CHAPITRE II ELEMENTS D ALGEBRE DE BOOLE

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Luc Laframboise
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1 CHAPITRE II ELEMENTS D ALGEBRE DE BOOLE Un processeur est composé de trnsistors permettnt de réliser des fonctions sur des signux numériques. Ces trnsistors, ssemblés entre eux forment des composnts permettnt de réliser des fonctions très simples. A prtir de ces composnts il est possible de créer des circuits rélisnt des opértions très complexes. L'lgèbre de Boole (du nom du mthémticien nglis Georges Boole ) est un moyen d'rriver à créer de tels circuits. L'lgèbre de Boole est une lgèbre se proposnt de trduire des signux en expressions mthémtiques. Pour cel, on définit chque signl élémentire pr des vribles logiques et leur tritement pr des fonctions logiques. Des méthodes (tble de vérité) permettent de définir les opértions que l'on désire réliser, et à trnscrire le résultt en une expression lgébrique. Grâce à des règles ppelées lois de composition, ces expressions peuvent être simplifiées. Cel v permettre de représenter grâce à des symboles un circuit logique, c'est-àdire un circuit qui schémtise l'gencement des composnts de bse (u niveu logique) sns se préoccuper de l rélistion u moyen de trnsistors (niveu physique).. Règles générles de l lgèbre de Boole.. Postults de l lgèbre de Boole Une lgèbre de Boole est un ensemble quelconque d éléments E, à vleurs dns l ensemble {, }, sur lequel on défini : Une reltion d équivlence ( églité = ) Deux lois de composition interne : - l ddition ou somme logique ( +, ou ) - l multipliction ou produit logique (., et ) Une loi de complémenttion, telle que : pour tout élément de E, il existe un complément noté, on,..2. Axiomes de l lgèbre de Boole Commuttivité,b E b b ( ).b b. ( ) Associtivité,b,c E ( b) c (b c) (2 ) (.b).c.(b.c) (2 ) Double distributivité,b,c E.(b c).b.c (3 ) (b.c) ( b).( c) (3 ) Pour chcune des deux opértions, il existe un élément neutre tel que :

2 E (4 ). (4 ) Chque élément dmet un inverse ou complémentire tel que : E (5 ). (5 ).3. Conséquences directes des xiomes Idempotence E (6 ). (6 ),. (7 ) L élément neutre et l élément neutre sont uniques. Loi d bsorption : - Dns une somme booléenne, un terme bsorbe ses multiples. - Dns un produit booléen, un fcteur bsorbe tous les fcteurs composés de sommes qui le contiennent.,b E b. (8 ).b (8 ) 2. Les fonctions logiques 2.. Définition On ppelle «fonction logique» une entité cceptnt plusieurs vleurs logiques en entrée et dont l sortie (il peut y en voir plusieurs) peut voir deux étts possibles : ou. En rélité ces fonctions sont ssurées pr des composnts électroniques dmettnt des signux électriques en entrée, et restitunt un signl en sortie. Les signux électroniques peuvent prendre une vleur de l'ordre de 5 Volts (c'est l'ordre de grndeur générl) que l'on représente pr un, ou V que l'on représente pr un. Exemple : Pour réliser toutes les fonctions logiques, on besoin de trois fonctions logiques de bse : négtion, intersection et l réunion. Ces fonctions sont représentées pr des schéms ppelés logigrmmes. Ils sont représentés soient pr : - les symboles européens ctuels ( norme CEI : commission d électronique interntionle) - nciens symboles méricins ( norme MIL )

3 - symboles DIN ( Deutch Industrie Normes) 2.2. Tble de vérité L ensemble des vleurs prises pr une fonction logique pour toutes les combinisons possibles de ses vribles est rngé dns un tbleu, ppelé tble de vérité, comportnt utnt de colonne que de nombre de vribles, plus une colonne pour rnger les vleurs de l fonction, et utnt de ligne qu il est possible de fire des combinisons différentes vec les vribles. Exemple : somme logique b S = + b S Cette tble peut être trduite pr une expression lgébrique : S b b b Ceci trduit bien que S = pour l une ou l utre des 3 combinisons et que S = pour l combinison restnte Théorème de De MORGAN Il peut être intéressnt, connissnt l expression d une fonction booléenne, de trouver celle de l fonction complémentire : ce que permet le théorème de DE MORGAN. Théorème : Nous obtenons l expression de l fonction complémentire d une fonction F, en complémentnt les vribles dns l expression de F et en intervertissnt les signes. et +. Ainsi : F b F b F b F b Dns le cs générl de n vribles : n i n i i i Remrque : concernnt l recherche de l expression d une fonction à prtir du tbleu de vérité de celle-ci. Reprenons l exemple de l fonction S = + b. Lorsque l fonction comporte un plus grnd nombre de que de, il peut être plus simple de psser pr l intermédiire de l fonction complémentire. Ainsi, pour éviter d voir à effectuer l simplifiction de S, nous povons écrire l fonction complémentire S puis l inverser en ppliqunt le théorème de DE MORGAN. n i n i i i

4 Soit : S b Puis : S S b 2.4. Formes cnoniques Toute fonction F de n vribles prend l étt pour certines combinisons des étts de ces vribles. Cette fonction peut être représentée dns E pr un sous-ensemble F, union des sous-ensembles élémentires correspondnts chcun à une combinison donnnt l vleur à l fonction. Ainsi, pr correspondnce, l expression lgébrique de l fonction F de n vribles pourr toujours se présenter sous l forme de l somme d un certin nombre de termes constitués de produit de n vribles, chcun de ces termes étnt l expression correspondnt à un sous-ensemble élémentire. Evidemment, l somme ser composée u mximum de C termes (vec C = 2 n ). Cette expression ser dite première forme cnonique de l fonction F. - Exemple : soit l fonction F définie pr s tble de vérité. c b F F L forme cnonique pprît imméditement à l lecture de l tble ( en notnt les de l fonction) : F b c bc bc Remrque : une fonction F peut ne ps pprître sous l forme cnonique. Nous pouvons nous y rmener en homogénéisnt l expression de F. Ainsi pour : F bc (b b)(c c) bc( ) F b c bc bc bc bc b- Deuxième forme cnonique L expression cnonique de l fonction F peut églement pprître sous l forme d un produit de somme. Cette deuxième forme cnonique peut s obtenir en écrivnt l expression de F à prtir de l tble de vérité, puis en inversnt cette expression pour obtenir F. Ainsi en reprennt l exemple précédent : F bc bc bc bc b c finlement : F F ( b c)( b c)( b c)( b c)( b c)

5 2.5. Les fonctions logiques à une seule vrible binire Elles mtérilisent les fonctions booléennes à une seule vrible. Ecrivons l tble de vérité des fonctions d une vrible : f f f 2 f 3 Les expressions lgébriques correspondntes ux 4 fonctions sont : f, f, f 2, f 3 Si on exclut les deux fonctions constntes f () = et f () =, il en reste deux qui présentent un intérêt prticulier : f () = : c est le buffer ou mplificteur f() : c est l inverseur. Le buffer - fonction booléenne : f () f () - logigrmmes l inverseur - fonction booléenne : f () - logigrmmes f () D une fçon générle, pour les fonctions de n vribles les colonnes des f i comporte C lignes. Il y ur donc N fonctions différentes vec : N = 2 C Mis C n est rien d utres que le nombre de combinisons des étts des vribles, soit : D où finlement : N 2 C 2 2 n C = 2 n

6 2.6. Les fonctions logiques à deux vribles binires 2 2 Dns le cs où n =2, nous urons N 4 6 fonctions. Le tbleu suivnt regroupe d une mnière condensée les 6 tbles de vérité qu il est possible d écrire vec deux vribles. f f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f 2 f 3 f 4 f 5 Ces 6 fonctions ont comme expression lgébrique : f, f b, f 2 b, b b, f 4 b, b b b, f 6 f 3 b b, b f b, f 8 b, b b, b b b f 7 7 f b f b, b b, 3 b f b, b f b, f 5 f4 4 f 2 f 9 f 5 f f 3 Outre les opérteurs fondmentux ET, OU, NON, nous trouvons quelques opérteurs importnts tels que le NOR, le NAND, le OU exclusif et l fonction coïncidence. Somme logique Elle s ppelle ussi OU, OR (ou inclusif), réunion. - fonction booléenne : (,b) f (,b) b - logigrmmes : - Produit logique Elle s ppelle ussi fonction ET, AND, intersection. - fonction booléenne : (,b) f (,b) b

7 - logigrmmes : L opérteur NOR - fonction booléenne : (,b) f(,b) b b - logigrmmes : L opérteur NAND - fonction booléenne : (,b) f(,b) b b - logigrmmes : L opérteur OU exclusif (XOR) C est un opérteur qui donne un logique à s sortie si exclusivement une seule entrée sur les deux est à l étt. - fonction booléenne : (,b) f(,b) b b b

- fonction booléenne : (,b) f(,b) b b b - logigrmmes : Chronogrme : Un chronogrmme est un digrmme montrnt l'évolution des entrées et des

8 - logigrmmes : L opérteur coïncidence C est l opérteur XOR complémenté. Il donne un logique à s sortie si exclusivement une seule des entrées est à l étt. - fonction booléenne : (,b) f(,b) b b b - logigrmmes : Chronogrme : Un chronogrmme est un digrmme montrnt l'évolution des entrées et des sorties en fonction du temps. Voici pr exemple ce à quoi pourrit ressembler un chronogrmme de l'opérteur ET : En rélité les signux électriques ne pssent ps instntnément de à, les pentes (ici verticles) sont obliques, et le tritement des entrées cuse un retrd sur les sorties :

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