1 Introduction DRAFT

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Introduction DRAFT"

Transcription

1 1 Introduction 1

2 2 Équations différentielles scalaires du 1 er ordre 21 Équations du type «intégration» 22 Équations différentielles aux variables séparables remarque sur la notation différentielle 23 Équtions différentielles linéaires du 1 er ordre Définition 1 On appelle équation différentielle linéaire du 1 er ordre une équation du type x = p(t)x + q(t) où p et q sont des fonctions continues sur un intervalle I Les solutions cherchées sont des fonctions dérivables x : I R L intervalle I sera souvent R tout entier t x(t) Définition 2 Si la fonction q est identiquement égale à 0, on dit que l équaton différentielle est homogène Remarque 1 Soit x 1 et x 2 sont deux fonctions sur I solutions de l équation différentielle sur l intervalle I, alors pour tout t I, x = p(t)x + q(t) (E) (x 1 x 2 ) (t) = x 1(t) x 2(t) = p(t)(x 1 (t) x 2 (t)) La fonction x 1 x 2 est donc solution de (E 0 ) : x = p(t)x (E 0 ), dite équation différentielle homogène associée à (E) 2

3 Théorème 1 Supposons que l on connaisse une solution particulière x i de (E) sur un intervalle I Alors toute solution de (E) sur I est de la forme x i + x h où x h est une solution quelconque de (E 0 ) sur I De manière ensembliste, si on note S l ensemble des solutions de (E) et S 0 celui des solutions de (E 0 ), on a S = x i + S 0 La résolution de l équation (E) se décompose en deux étapes : 1 la détermination de S 0, c est-à-dire la résolution de l équation homogène, 2 la détermination d une solution particulière Ces deux étapes sont traitées respectivement dans les sections 231 et Résolution de l équation homogène Théorème 2 Soit I un intervalle ouvert et t 0 I Alors pour tout x 0 R il existe une unique solution x de l équation différentielle (E 0 ) telle que x(t 0 ) = x 0 Son expression est donnée par ( t ) t I, x(t) = x 0 exp p(u)du t 0 Démonstration La démonstration se fait en deux étapes : en vérifiant que la formule proposée répond bien au problème, puis en montrant que c est en fait la seule solution Existence Considérons x la fonction définie sur I par l expression proposée, et appelons P la primitive de p s annulant en t 0 : t I, P (t) = t t 0 p(u)du Par le lemme fondamental du calcul différentiel, et les théorème sur la composée de fonctions dérivables, on obtient que x est effectivement dérivable sur I (même de classe mathcalc 1 ) et pour tout t I, x (t) = x 0 P (t) exp(p (t)) = p(t)x(t) Donc cette fonction x est bien solution de (E 0 ) avec la condition initiale x(t 0 ) = x 0 Unicité Soit y une solution de (E 0 ) avec la condition initiale y(t 0 ) = x 0 sur l intervalle I On définit alors la fonction z = ye P sur I Par les théorèmes usuels de dérivation, z est dérivable en tout point de I et : z (t) = (y (t) p(t)y(t))e P (t) = 0 car y est solution de (E 0 ) Comme I est un intervalle, z est donc constante Or z(t 0 ) = y(t 0 )e P (t0) = y(t 0 ) = x 0 Donc z est constante, et égale à x 0 pour tout t On peut maintenant réexprimer y à partir de z t I, y(t) = z(t)e P (t) = x 0 exp(p (t)) = x(t), où x est la fonction proposée 3

4 Remarque 2 On a utilisé encore une fois le fait que I était un intervalle, donc connexe, pour en déduire que si une fonction a une dérivée nulle, alors elle est constante On vérifie sans peine que l espace S 0 des solutions de (E 0 ) est un sous-espace vectoriel des fonctions dérivables sur I : si x et y sont solutions, alors pour tout λ R, x + λy est aussi solution Le théorème ci-dessous peut alors se réinterpréter de la façon suivante : Corollaire 1 L ensemble S 0 des solutions de (E 0 ) sur I est un espace vectoriel de dimension 1, engendré par la fonction ( t ) t R exp p(u)du, t 0 et l application Ψ t0 : x S 0 x(t 0 ) R est un isomorphisme d espaces vectoriels Remarque 3 Changer la valeur de t 0 revient à multiplier par un scalaire, d après la relation de Chasles sur les intégrales : ( t ) ( t1 ) ( t ) exp p(u)du = exp p(u)du exp p(u)du t 0 t Détermination d une solution particulière t 0 Nous présentons d abord quelques astuces pour essayer de deviner la forme d une solution particulière de l équation (E) avec une fonction q La forme obtenue dépendra de paramètres qui seront déterminés par des équations algébriques (linéaires) Ces formes utilise le fait que la dérivation préserve certaines familles de fonctions : la dérivée d une exponentielle est une exponentielle, la dérivée d un polynôme est un polynôme, etc Méthode par identification Si p est constant, et q est une fonction polynôme de degré d, on cherche x sous la forme d un polynôme de même degré Si p est constant et que q = ce λt Si λ p, on cherche x sous la forme ae λt Si λ = p, on cherche x sous la forme (a + bt)e λt Si p est constant et que q = c cos(ω) ou c sin(ωt), on cherche x sous la forme a cos(ωt) + b sin(ωt) Principe de superposition : si x i est solution sur I de l équation différentielle x = p(t)x + q i (t) pour i = 1, 2, alors x 1 + x 2 est solution sur I de l équation différentielle x = p(t)x + q 1 (t) + q 2 (t) La proposition de solution particulière lorsque q est un cosinus ou un sinus peut être vue comme une combinaison du principe de superposition et de la proposition lorsque q est une exponentielle (si on autorise les exponentielles complexes dans ce cas) 4

5 Cela donne dans des cas simples une solution particulière très rapidement Cependant, cela est loin de couvrir tous les cas qui peuvent se présenter Nous présentons maintenant une méthode systématique pour trouver une solution particulière : la méthode de la variation de la constante Il en existe une variante, appelée méthode du facteur intégrant, qui revient à faire les mêmes calculs mais présentés de manière légèrement différente Méthode de la variation de la constante Voici une méthode générale et systématique pour trouver une solution particulière On se souvient que d après la section précédente, la solution générale de (E 0 ) sécrit ( t ) x(t) = x 0 exp p(u)du t 0 Nous allons chercher notre solution particulière sous la même forme, sauf que l on remplacera x 0, qui était pour l instant une constante, par une fonction de t que l on veut déterminer, et qui donc varie avec t D où le nom de la méthode On suppose donc qu il existe une fonction dérivable v définie sur I telle la fonction y : I R définie par ( t ) t I, y(t) = v(t) exp p(u)du t 0 satisfait l équation differentielle x = p(t)x + q(t) L exponentielle n étant jamais nulle, on peut toujours définir v à partir de y, qui est automatiquement dérivable par produit, car y l est par hypothèse (solution de (E)) et l exponentielle aussi, par les théorèmes standard De plus, pour tout t I, v (t) = ( y (t) p(t)y(t) ) ( exp Donc y est solution de (E) si et seulement si (E) ) p(u)du t 0 t t I, ( v (t) = q(t) exp ) p(u)du t 0 La fonction v doit donc être solution d une équation différentielle de type «intégration» On a besoin d une solution particulière, c est à dire d une primitive particulière de q(t) exp( P (t)) Prenons par exemple celle qui s annule en t 0 XXX t 5

6 Résumé Toutes les solutions x : I R sur I de l équation x = p(t)x + q(t) (E) s écrivent t I, ( t x(t) = C exp p(s)ds t 0 ( = ) }{{} sol homogène générale t x 0 + e s t p(u)du 0 t0 t t + q(s)e s p(u)du ds t } 0 {{} ) e sol particulière t t p(u)du 0 avec des constantes C, ou x 0 arbitraire Sous la deuxième forme, c est l unique solution qui vaut x 0 à t = t 0 6

7 3 Système d équation différentielles linéaire 31 Prélude : réduction des équations différentielles à des EDO du 1 er ordre autonome de l ordre n à l ordre 1 Si x (n) = f(x (n 1), x (n 2), x, xt), alors on complète en ajoutant les équations triviales suivantes x (n 1) = x (n) x (n 2) = x (n 1) x = x On peut ainsi réécrire l équation différentielle sous la forme différentielle suivante X = F (X, t) avec x y 1 y 2 x y 2 X = et F = y n f(y 1,, y n, t) x (n 1) passage à une équation autonome : on rajoute une dimension au vecteur X qui est le temps Avec la variable ( ) X Z =, t y n le système { X = F (X, t) t = 1 ( ) ( ) X F (X, t) se réécrit Z = G(Z) avec G = t 1 On peut donc toujours se ramener, au moins théoriquement à une équation différentielle ordinaire X = F (X) du 1 er ordre autonome, avec une fonction inconnue X : I R n On va s intéresser dans la suite de ce chapitre au cas particulier où F est linéaire ou affine : X = AX + B(t), où A est une matrice n n à coefficients réels (qui vont sauf mention du contraire, ne pas dépendre de t) On utilise le même langage que pour les équations scalaires : 7

8 si B = 0, on parle d équation homogène, si B 0, on parle d équation non homogène Si on veut appliquer la même méthode que dans le cas scalaire, il nous faut l exponentielle d une primitive des coefficients devant X : il nous faut donc définir l exponentielle de matrices 32 Exponentielles de matrices Nous introduisons dans cette section l exponentielle de matrices à coefficients complexes (la définition aurait un sens pour toute algèbre unitaire normée complète) Elle sera utilisée dans la suite pour des matrices à coefficients réels, en lien avec les systèmes d équations différentielles dont les coefficients seront réels M n (C) est un espace vectoriel de dimension finie (n 2 si le corps de base est C) Toutes les normes sur cet espace sont équivalentes, au sens où elles définissent toutes la même topologie et donc la même notion de convergence de suite On en choisira une qui nous rendra la vie un peu plus facile : notre norme sera sous-multiplicative : (A, B) M n (C), AB A B Remarque 4 La multiplication étant bilinéaire, il s agit d une application continue (en dimension finie) Donc quelque soit la norme choisie sur les matrices, il existe une constante C > 0 telle que AB C A B En multipliant la norme par une constante appropriée (C 1 ), on obtient une norme sous-multiplicative La sous-multiplicativité de la norme n est en rien essentielle, mais facilite l écriture car évite de promener ces constantes C dès qu on veut borner la norme d un produit Exemple 1 Des exemples explicites de normes sous-multiplicatives la norme infinie renormalisée A = 1 n max i,j a i,j la norme opérateur associée à une norme N sur C n N(Ax) A op = sup N(x) x Définition et propriétés algébriques Théorème 3 La série est une série converge Sa limite 1 k! Ak k 0 k=0 1 k! Ak est appelée exponentielle de A, et est notée e A ou exp(a) 8

9 Démonstration En tant qu espace vectoriel de dimension finie, M n (C) est complet Pour montrer que la série converge, il suffit de montrer qu elle est normalement convergente, c est à dire que la norme du terme général de cette série est le terme général (réel positif) d une série convergente 1 Grâce à la sous-multiplicativité, on peut écrire 1 k! Ak = 1 k! Ak 1 k! A k qui est le terme général de la série exponentielle (réelle) de A La série exponentielle est donc convergente, et exp(a) exp A Proposition 1 L exponentielle des matrices vérifie les propriétés suivantes : 1 exp(0 n ) = I n 2 Pour toute matrice A, A exp(a) = exp(a)a Mieux : pour tout polynôme P, P (A) exp(a) = exp(a)p (A) 3 Pour toute matrice A et tous scalaires complexes λ, µ exp(λa) exp(µa) = exp((λ + µ)a) = exp(µa) exp(λa) En particulier, pour λ = µ = 1, on obtient que exp(a) est inversible et exp(a) 1 = exp( A) 4 Pour toute matrice A, exp( t A) = t (exp A) Démonstration On notera E n (A) = n 1 k=0 1 k! AK la somme partielle à n termes de la série exponentielle de A 1 Toutes les puissances de la matrice nulle sont nulles sauf la puissance 0, qui vaut l identité 2 A commute avec tous les polynômes en A en particulier les sommes partielles de la série exponentielle de A On obtient la commutation avec l exponentielle en passant à la limite 3 TODO 4 La transposition est linéaire sur un espace de dimension finie, donc continue, et t (A k ) = (t A ) k Ainsi, pour tout n, En ( t A) = t E n (A) Par continuité, en passant à la limite lorsque n tend vers l infini, on obtient le résultat voulu 1 En effet, on aura alors que la suite des sommes partielles est de Cauchy, donc converge, par complétude de l espace 9

10 Remarque 5 En général, lorsque A et B ne commutent pas, nous n avons pas l identité e A e B = e A+B à laquelle nous sommes habitués pour l exponentielle réelle ou complexe Il existe une formule, dite formule de Baker-Campbell-Hausdorff, qui exprime le produit e A e B comme l exponentielle d une somme infinie de termes, faisant intervenir le commutateur de A et B, [A, B] = AB BA, et ses commutateurs avec A et B, etc exp(a) exp(b) = exp(a + B [A, B] + 1 ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + ) 12 pour laquelle une expression combinatoire exacte a été démontrée par Dynkin en 1947 Tous les termes après les pointillés font intervenir [A, B] En revanche, si A et B commutent, alors tous les termes après A + B dans l exponentielle de droite sont nuls, et on a bien e A e B = e A+B, ce qui peut se vérifier directement en regartand le coefficient de A k B l dans les deux expressions, comme dans la démonstration du point 3 de la proposition précédente 322 Exemple de calculs effectifs Il n y a pas de formule simple pour les coefficients de e A en fonction de ceux de A en toute généralité Cependant, dans certains cas, l exponentielle de A s exprime simplement On essaiera de s y ramener par des techniques de réduction A diagonale Si la matrice A est de la forme a A = 0 a a n Alors, A k est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les a k i, de sorte que exp(a) est elle aussi diagonale et e a e A = 0 e a e an Plus généralement, si A est diagonale par blocs, alors son exponentielle est aussi diagonale par bloc, et ses blocs diagonaux sont les exponentielles des blocs diagonaux de A 10

11 A nilpotente Supposons que A est nilpotente, c est à dire qu il existe un k 0 0 tel que A k 0 = 0 Alors toutes les puissances de A de degré supérieur à k 0 sont nulles, et exp(a) = k 0 1 k=0 1 k! Ak Un cas particulier important pour la suite est le cas où A est triangulaire supérieure stricte avec que des 1 juste au dessus de la diagonale Alors Comportement vis-à-vis de la similitude t 1 t 2 t 2! n 1 (n 1)! e ta 0 1 = 0 1 t 0 1 (31) On dit que A et B sont semblables s il existe une matrice inversible P telle que A = P BP 1 Si Alors, pour tout k, on a A k = P B k P 1 Par combinaison linéaire, on a la similitude entre les sommes partielles E n (A) et E n (B), avec la même matrice P Puis par passage à la limite, e A = P e B P 1 En particulier, si A est diagonalisable, on peut prendre pour B une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, et pour P une matrice de vecteurs propres associés Par le point précédent, on peut donc calculer Malheureusement (ou heureusement), toutes les matrices ne sont pas diagonalisables Mais il existe une forme réduite pour toute matrice, appelée forme de Jordan Définition 3 Un bloc de Jordan de taille k associé à un scalaire λ est une matrice carrée J k (λ) de la forme suivante : λ λ J k (λ) = = λi k + J k (0) λ λ On sait calculer l exponentielle d un multiple du bloc de Jordan tj k (0) : c est l exemple (31) Comme l identité commute avec toutes les matrices, on sait calculer celle de tj k (λ) : il suffit de multiplier 11

12 Théorème 4 (Réduction de Jordan) Pour toute matrice A, il existe une matrice inversible P telle que P 1 AP a la forme suivante J k1 (λ 1 ) J k2 (λ 2 ) 0 0 J kp (λ p ) Avec λ 1,, λ p les valeurs propres de A, et k k p = n Deux λ j peuvent être égaux Le nombre de blocs correspondant à un même λ est la dimension de l espace propre Ker(λI A) associé La somme des tailles des blocs associés au même λ est la dimension de l espace caractéristique associé, c est-à-dire la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique de A Si tous les blocs sont de taille 1, alors la matrice est diagonalisable 323 Propriétés analytiques Proposition 2 Soit A M n (R) Soit e A la fonction définie sur R à valeurs dans M n (R) définie par t R, e A (t) = exp(ta) Alors e A est dérivable en tout point de R et sa dérivée est e A = Ae A = e A A Démonstration Remarque 6 L identité e A = A e A permet de montrer par réccurrence que e A est n fois dérivable pour tout n 1, c est à dire de classe C Remarque 7 Au lieu de le faire à la main comme dans la démonstration que l on a donnée, on peut utiliser le théorème de dérivation pour les séries de fonctions (ou pour les séries entières) que l on doit juste adapter légèrement car les coefficients ne sont plus complexes, mais à valeurs dans M n (R) 33 Résolution de l équation vectorielle différentielle à coefficients constants Commençons par énoncer les résultats pour les équations homogènes (E 0 ) X = AX Soit S 0 l ensemble des solutions sur R de cette équation Théorème 5 Soit X 0 R n Soit f X0 : t e A (t)x 0, définie sur R à valeurs dans R n Alors f X0 est solution de E 0 sur R De plus c est l unique solution qui vaut X 0 en t = 0 L application ψ : X 0 f X0 est un isomorphisme d espace vectoriel entre R n et S 0 En particulier, S 0 est de dimension n 12

13 Démonstration On vérifie que f X0 est bien dérivable (comme produit de e A dérivable par une constante X 0 ), et sa dérivée, d après la proposition 2 est : f X 0 = e AX 0 = Ae A X 0 = Af X0 Pour l unicité de la solution valant X 0 en t = 0, on suit la même démonstration que dans le cas scalaire Soit Y une telle solution On introduit Z = e A ( t)y = e ( A) (t)y Alors Z est dérivable et sa dérivée est nulle Comme on est sur un intervalle, Z est donc constante égale à Z(0) = e 0A Y (0) = X 0 En inversant la relation entre Y et Z, on obtient que Y (t) = e ta Z(t) = e ta X 0 = f X0 (t) On vérifie que S 0 est un espace vectoriel (sous-espace vectoriel des fonctions dérivables), et que l application ψ est linéaire L énoncé précédent montre que c est une bijection, donc un isomorphisme Pour résoudre l équation avec second membre X = AX + B, on utilise la même technique que dans le cas scalaire : toute solution de cette equation s écrit comme la somme d une solution particulière et d une solution générale arbitraire de l équation homogène associée Pour trouver une solution particulière, on utilise : la méthode d identification, avec des coefficients indéterminés qui devront satisfaire des équations algébriques (en général linéaires) une fois injectée dans l équation, la méthode de variation de la constante qui s adapte directement (attention à l ordre des produits, car on a affaire à des matrices et des vecteurs) On cherche une solution sous la forme X(t) = exp(ta)v (t) Alors X est solution sur I si et seulement si V (t) = exp( ta)b(t) pour tout t I C est donc une équation de type «intégration»(à valeurs vectorielles) Il suffit donc de déterminer n primitives (une par composante) 34 Cas particulier de l équation différentielle scalaire linéaire d ordre n à coefficients constants On considère maintenant une équation différentielle de la forme suivante (E) x (n) = a n 1 x (n 1) + a 1 x + a 0 x + b(t) Nous voulons la résoudre en appliquant le programme présenté ci-dessus, à savoir : conversion en une equation différentielle linéaire du 1 er ordre vectorielle à coefficients constants résolution de l équation vectorielle homogène associée détermination d une solution particulière de l équation inhomogène vectorielle retour aux solutions de l équation scalaire En utilisant la technique présentée dans la section??, on transforme cette équation différentielle en équation différentielle vectorielle du premier ordre 13

14 En posant X = x x x (n 1), l équation (E complétée par les équations x (j) = x (j+1) pour j = 0,, n 1 peut se réécrire (E) X = AX + B(t) avec A = a 0 a 1 a n 2 a n 1 0 et B(t) = 0 b(t) La fonction x est solution de (E) si et seulement si X est solution de (E) Une première étape dans la résolution de (E), et donc de (E) est la résolution de l équation homogène associée qui passe par le calcul de exp(ta), ce qui pourra se faire aisément si on connaît la forme réduite de A Commençons par déterminer le polynôme caractéristique de A, χ A (r) = det(ri n A) Lemme 1 Le polynôme caractéristique de A est χ A (r) = r n a n 1 r n 1 a 1 r a 0 Démonstration On calcule le déterminant en développant le long de la dernière ligne Définition 4 L équation χ A (r) = 0 pour déterminer les valeurs propres de A est appelée équation caractéristique de l équation différentielle (E) Remarque 8 Soit à = t A Alors le vecteur e 1 et ses images itérées Ãe 1 = e 2, à 2 e 1 = e 3,, Ãn 1 e 1 = e n sont linéairement indépendants Cela signifie que le seul polynôme annulateur de à (donc de A) de degré inférieur ou égal à n 1 est le polynôme nul S il y en avait, en appliquant ce polynôme de matrices au vecteur e 1, on aurait une combinaison linéaire nulle non triviale des vecteurs e 1,, t Ae 1,, t A n 1 e 1, ce qui est impossible Par le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme minimal µ A de A divise son polynôme caractéristique χ A Pour des considérations de degrés, µ A et χ A sont égaux Cela signifie que dans la réduction de Jordan, chaque valeur propre sera associée à un seul bloc de Jordan, dont la taille sera exactement sa multiplicité dans χ A Si on a été amené à calculer la matrice de passage P de A à sa forme réduite, alors comme on connaît l exponentielle d un bloc de Jordan, on peut calculer par produit matriciel exp(ta) 14

15 D après le théorème 5, on sait que l ensemble des solutions de (E 0 ), et donc de l équation différentielle scalaire d ordre n (E 0 ) associée à (E) (celle où b 0) est un espace vectoriel de dimension n On peut déterminer cette ensemble par deux approches :

16 4 Le pendule simple 16

17 5 Un modèle proie/prédateur 17

18 6 Un peu de théorie qualitative Théorème de Cauchy Lipschitz explosion en temps fini 18

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles IFIPS S4 Université Paris XI Equations Différentielles Cours et Exercices Jean-Luc Raimbault raimbault@lptp.polytechnique.fr 2007 2 Dans ce petit cours sur les équations différentielles, on vous propose

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail