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1 uv CDL_B COURS 3 Calcul propositionnel : Aspects Sémantiques, Aspects syntaxiques, Déduction, Preuves p 1

2 Besoins, Énoncé de PB Spécification Langage de Spec. : Logique de Prop Prototype exécutable : Forme clausale ProPlog Exécution du progr. p 2

3 uv CDL_B3 Calcul propositionnel et Clauses de Horn Aspects sémantiques p 3

4 Objectifs 1 : Généraliser les concepts étudiés avec ProPlog Approfondir la notion de validité Familiariser avec la notion de déduction 2 : Introduire aux systèmes formels (preuves) (afin de préparer à l'usage de règles d'inférences dans la définition des langages de programmation) 3 : Présenter la procédure générale de résolution (pour montrer le lien entre démonstration et exécution d'un programme avec des systèmes experts plus généraux) 4 : Poser le problème du passage d'un énoncé informel à un texte formel p 4

5 Sémantique Logique et ProPlog Rappel : Les clauses sont aussi des formules logiques. Exemples : ProPlog p :- q, r. p :- s. r. q. p1 :- s. Logique p <- q r p <- s r q p1 <- s p2 :- s. p2 <- s p 5

6 Syntaxe --- Prop(P) Définition des formules bien formées: (i)-toute proposition (atome propositionnel) est une formule : p,q,... (ii)-si A et B (méta-symboles) sont des formules bien formées : (~ A), (A B), (A v B), (A -> B), (A<->B) sont également des formules bien formées (iii)-il n y a pas d autres formules que celles obtenues ainsi. p 6

7 Precedence des opérateurs en arithmétique ( (a + ( b / c ) ) + ( d * e ) s'écrit plus simplement, en tenant compte des priorités habituelles: a + b / c + d * e de même les opérateurs logiques seront ordonnés: ~, &, v, ->, <-> et sont associatifs à droite ( à gauche pour <-). p <-> p & r & u v s -> q -> t correspond donc à p <-> (((p & (r & u)) v s) -> (q -> t) p p a + + / * b c d e <-> -> v -> & s q t & p 7

8 Forme clausale des programmes ProPlog Un programme ProPlog est une conjonction de clauses définies positives : ( p <- q r ) ( p <- s ) r q ( p1 <- s ) ( p2<- s ) ( p v ~ (q r )) ( p v ~ s ) r q ( p1 v ~ s ) ( p2 v ~ s ) (p v ~ q v ~ r ) ( p v ~ s ) r q ( p1 v ~ s ) ( p2 v ~ s ) p 8

9 Définitions Littéral : atome ou négation d'un atome Clause : disjonction de littéraux Clause définie : un et un seul littéral positif p 9

10 Interprétations signature des structures d'interprétation de P < {Bool}, {true, false},{, <-, p, q, r, s, p1,p2 }> interprétations des symboles "non logiques": p q r s p1p2 F F F F F F i1 F F F F F T i T T T T T T i64 (64 interprétations possibles) On préfère l interprétation de Herbrand : I Bp I ensemble de symboles interprétés comme VRAI p 10

11 Satisfaction (ProPlog) Satisfaction par une interprétation In : = I n On note : = I n p ssi p In =T = I n p & r ssi p In =T et r In =T = I n p<- q1 & q2...& qn ssi ce n'est pas le cas que la queue est satisfaite ( = I n q1 & q2...& qn) tandis que la tête ne l'est pas ( I n p) Satisfaction d'un programme : = I n P p 11

12 Interprétations - Domaine sémantique d'interprétation {F,T} (on aurait pu prendre{0,1}, ) - Interprétation : valuation de chaque atome propositionnel dans le domaine d'interprétation Exemple : p -i1->f ou p -i2->v Exemple, interprétation des connecteurs logiques classiques : A ~A i1 F V i2 V F A B A B A v B A -> B A <-> B A ~ A i1 F F F F V V F i2 F V F V V F F i3 V F F V F F F i4 V V V V V V F p 12

13 Modèle, définitions Définition : Une interprétation qui rend vraie une formule est un modèle de cette formule Exemples : i1, i2 et i4 sont des modèles de A -> B Définition : Relation de satisfaction : =i1 A -> B Définition : Une formule satisfiable a au moins un modèle (elle est consistante) Définition : Une formule inconsistante n'a aucun modèle : A ~ A est insatisfiable (inconsistante, contradictoire) Définition : Une formule est valide si toutes les interprétations sont modèle (tautologie) Définition : Un ensemble de formules est consistant si tous ses éléments admettent un modèle commun p 13

14 Satisfaction : Définition formelle Le domaine d'interprétation étant fixé, la relation = i définit à quelle condition une interprétation i est un modèle d'une formule: = i p ssi p i = T (ou i(p) = T) A et B étant des formules, la relation de satisfaction par i : = i ~ A ssi i A = i A B ssi = i A et = i B = i A v B ssi = i A ou = i B = i A -> B ssi i A ou = i B = i A <-> B ssi = i A et = i B ou bien ssi i A et i B p 14

15 Validité, formule valide2 Définition (informelle) : Une formule est valide si elle est "toujours vraie " i.e. : Toutes ses interprétations sont des modèles. = A ssi = i A pour toute interprétation i notation: = Exemples = A v ~ A = p -> p = ~ ~ p <-> p Remarque : La négation d'une formule valide est inconsistante. Exemple : ~ (A v ~ A) p 15

16 Formules Formule consistante F : F admet au moins un modèle (F est satisfaite par au moins une interprétation i) notation = i A Formule inconsistante ou insatisfiable F F est une contradiction (elle n admet aucun modèle) exemple: = ~(p v ~ p) p 16

17 Formules, remarques La négation d'une formule valide est inconsistante ou insatisfiable Attention : Formule est non valide : ( A) SI au moins une interprétation n'est pas un modèle. Une formule NON-valide n est pas obligatoirement une contradiction. p 17

18 Modèles et ProP log Modèles d un Programme ProP log P = interprétations qui satisfont P Exemple : soit toujours le même programme exemple et on part de l interprétation de Herbrand : I h = {q, r} Alors les modèles de Herbrand de P sont (treillis): { p, q, r, s, p1, p2} = Bp { p, q, r, p1, p2 } { p, q, r, p1} { p, q, r, p2 } { p, q, r } = Ip contre exemple: { p, q, r, s } n est pas un modèle de P p 18

19 Plus Petit Modèle (PPM) Tout programme défini P (clauses de Horn) a au moins un modèle : Bp Toute intersection de modèles de P est un modèle de P L'intersection de tous les modèles de P est le plus petit modèle de P (PPM) noté Mp Dans l'exemple précédent le plus petit modèle est { p, q, r } Mp = Den log (P ) = Den pf (P ) p 19

20 Conséquence logique Soit E est un ensemble de formules, on note E = A (surcharge de l'opérateur =) pour exprimer le fait que tout modèle de E est un modèle de A, c.à.d. Mod(E) Mod(A) L'ensemble des modèles de E est inclus dans l'ensemble des modèles de A. On dit que A est "conséquence logique" ou "conséquence sémantique" de E. exemple 1 : X Y = X (ou {X Y } = X ) p 20

21 Conséquence logique 2 exemple 2 : {p ->q, ~ q} = ~ p Mod( {p ->q, ~ q}) Mod(~ p) p q ~p ~q p->q {p->q, ~q} T T F F T F T F F T F F F T T F T F F F T T T T p 21

22 Conséquence logique 3 On note la conséquence logique = : ( surcharge de l'opérateur = ) P = A SSI Tout modèle de P est un modèle de A Dans l'exemple précédent : P = p p 22

23 Equivalence logique Si deux formules sont conséquences logiques l'une de l'autre, elles ont mêmes modèles. Ex : A -> B == ~ A v B on dit qu'elles sont "logiquement équivalentes" p 23

24 Conséquence logique et implication Théorème: B = A ssi = B -> A preuve: (=>) B-> A ne peut être contredit, puisque tout modèle de B est modèle de A (<=) puisque B-> A est toujours vrai tout modèle de B est un modèle de A QED p 24

25 Implication, Equivalence logique(suite) Plus généralement : { H1,...,Hn} = C ssi = (H1... Hn -> C) Et aussi B == A ssi = B <->A p 25

26 Exemples d équivalences 1. Lois de De Morgan ~(p v q) == ~p ~q ~(p q) == ~p v ~q 2. p <-> q == (p -> q) (q -> p) 3. p -> q == ~p v q 4. (p q) -> r == p -> ( q -> r) p 26

27 Déduction La déduction consiste à déterminer si une formule C est conséquence logique des hypothèses. {H1, H2,, Hn} = C Principe : Pour toute interprétation pour laquelle les hypothèses sont vraies, la conclusion est(doit être) vraie. Ou dit autrement : On ne peut trouver de contre-exemple qui donne la conclusion fausse pour des hypothèses vraies. p 27

28 Déduction - exemple Exemple, Soit montrer : On suppose la conclusion fausse et on vérifie que les hypothèses ne peuvent être toutes vraies en même temps. { p -> q, ~p -> ~q } = p <-> q T F <= supposition F T T T? donc p=f et q=t T F! Ou P=T et q=f Impossible de trouver un contre-exemple! p 28

29 Principe de déduction Principe de déduction par réfutation (ou par l'absurde) : Pour montrer que A est conséquence logique de B, il suffit de montrer que si on fait l'hypothèse ~A on aboutit à une contradiction.i.e. Pour montrer B = A on montre que B ~A est insatisfiable Démonstration : B = A se réécrit = B -> A (B->A est valide) donc montrer que ~ (B -> A) est insatisfiable en effet B -> A est valide <-> ~ ( ~ B v A ) est insatisfiable <-> B ~ A = false en effet mod( B ~ A) = {} mod(false) = {} <-> {B,~ A} = false p 29

30 Exemple de déductions/réfutations 1. {p-> q, p } = q modus ponens p q p-> q ~ q { p-> q, p, ~q} T T T F F T F F T F F T T F F F F T T F p 30

31 Exemple 2 2. {p -> q, ~ q } = ~ p modus tollens p q p -> q ~q { p -> q, ~q, ~~p } F F T T F F T T F F T F F T F T T T F F p 31

32 Exemple 3 3. La résolution : {a v c, b v ~c} = a v b a b c a v c b v ~c {a v c,b v ~c,~(a v b)} T T T T T F T T F T T F T F T T F F T F F T T F F T T T T F F T F T T F F F T T F F F F F F T F p 32

33 Tableaux Sémantiques, méthode des arbres Une disjonction est vraie SSI l un des termes de la disjonction est vrai. Une conjonction est vraie SSI tous les termes de la conjonction sont vrais. La négation d une conjonction est vraie SSI l un des termes de la conjonction est faux. La négation d une disjonction est vraie SSI tous les termes de la disjonction sont faux. Une double négation est vraie SSI le terme de la double négation est vrai p 33

34 Règles "syntaxiques"d inférence pour tableaux sémantiques S F ~(S v F) S F ~ S ~ F ~~ S S S v F ~(S F) S F ~ S ~ F p 34

35 Chemins de vérité S F S F Si S F se trouve sur un chemin de l arbre alors S et F devront se trouver sur le même chemin car si S F est vrai S et F le sont aussi. S et F sont vrais SSI S F l est aussi S S v F F Si S v F se trouve sur un chemin de l arbre alors S ou F devra se trouver sur le même chemin. S est vrai ou F est vrai SSI S v F l est aussi Les chemins de l arbre (considérés de bas en haut) sont des chemins de vérité. Un chemin est fermé s il contient à la fois p et ~p. L arbre d une contradiction a tous ses chemins fermés. p 35

36 Règles "syntaxiques"2 pour tableaux sémantiques S -> F ~(S -> F) ~ S F S ~ F S F S <-> F ~ S ~ F ~ (S <-> F) S ~ S ~ F F p 36

37 Tableaux Sémantiques A v C B v ~ C ~(A v B) ~ A ~ B A C x B x ~ c x p 37

38 Exemple de preuve par tableau sémantique l'exemple traité précédemment : {p -> q, ~ p > ~ q } = p <-> q p -> q (2) ~ p > ~ q de 3 ~ (p <-> q) de 1 p de 1 ~ p de 1 ~ q de 1 q de 1 ~ p de 2 q de 2 ~ p de 2 q de 2 x x p de 3 ~ q de 3 p de 3 ~ q de 3 x x x x p 38

39 Et après Jusqu ici on a fait des «raisonnements» : Est-ce que A est vrai, supposons que A est faux etc On veut remplacer ces raisonnements par un calcul. Les tableaux sémantiques seraient entre les deux p 39

40 Syntaxe : Systèmes formels/théories Approche syntaxique "plus naturelle": Aristote et Euclide (géométrie) que la déduction sémantique (20ème siècle) On se donne : Un Alphabet (Ensemble fini de symboles). Un ensemble de mots bien formés. Un ensemble fini de Règles d'inférence (règle de production syntaxique d'un mot (formule) à partir d'un autre) Un (des) Axiome(s) (ensemble de mots (formules)) p 40

41 Preuve, Théorème Alors une Preuve (ou démonstration) est suite finie de mots dont chacun est soit un axiome, soit se déduit des précédents par l'application d'une règle d'inférence. Un Théorème est un mot (formule) tel qu'il existe une preuve se terminant par ce mot. p 41

42 Exemple de Système Formel : CALCUL des SEQUENTS p 42

43 Calcul des séquents : (&) S F S H, S, F - C H, S F - C F ~(S F) ~S ~F H - S,C H - F,C H - S F, C p 43

44 Calcul des séquents : (v) S S v F F H, S - C H, F - C v - H, S v F - C ~(S v F) ~S H - S, F, C v H - S v F, C ~F p 44

45 Calcul des séquents : (->) S -> F ~S F H - S,C H, F - C > - H, S -> F - C ~(S -> F) S ~F H, S - F, C > H - S -> F, C p 45

46 Calcul des séquents : (<->) S <-> F S F ~S ~F H - S, F, C H, S, F - C <-> - H, S <-> F - C ~(S <-> F) ~S F S ~F H, F - S,C H, S - F, C <-> H - S <-> F, C p 46

47 Récapitulatif axiome S - S S - C thin - H,S - C H - C thin H - S, C H - S, C ~ - H, ~S - C H, S - C ~ H - ~S, C H - S,C H, F - C > - H, S -> F - C H, S - F, C > H - S -> F, C p 47

48 Récapitulatif 2 H, S, F - C H, S F - C H - S,C H - F,C H - S & F, C H, S - C H, F - C v - H, S v F - C H - S, F, C v H - S v F, C H - S, F, C H, S, F - C <-> - H, S <-> F - C H, F - S,C H, S - F, C <-> H - S <-> F, C p 48

49 retour sur l'exemple: 1.{p -> q, ~ p > ~ q } - p <-> q 1.1 {p -> q, ~ p > ~ q } - p -> q & q -> p - <-> {p -> q, ~ p > ~ q } - p -> q - & {p, p -> q, ~ p > ~ q } - q - -> {p, ~ p > ~ q } - q, p -> - {p} - p thin -thin {p,q, ~ p > ~ q } - q -> - {q} - q thin -thin {p -> q, ~ p > ~ q } - q -> p - & {q, p -> q, ~ p > ~ q } - p - -> {q, p -> q} - p, ~p -> - {p,q, p -> q,} - p - ~ {p} - p thin -thin {q,p -> q,~ q } - p -> - {q, p -> q} - p,q ~ - {q} - q thin -thin p 49

50 Réfutation + Résolution Retour sur la réfutation p 50

51 Forme clausale Clause = disjonction finie de littéraux Cl = (l 1 v l 2 v... v l n ) avec l i (littéral) de la forme p ou ~ p Clause vide false notée parfois [] ou {} Forme clausale : conjonction finie de clauses Cl 1 Cl 2... Cl n le plus souvent représenté {Cl 1, Cl 2,..., Cl n } Théorème: Toute formule du calcul propositionnel admet une forme clausale qui lui est logiquement équivalente. p 51

52 Mise sous forme clausale 1) X <-> Y > (~X ~Y) (Y X) 2) (X -> Y) > ~X Y 3) Lois de De Morgan jusqu à obtenir des littéraux ~( X Y) > (~X ~Y) ~( X Y) > (~X ~Y) Simplification à la volée ~~X > X 4) Distributivité pour obtenir des clauses X ( Y Z ) > ( X Y ) ( X Z ) X ( Y Z ) > ( X Y ) v ( X Z ) 5) Simplifications : ~X X T ~X X F T X T F X F p 52

53 Exemple de mise sous forme clausale 1) ( p -> ( q -> r )) -> (( p s ) -> r) 2) ~ ( p -> ( q -> r )) v (( p s ) -> r) ~ ( ~p v ( ~q v r )) v (~( p s ) v r) 3) (~ ~p ~( ~q v r ) ) v (~ p v ~ s v r) (~ ~p (~~q ~ r ) ) v (~ p v ~ s v r) 4) (p (q ~ r) ) v (~ p v ~ s v r) 5) (p v (~ p v ~ s v r)) ((q ~ r) v (~ p v ~ s v r)) (p v ~ p v ~ s v r) ((q ~ r) v (~ p v ~ s v r)) true ((q ~ r) v (~ p v ~ s v r)) (q v (~ p v ~ s v r)) (~ r v (~ p v ~ s v r)) (q v ~ p v ~ s v r) (~ r v ~ p v ~ s v r) (q v ~ p v ~ s v r) true q v ~ p v ~ s v r p 53

54 Principe de résolution Rappel : il est possible de prouver un théorème en ajoutant sa négation aux hypothèses et en montrant l'inconsistance de l'ensemble. Règle (d'inférence) de Résolution: {Cl 1 v l, Cl 2 v ~l } - Cl 1 v Cl 2 Soit Cl 1 v l et Cl 2 v ~l 2 clauses de S ( sous forme clausale) S = Cl 1 v Cl 2 Cl 1 v Cl 2 est appelée la résolvante des deux clauses Cl 1 v l et Cl 2 v ~l sont les clauses parentes de la résolvante Alors S == S U {Cl 1 v Cl 2 } Remarque:{ X, ~X } - false en effet {X, ~X } == {false v X, false v ~X} et {false v X, false v ~X} - false v false p 54

55 Algorithme de résolution On peut donc prouver l'inconsistance (éventuelle) d'un ensemble fini de clauses par l'algorithme suivant: Tant que false S choisir Cl1 v l et Cl2 v ~l deux clauses de S calculer la résolvante r remplacer S par S U {r} Complétude (tout théorème possède une démonstration): Un ensemble fini de clauses S est inconsistant SSI la clause vide (false) peut être déduite de S par résolution. p 55

56 Exemple de résolution Soit prouver : { p v q, p v r, ~q v~ r } - p on procède par réfutation: S = { p v q, p v r, ~q v~ r } U {~ p} il est alors possible d'ajouter successivement à cet ensemble 5) p v ~ r par 1 et 3 6) q 1, 4 7) p v ~q 2, 3 8) r 2, 4 9) p 2, 5 10)~ r 3, 6 11)~q 3, 8 12)false 4, 9 non optimal : trouver une solution en 4 pas! p 56

57 Stratégies de résolution Stratégies complètes : Stratégie en largeur L'ensemble de départ étant donné par les clauses de S, on construit chaque nouvel ensemble en générant toutes les résolvantes possibles entre une clause de l'ensemble immédiatement précédent et une clause d'un des ensembles précédents Stratégie Linéaire Toute résolvante a la résolvante précédente pour un de ses parents Stratégies incomplètes dans le cas général: Stratégie input Toute résolvante a un parent dans l'ensemble de départ Stratégie linéaire-input : SLD-résolution Les clauses de S ont au plus un littéral positif. une clause (désignée but ) ne contient que des littéraux négatifs. p 57

58 Stratégie en largeur (très inefficace) L'ensemble de départ étant donné par les clauses de S, on construit chaque nouvel ensemble en générant toutes les résolvantes possibles entre une clause de l'ensemble immédiatement précédent et une clause d'un des ensembles précédents So = {A,~ A v B, ~ B v A, ~ B} S1 = {B, ~ B v B, ~ A v A, ~ A } S2 = {A, false,... } p 58

59 Stratégie linéaire Toute résolvante a la résolvante précédente pour un des parents S = {~ A v ~ B, A v~ C, C, B v ~ D, D v B} ~ A v ~ B + A v~ C -> ~ B v~ C ~ B v~ C + C -> ~ B ~ B + B v ~ D -> ~ D ~ D + D v B -> B B + ~ B -> {} p 59

60 Stratégie input Toute résolvante a un parent dans l'ensemble de départ S = {~ A, A v ~ B, A v ~ C v ~ D, C, D v ~ C } {~ C v ~ D } 1 et 2 {~ D } 6 et 4 {~ C } 7 et 5 {} 8 et 4 Ici l exemple est en stratégie linéaire-input p 60

61 Exemple Prolog a :- b, c. a v ~ b v ~ c a :- d. a v ~ d b :- d, e. b v ~ d v ~ e b :- f. b v ~ f c. c c :- d, f. c v ~ d v ~ f d. d f. f?- a. ~ a {~ a } { a v ~ b v ~ c } {~ b v ~ c } { b v ~ d v ~ e } ou {~ b v ~ c } { b v ~ f } { ~ d v ~ e v ~ c } {d} {~ c v ~ f } {c} {~ e v ~ c } echec {~ f } {f} {} succes etc... p 61

62 Autres Règles d'inférences Choisies pour ne produire que des conséquences logiques r1) modus ponens { p -> q, p} - q r2) modus tollens { p -> q, ~ q} - ~ p r3) syllogisme hypothétique { p -> q, q -> r} - p -> r r4) -Élimination p q - p r5) -introduction{p, q} - p q r6) v-intro p - p v q r7) règles de commutativité du v et du r8) dilemme {p -> q, r -> s, p v r} - q v s r9) syllogisme disjonctif { p v q, ~ p} - q p 62

63 Exemple de preuve formelle {(AvB) -> (C v (F ->H )), A ~ C, H -> C} - ~ F? 1) (AvB) -> (C v (F ->H )) hypothèse 2) A ~ C hypothèse 3) H -> C hypothèse 4) A de 2 et de r4 ( -elim) 5) A v B de 3 et de r6 (v-intro) 6) C v( F -> H) de 1, 4 et r1 (modus ponens) 7) ~ C de 2 et r4 ( -elim) 8) F -> H de 5 et r9 (syllogisme disj.) 9) ~ H de 6, 3 et r2 (modus tollens) 10)~ F de 8 et 7 et r2 p 63

64 Modus tollens Réfutation et ProPlog { p <- q, q <- a, a} - p? 1) p <- q. 2) q <- a 3) a == a v false ; a == a v ~ true ; a == a <- true on ajoute 4) ~ p raisonnement par l'absurde de quoi on peut dériver: 5) ~ q de 1, 4 et modus tollens 6) ~ a de 5, 2 et modus tollens 7) ~ true de 3, 6 et modus tollens 8) false p 64

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