III. Fonctions exponentielles.

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1 . Empls introductifs. III. Fonctions ponntills. Empl Un popultion d bctéris évolu dns un miliu homogèn (spc ilité, nourritur suffisnt, ucun mldi). L comptg ds bctéris qui s fit pr échntillonng, à ds intrvlls d tmps régulir, révèl qu l popultion doubl touts ls hurs. Si l nombr d bctéris u tmps t st N(t), où t st msuré n hurs, t si l popultion initil st N(0) 000, primz l'ffctif d l popultion près h, h, près t hurs. Empl Aujourd'hui, j'i plcé 500 n bnqu, à un tu d %. ) Si l plcmnt st fit à intérêts composés, clculr qul sr mon voir dns n, ns, t nnés. b) Dns combin d tmps m somm d déprt ur-t-ll doublé? Empl L dmi-vi du strontium-90 st d 5 ns. Cl vut dir qu l moitié d n'import qull quntité d strontium s sr désintégré u bout d 5 ns. ) chrchz un prssion d l mss m(t) près t nnés b) clculz c qui rstr près 70 ns d'un mss d déprt d mg Envisgons l prmir mpl t prnons qulqus vlurs : N 8000 Tmps (n hurs) Chiffr d popultion Et nous obtnons insi l prmir grphiqu N 8000 t En prnnt ds points intrmédiirs (t -.5,t - 0.5, ), nous 6000 obtnons l scond grphiqu ci-contr: Nous consttons qu cs points smblnt pprtnir à un courb précis (constmmnt croissnt). Dns c grphiqu, il ds trous 000 corrspondnt u vlurs d t irrtionnlls. Pour pouvoir rlir ls points d c grphiqu, il v flloir donnr un sns à un puissnc à 000 posnt rél. Avnt d précisr cs notions, nous llons nous rmttr n mémoir ls propriétés ds puissncs à posnts rtionnls. - 0 t. Rppl sur ls puissncs, b R 0 m, p Q m. p m+p (.b) m m. b m 0 m p m - p m m b b m m p m.p 7//0 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. III -

2 Ercics d révision : primr sns posnts frctionnirs ni négtifs t clculr si possibl (, b, c, t 0 ) b b (c) 5 b p p c b p p 0. p p p p. L fonction ponntill.. Puissnc à posnt irrtionnl. Utilisnt ls définitions ds puissncs à posnts rtionnls, pour un nombr rél positif, nous vons insi un fonction : f : Q R 0 f() Nous llons mintnnt élrgir l notion d'posnt pour donnr un sns à tout posnt rél, n construisnt un prolongmnt continu d l fonction précédnt Empl : Si nous voulons donnr un sns à l'prssion, nous vons : < < < < < < 9, < <,5, < <,5,65 < < 5,9, < <,, < <,,707 < <,759..., < <,, < <,,7880 < <,78806 Et l vlur d s précis insi d plus n plus finmnt (pour un précision plus grnd ncor, il suffit d prndr un plus grnd précision pour l vlur d ) Définition : Si r st un irrtionnl : R 0 r r qi qi vc q i Q. Fonction ponntill d bs Nous pouvons mintnnt prolongr l fonction f défini précédmmnt. f : R R R 0 / {} f() p st l bs d l fonction ponntill. Nous dmttrons qu c prolongmnt st continu t dérivbl. L fonction obtnu st pplé fonction ponntill d bs : III - CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. 7//0

3 On put montrr qu ls propriétés rpplés pour ls puissncs à posnts rtionnls s'étndnt u cs ds puissncs à posnt rél. Empl : ponntills d bs t d bs / soit f() ( trit plin) t g() (tirts) Clculons qulqus vlurs : - /8 8 - ¼ - ½ 0 / / 8 /8 Rmrqu Nous urions pu prévoir l'llur du grph d l fonction g() à l'id ds propriétés ds grphs ssociés. En fft, Nous vons donc g() f(-) t ls grphs d cs fonctions sont smétriqus pr rpport à l' ds ordonnés. Obsrvtions : R 0 si > : p () st un fonction strictmnt croissnt d R dns R 0 n'dmt ps d rcin. + t 0 si 0 < < : p () st un fonction strictmnt décroissnt d R dns R 0 n'dmt ps d rcin. 0 Nous llons mintnnt justifir cs obsrvtions.. Etud ds crctéristiqus d l fonction p ().. Dérivé d l fonction p () En utilisnt l définition d l dérivé : f '() ( ) ' t + f ( ) f (), nous vons : 0 ( ) 0 0 (0,) t (, ) G (0,) t (, ) G Or : qui st l vlur d l dérivé d clculé n 0 vut donc un 0 0 constnt noté k cr ll dépnd d l vlur. On donc : ( )'. k Nous llons mintnnt ssr d clculr ctt constnt. Nous vons : k 0 0 qui st un form d'indétrmintion Actullmnt, nous n'vons ps d mons nous prmttnt d clculr ctt constnt d mnièr ct : cl sr possibl lorsqu nous disposrons ds fonctions logrithmiqus. Nous pouvons simplmnt évlur ctt constnt d mnièr mpiriqu pour qulqus vlurs d //0 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. III -

4 / ( ) Nous consttons qu l constnt st négtiv qund l bs < t positiv lorsqu > Cci corrspond bin u résultt ttndu puisqu k vlnt l dérivé d clculé n 0 rprésnt l pnt d l tngnt u grph d n 0 : l'obsrvtion ds grphs précédnts nous prmttit d'nticipr c résultt. Nous pouvons donc n déduir l sign d ( ) ' En fft : ( ) '. k Si > k > 0 Si 0 < < k < k k ( )'. k ( )'. k Et donc : > ( )' st toujours positiv t l fonction st toujours strictmnt croissnt. 0 < < ( )' st toujours négtiv t l fonction st toujours strictmnt décroissnt.. Asmptots L domin ds fonctions p () étnt R, cs fonctions n'ont ps d'smptots vrticls. Asmptots horizontls : r cs : >. On sit qu : + + t donc l fonction n'dmt ps d'smptot horizontl n + t - 0 L fonction p () dmt pour smptot horizontl n -, l droit 0 èm cs : 0 < <. Si nous posons b lors, b > t comm nous l'vons obsrvé u N., l grph d l fonction f() st smétriqu d clui d g() b pr rpport à l' ds ordonnés. Nous pouvons donc imméditmnt conclur qu l fonction f() dmt lors un smptot horizontl n + : l droit 0 t n'dmt ps d'smptot horizontl n - Asmptots obliqus : r cs : >. Nous vons montré qu l fonction dmt un smptot horizontl n -, ll n put donc voir d'smptot obliqu n -. L rchrch d'un évntull smptot obliqu n put donc s fir qu'n +. Rchrchons l cofficint ngulir d'un tll smptot : f () : un form d'indétrmintion qu l'on v lvr pr l règl d l'hospitl : III - CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. 7//0

5 '.k k ' obliqu n + L démonstrtion st smblbl n lorsqu 0 < <. Applictions. k + + (cr k > 0 lorsqu > ) t il n' donc ps d'smptot. L nombr d flurs d nénuphrs d'un étng doubl chqu jour. Aujourd'hui l prmièr flur st ppru. ) combin d flurs ur-t-il dns 8 jours? b) Eprimr, n fonction d n, l nombr d flurs d nénuphrs qu'il ur dns n jours. c) Dns combin d jours ur-t-il plus d 000 flurs d nénuphrs? d) Rprndr ls trois prmièrs qustions dns l cs où 0 flurs sont déjà écloss ujourd'hui. ) Fir un rprésnttion grphiqu du phénomèn dns ls du cs.. Clculr l vlur cquis d'un cpitl d 000 plcé pndnt 5 ns à intérêts composés dont l tu nnul st d 0 %, l périod d cpitlistion étnt d n, puis d mois, puis d jour.. L popultion d'un vill vri d'un mnièr ponntill. On sit qu'n 000 ll étit d 56 hbitnts t qu'n 00 ll étit d 79 hbitnts. ) clculr un vlur pproché d l popultion prévu n 00 b) clculr un vlur pproché d l popultion n 980, n L quntité d mtièr d'un substnc rdioctiv décroît d mnièr ponntill vc l tmps. ) Prouvr qu'près un tmps t, l quntité d mtièr rstnt st donné pr l formul : q q 0 t T où q 0 l quntité initil d mtièr, T l tmps u bout duqul l moitié ds toms présnts s sont désintégrés. T st l périod d l substnc. b) On dispos d 50 mg d rdium. Combin n rstr-t-il dns 00 ns si l périod du rdium t d 600 ns? Solutions :. ) 56 b) n c) 0 jours d) 560 ; 0. n ; 7 jours ) ,5 b) ,9 c) , ) n 00 : b) n 980 : n ) q n q 0 n q T q 0 T 0.5 q 0 T 0,5 T q t q 0 t q 0 T b) 7,88 5. L fonction ponntill Népérinn. Nous vons montré : ( )' k où k st un constnt qui dépnd d l bs choisi (k > 0 0 lorsqu > t k < 0 lorsqu 0 < < ). Au prgrph.., nous vons clculé ctt constnt d mnièr mpiriqu pour qulqus vlurs d t vons obtnu : k 0.69, k.098 t k L mthémticin Népr qui vécut u 6 èm siècl u l'idé d rchrchr l bs d l fonction ponntill pour lqull k. Il s'git donc d'un fonction ponntill constmmnt égl à s dérivé. Ctt bs été noté (initil d'ponntill). On s dout qu ctt bs st compris ntr t (cr k 0.69 t k,098) Nous llons mintnnt détrminr ctt bs. 5. Prmièr évlution du nombr Il fut qu : 0 t 85 7//0 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. III - 5

6 Soit si 0 lors t donc 0 Si : c-à-d - + Evluons n donnnt à ds vlurs d plus n plus grnds : Nous consttons qu l'prssion tnd bin vrs un vlur d plus n plus précis Nous vons bin insi trouvé un vlur tll qu l fonction f() soit constmmnt égl à s dérivé. L bs d ctt fonction ponntill vut : L nombr st un nombr trnscndnt (c. à d. qui n'st solution d'ucun éqution à cofficints ntirs) 5. Scond évlution du nombr On put montrr qu'un fonction f() put êtr pproimé pr un polnôm infini sous l form : f() p() (dévloppmnt n séri d Tlor) Considérons c dévloppmnt lorsqu f() ) Il fut lors qu l fonction t son polnôm d'pproimtion soint égu pour tout vlur d Notmmnt, pour 0, on : 0 p(0) 0 On sit qu ( )' t donc, comm p(), on p' () p() c. à d. : (*) En églnt ls cofficints d mêm puissnc, nous vons : 0.t donc : En utilisnt l vlur trouvé pour 0, nous obtnons succssivmnt :... Nottion : n! n. (n ). (n ).. : qui s lit : fctorill d n vc l convntion : 0! Nous vons : 0!!! Et d mêm : n qull qu soit l vlur d n p() n!!!! i En rmrqunt qu 0! t!, nous pouvons écrir : p() i! i0 Or : p() i! i !!! En clculnt jusqu'à l'ordr n, nous obtnons ls vlurs suivnts d'pproimtion d : n p n () L nombr n connît ps l célébrité du nombr t pourtnt on lui trouv d très nombruss rssmblncs. Comm, st un nombr irrtionnl, c'st à dir qu'il s'écrit vc un nombr infini d décimls sns suit logiqu. III - 6 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. 7//0

7 Ss prmièrs décimls sont :, L nombr st églmnt un nombr trnscndnt. On dit qu un nombr st trnscndnt s il n st solution d ucun éqution à cofficints ntirs. L nombr pr mpl, st irrtionnl mis n st ps trnscndnt puisqu il st solution d l éqution. Un tl nombr st dit "lgébriqu" 5. Un sitution concrèt où on rtrouv l nombr L nombr put ussi s rtrouvr dns différnts situtions. L'mpl suivnt nous l montr. Supposons qu "Ptit-futé" plc un somm d dns un bnqu u tu d 00 % durnt un périod détrminé. Après un périod complèt, l bnqu lui rmboursr donc +, soit. Comm il spèr ggnr plus, il propos à son bnquir d lui ccordr 50 % u bout d l moitié d l périod t d rplcr l somm obtnu à c momnt u tu d 50 % pndnt un scond dmi-périod. Il constt qu'il obtint lors ( + 0,50) + ( + 0,50).0,50 ( + 0,50),5 à l fin d'un périod complèt. Fir d son clcul, il propos lors à son bnquir d lui ccordr 0% durnt 0 d l périod, puis 0% d l somm obtnu à c momnt durnt l scond diièm d l périod, t insi d suit pndnt ls di diièms d l périod. Il constt qu'il obtint à l fin d l périod : (+0,) 0,59. Pourquoi lors, s dit-il, n ps continur l procédé? (c. à d. divisr l périod initil pr un nombr n d plus n plus grnd t obtnir un tu d'intérêt d n. 00% ) L somm obtnu à l fin d l périod vut lors :, où n rprésnt l nombr d subdivisions d l n périod initil. On constt qu l somm ttint à l fin d l périod ugmnt d plus n plus t s rpproch d l vlur d qu nous vons trouvé dns l prmièr évlution : l'ugmnttion ds bénéfics rélisés n'st ps infini 6. Dérivés ds fonctions ponntills 6. Dérivé Pr définition mêm d l fonction ponntill Népérinn, nous vons : ( ) ' t n ppliqunt l dérivé d l composé d fonctions, nous obtnons : ( f() ) ' f ' () f() Et nous vons : ( )' k t ( f() ) ' f' (). f() k Actullmnt, nous n somms ps ncor n msur d clculr k : nous l frons dns l prochin chpitr. En résumé. ( ) ' ( f() ) ' f ' () f() 6. Ercics Clculr ls dérivés ds fonctions suivnts. f() 7. Ercics. n. f() sin. X. f() rccos - 7. Résoudr ls équtions (ou inéqutions) suivnts (0.) (0.5) , //0 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. III - 7

8 Solutions : S 5. > > ou 0. ou. ou ou 7. Détrminr ls domins ds fonctions suivnts ) f () ) f () 0. 5 ) f () 0.00 (0.) Sol : ) dom f R/{} ) dom f [.5 ; + [ ) dom f [ ; + [ 7. Etudir ls vritions ds fonctions suivnts n s srvnt ds propriétés ds fonctions déduits :. f() -. f() - 5. f() -. f() - +. f() f() 7. Détrminr un éqution crtésinn ds courbs suivnts (n vous srvnt ds points indiqués sur l grphiqu), si on sit qu'lls ont été obtnus pr mnipultions d l courb d'éqution Clculr ls its suivnts :. 0. ( ).. 0 sin 7.6 Etudir ls vritions ds fonctions suivnts :. f() -. f(). f() cos. f() 5. f() 6. f() 7. f() 8. f() 9. f() 0. f() ( + ) III - 8 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. 7//0

9 Rmrqu : Ls fonctions, 5, 6 t 7 sont pplés fonctions hprboliqus. cosinus hprboliqu : ch sinus hprboliqu : sh sh ch tngnt hprboliqu : th. t cotngnt hprboliqu : coth ch sh On montr fcilmnt ls propriétés suivnts (nt lurs corrspondnts dns ls fonctions trigonométriqus) sh 0 th 0 0 ch 0 sh (-) - sh ch (-) ch () th (-) - th coth (-) - coth ch - sh coth th ch ( + ) ch. ch + sh. sh sh ( + ) sh. ch + ch. sh ch sh + ch ch ch sh (sh ) ' ch (ch ) ' sh (th ) ' - th (coth ) ' - sh ch On put démontrr qu l grph d l fonction cosinus hprboliqu st l courb d équilibr d un fil psnt; c st pourquoi ctt courb st pplé chîntt. D où vint l dénomintion «hprboliqu» d cs fonctions? ch t Si on pos : lors, n ppliqunt l rltion ch t - sh t, nous consttons qu l nsmbl ds sh t points P(, ) obtnus lorsqu t vri dns R vérifi l rltion qui st l éqution d un hprbol équiltèr (nous l montrrons dns l chpitr V) Rmrquons qu il s git à nouvu d un similitud vc ls fonctions circulirs. En fft, ctt fois, si on cos t pos :, pr l rltion cos t + sin t, nous consttons qu l nsmbl ds points P(, ) obtnus sin t lorsqu t vri dns R vérifi l rltion + qui st l éqution du crcl trigonométriqu. cos t Ls équtions sont pplés équtions prmétriqus du crcl trigonométriqu t d mêm ls sin t ch t équtions sont ls équtions prmétriqus d l hprbol H sh t C st pourquoi ls fonctions cos t t sin t sont pplés fonctions circulirs tndis qu ls fonctions ch t t sh t sont pplés fonctions hprboliqus n référnc à l courb qu lls décrivnt. 7//0 CNDP Erpnt - Fonctions ponntills. III - 9