Introduction à la mécanique des fluides III 1 Equations générales et bilans

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1 Inrodcion à la mécaniqe des lides III 1 Eqaions générales e bilans Philippe.Boillard@lb.ac.be re par R. Filomeno Coelho ersion 11 aril 2012 Descripions cinémaiqes de l écolemen Eler s. Lagrange noion de dériée maérielle Inrodcion Conseraion de la masse, de la réslane cinéiqe, d momen cinéiqe Lois de comporemen Acion d lide sr n obsacle III - 1-2

2 Le poin de e d Eler Descripions de l écolemen Le poin de e de Lagrange - domaine géomériqe - le repère es ie par rappor à l écolemen - domaine maériel - le repère«si» l écolemen III Descripions de l écolemen Le poin de e d Eler Le poin de e de Lagrange - e.: éolion d débi d ne riière à l amon d n illage () - e.: éolion de la concenraion d n pollan répand dans n lee () ( ) ( ) III - 1-4

3 III Dériée maérielle Édions la ariaion d ne grander (p.e.: la masse olmiqe ) a cors d emps : (,,z,) (d,d,zdz,d) w d z d d d d z z d d d dz z d d d d III Dériée maérielle (,,z,) (d,d,zdz,d). w z D D dériée maérielle o pariclaire

4 Lois générales En oe généralié, n problème de mécaniqe des milie conins pe êre décri à l aide de poslas de conseraion de la masse, de la réslane cinéiqe e d momen de la réslane cinéiqe de conseraion de l énergie des héorèmes des raa irels Eqaions générales e bilans III Conseraion de la masse d d BILAN : a de ariaion de la masse dans le olme V débi massiqe pénéran dans le olme V - débi massiqe soran d olme V Eqaions générales e bilans III - 1-8

5 Éqaion de coninié Conseraion de la masse ddd dd d dd Eqaions générales e bilans d dd d dd 0 di( ) 0 d III Conseraion de la masse Coninié : ( ) di( ) 0 dériée maérielle (ariaion en espace e en emps) Cas paricliers : - lides incompressibles : 0 di ( ) 0 inerpréaion : pas de iesse de ariaion de olme... - écolemen permanen : 0 di ( ) 0 III

6 Forme inégrale Coninié : di( ) 0 di Forme inégrale : V di( ) dv 0 M aec M dv V Gass-Osrogradski : V dv S n ds 0 III Forme inégrale écolemen permanen V dv S nds 0 Applicaion à ne condie (en général, à n be de coran) de secion d enrée S 1 e de secion de sorie S 2 : S 1 S 2 n1 1n1S1 2n2S 2 n 1 n 2 n2 III

7 Forme inégrale écolemen incompressible Gass di 0 di 0 n ds 0 S Applicaion à ne condie (en général, à n be de coran) de secion d enrée S 1 e de secion de sorie S 2 : S 2 S 1 n1 n 1S1 n2s 2 n2 III Ares granders conserées On pe appliqer le même procédé por la conseraion de : la qanié de moemen : le momen de la qanié de moemen : les orces : c. cors RDM l énergie r Eqaions générales e bilans III

8 Bilan de la qanié de moemen d ( ) ( ) d Ta de ariaion de la qanié de moemen dans le olme V débi de la qanié de moemen pénéran dans le olme V - débi de la qanié de moemen soran d olme V somme de oes les orces agissan sr le olme V Eqaions générales e bilans III Bilan de la qanié de moemen d ( ) ( ) dd d ( ) d d d ( ) d d d dd dd dd Eqaions générales e bilans III

9 III Eqaions générales e bilans Éqaions générales d moemen Por rappel, a repos éqaions d éqilibre 0 0 III Eqaions générales e bilans Éqaions générales d moemen En noaions ecorielles ( ) di grad

10 Bilan d momen de la qé moemen Rappel : oir éqilibre de roaion en mécaniqe d solide Le résla rese alable : ij ji i, j Le enser des conraines es ojors smériqe (en l absence de coples en olmes) Eqaions générales e bilans III Bilan d momen de la qanié de moemen Rappel : oir éqilibre de roaion en mécaniqe d solide Le résla rese alable : ij ji i, j Le enser des conraines es ojors smériqe (en l absence de coples en olmes) III

11 Lois de comporemen Une loi de comporemen lie les granders saiqes a granders cinémaiqes Flide parai ij pδ ij Flide isqe newoniens p 2µ µ p 2µ Eqaions générales e bilans III Déiniion : Acion d n lide sr n obsacle ( n ) A T ds obsacle n normale eériere a solide Cas d lide parai A obsacle pnds Mais : la disribion d eors (o de pressions) es soen diicile à déerminer la géomérie de l obsacle es complee III

12 Acion d n lide sr n obsacle L acion A pe êre calclée grâce à la orme inégrale de la conseraion de la qanié de moemen (écolemen permanen) : i dv i (. n ) ds idv V ( ) Eemples : S possée sr n code (condie) possée d n moer à réacion o d ne sée V S n ij j ds III Acion d n lide sr n obsacle L acion A i pe êre calclée grâce à la orme inégrale de la conseraion de la qanié de moemen (écolemen permanen) Applicaion à ne condie (por n lide parai) : 2 2 ( 1 A p A ) n ( A p A ) n mg A A 0 A 0 III