4 La programmation linéaire (réf : V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman, 1983.)

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1 4 La programmation linéaire (réf : V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman, 1983.) Nous définissons le problème de programmation linéaire dans ce chapitre. Après la présentation de deux exemples et de quelques définitions, nous présentons à la section 4.2 les principales idées sous-jacentes à l algorithme du simplexe. La section 4.3 présente de façon formelle cet algorithme. 4.1 Introduction à la programmation linéaire Nous considérons dans un premier temps un problème d introduction classique de la programmation linéaire Exemple 1 : le problème de la diète 1. Le problème : On désire déterminer un menu quotidien de façon à minimiser les coûts, tout en satisfaisant à certains besoins élémentaires. En particulier, le menu doit contenir au moins : 2000 kcal 55 gr de protéine 800 mg de calcium On décide de choisir parmi 6 aliments dont les valeurs nutritives et les coûts sont indiqués dans le tableau suivant : Portion énergie (kcal) Protéine (gr) Calcium (mg) Cents/portion Avoine 28 gr Poulet 100 gr Oeufs 2 larges Lait 237 cl Tarte aux cerises 170 gr Porc et fèves 260 gr Afin d éviter des situations extrêmes (par exemple 10 portions de porc et fèves satisfont à ses exigences nutritives), on impose les limites suivantes : Au plus 4 portions/jour d avoine 3 de poulet 2 d oeufs 8 de lait 2 de tarte aux cerises 2 de porc et fèves On pourrait tenter de déterminer un menu par essai erreur. Par exemple, choisir 8 portions de lait et 2 portions de tarte aux cerises satisfait les demandes nutritives pour un coût total de $1.12. Le nombre de possibilités est élevé et il est préférable de résoudre le problème à l aide d un modèle. 2. Le modèle Nous définissons d abord les variables de décision, c est-à-dire l information que l on désire obtenir. (a) Les variables de décision : x 1 = # de portion d avoine x 2 = # de portion de poulet x 3 = # de portion d oeufs x 4 = # de portion de lait x 5 = # de portion de tarte aux cerises x 6 = # de portion de porc et fèves Ces variables ne sont pas libres ; elles sont contraintes par les besoins nutritionnels. Exprimées sous forme mathématique on obtient : (b) Les contraintes : i. Satisfaction minimale des besoins 110x x x x x x x x x 3 + 8x 4 + 4x x x x x x x x ii. Les bornes sur les variables de décisions 0 x x x x x x 6 2 Maintenant ces variables doivent être dirigées vers un but, vers un objectif. 1 2

2 (c) L objectif : Soit (x 1, x 2,..., x 6 ) un menu satisfaisant aux contraintes, alors le coût total d un tel menu est 3x x x 3 + 9x x x 6. Comme on veut minimiser les coûts, l objectif est : min 3x x x 3 + 9x x x 6. (d) Le modèle complet : En résumé, le modèle mathématique est Exemple 2 : la raffinerie min 3x x x 3 + 9x x x 6 110x x x x x x x x x 3 + 8x 4 + 4x x x x x x x x x x x x x x Le problème : On désire établir le plan de production optimale d une raffinerie produisant quatre produits finis (essence, kérosène, mazout léger et résidu) à partir de deux types de pétrole brut. Les coefficients techno-économiques pertinents sont donnés dans les tables suivantes : Produit $/baril Achat Brut #1 24 Brut #2 15 Vente Essence 36 Kérosène 24 Mazout léger 21 Résidu 10 Rendement (%) Production Brut#1 Brut#2 maximale (baril/jour) Essence Kérosène Mazout léger Résidu 5 10 Coût de production $/baril 2. Le modèle Dans l ordre, nous identifions les variables de décisions, les contraintes et l objectif. (a) Les variables de décision : p 1 = # baril/jour de brut#1 raffiné p 2 = # baril/jour de brut#2 raffiné x 1 = # baril/jour d essence produits x 2 = # baril/jour de kérosène produits x 3 = # baril/jour de mazout léger produits x 4 = # baril/jour de résidu produits Ces variables ne sont pas libres ; elles sont liées par les contraintes technologiques. Exprimées sous forme mathématique on obtient : (b) Les contraintes : i. Contraintes de balance : 0.80p p 2 = x 1 essence (# baril/jour) 0.05p p 2 = x 2 kérosène (# baril/jour) 0.10p p 2 = x 3 mazout léger (# baril/jour) 0.05p p 2 = x 4 résidu (# baril/jour). ii. Les bornes sur la capacité : x x x p 1, p 2 0. (c) L objectif : On veut ici produire le plan de production optimale, c est-à-dire celui qui maximise les profits : maximiser {profit = revenu des ventes - achat des bruts - coût de production} 3 4

3 Sous forme mathématique on obtient : Définition 4.2 Si b, c 1, c 2,..., c n sont des constantes réelles, alors l équation (d) Le modèle complet : Revenu des ventes = 36x x x x 4 Achat des bruts = 24p p 2 Coût de production = 0.5p p 2 est appelée une équation linéaire. n c j x j = b j=1 max 36x x x x 4 (24p p 2 ) (0.5p p 2 ) 0.80p p 2 = x p p 2 = x p p 2 = x p p 2 = x 4 x x x p 1, p 2 0. Il est possible ici d éliminer les variables x 1,..., x 4 dans le modèle pour obtenir : qui est équivalent au précédent. max 8.1p p p p p p p p p 1, p 2 0. Ces deux modèles sont des problèmes de programmation linéaire ou encore des programmes linéaires La programmation linéaire Définition 4.1 Si c 1, c 2,..., c n sont des constantes réelles, la fonction f(x) définie par est une fonction linéaire. n f(x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n = c j x j j=1 Par exemple : f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 4x 2 est une fonction linéaire f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 5x 2 + x 1 x 2 n est pas une fonction linéaire. Définition 4.3 Si b, c 1, c 2,..., c n sont des constantes réelles, alors les équations n c j x j b j=1 sont appelées des inégalités linéaires. et n c j x j b j=1 Plus généralement, une contrainte linéaire est soit une équation linéaire, soit une inégalité linéaire. Avec ces définitions, un programme linéaire (PL) consiste en la maximisation (ou la minimisation) d une fonction linéaire soumise à un nombre fini de contraintes linéaires. Par exemple : max x 1 + 2x 2 + x 3 x 1 x 2 4 x 1 x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 6 x 1 0 Définition 4.4 Un PL sera sous forme standard s il est de la forme : max c j x j a ij x j b i i = 1,..., m x j 0 j = 1,..., n Remarque : Il est toujours possible de ramener un programme linéaire quelconque sous forme standard (exercice). Définition 4.5 La fonction linéaire maximisée (ou minimisée) dans un programme linéaire est appelée fonction objectif. 5 6

4 Définition 4.6 Une solution (x 1,..., x n ) est dite réalisable si elle satisfait à toutes les contraintes (incluant les bornes). Définition 4.7 Une solution (x 1,..., x n) est dite optimale si elle est réalisable et si elle maximise la fonction objectif parmi toutes les solutions réalisables. La valeur correspondante de l objectif est appelée la valeur optimale. Remarque : La solution optimale (si elle existe) n est pas nécessairement unique. On peut se demander s il existe toujours au moins une solution optimale. La réponse est non ; deux situations peuvent se présenter. 1. Il n existe pas de solution réalisable. Par exemple, max 3x 1 x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 2x 2 6 x 1, x 2 0 Dans ce cas, aucun point (x 1, x 2 ) ne satisfait à toutes les contraintes. Définition 4.8 Un programme linéaire qui n a pas de solution réalisable est appelé non réalisable. 2. Il n existe pas de valeur optimale finie. Par exemple : Dans ce cas, Il existe des solutions réalisables : max x 1 x 2 2x 1 + x 2 1 x 1 2x 2 2 x 1, x 2 0 x 1 = 1, x 2 = 1 x 1 = 5, x 2 = 0 etc. Mais pour tout nombre M, il existe une solution réalisable (x 1, x 2 ) telle que la fonction objectif prenne une valeur supérieure à M, c est-à-dire x 1 x 2 > M. 7 Définition 4.9 Un programme linéaire réalisable qui n a pas de valeur optimale finie est appelé non borné. Le théorème suivant (qui sera prouvé à la section 3) indique que nous avons couvert tous les cas. Théorème 4.1 : Dans tout programme linéaire, une seule des éventualités suivantes peut se présenter : 1. il existe au moins une solution optimale 2. le programme linéaire est non-réalisable 3. le programme linéaire est non borné. 4.2 La méthode du simplexe Nous voyons dans cette section la méthode du simplexe pour la résolution d un programme linéaire. Cette méthode, due à Dantzig, est la première qui a permis de résoudre un programme linéaire et constitue encore aujourd hui une des deux approches efficaces pour sa résolution (nous ne verrons pas dans ce cours les approches de points intérieurs qui forment la deuxième approche). Une description informelle est faite dans cette section. La description formelle de l algorithme est présentée à la section suivante L idée de la méthode du simplexe via un exemple Considérons le programme linéaire sous forme standard suivant : Idée 1 : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 Comme il est coûteux de vérifier la faisabilité d une solution donnée, la méthode du simplexe travaille avec un système d équations linéaires (égalités linéaires). Pour toute solution réalisable x 1, x 2, x 3 de (1), il existe un écart non-négatif ( 0) entre le membre de gauche et le membre de droit de chaque contrainte. Par exemple, considérons la première contrainte et une solution réalisable 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 0, 1). 8 (1)

5 Alors, le côté gauche vaut 2(1) + 3(0) + (1) = 3 5 et l écart est 5 3 = 2. On définit ainsi les variables d écarts pour chacune des contraintes. De plus, on nomme l objectif z pour obtenir le système d équations linéaires suivant : x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 +4x 2 +3x 3 (2) Avec cette notation, le programme original peut s écrire : En effet : max z x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 pour toute solution réalisable de (1), il existe une solution réalisable unique de (3) ((x 1, x 2, x 3 ) restant inchangés et (x 4, x 5, x 6 ) étant définis par (2)). pour toute solution réalisable de (3) (vérifiant (2)), il existe une solution réalisable unique de (1). Comme les solutions réalisables de (1) et (3) sont en correspondance une à une, les solutions optimales le sont également. Idée 2 : D une solution réalisable (x 1,..., x 6 ), trouver une autre solution réalisable ( x 1,..., x 6 ) qui soit meilleure, c est-à-dire : 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 < 5 x x x 3 La méthode du simplexe consiste donc en une amélioration successive de solutions réalisables. (1ère itération) 1. On doit d abord trouver une première solution réalisable. À partir du système d équation (2), une solution réalisable est immédiate. En posant à 0 les variables qui se trouvent du côté droit, on obtient et on déduit immédiatement x 1 = x 2 = x 3 = 0 x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 et la valeur de l objectif z = 0. 9 (3) 2. On veut maintenant améliorer cette solution. On voit qu il est avantageux d augmenter x 1 et/ou x 2 et/ou x 3. Ici, choissisons d augmenter x 1 et gardons à 0 la valeur de x 2 et x 3. La valeur de l objectif augmentera selon : z = 5x = 5x 1 > 0, x 1 > 0. Par exemple : Si on pose x 1 = 1 (et x 2 = x 3 = 0) on obtient à partir de (2) x 4 = 3, x 5 = 7, x 6 = 5 et la valeur de l objectif z = 5. Si on pose x 1 = 2 (et x 2 = x 3 = 0) on obtient x 4 = 1, x 5 = 3, x 6 = 2 et la valeur de l objectif z = 10 qui est mieux. Si on pose x 1 = 3 (et x 2 = x 3 = 0) on obtient x 4 = 1, x 5 = 1, x 6 = 1 et la valeur de l objectif z = 15 qui n est plus réalisable. Une question se pose : jusqu à quelle valeur peut-on augmenter x 1 (tout en en gardant x 2 et x 3 à la valeur 0) de façon à conserver la faisabilité de la solution (c est-à-dire garder les variables x 4, x 5, x 6 non négatives)? La condition x 4 0 revient à : De même, la condition sur x 5 revient à : Enfin la condition sur x 6 donne x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 0 x 4 = 5 2x 1 0 x 1 5/2. x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 0 x 5 = 11 4x 1 0 x 1 11/4. x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 0 x 6 = 8 3x 1 0 x 1 8/3. 10

6 De ces 3 bornes (x 1 5/2, x 1 11/4, x 1 8/3) la première est la plus contraignante. On peut donc augmenter x 1 jusqu à 5/2. Pour cette valeur de x 1, x 4 devient égale à 0. On obtient ainsi une 2ième solution réalisable qui est meilleure que la précédente : { x1 = 5/2, x 2 = 0, x 3 = 0 x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1/2 et z = 25/2. Peut-on maintenant améliorer cette nouvelle solution réalisable (4)? Si oui, quelle variable augmenter? Jusqu à quelle valeur? Rappelons qu il a été facile de répondre à ces questions à l aide du système d équations (2). Pour ce système, nous avions exprimé les variables positives en fonction des variables nulles. On doit donc exprimer les nouvelles variables non nulles (x 1, x 5, x 6 ) en fonction des variables nulles (x 2, x 3, x 4 ). À partir de l ancien système x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 +4x 2 +3x 3 On peut exprimer x 1 en fonction des variables nulles x 1 = 5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 et susbtituer dans les trois autres équations. On obtient : (4) La solution courante associée est alors : de valeur z = 25/2. (2ième itération) x 1 = 5/2, x 5 = 1, x 6 = 1/2 et x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 À partir de ce système, il est possible de voir qu augmenter la variable x 3 (en gardant x 2 = x 4 = 0) améliorera l objectif (on n a plus avantage à augmanter x 2 ou x 4 ). Jusqu à quelle valeur peut-on augmenter x 3? La condition sur x 1 x 1 = 5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 0 x 1 = 5/2 1/2x 3 0 x 3 5. La condition x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 0 est toujours vérifiée lorsque x 3 augmente. Enfin, la condition x 6 = 1/2 + 1/2x 2 1/2x 3 + 3/2x 4 0 x 6 = 1/2 1/2x 3 0 x 3 1. Donc x 3 ne peut pas augmenter plus que x 3 = 1 (alors que x 6 prend la valeur 0). On obtient le nouveau système à partir de l ancien : Ancien système : x 5 = 11 4(5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 ) x 2 2x 3 = 1 +5x 2 + 2x 4 x 6 = 8 3(5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 ) 4x 2 2x 3 = 1/2 +1/2x 2 1/2x 3 + 3/2x 4 z = 5(5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 ) +4x 2 +3x 3 = 25/2 7/2x 2 + 1/2x 3 5/2x 4. Plus simplement, le nouveau système s écrit : x 1 = 5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 x 5 = 1 +5x 2 +2x 4 x 6 = 1/2 +1/2x 2 1/2x 3 +3/2x 4 z = 25/2 7/2x 2 +1/2x 3 5/2x 4. En isolant la nouvelle variable qui prend une valeur positive, on obtient le nouveau système : x 3 = 1 + x 2 + 3x 4 2x 6 x 1 = 5/2 3/2x 2 1/2x 3 1/2x 4 x 5 = 1 +5x 2 +2x 4 x 6 = 1/2 +1/2x 2 1/2x 3 +3/2x 4 z = 25/2 7/2x 2 +1/2x 3 5/2x 4. (5) x 1 = 2 2x 2 2x 4 +x 6 x 5 = 1 +5x 2 +2x 4 x 3 = 1 +x 2 +3x 4 2x 6 z = 13 3x 2 x 4 x 6. (6) 11 12

7 La solution courante associée est alors : de valeur z = 13. (3ième itération) x 1 = 2, x 3 = 1, x 5 = 1 et x 2 = 0, x 4 = 0, x 6 = 0 Quelle variable peut-on augmenter? Aucune : augmenter x 2 ou x 4 ou x 6 fait diminuer z. En fait, puisque l on a z = 13 3x 2 x 4 x 6 la solution est optimale puisque toute autre solution (x 1, x 2,..., x 6 ) satisfait nécessairement x 2, x 4, x 6 0. La valeur optimale est donc z = 13. Exercice : Petit problème de chimie... On dispose des bouteilles de boisson suivantes : 32 oz de Fine Whiskey à $28.00/32 oz 32 oz de Whiskey à $22.00/32 oz 32 oz de Vermouth à $14.00/32 oz 64 oz de Gin à $24.00/32 oz à partir desquelles on peut obtenir les mélanges suivants : 2 oz de Whiskey qui se vend $ oz de Whiskey et 1 oz de Vermouth pour obtenir un Manhattan qui se vend $ oz de Gin et 1 oz de Vermouth pour obtenir un Martini qui se vend $ oz de Gin et 2 oz de Whiskey pour obtenir un Pub Special qui se vend $6.00 En supposant qu il soit possible de vendre tous les mélanges (c est un 5 à 7 du...), formuler sous forme de programme linéaire afin de déterminer les quantités à mélanger pour maximiser les revenus. Résoudre le programme linéaire Dictionnaires Soit un programme linéaire sous forme standard : max c j x j a ij x j b i i = 1,..., m x j 0 j = 1,..., n. 13 (7) On introduit les variables d écarts x n+1, x n+2,..., x n+m et on note l objectif par z. On définit ces variables par x n+i = b i n j=1 a ij x j z = nj=1 c j x j i = 1,..., m Dans le cadre de la méthode du simplexe, chaque solution réalisable (x 1,..., x n ) de (7) est représentée par n + m variables non-négatives. À chaque itération, la méthode du simplexe fournit une solution réalisable qui améliore la fonction objectif. À chaque solution réalisable correspond un système d équations linéaires qu on appelle dictionnaire. Dans un dictionnaire : 1. Toute solution non négative des équations linéaires comprises dans le dictionnaire est une solution de (7), et vice-versa. 2. Les équations d un dictionnaire doivent exprimer m des variables (x 1,..., x n+m ) et la variable z en fonction des n autres variables. On appelle un dictionnaire réalisable, si en posant à 0 les variables du côté droit, on obtient une solution réalisable. Ainsi Par contre dictionnaire réalisable solution réalisable solution réalisable nécessairement un dictionnaire réalisable Par exemple, il n existe pas de dictionnaire pour la solution réalisable x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 2, x 5 = 5, x 6 = 3. Une solution réalisable qui peut être décrite par un dictionnaire est appelée une solution de base. Ainsi, la méthode du simplexe ne considère que les solutions de base (un nombre fini) et ignore toutes (une infinité) les autres. Définition 4.10 Les variables x j qui se trouvent du côté gauche du dictionnaire sont appelées variables de base. Définition 4.11 Les variables x j qui se trouvent du côté droit du dictionnaire sont appelées variables hors-base. L ensemble des variables de base constituent une base. Ainsi, à chaque itération la base change : une variable entre dans la base et une variable sort de la base. Le choix de la variable d entrée est dicté par le désir d améliorer l objectif z. Le choix de la variable de sortie est 14

8 dicté par le désir de conserver toutes les variables non-négatives. Si x 3 entre dans la base, alors La variable de sortie apparaît dans la ligne du pivot. On appelle pivotage le processus permettant de passer d un dictionnaire à un autre (ou encore, passer d une base à une autre). Un exemple complet : Dictionnaire réalisable initial : Si x 1 entre dans la base, alors max 5x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 1 + 3x 2 + x 3 3 x 1 + 3x 3 2 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 + 3x 2 x 3 2 x 1, x 2, x 3 0. x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 +x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 +x 2 2x 3 x 7 = 2 2x 1 3x 2 +x 3 z = 5x 1 +5x 2 +3x 3. x 4 = 3 x 1 0 x 1 3 x 5 = 2 + x 1 0 x 1 2 x 6 = 4 2x 1 0 x 1 2 x 7 = 2 2x 1 0 x 1 1 la variable x 7 sort de la base. On obtient l expression de x 1 en fonction des variables horsbases à partir de la ligne de pivot : Le nouveau dictionnaire est : x 1 = 1 3/2x 2 + 1/2x 3 1/2x 7. x 4 = 2 3/2x 2 3/2x 3 +1/2x 7 x 5 = 3 3/2x 2 5/2x 3 1/2x 7 x 6 = 2 +4x 2 3x 3 +x 7 x 1 = 1 3/2x 2 +1/2x 3 1/2x 7 z = 5 5/2x 2 +11/2x 3 5/2x x 4 = 2 3/2x 3 0 x 3 4/3 x 5 = 3 5/2x 3 0 x 3 6/5 x 6 = 2 3x 3 0 x 3 2/3 la variable x 6 sort de la base. De la ligne de pivot, on obtient et le nouveau dictionnaire Si x 2 entre dans la base, alors x 3 = 2/3 + 4/3x 2 + 1/3x 7 1/6x 6 x 4 = 1 7/2x 2 +1/2x 6 x 5 = 4/3 29/6x 2 4/3x 7 +5/6x 6 x 3 = 2/3 +4/3x 2 +1/3x 7 1/3x 6 x 1 = 4/3 5/6x 2 1/3x 7 1/6x 6 z = 26/3 +29/6x 2 2/3x 7 11/6x 6. x 4 = 1 7/2x 2 0 x 2 2/7 x 5 = 4/3 29/6x 2 0 x 2 8/29 x 1 = 4/3 5/6x 2 0 x 2 24/15 la variable x 5 sort de la base. De la ligne de pivot, on obtient et le nouveau dictionnaire x 2 = 8/29 8/29x 7 + 5/29x 6 6/29x 5 x 4 = 1/29 +28/29x 7 3/29x 6 +21/29x 5 x 2 = 8/29 8/29x 7 +5/29x 6 6/29x 5 x 3 = 30/29 1/29x 7 3/29x 6 8/29x 5 x 1 = 32/29 3/29x 7 9/29x 6 +5/29x 5 z = 10 2x 7 x 6 x 5. La solution est optimale (aucun avantage à entrer une variable dans la base). La solution optimale est x 1 = 32/29, x 2 = 8/29 et x 3 = 30/29, de valeur z =

9 4.3 L algorithme du simplexe (Partie 2) On peut résumer l algorithme du simplexe comme suit : Étape 1) Initialisation : former le dictionnaire réalisable initial x 3 = 3 x 1 +x 2 x 4 = 4 2x 1 x 2 z = x 1 +x 2. (9) Étape 2) Itérations : Étape 3) Critère d optimatlité : - choix de la variable d entrée - choix de la variable de sortie - pivotage si oui, arrêt sinon, aller à l étape 2. Dans ce chapitre, nous allons répondre aux trois questions suivantes : 1. Avons-nous toujours une solution initiale disponible? (dictionnaire réalisable) 2. À une itération donnée, pouvons-nous toujours trouver une variable d entrée et de sortie afin d obtenir le prochain dictionnaire réalisable? 3. Le critère d optimalité est-il toujours satisfait? Initialisation Considérons l exemple suivant : max x 1 + x 2 x 1 x 2 3 2x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 Il est facile de construire le dictionnaire réalisable suivant : En posant les variables hors-bases x 1 = x 2 = 0, on obtient x 4 = 4 et x 3 = 3 < 0 qui n est pas une solution réalisable. Un programme linéaire sous forme standard a un dictionnaire initial max c j x j a ij x j b i i = 1,..., m x j 0 j = 1,..., n. x n+i = b i n j=1 a ij x j z = nj=1 c j x j i = 1,..., m réalisable si et seulement si chaque membre de droite b i est non négatif, ou encore si et seulement si x 1 = x 2 =... = x n = 0 est une solution réalisable de (10). Un tel programme est alors dit réalisable à l origine. Supposons que le programme (10) ne soit pas réalisable à l origine, c est-à-dire qu au moins un b i est < 0. On désire construire un dictionnaire réalisable. Pour ce faire, on construit le programme linéaire auxilliaire suivant : Programme auxilliaire min x 0 a ij x j x 0 b i i = 1,..., m x j 0 j = 0,..., n. (10) (11) x 3 = 3 x 1 +x 2 x 4 = 4 2x 1 x 2 z = x 1 +x 2. Par contre, si la première contrainte avait plutôt été on aurait obtenu le dictionnaire suivant : x 1 x (8) Ce problème a : 1. une solution réalisable facile à obtenir (après un pivot) ; 2. le programme initial a une solution réalisable si et seulement si le problème auxilliaire a comme valeur optimale 0. Donc, pour trouver un dictionnaire réalisable initial pour un problème qui n est pas réalisable à l origine, on résoud dans un premier temps le programme auxilliaire. Exemple : Initialisation Soit le problème : 18

10 Après la 2ième itération : max x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 5 (origine non réalisable) x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0. On écrit le problème auxilliaire : max x 0 2x 1 x 2 + 2x 3 x 0 4 2x 1 3x 2 + x 3 x 0 5 x 1 + x 2 2x 3 x 0 1 x 0, x 1, x 2, x 3 0. En définissant les variables d écart et l objectif w, on obtient le premier dictionnaire x 3 = x x x 6 0.8x 0 x 2 = x x x 6 0.6x 0 x 4 = 3 1x 1 1x 6 +2x 0 w = x 0. Le problème auxilliaire est optimal. De plus, la valeur optimale est 0. Donc, on a une solution réalisable au problème initial. On obtient un dictionnaire réalisable au problème initial en éliminant la colonne de x 0 et en écrivant l objectif en fonction des variables hors-bases. z = x 1 x 2 +x 3 = x 1 ( x x x 6 ) +( x x x 6 ) = x 1 0.2x x 6 On obtient le dictionnaire réalisable (pour le problème initial) x 4 = 4 2x 1 +x 2 2x 3 +x 0 x 5 = 5 2x 1 +3x 2 x 3 +x 0 x 6 = 1 +x 1 x 2 +2x 3 +x 0 w = x 0 et on continue... x 3 = x x x 6 x 2 = x x x 6 x 4 = 3 1x 1 1x 6 z = x 1 0.2x x 6 qui est non réalisable. En général, le 1er dictionnaire est non réalisable. Un seul pivot rétablit la réalisabilité ; on entre x 0 dans la base et on sort la variable la plus négative x 5. On obtient alors le dictionnaire réalisable : x 0 = 5 +2x 1 3x 2 +x 3 +x 5 x 4 = 9 2x 2 x 3 +x 5 x 6 = 4 +3x 1 4x 2 +3x 3 +x 5 w = 5 2x 1 +3x 2 x 3 x 5. Par la méthode du simplexe, on obtient après la 1ère itération : x 2 = x x x x 6 x 0 = x x x x 6 x 4 = x 1 2.5x x x 6 w = x x x x Résumé : INITIALISATION 1. Si le programme linéaire est réalisable à l origine (tous les b i 0), alors aller à l étape PHASE 1 : Trouver une solution réalisable. (a) Construire le programme auxilliaire. (b) Construire le 1er dictionnaire non-réalisable. (c) Entrer x 0 et sortir la variable la plus négative dictionnaire réalisable pour le programme auxilliaire. (d) Itérations du simplexe (en cas d égalité, sortir x 0 de la base) jusqu à l optimalité. (e) Si la solution optimale est 0, aller à l étape 3 ; sinon, le programme initial est non réalisable. 3. PHASE 2 : (a) Construire le 1er dictionnaire réalisable (du problème initial) (b) Itérations du simplexe. 20

11 4.3.2 Itérations Étant donné un dictionnaire réalisable, on doit choisir une variable d entrée qui détermine une variable de sortie afin d obtenir le prochain dictionnaire. 1. Choix de la variable d entrée La variable d entrée est une variable hors-base x j dont le coefficient c j dans la dernière ligne du dictionnaire courant est positif. Plus précisément, considérons la dernière ligne du dictionnaire courant z = z + c j x j j N où N est l ensemble des indices j des variables hors-base x j. La solution courante, x j = 0 pour tout j N donne à l objectif la valeur z. Si c j 0, j N alors la solution courante est optimale puisque tout autre solution avec x j 0, j N donne une valeur numérique à l objectif inférieure ou égale à z. S il existe des j N tels que c j > 0, alors les x j correspondants sont toutes des variables candidates à entrer dans la base. 2. Variable de sortie La variable de sortie est une variable de base dont la non négativité impose la contrainte la plus forte sur la borne supérieure de la variable d entrée. On peut obtenir l une des situations suivantes : (a) On trouve une seule variable de sortie et on pivote. (b) On trouve plusieurs variables de sortie : on choisit alors une variable de sortie parmi ces dernières et on pivote. (c) On ne trouve aucune variable de sortie : alors le problème est non borné, c est-àdire que l objectif peut prendre une valeur aussi grande que désirée (z = z +t c j où c j est le coefficient > 0 de la variable d entrée dans la dernière ligne du dictionnaire et t peut prendre une valeur aussi grande que voulue). 3. Dégénérescence La présence de plusieurs variables de sortie cause d intéressantes conséquences. Considérons l exemple suivant : x 4 = 1 2x 3 x 5 = 3 2x 1 +4x 2 6x 3 x 6 = 2 +x 1 3x 2 4x 3 z = 2x 1 x 2 +8x 3 21 Si l on choisit x 3 comme variable d entrée, on déduit les bornes suivantes : x 4 : x 3 1/2 x 5 : x 3 1/2 x 6 : x 3 1/2 et les trois variables de base sont candidates pour sortir de la base. Si l on choisit arbitrairement comme variable de sortie x 4, on obtient après un pivot, le dictionnaire suivant : x 3 = x 4 x 5 = 2x 1 +4x 2 +3x 4 x 6 = +x 1 3x 2 +2x 4 z = 4 +2x 1 x 2 4x 4 Si l on pose à 0 les variables hors-base, les variables de base prennent les valeurs : x 3 = 0.5, x 5 = x 6 = 0. Une solution de base (ou dictionnaire réalisable) avec des variables de base à 0 est dite dégénérée. En entrant x 1 dans la base, la variable de sortie est x 5 ; après le pivot, on obtient : x 1 = 2x 2 1.5x 4 0.5x 5 x 3 = x 4 x 6 = x x 4 0.5x 5 z = 4 +3x 2 x 4 x 5 On remarque que la solution n a pas été modifiée. Une itération du simplexe qui ne change pas la solution de base (ou la valeur) est dite dégénérée. Une itération dégénérée ne peut survenir que si l on a un dictionnaire dégénéré. La prochaine itération est également dégénérée quoique la suivante ne l est pas et mène à la solution optimale. En pratique, les problèmes linéaires sont souvent dégénérés (on obtient des solutions de base dégénérées à certaines étapes du simplexe). Cependant, l algorithme du simplexe finit généralement par faire des pivots non dégénérés Critère d arrêt On sait que si dans la dernière ligne du dictionnaire courant z = z + c j x j j N 22

12 on a c j 0, j N, la solution de base courante est optimale. Peut-on ne jamais obtenir une telle condition, c est-à-dire générer un nombre infini de dictionnaires? La réponse est oui. Considérons l exemple suivant ayant comme dictionnaire initial : Si l on adopte la règle suivante : x 5 = 0.5x x x 3 9x 4 x 6 = 0.5x x x 3 x 4 x 7 = 1 x 1 z = 10x 1 57x 2 9x 3 24x 4 (a) On choisit comme variable d entrée celle dont le coefficient dans la ligne z est le plus grand. (b) En cas d égalité pour la variable de sortie, on choisit celle dont l indice est le plus petit. Les itérations du simplexe donnent : 1ère itération : 2ième itération : 3ième itération : x 1 = 11x 2 +5x 3 18x 4 x 5 x 6 = 4x 2 2x 3 +8x 4 +x 5 x 7 = 1 11x 2 5x 3 +18x 4 +x 5 z = 53x 2 +41x 3 204x 4 20x 5 x 2 = 0.5x 3 +2x x x 6 x 1 = 0.5x 3 +4x x x 6 x 7 = x 3 4x x x 6 z = 14.5x 3 98x x x 6 x 3 = 8x x 5 5.5x 6 2x 1 x 2 = 2x 4 0.5x x 6 +x 1 x 7 = 1 x 1 z = 18x 4 +15x 5 93x 6 29x ième itération : 5ième itération : 6ième itération : x 4 = 0.25x x x 1 0.5x 2 x 3 = 0.5x x 6 +2x 1 4x 2 x 7 = 1 x 1 z = 10.5x x 6 20x 1 9x 2 x 5 = 9x 6 +4x 1 8x 2 2x 3 x 4 = x 6 0.5x x x 3 x 7 = 1 x 1 z = 24x 6 +22x 1 93x 2 21x 3 x 5 = 0.5x x x 3 9x 4 x 6 = 0.5x x x 3 x 4 x 7 = 1 x 1 z = 10x 1 57x 2 9x 3 24x 4 Comme le dictionnaire construit après la 6ième itération est identique au dictionnaire initial, l algorithme va repasser indéfiniment par ces 6 itérations si les mêmes règles sont utilisées. Ce phénomène est appelé cyclage. On dit que la méthode du simplexe cycle si un dictionnaire apparaît dans deux itérations successives. Remarquons que le cyclage ne peut apparaître que lorsque le problème est dégénéré. Quoique la dégénérescence ne soit pas rare, le cyclage, au contraire, est rare. En théorie, deux méthodes existent qui permettent d éviter le cyclage : (a) Méthode lexicographique : (Dantzig, Olchen et Wolfe (1955)) (b) Règle du plus petit indice (Bland (1977)) (entrée et sortie) On a le théorème suivant : Théorème 4.2 Si la méthode du simplexe ne se termine pas, alors elle doit cycler. Preuve : On sait qu il n y a qu un nombre fini de façons de choisir m variables de base parmi n + m variables, soit ( n + m m ) = (n + m)! n! m! 24

13 Donc si la méthode du simplexe ne se termine pas, une même base doit apparaître dans deux dictionnaires distincts. Il suffit de montrer que deux dictionnaires avec la même base sont identiques. Considérons deux dictionnaires et x i = b i j B a ij x j z = v + j B c j x j i B (12) x i = b i j B a ijx j z = v + j B c jx j i B (13) avec la même base B. On sait que toutes solutions de (12) est aussi une solution de (13) et vice-versa. En particulier, si x k est une variable hors-base et si t est un nombre, alors x k = t x j = 0 (j B, j k) x i = b i a ik t (i B) z = v + c k t et peuvent résoudre des problèmes ayant plusieurs milliers de contraintes et de variables. La taille maximale dépend de l ordinateur, de la difficulté du problème et de la taille du problème. Quoique la méthode du simplexe fonctionne très bien sur la majorité des problèmes rencontrés dans la pratique, il est possible de construire des exemples pathologiques où le nombre d itération est exponentiel. L exemple suivant est dû à Murty. Exemple pathologique : max 10 n j x j 2 i 1 j=1 10 i j x j + x i 100 i 1 i = 1,..., n x j 0 j = 1,..., n Si l on utilise la règle usuelle du plus grand coefficient pour le choix de la variable d entrée, la méthode du simplexe nécessitera 2 n 1 itérations pour déterminer la solution optimale. Par exemple, cet exemple pathologique avec 50 variables et 50 contraintes nécessitera , itérations. Sur un ordinateur effectuant opérations/sec, cela signifie un temps d exécution de années!!! constituent une solution de (12) et doit satisfaire (13). Donc b i a ik t = b i a ikt i B v + c k t = v + c kt Ces identités étant vérifiées pour tout t, on a b i = b i, a ik = a ik i B et v = v, c k = c k. Comme x k est une variable hors-base arbitraire, les deux dictionnaires sont identiques Vitesse de l algorithme du simplexe On peut se demander le nombre d itérations que nécessite la méthode du simplexe pour déterminer une solution optimale (si elle existe). En pratique, on observe que le nombre d itération requis est de l ordre de 3m/2 où m est le nombre de contraintes. Ainsi le nombre d itérations dépend peu du nombre de variables. Aujourd hui, il est possible de résoudre de grands problèmes linéaires sur des stations personnelles. Ainsi les programmes CPLEX, OSL, XPRESS, MPSX, etc. sont tous des implantations efficaces de la méthode du simplexe 25 26