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1 Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. Méthode des deux phases Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 49

2 Dans ce cours 05, nous supposons que pour notre problème de P.L nous ne disposons pas d'une solution de base réalisable de départ. Considérons un problème de la programmation linéaire sous forme standard min z = c.x ( P.L) Ax = b. Supposons aussi que tous les b i 0. x 0 Associons à ce problème, le problème linéaire auxiliaire, m min ψ = Vi i= 1 (m) (P.A) A.x + I V = b Z c.x = 0 x 0,V 0 I (m) étant la matrice unité m x m et les V i sont des variables dites " artificielles ". Les (V i ) i= 1,,m forment une base de départ et on peut appliquer à (P.A) l'algorithme du simplexe et on obtiendra une solution optimale finie (en supposons qu'il n'existe pas de solution de base dégénérée). En effet si ψ = V 1 + V V m, V i 0, il est impossible que minψ = +. Lemme 1 : Soit V* une solution optimale de (P.A). Le problème initial (P.L) ne m possède pas de solutions réalisables si ψ(v*) = v * i > 0. i= 1 Preuve : Supposons le contraire. Soit x une solution réalisable du (P.L) alors (x,v 0 ) avec V 0 = 0 = (0, 0,, 0) sera une solution de (P.A) et m ψ = ψ( v) = vi et ψ(v0 ) = 0. D'où ψ(v) > ψ(v0 ). Ce qui contredit i= 1 l'hypothèse. Si V 0 est une solution optimale de (PA), ceci implique que (PL) n'a pas de solution optimale. Supposons que ψ(v*) = 0. Deux cas sont possibles. 1. Aucune des variables artificielles v i n'est dans la base optimale de (P.A). Cette base ne comprend que les variables x i. z joue le rôle d'une variable quelconque non astreinte et on considère z - c.x = 0 comme une contrainte. La forme diagonale par rapport à cette base optimale pour (PA) est une forme diagonale par rapport à la base réalisable pour (PL). On peut lui appliquer l'algorithme du simplexe. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 50

3 2. Au moins une variable v i est dans la base optimale, par exemple une v r, alors l'équation contenant v r s'écrit : α r x + c r V = b r (1) Avec α r = (a r1, a r2,, a rm ), c r = (0,,0,1(rang r),0, 0), V r = 0, b r = 0 et m Min ψ = v i = 0. S'il existe un certain coefficient a rs 0 dans l'équation (1) alors on i= 1 peut effectuer une opération de pivotage autour de lui. On peut faire rentrer x r dans la base et faire sortir x s. L'opération de pivotage ne changera pas la valeur de la fonction objectif (puisque b r = v r = 0) mais elle changera la base. Cette opération est possible que si a rs soit strictement positif ou strictement négatif. Lemme 2 : Si a rj = 0 j = 1,, n (la ligne r de A) alors la contrainte correspondante au PL est redondante. La relation (1) peut être obtenue par succession d'opérations de pivotage (opérations élémentaires). Il s'ensuit que la r-ième équation α r x + c r V = b r, peut être considérée comme une combinaison linéaire des équations du système Ax + I (m) V = b. La même combinaison linéaire du système A x = b donne l'équation 0 x = 0 (une équation redondante). Après avoir examiné toutes les variables de base artificielles v i qui sont encore dans la base optimale de (PA), les avoir éliminer de la base si c'est possible. On aboutit au problème qui peut servir à initialiser l'algorithme du simplexe au problème (PL). Ces opérations constituent la phase (1) du simplexe. L'application de la méthode du simplexe constituent la seconde phase de la méthode du simplexe. Exemple 1 : Soit à résoudre le programme linéaire (PL) suivant : Minz = - x x 2-2 x 3 2 x x 2 + x 3 = 12 4 x 1 + x x 3 = 14 x 1 0,, x 3 0. Nous ne disposons pas de solutions de base de départ. Associons à ce (PL) le problème auxiliaire (PA) : Min ψ = v 1 + v 2 = - 6 x 1-4 x 2-3 x x x 2 + x 3 + v 1 = 12 v 1 = 12-2 x 1-3 x 2 - x 3 4 x 1 + x x 3 + v 2 = 14 v 2 = 14-4 x 1 - x 2-2 x 3 Z + x 1-2 x x 3 = 0 x i 0, i =1, 2, 3 et v j 0, j = 1, 2. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 51

4 Dressons un tableau du simplexe. Variables 1 x 1 x 2 x 3 v 1 V 2 de base - ψ v v Z Itération1 - ψ /2 0 0 v /2 0 1 x 1 7/2 1 1/4 1/2 0 -Z -7/2 0-9/4 3/2 0 Itération2 - ψ x x /2 -Z /2 Comme min ψ = 0, alors la solution optimale de (PA) X = (3, 2, 0) constituera une solution de base réalisable du problème initial (PL) de départ. X = (3, 2, 0) n'est pas optimale car c 3 < 0. Il faut qu'on effectue un autre changement de base. Itération3 - Z /2 x x /2 Itération4 - Z x x X* = x = (0, 2, 6) est optimale et minz = -8. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 52

5 Remarques : 1. Dans la phase I, il n'est pas indispensable de s'occuper de l'équation c x -Z = 0. En effet si l'on aura trouvé une base réalisable pour l'ensemble des contraintes A.x = b, b 0, il suffira de retrancher une combinaison linéaire correspondante des équations de ce système aux deux membres de la fonction objectif Z = c.x pour une forme diagonale complète. Exemple 2 : Soit le (PL) suivant : Le problème auxiliaire (PA) est : Minz = 2 x 1 - x 2-3 x 3 x x 2 - x 3 = 6 x 1 - x x 3 = 8 x 1 0,, x 3 0. Min ψ = v 1 + v 2 = - 2 x 1 - x 2-3 x x x 2 - x 3 + v 1 = 6 x 1 - x x 3 + v 2 = 8 x 1 0, x 2 0, x 3 0, v 1 0, v 2 0. Dressons le tableau du simplexe sans la ligne de - z. Variables de base 1 x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 - ψ v v Itération1 - ψ -8-5/4-7/4 0 0 v 1 8 5/4 7/4 0 1 x 3 2 1/4-1/4 1 0 Itération2 - ψ x 2 32/7 5/7 1 0 x 1 22/7 3/7 0 1 Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 53

6 Tous les c j = 0 alors x = (0, 32/7, 22/7) est optimale pour le problème auxiliaire (PA) et minψ = 0. La base optimale de (PA) constituera une base réalisable du problème initial (PL). On peut appliquer la méthode de simplexe au problème (PL) avec cette base réalisable. En interprétant le dernier tableau ci dessus, on aura : 5/7 x 1 + x 2 = 32/7 x 2 = 32/7-5/7 x 1. 3/7 x 1 + x 3 = 22/7 x 3 = 22/7-3/7 x 1. La fonction objectif deviendra alors : - Z + 2 x 1 - x 2-3 x 3 = 0 -Z + 4 x 1 = 14 On applique maintenant l'algorithme du simplexe. Comme c 1 0, alors x = (0, 32/7, 22/7) n'est pas optimale pour le problème auxiliaire (PL). Il faut au moins une itération de l'algorithme du simplexe. A faire par l'étudiant! 2. Si dans le (PL) une variable x r soit contenue dans une seule équation et si a rs et b r ont même signe, il n'est pas nécessaire d'introduire une variable artificielle. Il est avantageux d'introduire un minimum de variables artificielles. 3. Le but de la phase I est d'éliminer si cela est possible les variables artificielles de la base. Tout vecteur artificiel sorti de la base ne doit être jamais candidat à l'entrée dans la base. Cette méthode est appelée " Méthode des deux phases ". Exemple 3 : Soit à résoudre le (PL) suivant : Minz = x 1 + x 2 - x 3-2 x 5 x x 2 - x 4 = 3 x 3-2 x 4 = 2 3 x 2 - x 4 + x 5 5 x 2 + x 5 3 x 1 0,, x 5 0. Sous sa forme standard, le problème devient : Minz = x 1 + x 2 - x 3-2 x 5 x x 2 - x 4 = 3 x 3-2 x 4 = 2 3 x 2 - x 4 + x 5 + x 6 = 5 x 2 + x 5 - x 7 = 3 x 1 0,, x 7 0. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 54

7 x 7 ne peut pas être prise pour une variable de base car elle est précédée d'un signe moins. On ne va introduire qu'une seule variable artificielle v 1 dans le (PA). Le problème auxiliaire est : Min ψ = v 1 = 3 - x 2 - x 5 + x 7 Variables de base Minz = 1 - x 2-3 x 4-2 x 5 x x 2 - x 4 = 3 x 3-2 x 4 = 2 3 x 2 - x 4 + x 5 + x 6 = 5 x 2 + x 5 - x 7 + v 1 = 3 x 1 0,, x 7 0, V x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 v 1 - ψ x x x v Z Itération1 - ψ x 1 3 x 3 2 x 6 2 x 5 3 -Z minψ = 0, la base optimale de (PA) constitue une base réalisable de (PL). On appliquera l'algorithme du simplexe. A faire par l'étudiant! Convergence de la méthode du simplexe Si à chaque itération la solution de base est non dégénérée, l'algorithme du simplexe conduit à une solution optimale en un nombre fini d'étapes. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 55

8 Mais en cas de dégénérescence une base peut être répétée ce qui peut conduire à un cycle, on retrouve la même base de départ. Dans ce cas, on n'obtiendra jamais une solution optimale en utilisant la méthode du simplexe. Hoffman et Beale (1953) ont construit des exemples dans lesquels le phénomène de cyclage se produit. Exemple 4 : Montrer que le phénomène de cyclage se produit dans le (PL) suivant: a. Minz = - 3/4x x 5-1/2 x x 7 x 1 + 1/4 x 4-8 x 5-6 x 6-9 x 7 = 0 x 2 + 1/2x 4-12 x 5-1/2 x x 7 = 2 x 3 + x 6 = 1 x i 0, i = 1,.., 7. b. Maxz = 3/4x x 2 + 1/50 x 3-6 x 4 x 1-60 x 2-1/25 x x 4 + x 5 = 0 1/2 x 1-90 x 2-1/50 x x 4 + x 6 = 0 x i 0, i = 1,.., 7. x 3 + x 7 = 1 Plusieurs méthodes évitent le cyclage : méthode lexicographique et des perturbations. Cours 05 : Initialisation de l'algorithme du simplexe. 56

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