >. Les solutions de l équation f f(x) = x sont donc {0,, λ, µ}. Comme (u n ) est croissante et que u 0 = alors (u n) converge vers l p = qui est le seule point fixe de [0, ] supérieur à. Comme (u n+) est décroissante et que u = alors (u 4 n+) converge vers l i = 0 qui est le seule point fixe de [0, ] inférieur à. 4 Correction 3. Soient a, b > 0. On veut démontrer que ab a+b. Comme les deux membres de cette inégalité sont positifs, cette inégalité est équivalente à ab ( a+b ). De plus, ( ) a + b ab 4ab a + ab + b 0 a ab + b ce qui est toujours vrai car a ab + b est un carré parfait. On a donc bien l inégalité voulue.. Quitte à échanger a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique, et qui préserve le fait d être compris entre a et b), on peut supposer que a b. Alors en ajoutant les deux inégalités a/ a/ b/ on obtient a/ b/ b/, a a + b b. De même, comme tout est positif, en multipliant les deux inégalités a a b a b b on obtient a ab b. 3. Il faut avant tout remarquer que n, u n et v n sont strictement positifs, ce qui permet de dire que les deux suites sont bien définies. On le démontre par récurrence : c est clair pour u 0 et v 0, et si u n et v n sont strictement positifs alors leurs moyennes géométrique (u n+ ) et arithmétique (v n+ ) sont strictement positives. (a) On veut montrer que n u n v n. L inégalité est claire pour n = 0 grâce aux hypothèses faites sur u 0 et v 0. Si maintenant n est plus grand que, u n est la moyenne géométrique de u n et v n et v n est la moyenne arithmétique de u n et v n, donc, par., u n v n. (b) On sait d après. que u n u n+ v n. En particulier, u n u n+ i.e. (u n ) est croissante. De même, d après., u n v n+ v n. En particulier, v n+ v n i.e. (v n ) est décroissante. 7

14 (c) Pour tout n, on a u 0 u n v n v 0. (u n ) est donc croissante et majorée, donc converge vers une limite l. Et (v n ) est décroissante et minorée et donc converge vers une limite l. De plus comme u n+ = u n v n et puisque v n+ = un+vn, l et l doivent vérifier l = ll et l = l + l d où l = l. Il y a une autre méthode un peu plus longue mais toute aussi valable. Définition Deux suites u n et v n sont dites adjacentes si. u n v n,. u n est croissante et v n est décroissante, 3. lim(u n v n ) = 0. Alors, on a le théorème suivant : Théorème : Si u n et v n sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et ont la même limite. Pour appliquer ce théorème, vu qu on sait déjà que u n et v n vérifient les points et de la définition, il suffit de démontrer que lim(u n v n ) = 0. On a d abord que v n u n 0. Or, d après (a) v n+ u n+ v n+ u n = v n u n. Donc, si on note w n = v n u n, on a que 0 w n+ w n /. Donc, on peut démontrer (par récurrence) que 0 w n w 0, ce qui implique que lim n n w n = 0. Donc v n u n tend vers 0, et ceci termine de démontrer que les deux suites u n et v n sont convergentes et ont même limite en utilisant le théorème sur les suites adjacentes. Correction 4 Notons f n : [0, ] R la fonction définie par : f n (x) = n x k. k=. La fonction f n est continue sur [0, ]. De plus f n (0) = < 0 et f n () = n 0. D après le théorème des valeurs intermédiaires, f n, admet un zéro dans l intervalle [0, ]. De plus elle strictement croissante (calculez sa dérivée) sur [0, ] donc ce zéro est unique.. Calculons f n (a n ). f n (a n ) = Nous obtenons l inégalité n a k n i= n = a n n + a k n i= = a n n + f n (a n ) = a n n (car f n (a n ) = 0 par définition de a n ). 0 = f n (a n ) < f n (a n ) = a n n. 8

15 Or f n est strictement croissante, l inégalité ci-dessus implique donc a n < a n. Nous venons de démontrer que la suite (a n ) n est décroissante. Remarquons avant d aller plus loin que f n (x) est la somme d une suite géométrique : f n (x) = xn+ x. Évaluons maintenant f n ( ), à l aide de l expression précédente f n ( ) = n+ = < 0. n Donc f n ( ) < f n(a n ) = 0 entraîne < a n. Pour résumé, nous avons montrer que la suite (a n ) n est strictement décroissante et minorée par. 3. Comme (a n ) n est décroissante et minorée par alors elle converge, nous notons l sa limite : l < a n. Appliquons f n (qui est strictement croissante) à cette inégalité : qui s écrit aussi : f n ( ) f n(l) < f n (a n ), f(l) < 0, n et ceci quelque soit n. La suite (f n (l)) n converge donc vers 0 (théorème des gendarmes ). Mais nous savons aussi que f n (l) = ln+ l ; donc (f n (l)) n converge vers l car (ln ) n converge vers 0. Donc l = 0, d où l =. 9

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